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1、函数极限函数极限(Limits of Functions)极限的概念极限的概念极限定义极限定义( (Definition of a limit)Definition of a limit)The number L is the limit of the function f(x) as x approaches c (or approaches infinity) if, as the values of x gets arbitrarily (but not equal) to c (or approaches infinity), values of f(x) approach (or e
2、qual) L. We write 极限，即自变量的值无限趋近但不等于某规定数值（或自极限，即自变量的值无限趋近但不等于某规定数值（或自变量绝对值无限增大）时，函数值趋近于某个定值。变量绝对值无限增大）时，函数值趋近于某个定值。设设函函数数y=f(x)在在点点 附附近近有有定定义义（在在点点 可可以以无无定定义义），若若当当x无无限限接接近近于于 时时，函函数数f(x)的的值值无无限限接接近近于于常数常数A，则称当，则称当x趋于趋于 时，时，f(x)以以A为极限，记作为极限，记作 或或 f(x)A(x )（描述性定义描述性定义）1. xx0时时函数的极限函数的极限xf(x)xf(x)1.91.
3、991.9991.9999x2（from the left）This is called the left-hand limit and is written:This is called the right-hand limit and is written: x2 （from the right）f(x)5f(x)5极限存在定理极限存在定理设设函函数数y=f(x)在在点点 左左(或或右右)侧侧有有定定义义（在在点点 可可以以无无定定义义），若若当当x无无限限接接近近于于 时时，函函数数f(x)的的值值无无限限接接近近于于常常数数A，则则称称当当x趋趋于于 时时，f(x)以以A为为左（或右）
4、极限左（或右）极限，记作，记作 左极限与有极限统称为左极限与有极限统称为单侧极限（单侧极限（one-sided limit）.左右极限又可分别记为左右极限又可分别记为2. x时函数的极限时函数的极限Consider the limit of the function极限的运算法则（极限的运算法则（Rules of limits）Then前提很重要前提很重要Evaluate the following limits对于一切初等函数，当对于一切初等函数，当 在该函数的定义域内，求在该函数的定义域内，求 的的极限值时，只需把极限值时，只需把 代入代入 即可。即可。当当x趋近无穷求有理函数的极限时，先
5、把分子分母除趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以以x的的最高次数项最高次数项最高次数项最高次数项，然后再化简。，然后再化简。当当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以以x的的最高次数项最高次数项最高次数项最高次数项，然后再化简。，然后再化简。exerciseHomework两个重要极限两个重要极限(Two important limits)(Two important limits)?如何证明如何证明?解解这个结果可以作为公式使用这个结果可以作为公式使用例例 1求求例例 2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：注：在运算熟练后可不必代换
6、，直接计算： 练习练习1. 求下列极限求下列极限: 例例 3解解例例 4解解思考题思考题夹逼定理夹逼定理(Sandwich(Squeeze)theorem) 例例 用夹逼准则求用夹逼准则求练习练习3 3：下列等式正确的是（：下列等式正确的是（ ） 练习练习4 4：下列等式：下列等式不不正确的是正确的是（ ）练习练习5.两个重要极限两个重要极限(Two important limits)(Two important limits)?解解因为因为所以，有所以，有例例 1例例 2 解解方法一方法一令令 u = - -x， 因为因为 x 0 时时 u 0，所以所以方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握
7、熟练后可不设新变量例例3解解练习练习解解极限的应用极限的应用1：找渐近线找渐近线Application of limits：Finding asymptotesA line y=c is a horizontal asymptote of graph of y=f(x),ifA line x=k is a vertical asymptote of graph of y=f(x),if极限的应用极限的应用2：连续：连续Application of limits：Continuity连续的定义连续的定义（Definition of continuity）直观认识直观认识：坐标平面上的图像是一条连
8、绵不断的曲线坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线. （图像一笔画图像一笔画）函数在某点连续函数在某点连续(Continuous at a point )设函数在设函数在 附近有定义，若附近有定义，若 ，则称则称 在点在点 连续连续.若函数若函数f在区间在区间I上的每一个点都连续，则称上的每一个点都连续，则称f为为I上的连续函数上的连续函数.注：基本初等函数在其定义域内都是连续函数，即幂函数、注：基本初等函数在其定义域内都是连续函数，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函数、有理函数在其定义域上都是连续函数数、有理函数在其定
9、义域上都是连续函数. 有理函数有理函数 在在 处不连续处不连续.非连续性分类非连续性分类（Kinds of discontinuity）间断点间断点：若若f在点在点x0无定义，或无定义，或f在在x0有定义而不连续，则称有定义而不连续，则称x0为为函数函数f的间断点或不连续点的间断点或不连续点. 1. 可去间断可去间断 点点(Removable discontinuity) 若若 f在在 无定义，或有定义但无定义，或有定义但2. 跳跃间断点（跳跃间断点（Jump discontinuity）若函数若函数f在点在点 的左右极限都存在，的左右极限都存在，但但 ，则称点则称点 为函数的跳跃间断点为函数
10、的跳跃间断点.3. 无穷间断点（无穷间断点（Infiite discontinuity）至少有一侧极限不存在至少有一侧极限不存在.(A) is continuous everywhere(B) is continuous except x=0(C) has a removable discontinuity at x=0(D) has a infinite discontinuity at x=0(E) has x=0 as a vertical asymptote连续函数定理连续函数定理(Theorems of continuous function)1. 最值定理（最值定理（Extreme
11、 value theorem） 若函数若函数f在在闭区间闭区间a,b上连续上连续，则，则f在在a,b上有最上有最大值与最小值大值与最小值. If f is continuous on the closed interval a,b, then f attains a minmum value and a maximum value somewhere in that interval.2. 介值定理（介值定理（Intermediate value theorem） 若函数若函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，且上连续，且f(a)f(b). 若若M为介为介于于f(a)与与f(b)之间的任何实数之
12、间的任何实数(f(a) Mf(b) or f(b)Mf(a)，则至少存在一点，则至少存在一点 c(a,b)，使得，使得f(c)=M. If f is continuous on the closed interval a,b, f(a)f(b), and M is a number such that f(a) Mf(b)（or f(b)Mf(a) ) ,then there is at least one number, c, between a and b such that f(c)=M.特别的，若特别的，若f(a)f(b)0，那么，那么存在存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0零点定理零点定理Zero point theoremHomework（分析性定义分析性定义）AxyoA+ A x0y = f (x)x0x0+
