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1、洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容罗尔中值定理：罗尔中值定理：(3) f (a)= f (b) ;减少一个条件减少一个条件推广：推广：1.几何解释：几何解释： 曲线曲线 y=f(x) 至少有一条水平切线。至少有一条水平切线。掌握四个微分中值定理掌握四
2、个微分中值定理拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：(3) f (a)= f (b) ;(3) f (a)= f (b) ;1.几何解释几何解释： 曲线曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦。连接曲线端点的弦。.柯西中值定理柯西中值定理：11.曲线曲线 至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦。至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦。几何解释几何解释：曲线的参数式方程曲线的参数式方程, x为参数为参数.泰勒中值定理泰勒中值定理：.用用( )的的n次多项式逼近次多项式逼近 f ( x) .oo.2. 常用常用麦克劳林公式：麦克劳林公式：.5 5、洛必达法则、洛
3、必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？用洛必达法则求未定式极限应注意什么？1o. 及时求出已定式的极限及时求出已定式的极限.2o. 需要先验证条件需要先验证条件.应该怎么做？应该怎么做？.6 6、导数的应用、导数的应用定理定理(1) 函数单调性的判定法函数单调性的
4、判定法定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .定理定理( (第一充分条件第一充分条件) )定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )求极值的步骤求极值的步骤: :步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及
5、驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义定理定理1 1方法方法1:1:方法方法2:2:.(5). 给定函数给定函数 y = f (x) ,求其求其铅铅直渐近线及斜渐
6、近线直渐近线及斜渐近线. .(6) 函数图形的描绘函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形. (7).(7).求极限的方法求极限的方法： （1 1）基本方法；（）基本方法；（2 2）利用重要极限；（）利用重要极限；（3 3）利用函数的连续性；）利用函数的连续性；（4 4）使用）使用L LHospitalHospital法则；（法则；（5 5）利用等价无穷小代换；（）利用等价无穷小代换；（6 6）利）利用极限存在准则；（用极限存在准则；（7 7）利用微分中值定理（包括带）利用微分中值定理（包括带PeanoPeano型余项的型余项的TaylorTaylor公式）；公式）； (
7、8)(8)不等式的证明方法不等式的证明方法： （1 1）初等方法（略）；（）初等方法（略）；（2 2）利用函数的单调性；（）利用函数的单调性；（3 3）利用）利用微分中值定理（包括微分中值定理（包括TaylorTaylor公式）；（公式）；（4 4）利用函数的最大最小值；）利用函数的最大最小值；（5 5）其它方法。）其它方法。 二、课堂练习二、课堂练习 1. 1.填空题：填空题： 2. 2.选择填空题选择填空题 （1 1）设）设 在在 的某邻域内有定义，且的某邻域内有定义，且则则 在在 点点 . . （A A）有极大值；）有极大值； （B B）有极小值；）有极小值； （C C）无极值；）无极值
8、； （D D）不能判定是否取得极值。）不能判定是否取得极值。 解解 由极限的保号性知，由极限的保号性知， （2 2）方程）方程 在区间在区间 内内 . . （A A）无实根；）无实根； （B B）有惟一实根；）有惟一实根； （C C）有两个实根；）有两个实根； （D D）有三个实根。）有三个实根。 解解 令令 （3 3）设曲线方程为）设曲线方程为 则则 . . （A A）曲线没有渐近线；）曲线没有渐近线； （B B） 是曲线的渐近线；是曲线的渐近线； （C C） 是曲线的渐近线；是曲线的渐近线； （D D） 是曲线的渐近线。是曲线的渐近线。 解解 因为因为 所以所以 是曲线的水平渐近线。是曲线
9、的水平渐近线。 （4 4）设）设 和和 在在 上都可导且恒正上都可导且恒正 ，若，若 则当则当 时时, ,不等式不等式 . . 4.4.在直线在直线 上求一点，使其与点上求一点，使其与点 和点和点的距离平方和为最小。的距离平方和为最小。 解解 设设 是直线上任意一点，则该点到是直线上任意一点，则该点到 两点两点之距离的平方和为之距离的平方和为化简得化简得 5.5.设设 在在 上连续，在上连续，在 内内 . .证明：证明： 解解 作辅助函数作辅助函数 则则 7. 7.证明不等式：证明不等式： 证证 因为因为 ，故原不等式等价于，故原不等式等价于 令令 , , 则则 在在 上连续。上连续。 因为因
10、为 即即 在在 上严格递减上严格递减, ,故故 有有 即即 8.8.设设 在在 内可微，且内可微，且 是减函数，是减函数，证明：证明： 恒有恒有 9. 9.证明方程证明方程 恰有两个不同的实根。恰有两个不同的实根。 另证：另证： * *11 11 设设 求求试分别用试分别用RolleRolle定理、定理、LagrangeLagrange和和CauchyCauchy定理证明之。定理证明之。 证证 用用RolleRolle定理定理 ：令：令则则 由由RolleRolle定理知，定理知，即即 证证 用用RolleRolle定理定理 ：令：令则则 证证 用用LagrangeLagrange定理定理 则则 在在 上满足上满足LagrangeLagrange定理定理条件，故存在条件，故存在 ，使得，使得 令令设设 证证 用用CauchyCauchy定理定理 ：例例3 3解解奇函数奇函数列表如下列表如下:极大值极大值拐点拐点极小值极小值作图作图
