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1、一、交错级数及其判别法定义定义: : 正、负项相间的级数正、负项相间的级数3 3 一般项级一般项级数数为交错级数 定理定理（莱布尼茨判别法）设 满足以下两个条件 1）数列单调递减 2） 则收敛 证明证明所以数列收敛 推推论 若级数满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数的余项估计式为二、绝对收敛与条件收敛若级数收敛，则称级数绝对收敛 若级数收敛，但是级数不收敛，则称级数为条件收敛。 定理定理 若级数收敛，则级数收敛 对任何正数总存在正数N，使得nN和任意正数r,有证证 由于因此由柯西准则知级数也是收敛的。例例1 1 证明级数绝对收敛 .证 由于对任何实数有，所以对所考察的级数对任何实数级数都绝对收
2、敛 绝对收敛级数的两个重要性质1. 级数的重排定义:把正整数列到它自身的一一映射称为正整数列的重排,相应地对于数列按映射所得到的数列称为原级数的重排,相应也称级数是级数的重排.则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的定理12.13 设级数绝对收敛,且其和等于和数.注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数.如：2. 级数的乘积设为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有可能的乘积列成下表：这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相加，于是分别有：和定理12.1
3、4 (柯西定理) 若级数(1)、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛，且其和等于例例2 2 等比级数 1 是绝对收敛的，将按的顺序排列，则得到 =1+2 三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法引理（分部求和公式）设为两组实数，若令则有如下分部求和公式成立：证：以分别乘以整理后就得所要证的公式。推论 （阿贝耳引理）若（1）是单调数组；（2）对任一正整数有则记时，有：证：由（1）知都是同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得以下讨论级数的收敛性。定理12.15 (阿贝尔判别法) 若为单调有界数列,且级数收敛,则级数收敛.定理12.16 (狄利克雷判别法)若单调递减,又级数部分和数列有界,则级数收敛.且例3 若数列具有性质:则级数和对任何都收敛.解:因为当时,故得到所以级数的部分和数列当时有界,由狄利克雷判别法推得级数收敛.同理可证级数也是收敛的.特别地,级数和对一切都成立.
