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1、张乃达数学思维与数学文化数学思维与数学文化n n前言：思维与文化n n一、数学思维教育理念n n二、数学文化观念n n三、数学思维文化教育理念n n四、案例分析前言：思维与文化n数学是数学文化背景下的思维活动数学是数学文化背景下的思维活动n从微观上看，数学是一种活动，一从微观上看，数学是一种活动，一种思维活动，数学教育是思维的教种思维活动，数学教育是思维的教育；育；n从宏观上看，从社会从宏观上看，从社会- -历史的层面历史的层面看，数学是一种文化，是一种观念看，数学是一种文化，是一种观念系统，数学教育是数学文化教育。系统，数学教育是数学文化教育。n在数学思维教育中，人们看重的是在数学思维教育中
2、，人们看重的是数学的思维方式和数学思维能力，数学的思维方式和数学思维能力，也即是数学的科学教育价值；也即是数学的科学教育价值；n在数学文化教育中，人们看重的是在数学文化教育中，人们看重的是数学中的理性精神、数学的价值观数学中的理性精神、数学的价值观念、思维方式和行为规范，理性探念、思维方式和行为规范，理性探索精神则是数学文化价值的集中体索精神则是数学文化价值的集中体现。现。n思维与文化，集中地体现思维与文化，集中地体现了数学教育在提高学生素了数学教育在提高学生素质教育中的两项要素，所质教育中的两项要素，所以也是现代数学教育的两以也是现代数学教育的两个重要方面；同时也是解个重要方面；同时也是解读
3、新的课程标准的关键。读新的课程标准的关键。n n如何认识数学教育的变化？如何认识数学教育的变化？ 课程的变化；课程的变化； 内容的变化；内容的变化； 目标的变化；目标的变化； 教学方式的变化；教学方式的变化； 考试的变化。考试的变化。 从数学文化教育的视角可以帮助我们从数学文化教育的视角可以帮助我们认识并驾驭上述变化。认识并驾驭上述变化。n n数学是人类文化的重要组成部分。数数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对作用，数学的社会需求，社会发展
4、对数学发展的推动作用，数学科学的思数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。形成正确的数学观。n n 数学课程标准数学课程标准一、数学思维教育理念n n1。数学思维教育理念n n2。数学思维中的核心概念：问题n n3。数学思维过程n n4。数学思维的辩证性n n5。数学概念的建构n数学观：数学是一种思维活动。n数学教学观：数学是数学思维活动的教学。n价值观：数学教育的价值集中表现在数学思维活动之中
5、。n n数学学习观：在教师的指导下通过数学思维活动，学习数学家的思维活动的成果，并发展数学思维能力的过程。n n核心概念：问题。n n教学原则：过程性原则。即：数学教学要充分暴露数学思维过程。n n教学规范；以问题为中心。n n斯托利亚尔把数学看成是人类创造性的思维活动，突破了静止的绝对主义的数学观的束缚，第一次把动态的、经验和拟经验的数学观呈现在我们的面前！为数学和数学教学注入了新的生命，对数学教学的改革具有重大的指导意义！n n数学（对象）是由人类通过思维创造出来的！数学思维研究中的核心概念：问题n n关于问题；n n问题的作用：动力、定向、聚焦n n问题是思维的载体；（思维的动力、材料，
6、也是思维的产物）n n问题是教学活动的载体；关于思维过程n n过程性教学原则：n n数学教学要充分暴露数学思维过程n n指导意义n n数学思维过程是怎样的过程？n n提出问题和解决问题n n怎样提出问题？n n怎样解决问题？n n掩盖思维过程的表现解决问题的过程分析解决问题的过程分析 一般性解决一般性解决（课题性问题）（课题性问题） 功能性解决功能性解决（导向性问题）（导向性问题）特殊性解决特殊性解决（操作性问题）（操作性问题）n暴露提出问题的过程；n n暴露概略性解决问题的思维环节；n n重视对思维的监控。原认知经验、策略和观念再发现过程的设计n n直觉思维的逻辑模拟；n n例子：（等比数列
7、求和）n n解决问题还是消解问题？对数学思想、方法的认识n数学思想、方法是对数学思维活动过程的抽象；n观念、思想、方法的层次性n暴露数学思维过程对数学观念思想、方法教学的意义。数学思维的辩证性n n逻辑思维与直觉思维；（是否遵循逻辑规则）n n聚合式思维与发散式思维（探索的方向）n n再生性思维与创造性思维（独特性）n n反省思维与建构思维n n代数思维、几何思维与高级数学思维数学探索活动n n数学思维形式n n逻辑思维与直觉思维；n n演绎、直觉和中介思维形式；n n合情推理与论理推理；n n探索性演绎法；n n探索活动的基本形式。 猜想证明猜想n n思维监控与原认知数学概念的建构n n经验
8、抽象：以真实的事物或现象作为直接的原型进行的抽象；n n自反抽象：对人类活动进行反思的直接结果。n n几何概念：感知-整体对象n n代数概念过程性概念；程序过程性概念；程序过程过程过程性概念。过程性概念。例：自然数，导数。例：自然数，导数。数学概念思维的两种基本形式n n代数思维：凝聚。代数思维：凝聚。n n从过程向对象的转化从过程向对象的转化n n例：函数：对应法则，输入、输出的过程例：函数：对应法则，输入、输出的过程特特定的对象（性质、运算等）定的对象（性质、运算等）n n内化内化压缩压缩客体化！客体化！（反思）（反思）n n数学概念：过程、对象及其转换；数学概念：过程、对象及其转换；n
9、n 一个过程：由此而产生的对象；相应的符号一个过程：由此而产生的对象；相应的符号 n n从程序性观点向结构性观点的转变（方程：从程序性观点向结构性观点的转变（方程：3X+I=73X+I=7，3X+1=4X-13X+1=4X-1）几何思维几何思维代数思维代数思维高层次思维高层次思维抽象的基础抽象的基础感知感知运作运作反思反思抽象的性质抽象的性质经验性抽经验性抽象象凝聚凝聚自反性抽象自反性抽象抽象的产物抽象的产物感知性对感知性对象象构思性对象构思性对象建构性对象建构性对象心理表征心理表征图象型图象型符号（语言型）符号（语言型） 过程对象三过程对象三元体元体数学的类型数学的类型客体型数客体型数学学运
10、作型数学运作型数学定义型数学定义型数学数学思维形式数学思维形式数学思维形式数学思维形式n n高层次的数学思维：n n精细的数学定义+演绎推理 核心概念：函数核心概念：函数 思维特征：极限思维特征：极限 思维过程：形式证明思维过程：形式证明从初等数学思维到高等数学思维的过渡对象对象几何几何公理化公理化过程过程代数代数形式化形式化韬尔的三个世界理论：具体化世界：感觉、实验、思想实验过程概念化世界：运算与符号形式化世界；定义、形式证明几何概念：点、直线、多面体；几何概念：点、直线、多面体；代数概念：数、代数式、极限等；代数概念：数、代数式、极限等；高等数学概念：群、环等高等数学概念：群、环等n n数
11、学概念形成的过程n n1。将概念看成一个过程，转变至将概念看成一个单一的对象，并给出一个名称；n n2。抽象出相应的性质，借助定义给出概念；n n3。通过逻辑演绎建构出所定义的对象的性质；n n4。掌握概念各种表达形式之间的联系（词语的、程序的、符号的、数字的和图象的）函数概念的建立n n面（表示方式）：符号Y=F（X）输入输出箱代数特征（函数表达式）数的特征（列表）几何特征（图象）n n认知水平前程序（没有获得相应程序前的预备期）程序（明确的一步一步的操作）过程（不操作即可以认识到输入输出过程的存在性）对象（学生把过程作为一种心理操作对象）过程性概念层次（学生已经能够在过程与心理对象之间作灵
12、活的转换）数学教学应该以问题为中心n n数学教学应该围绕着数学问题进行；数学教学应该围绕着数学问题进行；n n数学教学过程应该组织为提出问题和数学教学过程应该组织为提出问题和解决问题的过程；解决问题的过程； （方法论）（方法论）n n应该把有没有问题，有没有激发出学应该把有没有问题，有没有激发出学生的思维活动当成评价教学活动成功生的思维活动当成评价教学活动成功与否的一项标准。与否的一项标准。 （价值观）（价值观）分析数学思维过程的能力是数学教学能力的核心。分析数学思维过程的能力是数学教学能力的核心。 n n数学教学过程是学生在教师的指导下通过数学思维活动，学习数学家的思维活动的成果，并发展数学
13、思维能力过程.分析数学思维过程的能力是数学教学能力的核心。分析数学思维过程的能力是数学教学能力的核心。 n n数学教师通过自己创造性的思维活动，在数学家的思维活动与学生的数学思维活动之间架设桥梁。n n数学教师全部的教学活动，包括备课、上课、答疑、批改作业、组织考试、批改试卷等等都应该在分析上述三种思维过程的基础上进行。关于理解n n斯普根：n n工具性理解：只管公式，不问理由；n n关系性理解：不仅知道要做什么？而且还要知道理由。n n逻辑性理解；n n符号性理解。n n直觉与分析是获得理解的重要途径。n n理解：直觉与逻辑的转换；n n理解：对学习活动的反思；n n形式层面的理解；（是什么
14、？）n n直观具体层面的理解；n n观念层面的理解；n n发现层面的理解；二、数学文化教育观念n n1。对数学文化的理解n n2。数学文化观念的启示n n3。数学文化的核心：观念n n4。文化继承n n5。用数学家的眼光看世界二、数学文化教育观念 数学观：把数学看成是一种文化系统，是数学共同体的生活方式；价值观：认为数学提供了一种价值观，倡导一种精神：它集中表现在数学观念之中，特别是理性精神之中。方法论（教育方式）：文化继承、潜移默化。核心概念：观念、理性精神对文化的理解（1）n n广义地说，文化是指人类创造的物质财富和精神财富的总和。按照这样的理解，凡是人类创造的有价值的东西（不论是物质的还
15、是精神的）都是文化的组成部分。 n n狭义地说，文化专指精神文化（通常人们就是按这样的意义来使用文化一词的），而把广义的文化称为文明。n n根据上述约定，“数学当然是人类文化的重要组成部分”对文化的理解（2）n n例如，社会科学百科全书中就把文化说成是“一个民族的生活方式”。它是“由思想和行为的习惯模式所组成”的，具体地，“文化包括价值、信仰、行为规范、政治组织、经济活动等等，这些是通过学习而不是生物遗传而代代相传的”。n n文化是人类的活动！是从历史的社会的层面看待人类活动的结果！ 对数学文化的理解（1）n n第一、数学对象并不是天生就有的。数学概念、定理、公式、数学理论、数学语言、数学方法
16、、数学思维模式、数学观念都是人创造出来的，都是人类思维活动的有价值的成果。因此，从这个意义上看，数学当然是“人类文化的一部分”了。数学文化是人类文化的重要组成部分n n数学文化作为人类基本的文化活动之一。与人类文化是血肉相连的整体。n n数学文化是以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的具有强大功能的动态系统。n n数学文化所涉及的基本文化邻域包括哲学、艺术、历史、经济、教育、思维科学、政治及各门自然科学。数学文化的基本特征n n数学文化是传播人类思想的一种基本方式，包含着人类语言的高级形式。n n数学文化是自然和社会相互联系的一个尺度；n
17、n数学文化具有相对的稳定性和连续性；n n数学文化具有高度的渗透性和无限的可能性。对数学文化的理解（2）n n数学文化：数学共同体的生活方式n n数学文化的主体：数学共同体n n这个共同体的成员具有区别于其它社会成员的共同的价值观念、思维方式和行为规范（数学文化中的观念系统），从而形成了数学共同体所特有的生活方式这就是我们所说的数学文化。 n核心思想。这是关于数学本质的总的认识，是对于什么是数学的问题的具体回答，也就是所谓的数学观。n n规范性成分。即关于如何从事数学研究的具体规范和准则，数学家只有按照这些规范或准则进行研究，他的工作才能得到共同体的承认，因此，它们具有强制性的制约作用。n n
18、启发性成分。这是关于如何有效地去进行数学研究的一些启发性原则或方法。对数学文化的理解（3）n n把数学看成文化系统，是从社会把数学看成文化系统，是从社会-历史的历史的角度，即从宏观的角度考察数学的结果。角度，即从宏观的角度考察数学的结果。n n众所周知，数学活动不仅仅是个人的活动，众所周知，数学活动不仅仅是个人的活动，它还打上了社会的历史的烙印，因此还必它还打上了社会的历史的烙印，因此还必须对它作宏观上的考察和分析，这样就产须对它作宏观上的考察和分析，这样就产生了数学是一种文化的认识，其基本观点生了数学是一种文化的认识，其基本观点可以概括如下：可以概括如下：iin n第一、价值和观念是文化的核
19、心内容，第一、价值和观念是文化的核心内容，价值和观念上的差异也是区分不同文价值和观念上的差异也是区分不同文化的基础。化的基础。11n n第二、文化是群体所共有的，所以是第二、文化是群体所共有的，所以是“模式模式”。至于这是一个什么样的群。至于这是一个什么样的群体，是由什么因素划分的并不重要。体，是由什么因素划分的并不重要。实际上，文化除了可以由民族划分外，实际上，文化除了可以由民族划分外，也可以以地域、职业、阶层、宗教等也可以以地域、职业、阶层、宗教等因素来划分（即所谓子文化）；因素来划分（即所谓子文化）；n n第三、文化中所指的要素如价值观念、行第三、文化中所指的要素如价值观念、行为规范等等
20、并不是天生就有的，而是人类为规范等等并不是天生就有的，而是人类的创造，是一种被文化共同体的成员所承的创造，是一种被文化共同体的成员所承认的规定。例如，在数学共同体中公认只认的规定。例如，在数学共同体中公认只有严格的演绎证明才是符合标准的，就是有严格的演绎证明才是符合标准的，就是一种一种“约定俗成约定俗成”，并成为一种传统。事，并成为一种传统。事实上，早期的东方的数学并没有这样的要实上，早期的东方的数学并没有这样的要求，但是，随着历史的发展，这项由希腊求，但是，随着历史的发展，这项由希腊人确定的标准已经成为现代数学的规范，人确定的标准已经成为现代数学的规范，为数学共同体所接受。为数学共同体所接受
21、。n n第四、大量的文化成份是处于意识知觉水第四、大量的文化成份是处于意识知觉水平以下的。例如，语言就是一个例子。很平以下的。例如，语言就是一个例子。很少有人清楚地知道语言的语法系统，但是，少有人清楚地知道语言的语法系统，但是，人们照样自然地（符合语法规则地）说话，人们照样自然地（符合语法规则地）说话，并能理解别人的语言（当然是指同一文化并能理解别人的语言（当然是指同一文化中的）。中的）。n n第五、文化并不是一成不变的，第五、文化并不是一成不变的，文化既是传统的，又是发展的，文化既是传统的，又是发展的，它是它是“变化中的传统变化中的传统”，不同，不同的文化之间也会相互产生影响，的文化之间也会
22、相互产生影响，观念的发展和变化是文化最深观念的发展和变化是文化最深刻的变化。刻的变化。n n第六、文化共同体的成员可以通过文化继第六、文化共同体的成员可以通过文化继承来接受文化的遗产，其中有很多东西是承来接受文化的遗产，其中有很多东西是在不知不觉中习得的，（在不知不觉中习得的，（如中国人用筷子如中国人用筷子吃饭的习惯）但是这和生物遗传有着根本吃饭的习惯）但是这和生物遗传有着根本的区别。如果把这也看成是遗传，那就是的区别。如果把这也看成是遗传，那就是所谓所谓“社会遗传社会遗传”这是只有人类才有这是只有人类才有的的“遗传遗传”！这个要求和前面所提到的广！这个要求和前面所提到的广义的文化概念中对文化
23、的要求是完全一致义的文化概念中对文化的要求是完全一致的的文化必须是人类的创造物！文化必须是人类的创造物！n n数学的文化教育价值集中地的体现在数学观念的价值之中。n n数学观念是数学文化的核心，它是数学共同体（数学文化的主体）在长期的数学活动中形成的价值观和行为规范。数学精神、数学意识、数学思想和数学思维方式等等都是数学观念系统的重要组成部分。 数学文化观念的启示n n更加关注“人”；n n从历史的层面、人类文化发展的层面来看数学；n n更加注意数学与文化的广泛联系；n n更加关注精神层面的东西：精神与观念；n n更加关注无意识的活动；数学观念：数学文化的核心数学观念：数学文化的核心n n数学
24、共同体的价值观和行为模式（规范）n n“在最广泛的意义上来说，在最广泛的意义上来说，数学是一种精神，数学是一种精神，一种理性精神。一种理性精神。正是这种精神，使得人类的思正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人的物质、道德和社会生活；试图决定性地影响人的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得的知识的最深刻的和最完美的内涵。得的知识的最深刻的和最完美的内涵。” 克莱
25、因：西方文化中的数学n n从文化层面看数学！n n“数学深刻地影响人类的精神生活，数学深刻地影响人类的精神生活，可以概括为一句话，就是它大大地可以概括为一句话，就是它大大地促进了人类的思想解放，提高与丰促进了人类的思想解放，提高与丰富了人类的整个的精神水平，从这富了人类的整个的精神水平，从这个意义上讲，数学使人成为更完全、个意义上讲，数学使人成为更完全、更丰富、更有力量的人。更丰富、更有力量的人。”n n 齐民友：数学与文化n用数学（家）的眼光看世用数学（家）的眼光看世界是数学文化教育的核心界是数学文化教育的核心概念。概念。n 思维与文化思维与文化n n而实现社会化的关键就是要而实现社会化的关
26、键就是要“把各把各种观点作为知识的核心部分种观点作为知识的核心部分”来学来学习，他说，对于数学的思维来说，习，他说，对于数学的思维来说，一个根本的组成部分就是要具有一一个根本的组成部分就是要具有一种数学观念。种数学观念。n n1D.A格劳斯主编，数学教与学学习手册，上海教育出版社，1999年，第350页。数学教育家雷斯尼克说：数学教育家雷斯尼克说：n n不应老是把数学教育看作是不应老是把数学教育看作是个教个教学过程学过程( (传统意义上的，那种把各传统意义上的，那种把各类具体、明确的技能或知识点教给类具体、明确的技能或知识点教给学生的做法学生的做法) )，而应把它看作是，而应把它看作是个个社会
27、化过程社会化过程。”11n n在知识建构的同时完成身份建构关于数学观念n n十分重视数学观念特别是数学精神的教育价值，就成为文化型的数学教育的一项根本特征。n n当然，能力型的数学教育也十分重视数学观念的发展，但是它的着眼点却是和文化型的数学教育不同的。关于数学观念的教学n n数学观念系统同时具有价值观和方法论的意义。n n一般地说，能力型的数学教育看重数学观念在方法论方面的意义，而和文化型的数学教育的则更看重数学观念系统在价值观方面的意义，因而特别重视数学精神的价值。n n但是，不论是能力型的数学教育还是文化型的数学教育都十分重视数学观念的教育！ 对数学教学的启示n n1 1 1 1重视提出
28、问题的思维环节，注意介绍问题的背重视提出问题的思维环节，注意介绍问题的背重视提出问题的思维环节，注意介绍问题的背重视提出问题的思维环节，注意介绍问题的背景。让学生从中感受到数学的理性探索精神。景。让学生从中感受到数学的理性探索精神。景。让学生从中感受到数学的理性探索精神。景。让学生从中感受到数学的理性探索精神。n n2 2 2 2重视问题的概略性解决的思维环节（即大思路）重视问题的概略性解决的思维环节（即大思路）重视问题的概略性解决的思维环节（即大思路）重视问题的概略性解决的思维环节（即大思路），以突出数学观念在解决问题中的作用。淡化问，以突出数学观念在解决问题中的作用。淡化问，以突出数学观念
29、在解决问题中的作用。淡化问，以突出数学观念在解决问题中的作用。淡化问题特殊性解决的环节，淡化特殊的技巧，避开对题特殊性解决的环节，淡化特殊的技巧，避开对题特殊性解决的环节，淡化特殊的技巧，避开对题特殊性解决的环节，淡化特殊的技巧，避开对解题细节的纠缠，降低教学的难度。解题细节的纠缠，降低教学的难度。解题细节的纠缠，降低教学的难度。解题细节的纠缠，降低教学的难度。n n3 3 3 3适当降低形式化的要求。注重实质，注重理解，适当降低形式化的要求。注重实质，注重理解，适当降低形式化的要求。注重实质，注重理解，适当降低形式化的要求。注重实质，注重理解，追求追求追求追求“悟悟悟悟”的境界。注意直觉思维
30、和合情推理的的境界。注意直觉思维和合情推理的的境界。注意直觉思维和合情推理的的境界。注意直觉思维和合情推理的作用。作用。作用。作用。三、数学思维文化教育理念n数学观n价值观n学习观n行为规范数学思维文化教育观念n数学观：数学观：数学是数学文化背景下的思维活动n n思维性，突出了数学的创造性本质n n文化性，突出了数学活动的继承性n n多角度地（即从过程与结果、从历史与现实、从微观与宏观等方面）、全面地认识教学内容，从而发现它的教学价值。n n对“导数”的理解：n n不能简单地把导数看成是一个概念，一个定义，不能简单地把导数看成是一个概念，一个定义，还要看到它是一个规则，一个过程、一种思想和还要
31、看到它是一个规则，一个过程、一种思想和一段历史。一段历史。n n瞬时变化率瞬时变化率n n切线的斜率切线的斜率n n无限逼近的过程无限逼近的过程n n极限的思想极限的思想n n以直代曲的思想以直代曲的思想n n一个对象一个对象向量的加法的定位n n定义、法则；n n活动（思维）：建构数学运算模型的活动；n n历史（文化）：物理模型的数学化n n过程：数学化的过程n n思想：形数结合思想形数结合思想运算的思想运算的思想结构化结构化思想思想 模式化思想模式化思想n n基本构想，即按照建立数学模型的一般过程组织教学。n n数学模型的建构对“复数”的理解n n概念：一种新的数；n n过程：静态的逻辑过
32、程；n n历史：观念转变的过程；n n思想：完全由思维创造的对象；对诱导公式的理解n n工具：一组公式n n过程：几何语言三角函数的语言n n实质：用三角函数的语言表述的圆的对称性！n n历史：测量、计算价值观：对数学教育价值的认识价值观：对数学教育价值的认识n n知识的价值；n n思维的价值；n n文化的价值；n n应用的价值；n n育人的价值。数学教育的价值观数学教育的价值观n n一般地说，数学教育的价值体现在如下几个方面：一般地说，数学教育的价值体现在如下几个方面：一般地说，数学教育的价值体现在如下几个方面：一般地说，数学教育的价值体现在如下几个方面：n n第一、实用价值第一、实用价值第
33、一、实用价值第一、实用价值提供了一种有力的工具；提供了一种有力的工具；提供了一种有力的工具；提供了一种有力的工具；n n第二、形式训练的价值第二、形式训练的价值第二、形式训练的价值第二、形式训练的价值提供了一种思维的方提供了一种思维的方提供了一种思维的方提供了一种思维的方式和方法；式和方法；式和方法；式和方法；n n第三、文化价值第三、文化价值第三、文化价值第三、文化价值提供了一种价值观，倡导一提供了一种价值观，倡导一提供了一种价值观，倡导一提供了一种价值观，倡导一种精神：它集中地表现为数学观念在人的观念以种精神：它集中地表现为数学观念在人的观念以种精神：它集中地表现为数学观念在人的观念以种精
34、神：它集中地表现为数学观念在人的观念以及社会的观念的形成和发展中的作用。及社会的观念的形成和发展中的作用。及社会的观念的形成和发展中的作用。及社会的观念的形成和发展中的作用。 学习观：对学习的理解学习观：对学习的理解n n数学学习：数学学习：“意义赋予意义赋予”和和“文化继文化继承承” ” 即文化意义上的再发现的过程。即文化意义上的再发现的过程。n n所谓意义赋予或意义建构是指学生在学习知识时要通过自所谓意义赋予或意义建构是指学生在学习知识时要通过自所谓意义赋予或意义建构是指学生在学习知识时要通过自所谓意义赋予或意义建构是指学生在学习知识时要通过自身的（思维）活动，重新建构知识的意义，这是一个
35、创造身的（思维）活动，重新建构知识的意义，这是一个创造身的（思维）活动，重新建构知识的意义，这是一个创造身的（思维）活动，重新建构知识的意义，这是一个创造和发现的过程，这就突出了思维的作用；和发现的过程，这就突出了思维的作用；和发现的过程，这就突出了思维的作用；和发现的过程，这就突出了思维的作用；n n所谓文化继承是指学生的建构活动并不是个体的独立的活所谓文化继承是指学生的建构活动并不是个体的独立的活所谓文化继承是指学生的建构活动并不是个体的独立的活所谓文化继承是指学生的建构活动并不是个体的独立的活动，而是在一定的文化背景下，即是在现代数学文化的观动，而是在一定的文化背景下，即是在现代数学文化
36、的观动，而是在一定的文化背景下，即是在现代数学文化的观动，而是在一定的文化背景下，即是在现代数学文化的观念、思想、方法和思维模式（即数学传统）的指导下进行念、思想、方法和思维模式（即数学传统）的指导下进行念、思想、方法和思维模式（即数学传统）的指导下进行念、思想、方法和思维模式（即数学传统）的指导下进行的的的的“再发现再发现再发现再发现”活动，从而体现了文化的作用和学习的社会活动，从而体现了文化的作用和学习的社会活动，从而体现了文化的作用和学习的社会活动，从而体现了文化的作用和学习的社会化性质。化性质。化性质。化性质。行为规范：方法论行为规范：方法论n n1以问题为中心有效地组织学生投入理性探
37、索活动；n n2以数学（家）的眼光看世界创造数学文化的氛围。n n貼标签；貼标签；n n泛化泛化文化是个框，什么都可以裝；文化是个框，什么都可以裝；n n把数学文化教育等同于数学史教育；把数学文化教育等同于数学史教育；n n把数学教育等同于科普教育；把数学教育等同于科普教育；n n把数学文化与数学割裂开来；把数学文化与数学割裂开来；n n混淆现代数学文化与前科学的古代数学文化混淆现代数学文化与前科学的古代数学文化n n特别是把思维与文化割裂以至对立起来特别是把思维与文化割裂以至对立起来；对“数学文化”的误解四、案例分析n n归纳推理n n数系的扩充n n任意角三角函数n n诱导公式n n向量的
38、加法n n余弦定理n用数学家的眼光看世界n n个案分析：归纳推理归纳推理的定位n概念n技能n能力n态度n n把归纳看成是一种机会把归纳看成是一种机会，“以便证以便证明它或推翻它明它或推翻它”，这就是我们对待，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西。一些有用的东西。” 欧拉：纯粹数学中的观察事例从历史中吸取力量个案分析：数系的扩充n n在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学內部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
39、n n 课程标准P48n n在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但是要注意的是，必须关注学生的主体参与，师生互动。n n教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与包括思维的参与和行为的参与。既要有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流。n n 课程标准课程标准P110-111P110-111关于讲授法关于讲授法n n推荐使用讲授法！数系的扩充数系的扩充内容分析内容分析n n1 1。数系扩充的历史回顾；。数系扩充的历史回顾；n n学生的经历（学生回忆）学生的经历（学生回忆）n n数学史（教师讲解）数学史（教师讲解）n n发展的动力：內部的和外部的；发
40、展的动力：內部的和外部的；n n扩充的原则；归纳、概括、理性思考扩充的原则；归纳、概括、理性思考n n2 2。复数的建构。复数的建构n n学生新的经历学生新的经历n n适度的参与、认可、接受适度的参与、认可、接受教学中的误区n n在学习本节课的过程中，复数的概念如果在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受。因此要采用学生不易接受。因此要采用“启发探究法启发探究法”教学法，问题贯穿始终，思想贯穿始终，教学法，问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始終探究贯穿始終，让学生积极主动地，让学生积极主动地建构虚建构虚数的概念、
41、复数的概念、复数的分类，复数的概念、复数的概念、复数的分类，复数相等的充要条件等。数相等的充要条件等。n n这种认识符合实际吗？探索能贯穿始终吗？教学中的误区n n一、问题情境一、问题情境一、问题情境一、问题情境n n1 1 1 1。通过数据展现祖国。通过数据展现祖国。通过数据展现祖国。通过数据展现祖国60606060年的辉煌成就，突显数据年的辉煌成就，突显数据年的辉煌成就，突显数据年的辉煌成就，突显数据对于我们生活的重要作用，从而说明研究数的重对于我们生活的重要作用，从而说明研究数的重对于我们生活的重要作用，从而说明研究数的重对于我们生活的重要作用，从而说明研究数的重要意义，要意义，要意义，
42、要意义，n n2 2 2 2。数学游戏。数学游戏。数学游戏。数学游戏n n把把把把 6 6 6 6分成两部分，使两者乘积为分成两部分，使两者乘积为分成两部分，使两者乘积为分成两部分，使两者乘积为8 8 8 8；n n将将将将8 8 8 8分成两部分，使两者乘积为分成两部分，使两者乘积为分成两部分，使两者乘积为分成两部分，使两者乘积为10101010；n n将将将将10101010分成两部分，使两者乘积为分成两部分，使两者乘积为分成两部分，使两者乘积为分成两部分，使两者乘积为40404040n n从而引出实数不够用了，数的概念需要进一步发从而引出实数不够用了，数的概念需要进一步发从而引出实数不够
43、用了，数的概念需要进一步发从而引出实数不够用了，数的概念需要进一步发展，实数需要扩充。展，实数需要扩充。展，实数需要扩充。展，实数需要扩充。n n一、问题情境一、问题情境n n游戏不要说话，默默完成下面的过程：游戏不要说话，默默完成下面的过程：n n想一个数，在这个数上加上想一个数，在这个数上加上1010，乘以，乘以2 2，减，减去去2222，乘以，乘以3 3，除以，除以6 6，加上，加上1010，在告诉我，在告诉我现在的结果，我就可以说出你想的那个数现在的结果，我就可以说出你想的那个数是几是几! !奥妙何在奥妙何在? ?（由此引出方程）（由此引出方程）n n我们来看下面的几个方程问题：我们来
44、看下面的几个方程问题：n nX+1=0X+1=0；2X-1=02X-1=0，X X2 2-2=0-2=0， X X2 2+1=0+1=0教学中的误区教学中的误区思维与历史的契合个案分析个案分析：任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义n n数学学习过程是数学学习过程是“意义赋予意义赋予”和和“文化继承文化继承”的过程，即文化意义上的过程，即文化意义上的再发现的过程。的再发现的过程。n n具体地说，这个过程就是以现代数具体地说，这个过程就是以现代数学文化的眼光学文化的眼光, ,在数学观念、思想、在数学观念、思想、方法和思维模式的指导下方法和思维模式的指导下
45、, ,去完成去完成当年数学家的创造和发现当年数学家的创造和发现, ,去获取去获取当年数学家所获取过的数学思维成当年数学家所获取过的数学思维成果的过程。果的过程。基本思路：推广与构建n n锐角三角函数n n任意角三角函数推广推广n n周期性现象n n任意角三角函数（数学数学模型）模型）建构建构两个初始问题n n1 1。怎样把锐角三角函数推广为任意角三角函数？。怎样把锐角三角函数推广为任意角三角函数？n n2 2。怎样构建周期性变化的数学模型？。怎样构建周期性变化的数学模型？ 思考起点：锐角三角函数思考起点：锐角三角函数圆周运动；圆周运动； 思考方向：不明确思考方向：不明确明确明确 联系：语意性的
46、联系：语意性的实质性的实质性的 类型：结构性类型：结构性应用性应用性 学习方式：接受性学习（概念同化）学习方式：接受性学习（概念同化）发现性学习（概念生成）发现性学习（概念生成） 生成性：不好生成性：不好良好良好 历史性：历史性：“锐角三角函数是研究三角形各种几何锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间关系而发展起来的，任意角三角量之间关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中周期现象而发展起来函数是研究现实中周期现象而发展起来的。它们研究的对象不同，表现的性质的。它们研究的对象不同，表现的性质也不同，我们既不能把任意角的三角函也不同，我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一
47、般数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任化），又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角三角函数在锐角范意角三角函数在锐角三角函数在锐角范围内的围内的限定限定” ” n n历史的足迹n n天文观测与计算天文观测与计算-球面三角学球面三角学（三角术三角术即锐角三角函数）（古希即锐角三角函数）（古希腊亚历山时期）（静态）腊亚历山时期）（静态）n n周期性现象的研究周期性现象的研究-三角函数三角函数（1818世纪、欧拉）（运动）世纪、欧拉）（运动）n n高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例
48、子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史追寻数学发展的历史足迹足迹，把数学的学术形态转化力学生易于接受的教育形态。n n 课程标准课程标准P4P4洞察本质个案分析：三角函数的诱导公式个案分析：三角函数的诱导公式诱导公式的本质诱导公式的本质n n背景：诱导公式是在对三角函数周期性研背景：诱导公式是在对三角函数周期性研究中提出来的；究中提出来的；n n实质；实质；“诱导公式所揭示的是终边有某种诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系。对称关系的两个角三角函数之间的关系。换句话说换句话说，诱导公式实质是将终
49、边对称诱导公式实质是将终边对称的图形关系的图形关系”翻译翻译“成三角函数之间成三角函数之间的代数关系的代数关系”。n n从过程到对象。案例：向量的加法案例：向量的加法（提出问题的问题串）（提出问题的问题串）（提出问题的问题串）（提出问题的问题串）n n问题问题1 1：游船先从景点：游船先从景点O O到景点到景点A A，然后再从景点然后再从景点A A到景点到景点B B，这里的位，这里的位移移OAOA、ABAB、OBOB之间有什么关系呢？之间有什么关系呢？（具体问题）（具体问题）n n问题问题2 2：两根拉索对塔柱的拉力分：两根拉索对塔柱的拉力分别为别为F1F1、F2F2，它们的合力是，它们的合力
50、是F F，那，那么么F1F1、F2F2和和F F之间有什么关系呢？之间有什么关系呢？（具体问题）（具体问题）n n先行组织者：上节课中，我们曾以有向线段、位移、力等几何、物理对象为原型，抽象出向量这个数学模型。研究一个数学对象，就要研究它的运算（提出中心问题）n n你能以位移合成、力的合成等物理运算为原型抽象出新的数学运算吗？（课题性问题）n n问题1（导向性问题）n n问题2 （导向性问题）n n提供背景，提出问题的根据“ + ”是什么意思？ （反思性问题）“和”是什么意思？ （反思性问题）“合位移”是什么意思 （反思性问题） OB的长度等于OA与AB长度的和吗？ 这说明了什么？n n使思考
51、深入下去！n n问题3：上述两个问题（包括解决问题的过程）有何共同点？ （导向性问题）n n问题4；你们是怎样求和（即合位移与合力）的？两种方法有何关系？（导向性问题）（导向性问题）n n问题5 ：对于给定的两个向量，如何确定它们的和呢？ （导向性问题）n n问题6：你们能概括出向量和的定义吗？ n n三、三、三、三、数学模型的研究数学模型的研究数学模型的研究数学模型的研究n n(1)(1)(1)(1)给出先行组织者：给出先行组织者：给出先行组织者：给出先行组织者：n n研究一种运算总要研究它的性质，因为只有掌握了运研究一种运算总要研究它的性质，因为只有掌握了运算性质，才能合理、简捷地进行运算
52、算性质，才能合理、简捷地进行运算n n问题问题10 10 向量的加法具有哪些运算性质？n n为了解决这个问题，我们可以把向量的加法和数的加为了解决这个问题，我们可以把向量的加法和数的加法进行类比：法进行类比：n n数的加法具有哪些性质？向量加法具有相应性质吗？数的加法具有哪些性质？向量加法具有相应性质吗？若有，具体形式是什么？若有，具体形式是什么？n n从而提供了研究框架：从而提供了研究框架：实数的加法实数的加法向量的加法向量的加法性性貭貭美是真的光焰个案分析：余弦定理n n注重联系，提高对数学整体的认识。注重联系，提高对数学整体的认识。n n学的发展既有内在的动力，也有外在学的发展既有内在的
53、动力，也有外在的动力。在高中数学的教学中，要注的动力。在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系。数学联系，数学与日常生活的联系。数学与其学科的联系。与其学科的联系。n n例如，教学中要注重函数、方程、不例如，教学中要注重函数、方程、不等式的联系等式的联系;向量与三角恒等变形、向向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系；量与几何、向量与代数的联系；n n 课程标准课程标准 解三角形中的初始问题n n结构性的切入点结构性的切入点n n 三角形全等的知识三角形全等的知识n n 直角三角形中的边角关系直角三角形中的边角关
54、系n n 三角形的向量表示三角形的向量表示n n应用性的切入点应用性的切入点n n 测量测量n n 计算（解三角形）计算（解三角形）余弦定理中的初始问题n n问题问题1 1 如果小张家离学校5KM，小李家离学校10KM，问小张家与小李家相距几KM？n n问题问题2 2 在问题1中，如果还已知A = ，则可以用正弦定理求得AB。如果已知C = ，又如何求BC呢？n n问题问题3 3 特别地，我们知道当特别地，我们知道当C = 90C = 90时，时，C C2 2 = A = A2 2 + B + B2 2 ; ;可是当可是当n nC = C = 时，时，C C2 2 = = ？个案分析：余弦定理
55、n n指导思想，教材分析；n n初始问题；n n教学设计（一）“ “余弦定理余弦定理” ”教学设计方案（第一稿）（徐州）教学设计方案（第一稿）（徐州）.doc.docn n教学设计（二）“ “余弦定理余弦定理” ”教学设计方案（第二稿）（徐州）教学设计方案（第二稿）（徐州）.doc.docn n教学设计（三）“ “余弦定理余弦定理” ”教学设计方案（第三稿）（徐州）教学设计方案（第三稿）（徐州）.doc.docn n评述怎样设置初始问题？n n要关注知识发生的历史轨迹；要关注知识发生的历史轨迹；n n要更关注提出问题的逻辑依据；要更关注提出问题的逻辑依据；n n要注意从对教材的整体把握，突出核心思要注意从对教材的整体把握，突出核心思想；高屋建瓴，提升问题的格调；想；高屋建瓴，提升问题的格调；n n要注意知识间、方法间的联系；要注意知识间、方法间的联系；n n要更有创意、更具想象力、更简单、给学要更有创意、更具想象力、更简单、给学生提供更大的空间，生提供更大的空间，n n更美！更美！n用数学家的眼光看世界用数学家的眼光看世界n从历史中寻求力量从历史中寻求力量n思维与历史的契合思维与历史的契合n洞察本质洞察本质n美是真的光焰美是真的光焰 谢谢！
