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1、4.2 黄金分割第四章 相似图形西安市第十中学 孙婵婵 一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过， 被被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经根线，想将它分为两段。怎样分才
2、最好呢？经过反复比较，他最后确定过反复比较，他最后确定1 1：0.6180.618的比例截断的比例截断最优美。后来，德国的美学家泽辛把这一比例最优美。后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。这个规律的意思是，较大部称为黄金分割律。这个规律的意思是，较大部分与整体这个比等于较小部分与较大部分之比。分与整体这个比等于较小部分与较大部分之比。无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。最悦目、最美的印象。 查阅查阅 & 欣赏欣赏探索身边的探索身边的“黄金分割
3、黄金分割” 为什么翩翩为什么翩翩起舞的芭蕾舞演起舞的芭蕾舞演员要掂起脚员要掂起脚? ? 为为什么身材苗条的什么身材苗条的时装模特还要穿时装模特还要穿高跟鞋高跟鞋? ?为什么为什么她们会给人感到她们会给人感到和谐、平衡、舒和谐、平衡、舒适、美的感觉适、美的感觉? ?黄金身材比例黄金身材比例黄金黄金分割分割与生活与生活由黄金分割画出的正五角星形由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美。有庄严雄健之美。古巴古巴越南越南土耳其土耳其苏里南苏里南智利智利中国中国 五角星是我们常见的图形五角星是我们常见的图形五角星是我们常见的图形五角星是我们常见的图形A AC CB B在图在图在图在图4 4- - -
4、-4 4中中中中, , 度量点度量点度量点度量点C C到点到点到点到点A,BA,B的距离，的距离，的距离，的距离，图图图图4 4- - - -4 4忽略误差忽略误差忽略误差忽略误差不计不计不计不计 , , 则则则则如图如图, ,点点 C C 把线段把线段 AB AB 分成两条线段分成两条线段 AC AC 和和 BC ,BC ,如果如果ACABACBC=那么称线段那么称线段 AB AB 被点被点 C C 黄金分割黄金分割( (golden sectiongolden section) ), ,点点 C C 叫做叫做线段线段 AB AB 的的黄金分割点黄金分割点, ,AC AC 与与 AB AB
5、的比叫做的比叫做黄金比黄金比. .CAB: 15 1 2 0.618 : 1ACABACBC=ACABACBC=AC2=AB BC 黄 金 分 割” 的 定 义ACB “黄金比黄金比” 是多少是多少 ？ 如图如图如图如图 , ,学了一元二次方程之后，我们可以求出学了一元二次方程之后，我们可以求出学了一元二次方程之后，我们可以求出学了一元二次方程之后，我们可以求出: :B BA AC C如果如果如果如果 , ,那么称那么称那么称那么称 线段线段线段线段ABAB被点被点被点被点C C黄金分割黄金分割黄金分割黄金分割, ,点点点点C C叫做线段叫做线段叫做线段叫做线段ABAB的的的的黄金分割点黄金分
6、割点黄金分割点黄金分割点, ,ACAC与与与与ABAB的比叫做的比叫做的比叫做的比叫做黄金比黄金比黄金比黄金比. . 黄金比黄金比黄金比黄金比0.6180.618 点点点点C C把线段把线段把线段把线段ABAB分成两条线段分成两条线段分成两条线段分成两条线段ACAC和和和和BCBC, , 1.1.线段线段ABAB有没有除点有没有除点C C以以外的黄金分割点呢？外的黄金分割点呢？3.你还发现了什么？你还发现了什么？EACBDFGHPQAB 被点被点 C 黄金分割则黄金分割则一条线段有一条线段有2个黄金分割点个黄金分割点,且关于线段中点对称。且关于线段中点对称。AD=BC2.点点D应满足怎样的条应
7、满足怎样的条件？件？ADB用尺规作图用尺规作图 找出找出 黄金分割点黄金分割点2 2、连接连接连接连接ADAD, , 3 3、在在在在ABAB上截取上截取上截取上截取 AC=AEAC=AE. .如图如图如图如图4 4- - - -6, 6,已知线段已知线段已知线段已知线段AB. AB. 1 1、经过点经过点经过点经过点B B作作作作BDBD ABAB, , 使使使使1 1、如果设如果设如果设如果设ABAB=2, =2, 那么那么那么那么BDBD, ,ADAD, ,ACAC, ,BC BC 分别等于多少分别等于多少分别等于多少分别等于多少? ?心动心动心动心动 不如行动不如行动不如行动不如行动按
8、照如下方法作图按照如下方法作图按照如下方法作图按照如下方法作图: :在在在在ADAD上截取上截取上截取上截取 DE=DBDE=DB ; ;根据上述作图根据上述作图根据上述作图根据上述作图回答下列问题：回答下列问题：回答下列问题：回答下列问题：2 2、点点点点C C是线段是线段是线段是线段ABAB的的的的 黄金分割点吗黄金分割点吗黄金分割点吗黄金分割点吗? ?BDBD= = ；ADAD= = ；ACAC= = ；BCBC= = 。1 1是。是。是。是。因为通过计算得知：因为通过计算得知：因为通过计算得知：因为通过计算得知：ACACAB=BCAB=BCACAC。我们身边的 ”黄金分割” 下面一组矩
9、形中下面一组矩形中, , 你觉得哪一个矩形你觉得哪一个矩形最好看呢最好看呢? ?黄金矩形黄金矩形宽宽 长长 = 0.618.想一想 怎样证明“一个点是黄金分割点” 这是古希腊的巴台农神庙，如果按照这是古希腊的巴台农神庙，如果按照这是古希腊的巴台农神庙，如果按照这是古希腊的巴台农神庙，如果按照它的长和宽画成矩形它的长和宽画成矩形它的长和宽画成矩形它的长和宽画成矩形ABCDABCD，并以矩形，并以矩形，并以矩形，并以矩形ABABCDCD的宽为边在内部作正方形的宽为边在内部作正方形的宽为边在内部作正方形的宽为边在内部作正方形AEFDAEFD，那么，那么，那么，那么我们可以惊奇地发现，我们可以惊奇地发
10、现，我们可以惊奇地发现，我们可以惊奇地发现，点点点点E E是是是是ABAB的的的的黄金分割点黄金分割点黄金分割点黄金分割点吗吗吗吗? ?矩形矩形矩形矩形ABCDABCD的宽与长的比是的宽与长的比是的宽与长的比是的宽与长的比是黄金比黄金比黄金比黄金比吗吗吗吗? ?：“ “E E是是是是ABAB的黄金分割点的黄金分割点的黄金分割点的黄金分割点” ”，A E BA E BD F CD F C因此，点因此，点因此，点因此，点E E E E是是是是ABABABAB的黄金分割点，的黄金分割点，的黄金分割点，的黄金分割点，矩形矩形ABCDABCD的宽与长的比是黄金比的宽与长的比是黄金比推证推证推证推证欲证欲
11、证欲证欲证分析分析分析分析即证：即证：即证：即证：BCBCAEAEAEAEBCBC是黄金比是黄金比是黄金比是黄金比是黄金比。是黄金比。是黄金比。是黄金比。矩形矩形矩形矩形ABCDABCDABCDABCD的宽与长的比是黄金比。的宽与长的比是黄金比。的宽与长的比是黄金比。的宽与长的比是黄金比。P111P111 如图如图如图如图, , 设设设设ABAB是已知线段是已知线段是已知线段是已知线段, , 在在在在ABAB上作正方形上作正方形上作正方形上作正方形ABCDABCD ; ;取取取取ADAD的中点的中点的中点的中点E E, , 连接连接连接连接EBEB; ; 延长延长延长延长DADA至至至至F F
12、, , 使使使使EF=EBEF=EB ; ;以线段以线段以线段以线段AFAF为边作正方形为边作正方形为边作正方形为边作正方形AFGHAFGH . .点点点点HH就是就是就是就是ABAB的黄金分割点的黄金分割点的黄金分割点的黄金分割点 . .AGHFECDB设设设设ABAB=2, =2, 那么那么那么那么AEAE= = ； EBEB= = ；EFEF= = ； AFAF= = 。1 1所以所以所以所以, , AHAH= = ; ; HBHB= = ; ;因此因此因此因此, , 点点点点HH就是就是就是就是ABAB的黄金分割点的黄金分割点的黄金分割点的黄金分割点 . .随堂练习n耐人寻味的0.61
13、8读一读读一读打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬于北纬3030度左右。特别是红茶中的极品度左右。特别是红茶中的极品“祁祁红红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与上。这不免让人联想起许多与北纬北纬3030度度有关有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山、吞长江的中国三大淡九寨沟等等。衔远山、吞长江的中国三大淡水湖也恰好在水湖也恰好在这黄金分割的纬度这黄金分割的纬度上。上。蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比蝴蝶身长与双翅展开后的长度之
14、比, , 普通树普通树叶的宽与长之比也接近叶的宽与长之比也接近0.6180.618; ; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站在舞台的而总是站在舞台的1 13 3处，站在处，站在舞台上侧近于舞台上侧近于0.6180.618的位置才是最佳的位置的位置才是最佳的位置; ; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张正规裁法得到的纸张，不管，不管其大小，如对于其大小，如对于8 8开、开、1616开、开、3232开等，都仍然开等，都仍然是近似的是近似的黄金矩形黄金
15、矩形。数学美的魅力 1古埃及胡夫金字塔古埃及胡夫金字塔古希腊巴特农神庙古希腊巴特农神庙文明古国埃及的金字塔，形似方锥，文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些大小各异。但这些金字塔底面的边金字塔底面的边长与高这比都接近于长与高这比都接近于0.618.0.618.古希腊的一些神庙，在建筑时古希腊的一些神庙，在建筑时高高和宽也是按黄金比和宽也是按黄金比0.6180.618来建立来建立，他们认为这样的长方形看来是较他们认为这样的长方形看来是较美观；其美观；其大理石柱廓，就是根据大理石柱廓，就是根据黄金分割律分割整个神庙的黄金分割律分割整个神庙的. .数学美的魅力 2雕塑断臂女神维纳斯的雕塑断
16、臂女神维纳斯的体型完全与黄金比相符体型完全与黄金比相符, ,即以人的肚脐即以人的肚脐为分界点为分界点, ,上身与下身之比上身与下身之比, ,或者说下身与全身之比约是或者说下身与全身之比约是0.6180.618 这样的身体给人的感觉就是非常的匀称，充满着美感这样的身体给人的感觉就是非常的匀称，充满着美感. . 著名画家达著名画家达 芬奇的芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来，油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割的头和两肩在整幅画面中都处于
17、完美的体现了黄金分割，使得，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美这幅油画看起来是那么的和谐和完美. .悟出一个新自己小结 拓展n什么是黄金分割黄金分割.n如何去确定黄金分割点黄金分割点或黄金比黄金比.n将所学知识网络化网络化.n要用数学美去装点和美化生活美化生活.n与同伴谈谈你对黄金分割的收获与体会.知识的升华知识的升华1 1据有关测定，当气温处于人体正常体温（据有关测定，当气温处于人体正常体温（36 36 37)37)的黄金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使的黄金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合？用空调时室内温度调到什么温度最适合？实际实际应用应用2 2在人体下半身与身高的比例上，越接近在人体下半身与身高的比例上，越接近 0.6180.618， 越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某女士身高舞演员也达不到如此的完美。某女士身高1.681.68米，下米，下半身半身1.021.02米，她应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢米，她应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？360.618=22.3 360.618=22.3 370.618=22.8 370.618=22.8 22.3 22.822.3 22.8结束寄语学无止境没有最好,只有更好下课了!
