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1、第二节第二节 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组的概念齐次线性方程组的概念齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间一、齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组若令若令则则（1）可写成矩阵形式）可写成矩阵形式:则则(1)也可写成向量形式也可写成向量形式:那么齐次线性方程组在什么条件下有那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？是齐次线性方程组的解，称为零解是齐次线性方程组的解，称为零解.显然显然由由(3)式可知式可知:如果方程组如果方程组
2、(2)只有零解只有零解,即等即等式式有非零解有非零解R（A）n齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解只有零解R（A）=n齐次线性方程组齐次线性方程组线性无关线性无关,那么那么R(A)=n。如果方程组如果方程组(2)有非零解有非零解,则向量组则向量组线性相关线性相关,那么那么R(A)n定理定理证明证明 只有系数全为零时成立只有系数全为零时成立从而从而反之亦然。反之亦然。齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下：齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下：（1）若若都是齐次线性方程组都是齐次线性方程组的解，那么的解，那么也是也是的解，这是因为的解，这是因为二、齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间的
3、解的解齐次线性方程组齐次线性方程组（2）若若则对任意实数则对任意实数也是也是的解。（原因是的解。（原因是 若用若用S表示方程组表示方程组(1)的全体解向量所组成的集合的全体解向量所组成的集合则上述两个性质即为：则上述两个性质即为：这说明集合这说明集合S对向量的线性运算封闭，所以对向量的线性运算封闭，所以S构构成成的一个子空间，称其为齐次线性方程组的一个子空间，称其为齐次线性方程组(1)的的解空间解空间。是齐次线性方程组是齐次线性方程组的一组解向量，若它满足下列条件：的一组解向量，若它满足下列条件：（1）线性无关；线性无关；三、齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系定义定义（2）方程组
4、）方程组的任一解向量都可由的任一解向量都可由线性表出线性表出 则称向量组则称向量组是齐次线性方程组是齐次线性方程组的一个的一个基础解系。基础解系。如果如果是齐次线性方程组是齐次线性方程组的一个基础解系的一个基础解系 那么，对任意常数那么，对任意常数也是也是的解，的解，称这种形式的解为称这种形式的解为的的通解通解，解齐次线性方程组的关键即求其基础解系，解齐次线性方程组的关键即求其基础解系，进而求出通解。进而求出通解。注意注意则齐次线性方程组则齐次线性方程组的基础解系含有的基础解系含有n-r个向量。个向量。得行最简形矩阵得行最简形矩阵对方程组对方程组的系数矩阵的系数矩阵A进行初等行变换，进行初等行
5、变换，证明证明 定理定理以以B为系数矩阵的方程组为系数矩阵的方程组称为方程组（称为方程组（*）的）的自由变量，自由变量，由于由于A与与B的行向量组等价，故的行向量组等价，故与（与（*）同解）同解任意给定任意给定一组数值，代入到（一组数值，代入到（*）中都可以求出（中都可以求出（*）的一个解，从而得）的一个解，从而得的一个解。的一个解。现在，现在，令令分别取以下分别取以下n-r组数值组数值代入（代入（*）可求出）可求出的的n-r个解，设为个解，设为因为向量组（因为向量组（*）线性无关，按定理，加长的）线性无关，按定理，加长的向量组（向量组（*）也是线性无关的，这样就得线性方）也是线性无关的，这样
6、就得线性方程组程组(1)的的n-r个线性无关的解。个线性无关的解。下面，我们再证明下面，我们再证明的任一解的任一解都可由都可由线性表出且线性表出且令令则则仍是仍是的解，并且的解，并且它应满足（它应满足（*）的每一个方程，）的每一个方程， 代入（代入（*）解得）解得=0也就是也就是即即是齐次线性方程组是齐次线性方程组由定义，由定义，的基础解系，即证明了当的基础解系，即证明了当R（A）=rn时齐次时齐次线性方程组线性方程组中有中有n-r个自由变量，个自由变量，使基础解系由使基础解系由n-r个解向量组成。个解向量组成。说明说明方程组的方程组的基础解系基础解系不是唯一的不是唯一的方程组的方程组的基础解
7、系基础解系又称为解空间的又称为解空间的基基若若是是的基础解系，的基础解系，则其则其通解通解为为解解对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵例例 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组由由知方程组有非零解且与下面方程组知方程组有非零解且与下面方程组同解同解选选为自由变量，得为自由变量，得令令 解得解得令令解得解得从而得到一个基础解系从而得到一个基础解系方程组的通解为方程组的通解为为任意常数为任意常数其中其中注意：注意：将（将（1）式写成：）式写成：则直接可以写出方程组的通解为：则直接可以写出方程组的通解为：为任意常数为任意常数其中其中例例求解齐次线性方程组求
8、解齐次线性方程组解解对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵得同解方程组得同解方程组选选为自由变量，分别取为自由变量，分别取解得解得故得方程组的一个基础解系为：故得方程组的一个基础解系为：方程组的通解为方程组的通解为即即为任意常数为任意常数其中其中同上例：将系数矩阵化成行最简矩阵同上例：将系数矩阵化成行最简矩阵得同解方程组：得同解方程组：则可得方程的通解：则可得方程的通解：线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法小小结结思思考考题题
