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1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质第一课时第一课时11.4.2正弦余弦函数的性质正弦余弦函数的性质(1)周期性周期性21.每每间间隔隔相相同同的的时时间间就就会会出出现现相相同同的的现现象象称称为为周期现象周期现象周期现象周期现象 2.现实生活中有很多周期现象现实生活中有很多周期现象: 每隔一年，春天就重复一次，因此每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又春去春又回回”是周期现象，一年是它的周期；奥运会每隔是周期现象，一年是它的周期；奥运会每隔四年就重复一次，因此开奥运会为周期现象，四年就重复一次，因此开奥运会为周期现象，4年是它的周期等等。年是它的周期等等。3思考：1
2、。今天是。今天是2013年年11月月25日，星期一，那么日，星期一，那么7天后是星期几？天后是星期几？30天后呢？为什么？这是天后呢？为什么？这是周期现象吗？周期现象吗？2.我们学习的函数具有周期现象吗？如果有，我们学习的函数具有周期现象吗？如果有，我们就说它是周期函数，具有周期性。我们就说它是周期函数，具有周期性。今天我们就来研究正弦函数和余弦函数的周今天我们就来研究正弦函数和余弦函数的周期性期性4一、一、周期函数周期函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x),f(x),如果存在一个非零如果存在一个非零的常数的常数T T，使得当，使得当x x取定义域内的每一个值时，都取定义域内的每一个值
3、时，都有有f(x+f(x+T T)=f(x)=f(x)，那么函数，那么函数f(x)f(x)就叫做就叫做周期函数，周期函数，最小正周期最小正周期 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x),f(x),如果在它所有的周期如果在它所有的周期中存在一个中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个最小的正数就那么这个最小的正数就叫做叫做f(x)f(x)的的最小正周期最小正周期。非零常数非零常数T T叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期说说明明：我我们们现现在在谈谈到到三三角角函函数数周周期期时时，如如果果不加特别说明，一般都是不加特别说明，一般都是指的最小正周期。指的最小正周期。5知识回顾知识回顾. 正弦曲线
4、、余弦函数的图象正弦曲线、余弦函数的图象思考思考1 1：正弦曲线、余弦曲线有周期现象吗：正弦曲线、余弦曲线有周期现象吗？x6yo-12345-2-3-41余弦曲余弦曲线线x6yo-12345-2-3-41正弦曲正弦曲线线6XX+2yx024-2y=sinx(x R)自变量自变量x增加增加2时函数值时函数值不断重复地不断重复地出现的出现的oyx48xoy612二、三角函数的周期性二、三角函数的周期性: :7xyo-2 - 2 3 4 结合图像：在定义域内任取一个 ，由诱导公式可知： 正弦函数正弦函数 正弦函正弦函数数 是周期函数，周期是是周期函数，周期是即8思考思考2：余弦函数是不是周期函数？如
5、：余弦函数是不是周期函数？如果是，周期是多少？果是，周期是多少？性质性质1 1：正弦函数：正弦函数y=sinxy=sinx，余弦函数，余弦函数y=cosxy=cosx都是都是周期函数，且它们的周期为周期函数，且它们的周期为由诱导公式可知：即最小正周期是最小正周期是9例：求下列函数的周期：例：求下列函数的周期：是以是以2为周期的周期函数为周期的周期函数. .(2)是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数. .解解:(1)对任意实数对任意实数 有有 10(3)是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数11你能从上面的解答过程你能从上面的解答过程中归纳一下这些函数的中归纳一下这些函数的周期与解析式中的
6、哪些周期与解析式中的哪些量有关系吗？量有关系吗？ 函数 周期12解：解：13归纳归纳:14P36 练习练习1练习2：求下列函数的周期课堂练习：课堂练习：15当堂检测当堂检测 （1 1）下列函数中，最小正周期是的函数是（ ）（2 2）函数的最小正周期为_。（3 3）已知函数的周期为，则D2616练习题练习题.求下列函数的周期：求下列函数的周期：17(1)周期函数、周期及最小正周期的概念.；课堂小结课堂小结 -本节课所学知识方法：(2)正（余）弦函数的周期.(3)函数函数 y=Asin(x+) 及及y=Acos(x+) （其中（其中A ,为常数，且为常数，且 A0, 0 ）的周）的周期是期是:(4
7、)求周期的方法：定义法、公式法18课外作业：课外作业： P46 习题习题1.A组组 第第3题题 191.4.2正弦函数、余弦函数的性质第二课时201.4.2正弦余弦函数的性质正弦余弦函数的性质(2)奇偶性、对称性21复习回顾复习回顾1.周期函数的意义: 若若f(x+T)=f(x)，则，则f(x)就是就是周期函数，周期函数，周期函数，周期函数，T就是它就是它的的周期。周期。周期。周期。2.3.什么是偶函数？偶函数的图像有何特点？什么是奇函数？奇函数的图像有何特点？22正弦函数的图象正弦函数的图象探究探究余弦函数的图象余弦函数的图象问题：它们的图象有何问题：它们的图象有何对称性对称性？一一. .奇
8、偶性奇偶性23为为奇奇函数函数为为偶偶函数函数24正弦函数的图象正弦函数的图象对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：二、对称性二、对称性25余弦函数的图象余弦函数的图象对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：26例题解析例题解析例例1.函数函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（ ）解：经验证，当解：经验证，当时时为对称轴为对称轴27例例2.求函数求函数 的对称轴和对称中心的对称轴和对称中心解解（1）令）令则则的对称轴为的对称轴为解得：对称轴为解得：对称轴为的对称中心为的对称中心为对称中心为对称中心为28解解（1）令）令则则的对称轴为的对称轴为解得：对称轴为解得：对称轴为的对称中心为的对称中心为对称
9、中心为对称中心为练习：练习：求函数求函数 的对称轴和对称中心的对称轴和对称中心我练我掌握我练我掌握291.正弦函数正弦函数（1）对称轴：对称轴：（2）对称中心：对称中心：课堂小结：课堂小结：（3）奇函数奇函数2.余弦函数余弦函数（1）对称轴：对称轴：（2）对称中心：对称中心：（3）偶函数偶函数30作业求下列函数的对称轴、对称中心：（1）（2）311.4.2正弦函数、余弦函数的性质第三课时321.4.2正弦函数余弦函数的性质正弦函数余弦函数的性质（3）单调性、最值单调性、最值33复习：正弦函数对称性复习：正弦函数对称性对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：34复习：余弦函数对称性复习：余弦函数对称
10、性对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：351、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是增增函数函数.复习：函数的单调性复习：函数的单调性函数函数若在指定区间任取若在指定区间任取 ， 且且 ，都有：，都有：函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是减减函数函数.增函数：上升增函数：上升减函数：下降减函数：下降36探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性当当 在区间在区间上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值
11、由 增大到增大到 。当当 在区间在区间上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。37归纳：正弦函数的单调性归纳：正弦函数的单调性正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间都是增函数，其值从都是增函数，其值从1增大到增大到1；而在每个闭区间而在每个闭区间上都是上都是减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1。38探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性当当 在区间在区间上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。曲线逐渐下降，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。当当 在区间在区间上时，上时，39归纳：余弦函数
12、的单调性归纳：余弦函数的单调性由余弦函数的周期性知：由余弦函数的周期性知：其值从其值从1减小到减小到1。在每个闭区间在每个闭区间上都是减函数，上都是减函数，其值从其值从1增大到增大到1 ；在每个闭区间在每个闭区间都是都是增函数增函数，40探究：正弦函数的最大值和最小值探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：当当 时，时， 有最大值有最大值最小值：最小值：当当 时，时， 有最小值有最小值零点：零点：41探究：余弦函数的最大值和最小值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：当当 时，时， 有最大值有最大值最小值：最小值：当当 时，时， 有最小值有最小值零点：零点：42例例1. 写出写出
13、下列函数下列函数取最大、最小值时的自变量取最大、最小值时的自变量x的集合，并写出的集合，并写出最大、最小值分别是什么最大、最小值分别是什么.解：解：（1）使函数）使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合，的集合，就是使函数就是使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合函数函数 的最大值是的最大值是1+1=2，最小值是，最小值是-1+1=0.单调性的应用单调性的应用 ： 一、求最值一、求最值43例例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小下列函数有最大、最小值
14、吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：解：（2）令）令t=2x,因为使函数因为使函数 取最大值的取最大值的t的集合是的集合是所以使函数所以使函数 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是同理，使函数同理，使函数 取最小值的取最小值的x的集合是的集合是函数函数 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值是-3。44练习练习1：求使下列函数取得最大值、最小值的自变量：求使下列函数取得最大值、最小值的自变量X的集合，并写出最大值、最小值各是多少？的集合，并写出最大值、最小值各是多少？（1）(2)解：(1) 函
15、数函数 取得最大值的自取得最大值的自变量变量X的集合是的集合是 使函数函数 取得最小值的自变量取得最小值的自变量X的集合是的集合是 函数函数 的最大值是的最大值是2 函数函数 的最小值是的最小值是2(2)使函数函数 取得最大值的自变量取得最大值的自变量X的集合是的集合是 使函数函数 取得最小值的自变量取得最小值的自变量X的集合是的集合是函数函数 的最大值是的最大值是3函数函数 的最小值是的最小值是145练习2：观察正弦曲线、余弦曲线，写出满足下列条件的区间46练习3：观察函数 的图像，完成课本40页4题选B47分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑自变量是否在同一单调
16、区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单调区间后再作判断。例例2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：解：二、比较大小二、比较大小还有其他方法来比较吗？还有其他方法来比较吗？作单位圆用三角函数线作单位圆用三角函数线48练习：课本41页第5题：（1）、（2）、（3）、（4）49.3,352 ,2),321sin(, 0,.1251212434352,2 ,2,43435223212222,22sin,321ppppppppppppppppppppppppppp-+=-+-+-+-+-=+=的单调递增区间是的单调递增区间是即函数即函数所以所以由于由于于是于是且且可知可知由由得得由由的单调递增区间是的单调递增区间是函数函数解：令解：令xxykZkkkkxZkkxkkxkkkzyxz5051
