优选欧氏几何的公理化方法A课件

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1、xn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn + yn = znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=znxn+yn=zn优选欧氏几何的公理化方法A 欧氏几何的欧氏几何的公理化方法公理化方法 一、公理化思想方法的内涵与价值一、公理化思想方法的内涵与价值二、直观公理化时期二、直观公理化时期几何原本几何原本三、思辨性的公理化时期三、思辨性的公理化时期非欧几何非欧几何四四、形形式式主主义义的的公公理理化化时时期期希希尔尔伯伯特特的的几何

2、基础几何基础五五、结结构构主主义义的的公公理理化化时时期期布布尔尔巴巴基基的的数学原本数学原本六、张景中公理几何体系六、张景中公理几何体系五、中学数学教材中的公理系统五、中学数学教材中的公理系统 一、公理化思想方法的内涵与价值一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是什么是“公理公理”？ 公公理理 ：在在一一个个系系统统中中已已为为反反复复的的实实践践所所证证实实而而被被 认认为为不不需需要要证证明明的的真真理理，是是可以作为证明中的理论依据。可以作为证明中的理论依据。 什么是什么是“公理化方法公理化方法”？ 公公理理化化方方法法：从从某某些些基基本本概概念念和和基基本本命命题题出出发发，依依据据

3、特特定定的的演演绎绎规规则则，推推导导是是系系列列定定理理，从从而而构构成成一一个个演演绎绎系系统统的方法。的方法。公理的自明性公理的自明性 公理化体系所依赖的公理化体系所依赖的“演绎推理演绎推理”规则规则 公理化方法的目标：形成一个演绎的科公理化方法的目标：形成一个演绎的科学体系学体系 公理的选取必须符合：公理的选取必须符合：相容性相容性独立性独立性完备性完备性公理化思想方法的作用公理化思想方法的作用 (1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性公理化方法有利于比较各门数学的实质性 异同。异同。 (3)数学公理

4、化方法在科学方法上有示范作用。数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性 和结构和谐性确实符合数学美的要求。和结构和谐性确实符合数学美的要求。公理化方法的发展经历了以下几个时期公理化方法的发展经历了以下几个时期1、直观公理化时期、直观公理化时期2、思辨性的公理化时期、思辨性的公理化时期3、形式主义的公理化时期、形式主义的公理化时期4、结构主义的公理化时期、结构主义的公理化时期二、直观公理化时期二、直观公理化时期几何原本几何原本 几何原本几何原本 公元前公元前3世纪，世纪， 1607年年 前前6卷译成中文卷译成中文

5、“ 此此书书有有四四不不必必：不不必必疑疑，不不必必揣揣，不不必必试试，不不必必改改。有有四四不不得得：欲欲脱脱之之不不可可得得，欲欲驳驳之之不不可可得得，欲欲减减之之不不可可得得，欲欲前前后后更更之之不不可可得得。有有三三至至三三能能：似似至至晦晦实实至至明明，故故能能以以其其明明明明他他人人之之至至晦晦；似似至至繁繁实实至至简简，故故能能以以其其简简简简他他人人之之繁繁；似似至至难难实实至至易易，故故能能以以其其易易易易他他人人之之难难。易易生生于于简简，简简生生于于明明，综综其其妙妙在在明明而已而已”徐光启徐光启 几何原本几何原本的主要内容的主要内容 共共13卷卷 第一卷：提出第一卷：提

6、出23个定义、个定义、5条公设、条公设、 5条公理、条公理、 48个命题个命题 第第一一卷卷从从定定义义、公公设设、公公理理开开始始，接接着着用用 48个个命命题题讨讨论论了了关关于于直直线线和和由由直直线构成的平面图形。线构成的平面图形。1）点是无大小的；）点是无大小的；2）线是有长度而无宽度的；）线是有长度而无宽度的；3）线的界线是点；）线的界线是点； 4）直直线线是是这这样样的的线线，它它对对于于它它的的任任何何点点来来说说都都是是同同样样放置着的；放置着的；5）面只有长度和宽度；）面只有长度和宽度；6）面的界线是线；）面的界线是线；7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的；）平

7、面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的；8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度； 公设公设.从任意点到另一点可以作直线从任意点到另一点可以作直线. 一条直线可以无限延长一条直线可以无限延长.以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周 IV.凡直角都相等凡直角都相等V. 平平面面上上两两直直线线被被一一直直线线所所截截，若若截截线线一一侧侧的的两两内内角角之之和和小小于于两两直直角角，则则此此两两直直线线必必相相交交于于截截线的这一侧。线的这一侧。公理公理.等于同一量的量彼此相等；等于同一量的量彼此相等；.等量加等量

8、，其和仍相等；等量加等量，其和仍相等；.等量减等量，其差仍相等；等量减等量，其差仍相等；IV.互相合同的就是相等的；互相合同的就是相等的； V. 全量大于部分。全量大于部分。 欧欧几几里里得得证证明明方方法法思思路路清清晰晰，整整个个证证明明建建立立在在严严密密的的公公理理化化基基础础上上，使使几几何何学学成成 为为了真正的科学了真正的科学 几何原本几何原本中的命题有两种类型中的命题有两种类型 一一种种是是根根据据假假设设、公公设设、公公理理和和定定义义利利用逻辑推理得出结论用逻辑推理得出结论 另另一一类类是是作作图图题题，由由已已知知的的对对象象找找出出或或作出所求对象。作出所求对象。 第二

9、卷：第二卷：14个命题个命题 包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。 第三卷：第三卷：37个命题个命题 包包含含圆圆心心角角、圆圆周周角角、切切线线、割割线线的的理理论论及圆幂定理等。及圆幂定理等。 命题命题16 在在圆圆的的直直径径的的端端点点所所作作直直径径的的垂垂线线必必在在圆圆外外，不不能能有有其其它它的的直直线线插插在在这这垂垂线线与与圆圆之之间间，而而且且半半圆圆的的角角大大于于锐锐角角，其其余余的的角角小小于于任任意意锐锐角。角。 第四卷：第四卷：16个命题个命题 包包含含圆圆的的内内接接和和外外多多边边形形的的性性质质及及正正5、6边形的作

10、图等。边形的作图等。 第五卷：第五卷：25个命题个命题 内容为欧道克斯的比例论内容为欧道克斯的比例论 欧道克斯的比例论欧道克斯的比例论 18个定义。个定义。 如如 定定义义 1）小小的的量量能能量量尽尽大大的的量量时时，小小的的量量为为大的量的部分。大的量的部分。 2）大大的的量量能能被被小小的的量量尽尽时时，大大的的量量为为小小的的量的倍数。量的倍数。 3）比是两个同类量的大小之间的一种关系。）比是两个同类量的大小之间的一种关系。 4）可可比比的的两两个个量量，如如果果一一个个量量的的倍倍数数大大于于另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了比。另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了比。 5

11、）四四个个量量形形成成第第一一个个量量与与第第二二个个量量之之比比以以及及第第三三个个量量与与第第四四个个量量之之比比，我我们们说说这这两两个个比比是是相相同同的的：如如果果取取第第一一、第第三三两两个个量量的的任任何何相相同同的的倍倍数数，取取第第二二、第第四四两两个个量量的的任任何何相相同同的的倍倍数数后后，从从头头两两个个量量的的倍倍数数之之间间大大于于、等等于于、或或小小于于可可以以推推出出后后两两个个量量的的倍倍数数之之间间的的相相应应关关系。系。 第七九卷：数论初步第七九卷：数论初步 第第十十卷卷：讨讨论论不不可可公公度度量量的的分分类类，包包括与整数的开方有关的几何运算。括与整数

12、的开方有关的几何运算。 第第十十一一十十三三卷卷：立立体体几几何何，分分别别由由40、18、19个个命命题题组组成成。包包含含直直线线与与平平面面的的位位置置关关系系、多多面面角角、棱棱柱柱体体、相相似似体体积积之比及正多面体等之比及正多面体等三、思辨性的公理化时期三、思辨性的公理化时期非欧几何非欧几何 原本原本的成就：的成就： 集集古古代代数数学学之之大大成成，论论证证严严密密，影影响响深深远远，是是2000千千年年来来公公认认的的第第一一部部科科学学巨巨著著。其其中中作作了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。 原本原本的不足：的不足： 原本原本的逻辑体系是

13、不严密、不完备的的逻辑体系是不严密、不完备的 1、缺少连续公理、缺少连续公理 2、缺少合同公理、缺少合同公理 3、缺少顺序公理、缺少顺序公理 原本原本对一些基本元素（原始概念），如点、对一些基本元素（原始概念），如点、线、面等进行定义，这是不可能的。线、面等进行定义，这是不可能的。 原原本本中中的的公公理理体体系系作作为为几几何何学学的的逻逻辑辑推推理理基基础础是是不不够够严严密密的的，应应该该怎怎样样修修改改、补补充充分分理理、定定义义才才能能使使几几何何学学成成 为逻辑上完美无缺的科学？为逻辑上完美无缺的科学？ 两方面的研究两方面的研究一方面增加或改换公理一方面增加或改换公理另一方面是试证

14、第五公设另一方面是试证第五公设第第V公设的试证公设的试证 萨开里四边形萨开里四边形 如图四边形如图四边形ABCD中中 A、 B均为直角，均为直角，ADBC。AB、CD分别叫它的上底边和下底分别叫它的上底边和下底边，边， A 、 B叫下底角，叫下底角， C 、 D叫上叫上底角。底角。ABCDMN 有有1） C D 2）上底边中点和下底边中点连线）上底边中点和下底边中点连线垂直于上下底边。垂直于上下底边。ABCDMN 萨开里作了如下三个互不相容的假设。萨开里作了如下三个互不相容的假设。 1、上底角是直角、上底角是直角 2、上底角大于直角、上底角大于直角 3、上底角小于直角、上底角小于直角 伦培得四

15、边形伦培得四边形 如图四边形如图四边形ABCD中中 A、 B、 C均为直角。均为直角。ABCD 也作了三个互不相容的假设。也作了三个互不相容的假设。 1、 D是直角是直角 2、D大于直角大于直角 3、D小于直角小于直角 勒让德则研究三角形的内角之和勒让德则研究三角形的内角之和 否定了三角形内角和大于二直角，否定了三角形内角和大于二直角， 由三角形内角和等于二直角证明由三角形内角和等于二直角证明了第了第V公公设设成立，成立， 但也没能但也没能够证够证明三内角和小于二明三内角和小于二直角的直角的三角形不存在。三角形不存在。 高斯高斯 波尔约波尔约 罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基I IC CD DB BA

16、 AE E 平平行行公公理理：有有这这样样的的直直线线a和和不不在在其其上上一一点点A，过过A至至少少两两条条直直线线与与a共共面面不不相相交。交。A Aa aC CD DE EA AB B 四、形式主义公理化时期四、形式主义公理化时期 希尔伯特的希尔伯特的几何基础几何基础 希希尔尔伯伯特特的的公公理理系系统统，放放弃弃了了欧欧氏氏体体系系中中公公理理的的直直观观显显然然性性，把把初初等等几几何何中中有有关关基基本本概概念念的的根根本本关关系系和和性性质质抽抽取取出出来来作作为为公公理理，给给出出了了一一个个自自然然、简简明明、全面而又严密的几何公理系统。全面而又严密的几何公理系统。 与与欧欧

17、氏氏公公理理系系统统不不同同的的是是，他他对对公公理理体体系系中中基基本本概概念念和和公公理理不不给给予予任任何何具具体体的的称称为为点、线、面。点、线、面。 在在这这三三个个集集合合中中，引引进进用用“结结合合”、“顺顺 序序”、“合合同同”、“连连续续”、“平平行行”等等词词表表示示的的五五种种关关系系，而而关关系系的的性性质质用用相相应应的五组公理来刻画。的五组公理来刻画。 希尔伯特的公理体系希尔伯特的公理体系 基本概念基本概念：基本元素和基本关系：基本元素和基本关系 基基本本公公理理：关关联联公公理理、顺顺序序公公理理、合合同同公公理理、连续公理、平行公理连续公理、平行公理基本元素：点

18、、直线、平面基本元素：点、直线、平面基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系 绝对几何绝对几何：以上公理体系去掉平行公理：以上公理体系去掉平行公理 绝对几何加上欧氏平行公理构成欧氏几何绝对几何加上欧氏平行公理构成欧氏几何 绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何 结合公理结合公理 1 1 对对于于两两个个不不同同的的点点, ,恒恒有有一一直直线线结结合合其其中中的每个点；的每个点； 2 2 对对于于两两个个不不同同的的点点，至至多多有有一一直直线线结结合合其其中的每个点；中的每个点； 3.1 3.1 每直线上至少有两个点；每直

19、线上至少有两个点； 3.2 3.2 至少有三点不在同一直线上；至少有三点不在同一直线上； 4.1 4.1 对对于于不不在在同同一一直直线线上上的的三三点点，恒恒有有一一平平面通过它们中的每个点；面通过它们中的每个点； 希尔伯特几何公理体系希尔伯特几何公理体系 结合公理结合公理 4.24.2 每个平面上至少有一个点；每个平面上至少有一个点； 5 5 对对于于不不在在同同一一直直线线上上的的三三点点，至至多多有有一一平平面面通过它们中的每个点；通过它们中的每个点； 6 6 如如果果直直a a上上的的两两个个点点在在平平面面上上，则则a a上的每个点在上的每个点在上；上； 7 7 如如果果两两个个平

20、平面面有有一一个个公公共共点点，则则至至少少有另一个公共点；有另一个公共点； 8 8 至少有四个点不在同一平面上。至少有四个点不在同一平面上。 建立在结合建立在结合公理上的结论公理上的结论 定定理理1 1 （1 1）两两直直线线至至多多有有一一个个公公共共点点；（2 2）一一个个平平面面和和不不在在其其上上的的一一直直线线有有一一个公共点；个公共点； （3 3）两两个个平平面面或或者者既既无无公公共共点点又又无无公公共共线线，或或者者有有一一条条公公共共直直线线，它它们们的的所所有有点都在这条直线上。点都在这条直线上。 定定理理2 过过不不共共线线三三点点恰恰有有一一平平面面；过过一一直直线线

21、及及不不在在其其上上的的一一点点恰恰有有一一平平面面；过过有有公公共共点的两直线点的两直线恰有一平面。恰有一平面。 定定理理3 3 每每个个平平面面上上至至少少有有三三个个不不在在同同一一直直线上的点。线上的点。 结合公理结合公理 保证了：保证了： 直线、平面的存在性；直线、平面的存在性； 空间是三维的。空间是三维的。 至少有四个点、六条直线、四个平面。至少有四个点、六条直线、四个平面。 顺序公理顺序公理 1 1 若若点点B B在在点点A A与与点点C C之之间间，则则A A、B B、C C是是一一条条直线上的三个不同的点，且点直线上的三个不同的点，且点B B也在也在C C与与A A之间。之间

22、。 2 2 对对于于任任意意两两点点A A和和B B，直直线线ABAB上上至至少少有有一一点点C C，使得，使得B B在在A A和和C C之间。之间。 3 3在在一一直直线线上上任任意意三三点点里里，至至多多有有一一点点在在其其余两点之间。余两点之间。 顺序公理顺序公理 定义定义2 2 直线上无序两点直线上无序两点A A、B B间的集合叫线段。间的集合叫线段。 A A、B B之间所有点的的集合叫开线段。记（之间所有点的的集合叫开线段。记（ABAB） 定定义义3 3 不不共共线线的的点点A A、B B、C C和和三三开开线线段段（ABAB）、（BCBC）、（）、（ACAC）的集合称为三角形。）的

23、集合称为三角形。 4 4 设设A A、B B、C C不不在在同同一一直直线线上上，直直线线a a在在平平面面ABCABC上上 但但 不不 过过 A A、 B B、 C C中中 任任 意意 一一 点点 ， 若若 a a过过（ABAB），则它必过（），则它必过（ACAC）的点或（）的点或（BCBC）的点。）的点。 1 1）公公理理1 13 3是是直直线线上上的的点点的的顺顺序公理，序公理， 4 4是平面顺序公理；是平面顺序公理； 2）2 2保证线段外部有点，保证线段外部有点，3 3断言断言共线三点至多有一点在其余两点之间；共线三点至多有一点在其余两点之间； 线段内部有点，共线三点是必存在线段内部有

24、点，共线三点是必存在一点在其余两点之间的都要途径到巴士一点在其余两点之间的都要途径到巴士公理公理4 4 。 定理定理1 对于任意两点对于任意两点A、C ，直线，直线AC上至少有一点上至少有一点F在在 A、C之间。之间。 顺序公理及重要结论顺序公理及重要结论 定理定理2 在一直线上的三点中，必有且只有在一直线上的三点中，必有且只有一点在其余两点之间。一点在其余两点之间。 定理定理3 直线直线a与与ABC共面而不过其顶点，共面而不过其顶点，若若a交其一边，则必交其另一边，但不得再交第交其一边，则必交其另一边，但不得再交第三边。三边。 证明）证明） 由由3.2 知直线知直线AC外有点外有点B，由，由

25、1 、2 和和2知直线知直线CB上有点上有点P，且，且B在在P和和C之间，同之间，同理直线理直线A P外有点外有点Q，使，使P在在A和和Q之间。由之间。由4直直线线QB在平面在平面APC上，但不过上，但不过A、P、C中任意一中任意一点，且点，且QB过（过（PC），则它必过（），则它必过（AC）的点或）的点或（AP）的点。若）的点。若QB过（过（AP）的点，由）的点，由1 、2知知Q在在A和和P之间，与使之间，与使P在在A和和Q之间矛盾之间矛盾（3）。所以）。所以QB必过（必过（AC）的点）的点F。即直线。即直线AC上至少有一点上至少有一点F在在 A、C之间。之间。 定理定理4 线段线段AB内部

26、的点有无穷多个，线段内部的点有无穷多个，线段AB外部的点有无穷多个。外部的点有无穷多个。 定理定理5 直线直线a上任意一点上任意一点O,把把a上所有点分上所有点分成两类，使得点成两类，使得点O在异类两点之间，而不在同在异类两点之间，而不在同类两点之间。类两点之间。 顺序公理及重要结论顺序公理及重要结论 定理定理6 平面平面a上任意直线上任意直线a，把平面，把平面a上不属上不属于于a的所有点分成两类，在直线的所有点分成两类，在直线a的同侧任意两的同侧任意两点属于同一类，在直线点属于同一类，在直线a的异侧任意两点属于不的异侧任意两点属于不同类。同类。 在顺序公理基础上在顺序公理基础上 对直线上的点

27、的顺序做出了规定，对平面和空对直线上的点的顺序做出了规定，对平面和空间也做了相应的划分。间也做了相应的划分。 如，任意一个平面如，任意一个平面a把空间内不在把空间内不在a上的所有上的所有点分成两类，属于不同类的两点连成的线段点分成两类，属于不同类的两点连成的线段一定与一定与a有交点，而属于同一类的两点连成的有交点，而属于同一类的两点连成的线段与线段与a无交点。无交点。 还给出折线，多边形，多边形的内部、外部等还给出折线，多边形，多边形的内部、外部等概念。概念。 合同公理合同公理 1 1 设设A A、B B是是直直线线a a上上两两点点，AA是是同同一一直直线线或或另另一一直直线线aa上上一一点

28、点，则则在在aa上上AA的的已已知知一一侧侧恒恒有一点有一点BB，使线段，使线段ABAB合同于合同于ABAB。 2 2 若若两两线线段段都都合合同同于于第第三三线线段段，则则这这两两线线段段也合同。也合同。 3 3 开开线线段段（ABAB）、(BC(BC）均均在在直直线线a a上上而而无无公公共共点点，开开线线段段（ABAB）、(BC(BC）均均在在同同一一直直线或另一直线线或另一直线aa上，也无公共点，上，也无公共点， 若若ABAB ABAB， BCBC BCBC则则ACAC ACAC 合同公理合同公理 4.1 4.1 已已知知平平面面上上的的一一角角（k,h），平平面面 的的一一直直线线a

29、a的的一一侧侧，以以及及aa上上以以点点OO为为原原点的一条射线点的一条射线hh，则，则aa上恰有一射线上恰有一射线kk， 使使（k,h）合合同同于于（k,h） ，且且kk在在aa的的已知一侧。已知一侧。 4.2 4.2 （k,h）（h, k）。 5 5 对于两个三角形对于两个三角形ABCABC和和ABCABC。 若若ABAB ABAB， ACAC ACAC，BAC BAC 则则ABCBCABCABC合同公理及重要结论合同公理及重要结论 定理定理1 线段移法的唯一性。线段移法的唯一性。 定理定理2 （减线定理）设点（减线定理）设点B在点在点A、C之间，点之间，点B 、C在直线在直线A B上上A

30、 的同侧，的同侧，且且AB AB， AC AC则设点则设点B在点在点A、C之间且之间且BC BC 三角形全等的判定定理。三角形全等的判定定理。 （1）边角边；）边角边； （2）角边角；）角边角； （3）边边边）边边边合同公理及重要结论合同公理及重要结论 定理：（角的可加、减性定理）设定理：（角的可加、减性定理）设h、l、k和和h、l、k分别是从分别是从O和和O点出发点出发的三条射线，每一组的三条射线都在同的三条射线，每一组的三条射线都在同一个平面上，并且一个平面上，并且h、l、k中有一条在其中有一条在其它两条之间时，射线它两条之间时，射线h、l、k中也对应中也对应有同样的关系。有同样的关系。若

31、若( h,l) (h,l ), (l,k) (l, k),则则 ( h,k) (h,k ).合同公理及重要结论合同公理及重要结论 定理：三角形的每一个外角都大于其任意定理：三角形的每一个外角都大于其任意一个不相邻的内角。一个不相邻的内角。 证明：设证明：设CAD是是ABC的一个外角，的一个外角， 下证下证CAD ACB ，CAD ABC 。ABDCE 假假设设CAD ACB ，在直线，在直线AB上取点上取点D，使，使ADBC，且，且A在在B、D之间。之间。 设设E为直线为直线BC上的一点，上的一点， 且且C在在B、E之间，之间， 有有ACE CAB， 由公理知由公理知ACD CAB。ABDCE

32、 假设假设CADCD，ABCD.合同公理及重要结论合同公理及重要结论 定理定理: 三角形合同的角角边定理三角形合同的角角边定理. 定理定理: 三角形中较大的边所对角较大三角形中较大的边所对角较大,反之反之亦然亦然. 定理定理:每条线段有且只有一个中点每条线段有且只有一个中点; 每个角有且只有一条角平分线每个角有且只有一条角平分线. 定理定理:在一平面上在一平面上,通过已知点通过已知点A可作直线可作直线a的一条且只有一条垂线的一条且只有一条垂线. 任何三角形至少有两个锐角任何三角形至少有两个锐角; 垂线短于斜线垂线短于斜线; 等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一. 连续公理连续公理 VV1 1

33、设设ABAB和和CDCD是是任任意意的的两两条条线线段段，则则在在ABAB上上存存在在有有限限多多个个点点A A1 1、A A2 2、A An n，使使得得A A1 1在在A A和和A A2 2 之之间间， A A2 2在在A A1 1和和A A3 3之之间间，A An-1n-1在在A An-2n-2和和B B之之间间， B B在在A An-1n-1在在A An n和和B B之之间间，并并且且线线段段A A1 1A A2 2 A A2 2A A3 3 A An-1n-1 A An n都合同于线段都合同于线段CD。 VV2 2 直直线线上上所所成成的的点点集集，连连同同其其顺顺序序关关系系和和合

34、合同同关关系系，不不能能再再行行扩扩充充，使使得得扩扩充充后后，仍仍满满足足公理公理、和和VV1 1 。 连续公理连续公理 VV2 2 设设任任意意直直线线a a上上有有一一个个由由线线段段A A1 1B B1 1 ，A A2 2B B2 2 ，所所组组成成的的无无穷穷序序列列，其其中中后后面面的的每每一一个个线线段段都都落落在在前前一一个个线线段段内内部部；又又设设对对于于预预先先给给定定的的线线段段都都可可以以找找到到自自然然数数n n使使得得线线段段A An nB Bn n，那那么么在直线在直线a a上存在着一个点上存在着一个点P P落在年有线段内部。落在年有线段内部。 戴德金分割戴德金

35、分割 设设线线段段ABAB及及其其内内部部的的所所有有点点能能被被分分成成两两类类，且且具具有下列性质。有下列性质。 （1）每每点点恰恰属属于于一一类类，A属属于于第第一一类类，B属属于于第第二二类；类； （2）第第一一类类中中异异于于A的的每每个个点点，在在A和和第第二二类类点点之之间间。 则则必必存存在在一一点点C C，使使A A、C C间间的的点点都都属属于于第第一一类类，而而C C、B B间间的的点点都都属属于于第第二二类类，点点C C称称为为戴戴德德金金分分割割点点或或界界点。点。 角的戴德金分割角的戴德金分割 如如果果把把（a,b)内内部部的的过过顶顶点点O的的所所有有射射线线分分

36、成成两两类类，使得使得 （1）每条射线属于一类，且只属一类，并且每类不空；）每条射线属于一类，且只属一类，并且每类不空； （2）第一类的每条射线都第二类射线的前面）第一类的每条射线都第二类射线的前面。 则则或或者者在在第第一一类类存存着着一一条条射射线线，使使第第一一类类的的其其它它每每条条射射线线都都在在它它前前面面，或或者者在在第第二二类类存存着着一一条条射射线线，它它在在第第二类所有射线的前面。二类所有射线的前面。连续公理及重要结论连续公理及重要结论 定理：如果选定了长度单位以后，每条线段定理：如果选定了长度单位以后，每条线段有唯一的长度。有唯一的长度。 定理：对于任意给定的正实数定理：

37、对于任意给定的正实数a，在给定单位，在给定单位长度后，存在一线段，它的长度等于长度后，存在一线段，它的长度等于a。 定理：取定一角度单位，每个角必有且只有定理：取定一角度单位，每个角必有且只有一个角度。一个角度。 定理：通过圆内部一点的直线一定和圆相交定理：通过圆内部一点的直线一定和圆相交于两点。于两点。 定理：若一个圆通过另一个圆内部一点和外定理：若一个圆通过另一个圆内部一点和外部一点，则两圆恰的两个交点。部一点，则两圆恰的两个交点。连续公理及重要结论连续公理及重要结论 在绝对几何中可以建立坐标系，但不是在绝对几何中可以建立坐标系，但不是我们习惯的直角坐标系。我们习惯的直角坐标系。 绝对几何

38、是罗氏几何与欧氏几何的部分。绝对几何是罗氏几何与欧氏几何的部分。 平行公理平行公理 欧氏平行公理：对于任何直线欧氏平行公理：对于任何直线a和不在其上和不在其上的任何点的任何点A，至多有一直线过，至多有一直线过A且与且与 a共面而不共面而不和和a相交。相交。 平行公理的等价命题平行公理的等价命题 1.共面不交的两直线被第三直线所截成的同位角相等。共面不交的两直线被第三直线所截成的同位角相等。 2.欧氏行五公设。欧氏行五公设。 3.在一平面上，一直线的垂线和斜线必相交。在一平面上，一直线的垂线和斜线必相交。 4.过不共线的三点恒有一圆。过不共线的三点恒有一圆。 5.三角形的三条高线共点。三角形的三

39、条高线共点。 6.过任何角内一点，必可引直线和这个角的两边都相过任何角内一点，必可引直线和这个角的两边都相交。交。 7.任意三角形的内角和等于任意三角形的内角和等于1800。 8.有两个三角形其对应角合同而本身不合同有两个三角形其对应角合同而本身不合同 9.锐角一边上的垂线必与另一边相交。锐角一边上的垂线必与另一边相交。 五、五、 结构主义的公理化时期结构主义的公理化时期 布尔巴基的布尔巴基的数学原本数学原本。 19世纪末世纪末20世纪初世纪初希尔伯特建立了严密的几何公理希尔伯特建立了严密的几何公理皮亚诺建立了自然数公理皮亚诺建立了自然数公理戴德金建立了实数公理戴德金建立了实数公理策梅洛和弗伦

40、克尔创立了集合公理策梅洛和弗伦克尔创立了集合公理豪斯多夫提出了拓扑空间的公理公定义豪斯多夫提出了拓扑空间的公理公定义勒贝格提出了可列可加的测度公理勒贝格提出了可列可加的测度公理柯尔莫哥洛夫创建了概率的公理化定义柯尔莫哥洛夫创建了概率的公理化定义 布尔巴基学派布尔巴基学派 从最一般的集合论公理开始，然后在从最一般的集合论公理开始，然后在各种集合上添加各种结构（主要是代数结各种集合上添加各种结构（主要是代数结构、序结构的拓扑结构）。通过这三种母构、序结构的拓扑结构）。通过这三种母结构的不断增加、组合和变化，形成一个结构的不断增加、组合和变化，形成一个个有机关联的公理体系，最后希望把全部个有机关联的

41、公理体系，最后希望把全部的数学作为一个公理化的统一体。的数学作为一个公理化的统一体。七、中学数学教材中的公理系统七、中学数学教材中的公理系统。 不以欧几里得的几何公理体系为主线，不以欧几里得的几何公理体系为主线，不严格按照知识的逻辑顺序呈现不严格按照知识的逻辑顺序呈现“图形与几图形与几何何”领域的教学内容，而以领域的教学内容，而以“图形的性质、图形的性质、图形的变化、图形与坐标图形的变化、图形与坐标”等三条线索展开，等三条线索展开，并根据学生的心理特征，把并根据学生的心理特征，把“空间与图形空间与图形”的内容均衡地安排在三个学段。的内容均衡地安排在三个学段。 义务教育数学课程标准义务教育数学课

42、程标准（2011版）版） 第三第三学段目标中要求：探索并掌握相交格、学段目标中要求：探索并掌握相交格、平行线、三角形、四边形和圆的基本的基本性质平行线、三角形、四边形和圆的基本的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平面直角坐标系及其识投影与视图；探索并理解平面直角坐标系及其应用。学生应在研究图形性质和运动、确定物体应用。学生应在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中进一步学发展空间观念；经历借助位置等过程中进一步学发展空间观念

43、；经历借助图形思考的过程，初步建立几何直观。体会通过图形思考的过程，初步建立几何直观。体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中发展合情推理的过程，在多种形式的数学活动中发展合情推理与演绎推理能力。与演绎推理能力。 应把证明作为探索活动的自然延续和必要应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理和演绎推理是相辅发展，使学生知道合情推理和演绎推理是相辅相成的两种推理形式。使学生在探索图形性质、相成的两种推理形式。使学生在探索图形性质、与他人合作交流等活动中，发展合情推理，进与他人合作交流等活动中，发展

44、合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；积累一定的活一步学习有条理地思考与表达；积累一定的活动经验与掌握一定的图形性质，从而体会证明动经验与掌握一定的图形性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。法证明的格式，初步感受公理化思想。 在几何课程中在几何课程中“图形与几何图形与几何”的三条线索的三条线索都都 以图形为载体，以培养空间观念、几何直觉、以图形为载体，以培养空间观念、几何直觉、推理能力，以及更好地认识与把握我们生存的推理能力，以及更好地认识与把握我们生存的现实空间为目标自然展开，不仅仅着眼于学生现实

45、空间为目标自然展开，不仅仅着眼于学生理解和掌握一些必要的事实，而且强调经历自理解和掌握一些必要的事实，而且强调经历自主探索和合作交流的过程，形成积极的学习态主探索和合作交流的过程，形成积极的学习态度和情感。度和情感。 提倡以提倡以“问题情境问题情境建立模型建立模型解释、解释、应用与拓展、反思应用与拓展、反思”的基本模式展现学习内容，的基本模式展现学习内容，让学生经历让学生经历“数学化数学化”和和“再创造再创造”的过程，的过程，而不采用而不采用“公理、定义公理、定义定理，性质定理，性质例例题题习题习题”的结构形式。的结构形式。 感性材料感性材料实例、背景实例、背景 设置公理设置公理定义、概念定义、概念 引进并证明引进并证明定理、公式定理、公式 应用举例应用举例 命题命题1 在一定直线上作等边三角形。在一定直线上作等边三角形。 命命题题4 若若一一个个三三角角形形两两边边和和其其夹夹角角相相应应地地等等于于另另一一个个三三角角形形的的两两边边和和其其夹夹角角，则这两个三角形全等。则这两个三角形全等。 几几何何原原本本中中利利用用了了“介介于于”的的概概念念，如如，“直直线线上上的的一一点点介介于于另另两两点点之之间间” 、“在在直直线线同同一一侧侧的的两两点点”、“在直线不同侧的两点在直线不同侧的两点” 。