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1、新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量第第63讲讲空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算1.了了解解空空间间向向量量的的基基本本定定理理及及其其意意义义，掌掌握握空空间间向向量量的的正正交交分分解解及及其其坐坐标标表表示示.掌掌握握空空间向量的线性运算及其坐标表示间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌掌握握空空间间向向量量的的数数量量积积及及其其坐坐标标表表示示，能能用用向向量量的的数数量量积积判判断断向向量量的的共共线线与与垂垂直直；理解直线的方向向量理解直线的方向向量.3.学学会会借借助助向向量量的的坐坐标标
2、运运算算来来证证明明线线线线垂垂直、线面垂直及直线与直线所成的角的计算直、线面垂直及直线与直线所成的角的计算.1.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,下列各式中运算下列各式中运算的结果为的结果为AC1的共有的共有 个个 ( ) ( + )+ ( + )+ ( + )+ ( + )+DA.1 B.2C.3 D.42.已知已知O、A、B、C为空间四点，又为空间四点，又 、 、 为空间的一个基底，则为空间的一个基底，则( )DA.O、A、B、C四点共线四点共线B.O、A、B、C四点共面但不共线四点共面但不共线C.O、A、B、C四点中有三点共线四点中有三点共线D.O、A、B、C四点不共面四
3、点不共面3.若若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且且ab,则则( )CA.x=1,y=1 B.x= ，y=-C.x= ,y=- D.x=- ，y= 因为因为ab，所以，所以 = = ，所以所以x= ，y=- .4.已知正四面体已知正四面体ABCD的棱长为的棱长为1，点，点F、G分分别是别是AD、DC的中点的中点,则则 = . 因为因为 = = ( - ),所以所以 = ( - )= ( - )= ( -1)=- .5.已知已知a、b是空间两向量是空间两向量:若若|a|=2,|b|=2,|a-b|= , 则则cosa,b= . 由由|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=2
4、2-2ab+22=7.所以所以ab= ，所以所以cosa，b=ab|a|b|= = . 一、空间向量及其加减与数乘运算一、空间向量及其加减与数乘运算 1.空空间间向向量量:在在空空间间,我我们们把把具具有有 和和 的的量量叫叫做做向向量量,空空间间向向量量也也用用 表表示示,并并且且 的的有有向向线线段段表表示示同一向量或相等的向量同一向量或相等的向量. 2.空空间间向向量量的的加加法法，减减法法与与数数乘乘向向量量：如如下下图，我们定义空间向量的加法，图，我们定义空间向量的加法， 减法与数乘向量为：减法与数乘向量为： = , = ， = (R).大小大小方向方向有向线段有向线段方向相同且长度
5、相等方向相同且长度相等a+ba空空间间向向量量的的加加法法与与数数乘乘向向量量运运算算满满足足如如下运算律：下运算律：(1)加法交换律加法交换律: ；(2)加法结合律加法结合律: ；(3)数乘分配律数乘分配律: .二、共线向量与共面向量二、共线向量与共面向量1.如如果果表表示示空空间间向向量量的的有有向向线线段段所所在在的的直直线线 ，则则这这些些向向量量叫叫做做共共线线向量或平行向量向量或平行向量.a平行于平行于b,记作记作ab.a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)=a+b1111互相平行或重合互相平行或重合 2.共共线线向向量量定定理理：对对于于空空间间任任意意两两个个向
6、向量量 a， b(b0),ab的的 充充 要要 条条 件件 是是 存存 在在 实实 数数 使使 . 推推论论：如如果果直直线线l为为经经过过已已知知点点A且且平平行行于于已已知知非非零零向向量量a的的直直线线，那那么么对对任任一一点点O，点点P在在直直线线l上上的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数t，满满足足等等式式 ,其其中中向向量量a叫叫做做直直线线l的方向向量的方向向量. 3.共共面面向向量量定定理理：如如果果两两个个向向量量a，b不不共共线线，则则向向量量p与与向向量量a，b共共面面的的充充要要条条件件是存在实数对是存在实数对x,y,使使p= .1212a=b1313= +ta14
7、14xa+yb 推推论论:空空间间一一点点P位位于于平平面面MAB内内的的充充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,y,使使 = . . 三、空间向量基本定理三、空间向量基本定理 空空间间向向量量基基本本定定理理：如如果果三三个个向向量量a,b,c不不共共面面,那那么么对对空空间间任任意意向向量量p,存存在在一一个个惟惟一的有序实数组一的有序实数组x,y,z,使使p= . 推推论论：设设O、A、B、C是是不不共共面面的的四四点点，则则对对空空间间任任意意一一点点P，都都存存在在惟惟一一的的有有序序实实数组数组x,y,z,使使 = .1515x+y1616xa+yb+zcx +y +z
8、 1717 四、两个向量的数量积四、两个向量的数量积 1.已已知知空空间间两两个个向向量量a,b,则则a,b的的数数量量积积为为:ab= ,其其中中a,b表表示示向向 量量 a， b的的 ,其其 范范 围围 为为 . 2.空空间间向向量量的的数数量量积积有有如如下下性性质质：(e为为单位向量单位向量) (1)ae= ; (2)ab ; (3)|a|2= ;1818|a|b|cosa,b1919夹角夹角20200，2121|a|cosa,e2222ab=02323aa3.空间向量满足如下运算律：空间向量满足如下运算律：(1)(a)b= ；(2)ab= ;(3)a(b+c)= .2424(ab)2
9、525ba2626ab+ac题型一题型一 空间向量线性运算及应用空间向量线性运算及应用例例1 三三棱棱锥锥O-ABC中中，M、N分分别别是是OA、BC的的中中点点，G是是ABC的的重重心心，用基向量用基向量 , , 表示表示 和和 . 要要想想用用已已知知向向量量表表示示未未知知向向量量，只只需需结结合合图图形形，力力扣扣基基底底，充充分分运运用用空空间向量加法和数乘向量的运算律即可间向量加法和数乘向量的运算律即可. = + = += + ( - )= + ( + )- =- + + . = += - + + = + + . 用用已已知知向向量量表表示示未未知知向向量量，一一是是要要选选好好基
10、基底底，二二是是要要以以图图形形为为指指导导，利利用用平平面面图图形形的的性性质质，比比如如重重心心与与中中点的特殊量的关系等等点的特殊量的关系等等.题型二题型二 空间向量数量积及应用空间向量数量积及应用例例2 已已知知正正方方体体ABCD-A1B1C1D1，CD1和和DC1相交于点相交于点O,连接连接AO,求证求证:AOCD1. 因为因为 = += + + = + + ( + )= + + + = + + . = + =- + ，所以所以 =( + + )(- + )=- - - + + + =0.所以所以 ，即，即AOCD1. （1）利利用用向向量量证证明明垂垂直直的的一一般般方方法法是是
11、把把线线段段转转化化成成向向量量，并并用用已已知知向向量量表表示示未未知知向向量量，然然后后通通过过向向量量的的运运算算去去计计算算或或证明，但要注意证明，但要注意“和向量和向量”的方向的方向. (2)由由本本例例可可以以看看出出利利用用空空间间向向量量证证明明垂垂直直问问题题要要用用到到空空间间向向量量的的加加法法法法则则，向向量量的的运运算算以以及及数数量量积积和和垂垂直直条条件件，是是通通过过向量的计算来完成位置关系的判定向量的计算来完成位置关系的判定. 如图所示，已知如图所示，已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 =k , =k , =k , =k ,求证：求证
12、： (1)四点四点E、F、G、H共面；共面； (2)平面平面EFGH平面平面ABCD. 欲欲证证四四点点共共面面,只只需需证证明明 , , 共共面面,利利用用A、B、C、D四四点点共共面面可可证证,利利用用向向量量的的平行可以来证明线线平行平行可以来证明线线平行,从而证得面面平行从而证得面面平行. (1)因为四边形因为四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，所以所以 = + ,则则EG=OG-OE =k -k =k =k( + ) =k( - + - ) = - + - = + ,所以所以E、F、G、H共面共面.(2)因为因为 = - =k( - )=k ,又由又由(1)的证明知的证明知 =
13、k ,于是于是EFAB,EGAC,所以所以EF平面平面ABCD,EG平面平面ABCD.又又EFEG=E,所以平面所以平面ABCD平面平面EFGH. 用用向向量量共共面面来来证证明明四四点点共共线线和和用用向向量量共共线线证证明明线线线线平平行行,从从而而证证明明面面面面平平行，是立体几何中常用的向量方法行，是立体几何中常用的向量方法.题型三题型三 空间向量基本定理及应用空间向量基本定理及应用例例3 如图如图,在平行六面体在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中中,A1AB=A1AD=BAD=60，AA1=3,AB=AD=2. (1)求证：求证：AA1BD； (2)求求| |； (3)求求cos
14、 ， . 条条件件较较集集中中于于点点A处处，故故可可取取 , , 为为解解决决问问题题的的基基向向量量,题题中中各各问问题题中中的的有有关向量关向量,都用基向量来表示都用基向量来表示,再进行相应运算再进行相应运算. (1)证明：证明：因为因为 = ( - )= - =32cos60-32cos60=0,所以所以 ，即，即AA1BD.(2)| |2= =( + + )2= + + +2 +2 +2 =4+4+9+222cos60+223cos60+223cos60=33，所以所以| |= .(3)在在A1AB中，由余弦定理，中，由余弦定理，得得A1B2=9+4-223cos60=7，即，即A1
15、B=7.又又 = - ，所以所以 = ( - )= - =22cos60-23cos60=-1.所以所以cos , = = . 本本题题提提供供的的是是利利用用空空间间向向量量的的基基本本运运算算来来处处理理立立体体几几何何中中的的证证明明的的一一般般方法，在复习中，应加强这方面的思考方法，在复习中，应加强这方面的思考. 如如 图图 ， 直直 三三 棱棱 柱柱 ABCABC中中,BCAB,BCAC,求证：求证：AB=AC. （证法一）向量基底法（证法一）向量基底法. = + , = + ， = + .因为因为BCAB，所以，所以 =0，即即( + )( + )=0,所以所以 + =0. 同理，
16、由同理，由BCAC可得可得 + =0.因为直三棱柱因为直三棱柱ABCABC,所以所以 = ,故故 + =0. +得得( + ) =0.又又 = - ，所以，所以| |2=| |2.将将 = + 两边平方得两边平方得 = + ，将将 = + 两边平方得两边平方得 = + ,即即 = + ,所以所以 = ,即即AB=AC.(证法二证法二)向量坐标法向量坐标法.以以AB所在直线为所在直线为x轴，在平面轴，在平面ABC上以过上以过A且且垂直于垂直于AB的直线为的直线为y轴，轴，AA所在直线为所在直线为z轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.设有关点的坐标为设有关点的坐标为A(0,0,0),B(b,0,
17、0),A(0,0,a),C(x,y,0),则则B(b,0,a),C(x,y,a).从而从而 =(b,0,a), =(x,y,-a), =(x-b,y,a).因为因为 ,所以所以(x-b,y,a)(b,0,a)=0,所以所以a2=b2-bx. 同理同理,由由 可得可得a2=x2-bx+y2， =a2+b2=2b2-bx, =x2+y2+a2，代入代入得得 =2b2-bx,所以所以 = ，故，故| |=| |，即即AB=AC. 1.适适当当选选取取三三个个不不共共面面的的向向量量作作为为基基底底，把把已已知知条条件件转转化化为为各各个个向向量量间间的的关关系系，通通过过运运算算得得到到结结果果，这
18、这就就是是向向量量法法解解立立体体几何题的重要策略之一：基底法几何题的重要策略之一：基底法. 2.建建立立适适当当的的坐坐标标系系，设设出出相相关关点点的的坐坐标标，表表示示出出相相关关向向量量，把把已已知知条条件件转转化化为为各各向向量量间间的的关关系系，通通过过运运算算得得到到结结论论，这这也也是是向向量量法法求求解解立立体体几几何何题题的的重重要要策策略略：坐标法坐标法.1.利利用用向向量量解解几几何何问问题题的的基基本本方方法法是是：把把向向量量或或角角度度转转化化为为向向量量表表示示，并并用用已已知知向向量量表表示示未未知知向向量量，然然后后通通过过向向量量运运算算去去计计算算或或证
19、证明明.关关键键是是基基底底或或坐坐标标系系的的选选取取和运算变形能力和运算变形能力.2.注意一些常用结论注意一些常用结论(1)基基本本定定理理：给给定定空空间间向向量量的的一一个个基基底底a,b,c，对对于于空空间间任任一一向向量量p存存在在惟惟一一的有序实数组的有序实数组(x,y,z),使使p=xa+yb+zc.(2)共共 线线 、 垂垂 直直 的的 充充 要要 条条 件件:aba=b(b0),ab ab=0.(3)共共 面面 的的 充充 要要 条条 件件 :p,a,b共共 面面p=xa+yb(a/b).(4)长长度度、夹夹角角公公式式:|a|= ,cosa,b= . a+ b+ c学例1
20、 (2007安徽卷安徽卷)在四面体在四面体O-ABC中，中， =a, =b, =c,D为为BC的的中中点点,E为为AD的中点的中点,则则 = (用用a,b,c表示表示). = ( + )= ( + )+ = + + = a+ b+ c.学例2 (2009海海南南/宁宁夏夏卷卷)如如图图，四四棱棱锥锥S-ABCD的的底底面面是是正正方方形形，每每条条侧侧棱棱的的长长都都是是底面边长的底面边长的2倍，倍，P为侧棱为侧棱SD上的点上的点. (1)求证：求证：ACSD; (2)若若SD平面平面PAC,求二面求二面 角角P-AC-D的大小的大小; (3)在在(2)的条件下，侧棱的条件下，侧棱SC 上是否
21、存在一点上是否存在一点E，使得，使得 BE平平面面PAC?若若存存在在，求求SE EC的的值值；若若不存在，试说明理由不存在，试说明理由. （方法一）（方法一）(1)证明：连接证明：连接BD，设设AC交交BD于于O，由题意知，由题意知SOAC.在正方形在正方形ABCD中中,ACBD,所以所以AC平面平面SBD，得得ACSD.(2)设正方形的边长设正方形的边长a，则则SD a.又又OD= a，所以，所以SDO=60.连连OP.由由(1)知知AC平面平面SBD，所以所以ACOP，且，且ACOD，所以所以POD是二面角是二面角P-AC-D的平面角的平面角.由由SD平面平面PAC，知，知SDOP，所以
22、所以POD3，即二面角即二面角P-AC-D的大小为的大小为3.(3)在棱在棱SC上存在一点上存在一点E,使使BE平面平面PAC.由由(2)可得可得PD= a，故可在故可在SP上取一点上取一点N，使，使PNPD.过过N作作PC的平行线与的平行线与SC的交点即为的交点即为E.连接连接BN.在在BDN中知中知BNPO.又又由由于于NEPC,故故平平面面BEN平平面面PAC，得得BE平面平面PAC.由于由于SN NP=2 1，故，故SE EC=2 1.（方方法法二二）(1)证证明明:连连接接BD,设设AC交交BD于于O，由由题题意意知知，SO平平面面ABCD.以以O为为坐坐标标原原点点， 、 、 分分
23、别别为为x轴轴、y轴轴、z轴轴的的正正方方向向，建建立坐标系立坐标系O-xyz，如图，如图.设底面的边长为设底面的边长为a，则高，则高SO= a.于是于是S(0,0, a),D(- a,0,0),C(0, a,0), =(0, a,0), =(- a,0,- a),由由 =0，得得OCSD,从而从而ACSD.(2)由题设知，平面由题设知，平面PAC的一个法向的一个法向量量 =( a,0, a),平面平面DAC的一的一个法向量个法向量 =(0,0, a).设所求二面角为设所求二面角为，则则cos= = ，故所求二面角的大小为故所求二面角的大小为30.(3)在棱在棱SC上存在一点上存在一点E使使BE平面平面PAC.由由(2)知知 是平面是平面PAC的一个法向量，的一个法向量，且且 =( a,0, a), =(0,- a, a).设设 =t ,则则 = + = +t =(- a, a(1-t), at).而由而由 =0，得，得t= .即当即当SE EC=2 1时，时， .而而BE不在平面不在平面PAC内，故内，故BE平面平面PAC.本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来
