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1、6-6 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法三、条件极值三、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、多元函数的最大值和最小值二、多元函数的最大值和最小值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义一、多元函数的极值一、多元函数的极值 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域的某邻域内有定义，对于该邻域内任何异于内有定义，对于该邻域内任何异于 的点的点),(yx若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf 则称函数在则称函数在),(00yx有极有极小值。小值。 极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值使函数取得极值
2、的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点),(00yx例例1 1例例例例处有极小值处有极小值在在函数函数)0 ,0(4322yxz+ + 处有极大值处有极大值在在函数函数)0 ,0(22yxz+ +- - 处无极值处无极值在在函数函数)0 ,0(xyz 2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证 不妨设不妨设定理定理1 （必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .),(
3、yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意都有都有 ),(yxf),(00yxf,推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为：件为： 0),(000 zyxfx，0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0xx 处有极大值处有极大值,必有必有 0),(00 yxfx;故当故当0yy ，0xx 时，时，有有 - -BAC时具有极值，时具有极值， 当当
4、0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 - -BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 - -BAC时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论解解例例4 4求函数求函数的极值的极值先解方程组先解方程组 求得驻点为求得驻点为将上方程组再分别对将上方程组再分别对yx ,求偏导数求偏导数, 在点在点 处，处，又又所以函数在所以函数在处有极小值处有极小值在点在点 处，处，所以所以不是极值；不是极值；在点在点 处，处，所以所以不是极值；不是极值；在点在点处，处，又又所以函数在所以函数在 处有极大值处有极大值求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值
5、的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC- -的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.求极值的步骤总结与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数不存在。不存在。 假设函数假设函数 在在D D上连续，偏导数存在且驻点只上连续，偏导数存在且驻点只有有限个，则有有限个，则求最值的一般步
6、骤为：求最值的一般步骤为：1 1、求函数、求函数 在在D D内部所有驻点处的函数值；内部所有驻点处的函数值；2 2、求、求 在在D D的边界上的最大值和最小值；的边界上的最大值和最小值；3 3、将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者、将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。即为最大值，最小者即为最小值。 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值. .二、多元函数的最大值和最小值二、多元函数的最大值和最小值解解如图如图,解解设水箱的长为设水箱的长为宽为宽为则其高应为则其
7、高应为则水箱所用材料的面积则水箱所用材料的面积求偏导数得求偏导数得例例6 某工厂要用铁板做成一个体积为某工厂要用铁板做成一个体积为 的有盖长方的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。料最省。 解这方程组，得解这方程组，得 根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域并在开区域内取得。又函数在内取得。又函数在内只有唯一的驻点内只有唯一的驻点因此当因此当时，时，取得最小值。取得最小值。即当水箱的长为即当水箱的长为宽为宽为高高为为时，水箱所用的材料最省。时，水箱所用
8、的材料最省。实例实例：小王有：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 x 张张磁盘，磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果，且效果函数为盒录音磁带达到最佳效果，且效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁盘设每张磁盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的问题的实质实质：求：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点三、条件极值 拉格朗日乘数法1.条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 上述问
9、题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题, 这是一个条件极值问题. 例如, 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x, y, z, 则体积Vxyz. 又因假定表面积为a2, 所以自变量x, y, z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2. 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yxj j下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxFljlj+ + 其中其中l l为某一常数，可由为某一常数，可由 + + + +.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxxj
10、jljljljlj解出解出l l, yx，其中，其中yx ,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.2.求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyxj j，0),( tzyxy y下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数+ + ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyxy yl lj jl l+ +其中其中21,l ll l均为常数，可由均
11、为常数，可由偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出 tzyx,，即得极值点的坐标即得极值点的坐标.解解设长方体的三棱长为设长方体的三棱长为则问题就是在条件则问题就是在条件求函数求函数的最大值。作拉格朗日函数的最大值。作拉格朗日函数求其对求其对 的偏导数，并使之为零，解方程组的偏导数，并使之为零，解方程组例例7 7 求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体的体积。而体积为最大的长方体的体积。 得到得到这是唯一可能的极值点。因此表面积为这是唯一可能的极值点。因此表面积为 的长方体中，的长方体中，以棱长为以棱长为 的正方体的体积为最大，最大体积的正方体的体积为最大，最大体积例例8 某工厂生产两种型号的机密机床，其产量分别为 台，总成本函数 若根据市场调查预测，共需要这两种机床8台，如何合理安排生产，才能使得总成本最小？解解 作拉格朗日函数令 解得 因为只有唯一的驻点，且实际问题的最小值是存在的，因此驻点 是函数 最小值点， 因此当两种型号的机器各 生产5台和3台时，其总成本最小.最小值为
