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1、高考总复习高考总复习数学数学5.8 5.8 三角函数的图像及其变换三角函数的图像及其变换高考总复习高考总复习数学数学一一. .三角函数三角函数图图象的作法象的作法1.几何法（利用三角函数线）2. 描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正切曲线）.（2）正切函数的图像：作正切曲线常用三点二线作图法来作。正弦函数、余弦函数、正切函数的图像如下图：函数图象的作图方法：（用五点法）先取横坐标分别的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就为0，得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图像。再将一个周期内的图像向左右平移2k个单位即得函数的整个图像。（1）正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 和余
2、弦高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学图像与x轴的交点：正弦函数为（k,0） kZ；余弦函数为(k0),kZ；正切函数为(k,0) ，kZ。3.三角函数图像的对称轴与对称中心：三角函数图像的对称轴与对称中心：正弦曲线 的对称轴为 ；对称中心为余弦曲线 的对称轴为 ；对称中心为( ,0) kZ。正切曲线 的对称中心为其中，正弦函数与余弦函数在对称轴与曲线交点处函数有最大（小）值。高考总复习高考总复习数学数学二二.函数函数 图象的画法：图象的画法： 1.五点法作y=Asin（x+ ）(A0,0)的简图：五点取法是:设X=x+ ，由X取0、 、2来求相
3、应的x值及对应的y值，再描点作图。2. 正弦型函数正弦型函数的一些结论：最大值是 ，最小值是 ，周期是频率是，高考总复习高考总复习数学数学相位是 ，初相是（即当x0时的相位）；其图像的对称轴是直线 ，凡是该图像与直线的交点都是该图像的对称中心。对于 和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。3.利用图象变换作三角函数的图象利用图象变换作三角函数的图象 （1）振幅变换 （2）周期变换 （3）相位变换 （4）上下平移 高考总复习高考总复习数学数学5.5.求三角函数的周期的常用方法求三角函数的周期的常用方法 4.4.由由y yA Asin(sin(xx)的的图图像求其解析式像求其解析式高考
4、总复习高考总复习数学数学高考总复习高考总复习数学数学 正弦型函数的图像的作法正弦型函数的图像的作法 已知函数 （1）求它的振幅、周期和初相；（2）用五点法作出它的图像；（3）说明 的图像可由的图像经过怎样的变换而得到？高考总复习高考总复习数学数学解：（1）振幅为2，周期为 ，初相为（2）列表（令X=2x+ ）xX00200高考总复习高考总复习数学数学描点、连线。得到函数在一个周期内的图像（图1），再将其向左、右平移k(k )各单位即得函数的整个图像（如图2）。图1高考总复习高考总复习数学数学（3）把 的图像上所有的点左移 个单位，得到 的图像，再把 的图像上的点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不
5、变），得到 的图像，最后把图像上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到 的图像。高考总复习高考总复习数学数学将正弦型（余弦型）函数图像平移若干个单位将正弦型（余弦型）函数图像平移若干个单位后，成为偶函数（或奇函数），求最小平移量。后，成为偶函数（或奇函数），求最小平移量。 把函数y=cos（x+ ）的图像向左平移 个单位，所得的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）A B C D 解：先写出向左平移 个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解向左平移 个单位后的解析式为y=cos（x+ + ），则cos（x+ + ）=cos（x+ + ），高考总复习高考总复习数学数学cosxcos（ +
6、 ）+sinxsin（ + ）=cosxcos（ + ）sinxsin（ + ）sinxsin（ + ）=0，xR， + =k， =k 0k ，k=2。 =【答案】B高考总复习高考总复习数学数学由函数的部分图像所给信息，求函数的解析式由函数的部分图像所给信息，求函数的解析式 如图为 的图象的一段，求其解析式。解：由图像易得A= 又 所以函数的解析式是 Oxy高考总复习高考总复习数学数学【点评与感悟】函数表达式的确定：A由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定;（2）给出图像（或部分图像）确定解析式y=Asin（x+ ）的题型，常常从寻找“五点”中的第一零点（ ，0）作为突破口，要从图像
7、的升降情况找准第一个零点的位置。高考总复习高考总复习数学数学将已知函数的图像作若干次变换后，求所将已知函数的图像作若干次变换后，求所得图像的函数解析式得图像的函数解析式 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点( )（A）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）（B）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来 的 倍（纵坐标不变）（C）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到 原来的3倍（纵坐标不变）（D）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到 原来的3倍（纵坐标不变）高考总复习高考总复习数学数学【思路分析思路分析】本题主要
8、考三角函数的图象变换，这是一道平时训练得比较多的一种类型。解：先将 的图象向左平移 个单位长度， 得到函数 的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图像，故选C。【答案】 C高考总复习高考总复习数学数学判断（或求）三角函数的对称轴（对称判断（或求）三角函数的对称轴（对称中心）中心） 已知函数f(x)sin( )( )的最小正周期为 ，则该函数的图像( )A 关于点（ ，0）对称 B 关于直线x 对称C 关于点（ ，0）对称 D 关于直线 x 对称【解析】由函数f(x)sin( )( )的最小正周期为 得 ，由 得x= 2x+ =k对称点为（ ,0 ）（ ），
9、当时 为（ , 0），选Ak=1 A高考总复习高考总复习数学数学正、余弦型函数的图像、解析式等知识的综正、余弦型函数的图像、解析式等知识的综合应用合应用 受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。某港口水的深度y（米）是时间t（单位：时）的函数，记作 ，下面是该港口在某季节每天水深的数据：t（时）03691215182124y（米） 10.0 13.0 9.97.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察， 曲线可以近似地看做函数 的图象。高考总复习高考总复习数学数学(1).根据以上数据，求出函数 的近
10、似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米。如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)？【思路分析思路分析】（1）由散点图或其他数据处理方法判定函数类型，求解析式；（2）建模（方程或不等式）求解。高考总复习高考总复习数学数学解：由数据可以得出 所以，这个港口的水深与时间的关系可用 近似描述，（2）货船需要的安全水深为5+6.511.5米，所以当 时就可以进港。令：因为 ，所以在区间0,12内，有两个交点，由计算可得高考总复习高考总
11、复习数学数学得： 所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口至多停留16小时。【点评与感悟】【点评与感悟】（1）数学模型思想方法：审题，画散点图，建模（确定函数及解析式、方程、不等式），解模等；此处要求熟练运用函数图像求值；（2）考虑到事件的实际意义，为了安全，货船最好提前停止卸货，将船驶向较深的水域。高考总复习高考总复习数学数学将函数恒等变形为正弦型函数（余弦型函将函数恒等变形为正弦型函数（余弦型函数）达到解决问题的目的数）达到解决问题的目的 （1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.【思路分析思路分析】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。解：（1） 高考总复习高考总复习数学数学的最小正周期 由题意得 即的单调增区间为 （2）解法一：先把图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图像。再把所得图像上所高考总复习高考总复习数学数学得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。解法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。高考总复习高考总复习数学数学
