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1、第第9 9讲讲周周长长、面、面积积、体、体积积、表面表面积积1第一第一节节巧求周巧求周长长+ 专题简析：析：+对于一些不于一些不规则的比的比较复复杂的几何的几何图形，要求它形，要求它们的周的周长，我，我们可以运用可以运用平移平移的方法的方法，把它，把它转化化为标准的准的长方形或正方方形或正方形，然后再利用周形，然后再利用周长公式公式进行行计算。算。+将一个大将一个大长方形或正方形分割成若干方形或正方形分割成若干个个长方形和正方形，那么方形和正方形，那么图形周形周长就会就会增增加几个加几个长或或宽；反之，将若干个小；反之，将若干个小长方形方形或正方形合成一个大或正方形合成一个大长方形或正方形，方
2、形或正方形，图形周形周长就会减少几个就会减少几个长或或宽。2例例题1 ： 下下图是一个楼梯的是一个楼梯的侧面面图，求此，求此图形的周形的周长。34+例例题2 ：下：下图是由是由6个个边长2厘米的正方形拼厘米的正方形拼成的，成的，这个个图形的周形的周长是多少厘米？是多少厘米？5 分析：这题我们可以用平移的方法将它转化为一个长方形，如下图：6例例题3 ： 两个大小相同的正方形拼成一个两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周方形后，周长比原来两个正方形周比原来两个正方形周长的和的和减减少了少了6厘米。原来一个正方形的周厘米。原来一个正方形的周长是多少厘是多少厘？7 例例题4： 将一将一张边长为36厘
3、米的正方形厘米的正方形纸，剪成，剪成4个完全一个完全一样的小正方形的小正方形纸片，片，这4个小正方形周个小正方形周长的和比原来的正方的和比原来的正方形周形周长增加了多少厘米？增加了多少厘米？89第二第二节节组组合合图图形的面形的面积积第一第一专题简析：析：组合合图形是由两个或两个以上的形是由两个或两个以上的简单的几何的几何图形形组合而合而成的。成的。组合的形式分合的形式分为两种：两种：一是拼合一是拼合组合，二是重合，二是重叠叠组合合。要正确解答。要正确解答组合合图形的面形的面积，应该注意以下注意以下几点：几点：1，切，切实掌握有关掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空形的概念、公式，牢固建立
4、空间观念；念；2，仔，仔细观察，察，认真思考，看清所求真思考，看清所求图形是由哪几个基形是由哪几个基本本图形形组合而成的；合而成的；3，适当采用增加，适当采用增加辅助助线等方法帮助解等方法帮助解题；4，采用割、，采用割、补、分解、代、分解、代换等方法，可将复等方法，可将复杂问题变得得简单。10例例1 ： 一个等腰直角三角形，最一个等腰直角三角形，最长的的边是是12厘米，厘米，这个三角形的面个三角形的面积是多少平方厘米？是多少平方厘米？11+分析与解答分析与解答 ： 由于此三角形中只知道最由于此三角形中只知道最长的的边是是12厘米，所以，不能用三角形的厘米，所以，不能用三角形的面面积公式来公式来
5、计算它的面算它的面积。我。我们可以假可以假设有有4个个这样的三角形，且拼成了下的三角形，且拼成了下图正方形。正方形。显然，然，这个正方形的面个正方形的面积是是1212，那么，那么，一个三角形的面一个三角形的面积就是就是12124=36平方厘平方厘米。米。12例例3：四四边形形ABCD和四和四边形形DEFG都都是正方形，已知三角形是正方形，已知三角形AFH的面的面积是是7平方厘米。三角形平方厘米。三角形CDH的面的面积是多少平是多少平方厘米？方厘米？13分析分析 ： 设大正方形的大正方形的边长是是a，小正方，小正方形的形的边长是是b。（1）梯形）梯形EFAD的面的面积是（是（a+b）b2，三角形
6、，三角形EFC的面的面积也是（也是（a+b）b2。所以，两者的面所以，两者的面积相等。相等。（2）因）因为三角形三角形AFH的面的面积=梯形梯形EFAD的面的面积梯形梯形EFHD的面的面积，而三角形，而三角形CDH的面的面积=三角形三角形EFC的面的面积梯形梯形EFHD的面的面积，所以，三角形，所以，三角形CDH的面的面积与三角形与三角形AFH的面的面积相等，也是相等，也是7平平方厘米。方厘米。14+例例4 下下图中正方形的中正方形的边长为8厘米，厘米，CE为20厘米，梯形厘米，梯形BCDF的面的面积是多少平方厘米？是多少平方厘米？15+分析分析：要求梯形的面：要求梯形的面积，关，关键是要求出
7、是要求出上底上底FD的的长度。度。连接接FC后就能得到一个三后就能得到一个三角形角形EFC，用三角形，用三角形EBC的面的面积减去三角形减去三角形FBC的面的面积就能得到三角形就能得到三角形EFC的面的面积：8202882=48平方厘米。平方厘米。FD=48220=4.8厘米，所求梯形的面厘米，所求梯形的面积就是就是（4.88）82=51.2平方厘米。平方厘米。16例例5 图中中ABCD是是长方形，方形，长为6，宽为4，三角形三角形EFD的面的面积比三角形比三角形ABF的面的面积大大6平方平方厘米，求厘米，求ED的的长。17+ 分析：分析：因因为三角形三角形EFD的面的面积比三角形比三角形AB
8、F的面的面积大大6平方厘米，所以，三角形平方厘米，所以，三角形BCE的面的面积比比长方形方形ABCD的面的面积大大6平方厘米。平方厘米。三角形三角形BCE的面的面积是是646=30平方厘米，平方厘米，EC的的长则是是3026=10厘米。因此，厘米。因此，ED的的长是是104=6厘米。厘米。18组组合合图图形的面形的面积积（二）（二） 专题简析：析：在在组合合图形中，三角形的面形中，三角形的面积出出现的机会很的机会很多，解多，解题时我我们还可以可以记住下面三点：住下面三点：1，两个三角形等底、等高，其面，两个三角形等底、等高，其面积相等；相等；2，两个三角形底相等，高成倍数关系，面，两个三角形底
9、相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；也成倍数关系；3，两个三角形高相等，底成倍数关系，面，两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。也成倍数关系。19+例例题2 下下图中，中，边长为10和和15的两个正方的两个正方体并放在一起，求三角形体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）（阴影部分）的面的面积。20+分析分析三角形三角形ADC的面的面积是是10152=75，而，而三角形三角形ABC的高是三角形的高是三角形BCD高的高的1510=1.5倍，它倍，它们都以都以BC为边为底，所以，三角形底，所以，三角形ABC的面的面积是三角形是三角形BCD的的1.5倍。阴影部分倍。阴影部分的面的面积是
10、：是：7.5（11.5）1.5=45。21例例题3 ： 两条两条对角角线把梯形把梯形ABCD分割成四个分割成四个三角形。已知两个三角形的面三角形。已知两个三角形的面积（如（如图所示）所示），求另两个三角形的面，求另两个三角形的面积各是多少？（各是多少？（单位：位：平方厘米）平方厘米）22分析：分析：1，因，因为三角形三角形ABD与三角形与三角形ACD等底等高，等底等高，所以面所以面积相等。因此，三角形相等。因此，三角形ABO的面的面积和和三角形三角形DOC的面的面积相等，也是相等，也是6平方厘米。平方厘米。2，因，因为三角形三角形BOC的面的面积是三角形是三角形DOC面面积的的2倍，所以倍，所
11、以BO的的长度是度是OD的的2倍，即三角倍，即三角形形ABO的面的面积也是三角形也是三角形AOD的的2倍。所以，倍。所以，三角形三角形AOD的面的面积是是62=3平方厘米。平方厘米。23+例例题4 ： 在三角形在三角形ABC中，中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面，阴影部分的面积是是20平方厘平方厘米，求三角形米，求三角形ABC的面的面积。24分析分析（1）因）因为CE=3AE，所以，三角形，所以，三角形ADC的面的面积是三角形是三角形ADE面面积的的4倍，是倍，是20（13）=80平方厘平方厘为；（2）又因）又因为DC=2BD，所以，三角形，所以，三角形ABD的面的面积是三角形是三角
12、形ADC面面积的一半，是的一半，是802=40平平方厘米。因此，三角形方厘米。因此，三角形ABC的面的面积是是8040=120平方厘主。平方厘主。25复复杂杂面面积问题积问题专题简析：析：解答有关解答有关“图形面形面积”问题时，应注意以下注意以下几点：几点：1，细心心观察，把握察，把握图形特点，形特点，合理地合理地进行切行切拼拼，从而使，从而使问题得以得以顺利地解决；利地解决；2，从整体上，从整体上观察察图形特征，掌握形特征，掌握图形本形本质，结合必要的合必要的分析推理和分析推理和计算，使算，使隐蔽的数蔽的数量关系明朗化量关系明朗化。26+例例4：街心花园中一个正方形的花：街心花园中一个正方形
13、的花坛四四周有周有1米米宽的水泥路，如果水泥路的的水泥路，如果水泥路的总面面积是是12平方米，中平方米，中间花花坛的面的面积是是多少平方米？多少平方米？27例例1：街心花园中一个正方形的花：街心花园中一个正方形的花坛四周有四周有1米米宽的水泥路，如果水泥路的的水泥路，如果水泥路的总面面积是是12平平方米，中方米，中间花花坛的面的面积是多少平方米？是多少平方米？28分析与解答：分析与解答： 把水泥路分成四个同把水泥路分成四个同样大小的大小的长方形方形（如下（如下图）。因此，一个）。因此，一个长方形的面方形的面积是是124=3平方米。因平方米。因为水泥路水泥路宽1米，所米，所以小以小长方形的方形的
14、长是是31=3米。从米。从图中可以中可以看出正方形花看出正方形花坛的的边长是小是小长方形方形长与与宽的差，所以小正方形的的差，所以小正方形的边长是是31=2米。中米。中间花花坛的面的面积是是22=4平方米。平方米。29+例例2：一：一块正方形的正方形的钢板，先截去板，先截去宽5分米分米的的长方形，又截去方形，又截去宽8分米的分米的长方形（方形（如如图），面，面积比原来的正方形减少比原来的正方形减少181平方分米。平方分米。原正方形的原正方形的边长是多少？是多少？3031分析与解答：分析与解答： 把阴影部分剪下来，并把剪下的两个把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小小长方形拼起来（如方形拼起来（如图
15、），再被上），再被上长、宽分分别是是8分米、分米、5分米的小分米的小长方形，方形，这个拼合成的个拼合成的长方形的面方形的面积是是181+85=221平方分米，平方分米，长是原来正方是原来正方形的形的边长，宽是是8+5=13分米。所以，分米。所以，原来正方形的原来正方形的边长是是22113=17分米。分米。32第三第三节节体体积积专题简析：析：解答立体解答立体图形的体形的体积问题时，要注意以下几，要注意以下几点：点：（1）物体沉入水中，物体沉入水中，水面上升部分的体水面上升部分的体积等等于物体的体于物体的体积。把物体从水中取出，水面。把物体从水中取出，水面下降部分的体下降部分的体积等于物体的体等
16、于物体的体积。这是物是物体全部浸没在水中的情况。体全部浸没在水中的情况。如果物体不全如果物体不全部浸在水中部浸在水中，那么排开水的体，那么排开水的体积就等于浸就等于浸在水中的那部分物体的体在水中的那部分物体的体积。33解答立体解答立体图图形的体形的体积问题时积问题时要注意：要注意：（2）把一种形状的物体）把一种形状的物体变为另一种形状的物另一种形状的物体后，形状体后，形状变了，但它的体了，但它的体积保持不保持不变。（3）求一些不）求一些不规则形体体形体体积时，可以通，可以通过变形的方法求体形的方法求体积。（4）求与体）求与体积相关的最大、最小相关的最大、最小值时，要大，要大胆想象，多思考、多胆
17、想象，多思考、多尝试，防止思，防止思维定定势。34+例例题1：有大、中、小三个正方体水池，它：有大、中、小三个正方体水池，它们的内的内边长分分别为6米、米、3米、米、2米。把两堆米。把两堆碎石分碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水沉在中、小水池里，两个水池水面分面分别升高了升高了6厘米和厘米和4厘米。如果将厘米。如果将这两两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？高多少厘米？35分析：中、小水池升高部分是一个分析：中、小水池升高部分是一个长方体，方体，它的体它的体积就等同于碎石的体就等同于碎石的体积。两个水池。两个水池水面分水面分别升高了升高了6厘米
18、和厘米和4厘米，两堆碎石厘米，两堆碎石的体的体积就是就是330.06+220.04=0.7（立方米）（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的体。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是也就是0.7立方米，再除以它的底面立方米，再除以它的底面积就就能求得升高了多少厘米。能求得升高了多少厘米。330.06+220.04=0.7（立方米）（立方米）0.76的平方的平方=7/360（米）（米）=1又又17/18（厘米）（厘米）36+例例题2：一个底面半径是：一个底面半径是10厘米的厘米的圆柱形瓶柱形瓶中，水深中，水深8厘米，要在瓶中放入厘米，要在瓶中放入长和和宽都是都是8厘米、高是厘米、高是15
19、厘米的一厘米的一块铁块，把，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？放在水中，水面上升几厘米？37分析：分析：+在瓶中放在瓶中放铁块要考要考虑铁块是全部沉入水中，是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入是全部沉入水中，排开水的体水中，排开水的体积是是8815=960（立方（立方厘米）。而厘米）。而现在瓶中水深是在瓶中水深是8厘米，要淹没厘米，要淹没15厘米高的厘米高的铁块，水面就要上升，水面就要上升158=7（厘米），需要排开水的体（厘米），需要排开水的体积是是（3.14101088）7=1750（立方厘米）（立方厘米），可知，可知铁块是部分在水中。是部分在水中。38
20、分析：分析：当当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是就是3.14101088=250（平方厘米）。水的形状（平方厘米）。水的形状变了，了，但体但体积还是是3.1410108=2512（立方厘米）。水的高（立方厘米）。水的高度是度是2512250=10.048（厘米），上升（厘米），上升10.0488=2.048（厘米）（厘米）3.1410108（3.14101088）8=25122508=10.0488=2.048（厘米）（厘米）39+例例题3：某面粉厂有一容：某面粉厂有一容积是是24立方米的立方米的长方体方体储粮池，它的粮池，它的长是是宽或高的或高的2倍。当
21、倍。当贴着它一最大的内着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大面将面粉堆成一个最大的半的半圆锥体体时，求，求这堆面粉的体堆面粉的体积（如（如图28-1所示）。所示）。40分析：分析：设圆锥体的底面半径是体的底面半径是r，则长方体的高和方体的高和宽也都是也都是r，长是是2r。长方体的容方体的容积是是2rrr=24，即，即r的立的立方方=12。这个半个半圆锥体的体体的体积是是1/3r的平方的平方r2=1/6r的立方，将的立方，将r的立方的立方=12代入，就可以代入，就可以求得面粉的体求得面粉的体积。设圆锥体的底面半径是体的底面半径是r，则长方体的容方体的容积是是2rrr=24，r的立方的立方=12。1
22、/33.14r的平方的平方r2=1/63.14r的立方的立方=1/63.1412=6.28（立方米）（立方米）41+例例题4：如果把：如果把12件同件同样的的长方体物品打包，方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎怎样打包物体的表面打包物体的表面积最小呢？最小呢？4243分析：分析：+设长方体物品的方体物品的长、宽、高分、高分别是是a、b、c，并且，并且abc（入土（入土28-4）。比）。比较“34”和和“26”两种包法。两种包法。图28-5中大中大长方体表面方体表面积为6ab+8ac+24bc，图28-6中大中大长方体的表面方体的表面积为4ab
23、+12ac+24bc，两个式子中都曲两个式子中都曲调相同的部分相同的部分4ab+8ac+24bc后，后，式与式与式的大小要看式的大小要看2ab与与4ac的大小。的大小。（1）当）当b=2c时，2ab=￥ac，两种包法相同。，两种包法相同。（2）当）当b2c时，“34”的包法表面的包法表面积最小。（最小。（3）当）当b2c时，“26”的包法的包法表面表面积最小。最小。44+例例题5：一只集装箱，它的内尺寸是：一只集装箱，它的内尺寸是181818。现在有批在有批货箱，它的外尺寸是箱，它的外尺寸是149。问这只集装箱能装多少只只集装箱能装多少只货箱？箱？45分析：因分析：因为集装箱内尺寸集装箱内尺寸
24、18不是不是货箱尺寸箱尺寸4的倍数，的倍数，所以，只能先在所以，只能先在181618的空的空间放放货箱，可放箱，可放181618（149）=144（只）。（只）。这时还有有18218的空的空间，但只能在，但只能在18216的空的空间放放货箱，箱，可放可放18216（149）=16（只）。最后剩下（只）。最后剩下1822的空的空间无法再放无法再放货箱，所以最多能装箱，所以最多能装144+16=160（只）。（只）。181618（149）+18216（149）=144+16=160（只）（只） 46第第4 4讲讲表面表面积积47专题简专题简析：析：+小学小学阶段所学的立体段所学的立体图形主要有四种
25、形主要有四种长方体、方体、正方体、正方体、圆柱体和柱体和圆锥体。体。 +在解答立体在解答立体图形的表面形的表面积问题时，要注意以下几，要注意以下几点：点：（1）充分利用）充分利用正方体正方体六个面六个面 的面的面积都相等，每个都相等，每个面都是正方形的特点。面都是正方形的特点。（2）把一个立体）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面形切成两部分，新增加的表面积等于等于切面面切面面积的两倍的两倍。反之，把两个立体。反之，把两个立体图形粘形粘合到一起，减少的表面合到一起，减少的表面积等于等于粘合面粘合面积的两倍。的两倍。（3）若把几个）若把几个长方体拼成一个方体拼成一个表面表面积最大最大的的长方体
26、，方体，应把它把它们最小的面拼合起来。若把几个最小的面拼合起来。若把几个长方体拼方体拼成一个成一个表面表面积最小最小的的长方体，方体，应把它把它们最大的面最大的面拼合起来。拼合起来。48+例例题1：从一个棱：从一个棱长10厘米的正方体木厘米的正方体木块上上挖去一个挖去一个长10厘米、厘米、宽2厘米、高厘米、高2厘米的厘米的小小长方体，剩下部分的表面方体，剩下部分的表面积是多少？是多少？49这是一道开放是一道开放题，分几种情况考，分几种情况考虑：按按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。平方厘米。按按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分
27、的表面所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。平方厘米。按按图27-3所示，挖通某两个所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面，剩下部分的表面面积为672平方厘米。平方厘米。50+例例题2：把：把19个棱个棱长为3厘米的正方体重叠厘米的正方体重叠起来，如起来，如图27-4所示，拼成一个立体所示，拼成一个立体图形，形，求求这个立个立 体体图形的表面形的表面积。51+要求要求这个复个复杂形体的表面形体的表面积，必，必须从整体入从整体入手，从上、左、前三个方向手，从上、左、前三个方向观察，每个方向察，每个方向上的小正方体各面就上的小正方体各面就组合成了如下合成了如下图形（如形（如图27-5所
28、示）。所示）。52而从另外三个方向上看到的面而从另外三个方向上看到的面积与以上三个与以上三个方向的面方向的面积是相等的。整个立体是相等的。整个立体图形的表形的表面面积可采用（可采用（S上上+S左左+S前）前）2来来计算。算。（339+338+3310）2=（81+72+90）2=2432=486（平方厘米）（平方厘米）53+例例题3：把两个：把两个长、宽、高分、高分别是是9厘米、厘米、7厘米、厘米、4厘米的相同厘米的相同长方体，拼成一个方体，拼成一个 大大长方体，方体，这个大个大长方体的表面方体的表面积最少是多最少是多少平方厘米？少平方厘米？54分析：把两个相同的大分析：把两个相同的大长方体拼
29、成一个大厂方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面房体的表面积就减少了两个拼合面的面就减少了两个拼合面的面积。要使大要使大长方体的表面方体的表面积最小，就必最小，就必须使两使两个拼合面的面个拼合面的面积最大，即减少两个最大，即减少两个97的面。的面。（99+94+74）22972=（63+36+28）4126=508126=382（平方厘米）（平方厘米）55+例例题4：一个：一个长方体，如果方体，如果长增加增加2厘厘米，米，则体体积增加增加40立方厘米；如果立方厘米；如果宽增加增加3厘米，厘米，则体体积增加增加90立方厘米；立方厘米；如
30、果高增加如果高增加4厘米，厘米，则体体积增加增加96立方立方里，求原里，求原长方体的表面方体的表面积。56分析：我分析：我们知道：体知道：体积=长宽高；由高；由长增加增加2厘米，体厘米，体积增加增加40立方厘米，可立方厘米，可知知宽高高=402=20（平方厘米）；由（平方厘米）；由宽增加增加3厘米，体厘米，体积增加增加90立方厘米，可立方厘米，可知知长高高=903=30（平方厘米）；由高（平方厘米）；由高增加增加4厘米，体厘米，体积增加增加96立方厘米，可立方厘米，可知知长宽=964=24（平方厘米）。而（平方厘米）。而长方体的表面方体的表面积=（长宽+长高高+宽高）高）2=（20+30+24
31、）2=148（平方厘米）。（平方厘米）。57即：即：402=20（平方厘米）（平方厘米）903=30（平方厘米）（平方厘米）964=24（平方厘米）（平方厘米）（30+20+24）2=742=148（平方厘米）（平方厘米）答：原答：原 长方体的表面方体的表面积是是148平平方厘米。方厘米。58+例例题5：如：如图27-10所示，将高都是所示，将高都是1米，底米，底面半径分面半径分别为1.5米、米、1米和米和0.5米的三个米的三个圆柱柱组成一个物体。求成一个物体。求这个物体的表面个物体的表面积。59 如果分如果分别求出三个求出三个圆柱的表面柱的表面积，再减，再减去重叠部分的面去重叠部分的面积，这样计算比算比较麻麻烦。实际上三个向上的面的面上三个向上的面的面积和恰好是大和恰好是大圆柱的一个底面柱的一个底面积。这样，这个物体的个物体的表面表面积就等于一个大就等于一个大圆柱的表面柱的表面积加上加上中、小中、小圆柱的柱的侧面面积。3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51=3.14（4.5+3+2+1）=3.1410.5=32.97（平方米）（平方米）60下次下次课课内容：内容：+数图形+体积+一笔画问题+错中求解61
