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1、 分 形 理 论 非线性科学三大理论前沿之一前前 言言一、非线性复杂系统 （一）什么是分形（FRACTAL） （二）自相似性 （三）标度不变性二、非欧氏几何学（分形几何学）三、分形理论的应用结束语 分分 形形 理理 论论 非线性科学三大理论前沿之一前 言 自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的，自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的，而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中，而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其中一个它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其中一个例子。例子。 在生命科学和社会科学中
2、，生命现象和社会现象都是一在生命科学和社会科学中，生命现象和社会现象都是一种复杂现象，非线性关系更是常见。种复杂现象，非线性关系更是常见。 客观世界是复杂的，所以科学家们认为客观世界是复杂的，所以科学家们认为“世界在本质上世界在本质上是非线性的是非线性的”。但以往人们对复杂事物的认识总是通过还原。但以往人们对复杂事物的认识总是通过还原论方法把它加以简化，即把非线性问题简化为线性问题。这论方法把它加以简化，即把非线性问题简化为线性问题。这种认识方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科种认识方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科学技术和社会的发展，已经暴露出它的局限性，从而要求人学技
3、术和社会的发展，已经暴露出它的局限性，从而要求人们直接研究复杂事物，以便更准确、更充分地反映其本们直接研究复杂事物，以便更准确、更充分地反映其本来面目。因此，一门研究复杂现象的非线性科学应运而来面目。因此，一门研究复杂现象的非线性科学应运而生。生。 在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律但同时，在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律性。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这性。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形些难题，透过扑朔迷离的
4、无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间局部和整体之间的本质联系的本质联系。 目前国内外定期召开有关分形的学术会议，出版会议论目前国内外定期召开有关分形的学术会议，出版会议论文集和关于分形的专著，在重要期刊上经常发表涉及分形理文集和关于分形的专著，在重要期刊上经常发表涉及分形理论和应用的论文。世界上论和应用的论文。世界上12571257种学术刊物在种学术刊物在8080年代后期发表年代后期发表的论文中的论文中, ,与分形有关的占据与分形有关的占据37.5%37.5%。从发表论文来看，所涉。从发表论文来看，所涉及的领域包括哲学、及
5、的领域包括哲学、物理、化学、材料化学、电子技术、表物理、化学、材料化学、电子技术、表面科学、计算机科学、生物学、面科学、计算机科学、生物学、医学、农学、天文学、气象医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划学、地震学、经济学、历史学、地质学、地理学、城市规划学、地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美学、思维、音乐、艺学、人口学、情报学、商品学、电影美学、思维、音乐、艺术等。术等。 分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有强大的之中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论
6、具有强大的生命力。生命力。研究对象v有一类问题却比较特别，Mandelbrot就提出了这样一个问题：英国的海岸线有多长？英国的海岸线地图研究对象（续）v当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。v如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。v如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。研究对象（续）v得到的结论是：海岸线的长度是多少：决定与尺子的长短。v海岸线的长度是无限的！v而显然海岸线的面
7、积为零；v而我们确实看到了海岸线的存在，而且海岸线应该是有界的。v海岸线什么有界？（长度、面积、体积显然无界）。Koch 曲线Koch 曲线（续）vKoch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。v同样的道理：长度无限、面积为零、而曲线还有“界”。v另外，有一个特点：当取其中的一部分展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一个什么东西的无数次的自我复制。自然界中的其他事物v取下一片蕨类植物叶子似乎与整体有某种相似性。vEngland的海岸线从视觉上也感觉有某种自相似性一、非线性复杂系统一、非线性复杂系统（一）什么是分形（一）什么是分形（fractal） “分形分形”这个名词是由美国这个名词是由美国IBM公司
8、研究中心物公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特理部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（Benoit B.Mondelbrot）在）在1975年首次提出（创年首次提出（创造）的，其原义是造）的，其原义是“不规则的，分数的，支离破碎不规则的，分数的，支离破碎的的”物体，这个名词是参照了拉丁文物体，这个名词是参照了拉丁文fractus(弄碎弄碎的的)后造出来的。它含有英文中后造出来的。它含有英文中frature(分裂分裂)fraction（分数）的双重意义。而我国在山西五台（分数）的双重意义。而我国在山西五台山南山寺的影壁墙上的碑文中，早在清朝时代就有山南山寺的影壁墙上的碑文中，早在
9、清朝时代就有了了“日月光明，分形变化日月光明，分形变化”的语句。的语句。 人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上，科学技术的发展与几何学的进步何学。在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。在生产实践和科学研究中，人始终是密切相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观世界的几何学是们用以描述客观世界的几何学是欧几里德几何学欧几里德几何学，以及以及解析几何、射影几何、微分几何解析几何、射影几何、微分几何等，它们能有等，它们能有效地描述三维世界的许多现象，如各种工业产品的效地描述三维世界的许多现象，如各种工业产品的现状，建
10、筑的外形和结构等。但是，自然界大多数现状，建筑的外形和结构等。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。例如：海岸线、的图形都是十分复杂而且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、闪电、海山形、河川、岩石、树木、森林、云团、闪电、海浪等等，例如图浪等等，例如图1.11.1、图、图1.21.2和图和图1.31.3所示。用欧几里所示。用欧几里德几何学是无能为力的。德几何学是无能为力的。 图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状 图1.2 日本传统绘画中对海浪的描述 图1.3 山脉的复杂形态 另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分另外，在科学研究中，对许多非规则性对
11、象建模分析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对象，都需要一种新的几何学来描述。象，都需要一种新的几何学来描述。 所以所以, , 一般地可把一般地可把“分形分形”看作看作大小碎片聚集的状大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描描述分形的几何，称为分形几何，又称为描述大自然的几述分形的几何，称为分形几何，又称为描述大自然的几何。何。 下面给出下面给出“分形分形”的两个定义，在物理上易于的两个定义，在物理上易于理解，但不够精确，也不够数学化。理解，但不够精确，也不够数学化。
12、 定义定义1 1（Mandelbrot,1986Mandelbrot,1986）: :部分以某种形式部分以某种形式与整体相似的形状叫分形。与整体相似的形状叫分形。 定义定义2 2（Edgar,1990Edgar,1990）: :分形集合是这样一种集分形集合是这样一种集合，它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则合，它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则（irregularirregular）, ,无论是放大还是缩小，甚至进一步无论是放大还是缩小，甚至进一步缩小，这种集合的不规则性仍然是明显的。缩小，这种集合的不规则性仍然是明显的。 分形的概念 分形是具有如下所列性质的集合分形是具有如下所列性
13、质的集合F F：F F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。F F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。F F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。的。F F在某种方式下定义的在某种方式下定义的“分维数分维数”通常大于通常大于F F的扑维数。的扑维数。F F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。的定义常常是非常简单的，或许是递归的。Julia SetvJulia Set: Zn+1 = Zn2 + Cv令复数令复数 C 为
14、一定值，将为一定值，将 Z 平面上任意一点代入，则平面上任意一点代入，则 Z 平面上部分区域收敛，部分区域发散，平面上部分区域收敛，部分区域发散， 而发散与而发散与收敛间的边界，即为收敛间的边界，即为 Julia Set 的图形。的图形。v根据根据C、Z0的不同会生成不同的的不同会生成不同的Julia集合集合Mandelbrot Set 在复平面中，在复平面中，M M集是通过下述迭代式产生集是通过下述迭代式产生的：的： Z Zn+1n+1=Z=Zn n2+C2+C。 其中，其中，Z Z和和c c都是复数，由各自的实部都是复数，由各自的实部 和虚部组成和虚部组成 X Xn+1n+1+iY+iYn
15、+1n+1 = (X = (Xn n+iY+iYn n) )2 2+C+Cx x+iC+iCy yv展开得：展开得： X Xn+1n+1 = = X Xn n 2 2 -Y-Yn n2 2+C+Cx x （实部）实部） Y Yn+1n+1 = 2* = 2*X Xn nY Yn n+C+Cy y （虚部）虚部） v对上述迭代式反复进行迭代，得到的数对上述迭代式反复进行迭代，得到的数集，称为集，称为MandelbrotMandelbrot集，简称集，简称M M集。在迭集。在迭代过程中，代过程中，Z Z的初值定为的初值定为0 0，而，而C C选择一个选择一个不为不为0 0的数的数, ,使使C C在
16、复平面的某个区域内有在复平面的某个区域内有规律地变化，对于二次函数规律地变化，对于二次函数fc(Zfc(Z)=Z2+C)=Z2+C的迭代，定义的迭代，定义M M集为：集为：M=cM=cC:fC:fc ck k(0)/(0)/ (k (k)。 v用不同的用不同的C C值反复进行迭代，由此产生的值反复进行迭代，由此产生的ZkZk序序列有两种情况：列有两种情况：（1 1）Z Zk k序列自由地朝着无穷大的方向扩散，即序列自由地朝着无穷大的方向扩散，即发散；发散； （2 2）Z Zk k序列被限制在复平面的某一区域内，即序列被限制在复平面的某一区域内，即收敛。收敛。v建立判断收敛与发散的判断准则，对于
17、那些收建立判断收敛与发散的判断准则，对于那些收敛的敛的ZkZk序列的点，设置某种颜色的色调，就可序列的点，设置某种颜色的色调，就可以显示以显示M M集的计算机图象。对于那些发散的集的计算机图象。对于那些发散的ZkZk序列的点，根据发散速度的不同，按照给定的序列的点，根据发散速度的不同，按照给定的规则着上不同颜色的色调，就能显示规则着上不同颜色的色调，就能显示M M集周围集周围的图象。的图象。自然界中的分形山星云星云天空中的云朵植物的叶子视网膜中央动脉颞上支阻塞视乳头旁毛细血管瘤毛细血管分布河流分布图自然界中的分形v股票价格曲线v岩石裂缝v金属损伤裂缝v道路分布v神经末梢的分布局部结论v从分析上
18、述现象可以看到，从分析上述现象可以看到，JuliaJulia、MandelbrotMandelbrot集合所显现出来的图形是极端复杂的，而且存在集合所显现出来的图形是极端复杂的，而且存在着自相似性（即局部等于全体），而这么复杂的着自相似性（即局部等于全体），而这么复杂的图形是由一个非常简单的方程通过初值的选择反图形是由一个非常简单的方程通过初值的选择反复迭代得到的结果。复迭代得到的结果。v反推回来，一个具有分形特征的自然现象是否可反推回来，一个具有分形特征的自然现象是否可以认为是有一个非常简单的方程通过初值的选择以认为是有一个非常简单的方程通过初值的选择反复迭代得到的结果？如果是，只要找到方程
19、和反复迭代得到的结果？如果是，只要找到方程和初值，就可以随意地生成我们所希望的图形？初值，就可以随意地生成我们所希望的图形？如何来研究分形？vMandelbrotMandelbrot提出了一个分形维数的概念。提出了一个分形维数的概念。v在在EuchlidEuchlid几何学中我们知道维数的概念几何学中我们知道维数的概念点点-0-0维；维；线线-1-1维；维；面面-2-2维；维；体体-3-3维。维。（二）自相似性（二）自相似性 分形具有分形具有“粗糙和自相似粗糙和自相似”的直观特点。的直观特点。 一个系统的一个系统的自相似性自相似性是指某种结构或过程的特征从不是指某种结构或过程的特征从不同的空间
20、尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。定倍数以后简单地和整体完全重合。 人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经
21、可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍的表系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。说明自相似性。 太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现这两太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个系统在自个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它
22、们物质系统之间存在着自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统之间存在着自相似的性质。相似的性质。 物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在着。物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在着。以人为例，人是由类人猿进化到一定程度的产物，解剖学以人为例，人是由类人猿进化到一定程度的产物，解剖学研究表明，人体中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、研究表明，人体中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统等在结构上都具有高度的自相似性。图消化系统等在结构上都具有高度的自相似性。图1.41.4是人是人体小肠的结构，由图可以看到，当以不同的放大倍数观察体小肠的结构，由图可以看到，当以不同的放大倍数观察小肠结
23、构时，即从小肠结构时，即从a a到到e e较大的形态与较小的形态之间的相较大的形态与较小的形态之间的相似表明小肠结构具有自相似性。似表明小肠结构具有自相似性。 图1.4 人体小肠的自相似结构 一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树枝上棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然，这然，这只能是只能是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另外，树枝与
24、树枝之间，树叶与树叶之间，也呈现出去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。似的自相似结构。 由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是严格的不是严格的，而是，而是，在统计意义下的自相似性在统计意义下的自相似性，海岸线也，海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无无规分形规分形。另外，还有所谓有规分形。另外，还有所谓有规分形, ,这类分形这类分形, , 由
25、于它是按由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有一定的数学法则呈现，因此具有严格的自相似性严格的自相似性。所谓。所谓kochkoch曲线，就是属于曲线，就是属于有规分形有规分形, , 如图如图1.51.5所示。所示。图1.5 三次koch曲线 它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为段用夹角为60600 0的二条等长（的二条等长（1/31/3）的折线来代替，形成）的折线来代替，形成一个生成单元，如图一个生成单元，如图1.5(b).1.5(b).然后再把每一条直线段用然后再把每一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无生成
26、单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的穷多弯曲的kochkoch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。相当理想的。 kochkoch曲线是分形的，因为它是自相似的。曲线是分形的，因为它是自相似的。自相似性就是自相似性就是跨尺度的对称跨尺度的对称。它意味着递归，在一个图形内部还有图形。它意味着递归，在一个图形内部还有图形。从图从图1.51.5（e e）中可以清楚看到这一点。自相似性指的是，把）中可以清楚看到这一点。自相似性指的是，把要考虑的图形的一部分放大，其形状与整体相同。设想把图要考虑的图形的一部分放大，其形状与整体相同。设想把图1.
27、 51. 5（e e）中的）中的kochkoch曲线区间曲线区间0,1/30,1/3中的图形放大中的图形放大3 3倍，放大倍，放大后的图形与原来的曲线形状完全相同。把区间后的图形与原来的曲线形状完全相同。把区间2/3,12/3,1放大放大3 3倍，也会得到同样的结果。虽然区间倍，也会得到同样的结果。虽然区间1/3,1/2 1/3,1/2 ，1/2,2/31/2,2/3的图形是倾斜的，但是把它放大，也会得到同样的结果。若的图形是倾斜的，但是把它放大，也会得到同样的结果。若把区间把区间0,1/90,1/9的图形放大的图形放大9 9倍，同样也可以产生与原来相同倍，同样也可以产生与原来相同的图形。对更
28、小的部分进行放大也是如此，不论多小部分，的图形。对更小的部分进行放大也是如此，不论多小部分，若把它放大到适当大小，应该能得出与原来相同的图形。若把它放大到适当大小，应该能得出与原来相同的图形。（三）标度不变性（三）标度不变性 所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行对它进行放大放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性。因此特性。因此, ,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变复杂程度、不规则性等各种
29、特点均不会变化。所以标度不变性又称为性又称为伸缩对称性伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放大镜的倍数。观察到的图象，无法判断所用放大镜的倍数。 所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标度不所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标度不变性，或者说这类物体设有特性长度。上面介绍的变性，或者说这类物体设有特性长度。上面介绍的kochkoch曲线曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它放大与缩小多是具有严格的自相似性的
30、有规分形，无论将它放大与缩小多少倍，它的基本几何特性都保持不变，很显然，它具有标度少倍，它的基本几何特性都保持不变，很显然，它具有标度不变性。不变性。 因此因此, ,可以看到可以看到, ,自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性和标度不变性是分形的自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性两个重要特性。 对于对于“特征长度特征长度”这一名词，作一简单的说明，自然这一名词，作一简单的说明，自然界存在的所有物体的形状和人类迄今所考虑的一切图形，界存在的所有物体的形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为如下大致可分为如下两种两种：具有特征长度的图形和不具有特征具有
31、特征长度的图形和不具有特征长度的图形。长度的图形。对于对于特征长度特征长度，并没有严格的定义，一般认，并没有严格的定义，一般认为为能代表物体的几何特征的长度能代表物体的几何特征的长度，就称之为该物体的特征，就称之为该物体的特征长度。如一个球的半径、正方体的边长、人的身高、汽车长度。如一个球的半径、正方体的边长、人的身高、汽车的长度，这些都是各个物体的特征长度，它们很好地反映的长度，这些都是各个物体的特征长度，它们很好地反映了这些物体的几何特征。对具有特征长度的物体的形状，了这些物体的几何特征。对具有特征长度的物体的形状，对它们即使稍加简化，但只要其特征长度不变，其几何性对它们即使稍加简化，但只
32、要其特征长度不变，其几何性质也不会有太大的变化。如竖起一个代替人的、与人具有质也不会有太大的变化。如竖起一个代替人的、与人具有相同高度的圆柱，那么从远处去看，也不会有太大的差错；相同高度的圆柱，那么从远处去看，也不会有太大的差错；如果再精细一点，以小圆柱代替手和腿，以矩形代替身躯，如果再精细一点，以小圆柱代替手和腿，以矩形代替身躯，以球代替头，那么就会很像人了。换句话说，关于这类物以球代替头，那么就会很像人了。换句话说，关于这类物体体, ,可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、球等简单形状加球等简单形状加以组合，就能很好地与其构造近似。以组合，就能很好地与其构造近
33、似。 二、非欧氏几何学（分形几何学）二、非欧氏几何学（分形几何学） 欧几里德几何学欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门（简称欧氏几何学），是一门具有具有20002000多年历史的数学分支，它是多年历史的数学分支，它是以规整几何图以规整几何图形为研究图象形为研究图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与线段；平面与平面上的正方形、矩形、点、直线与线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各种三角形以及正多边形等。空间中梯形、菱形、各种三角形以及正多边形等。空间中的正方体、长方体、正四面体等。另外一类就是曲的正方体、长方体、正四面体等。另外一类就是曲线或
34、由曲面所组成的几何图形，平面上的圆与椭圆，线或由曲面所组成的几何图形，平面上的圆与椭圆，空间中的球、椭球、圆柱以及圆台等。这些点、直空间中的球、椭球、圆柱以及圆台等。这些点、直线、平面图形、空间图形的维数（欧氏维数）分为线、平面图形、空间图形的维数（欧氏维数）分为为为0 0、1 1、2 2、和、和3 3。对规整几何图形的。对规整几何图形的几何测量几何测量是指是指长度（边长、周长以及对角线长等）、面积与体积长度（边长、周长以及对角线长等）、面积与体积的测量。的测量。数学的不规则图形 实际上，在曼德尔勃朗特的问题提出之前，实际上，在曼德尔勃朗特的问题提出之前，数学家就曾经构造过多种不规则的几何图形
35、，数学家就曾经构造过多种不规则的几何图形，他们具有和海岸线相似的性质。他们具有和海岸线相似的性质。Cantor集 Cantor Cantor在在18831883年构造了如下一类集合：年构造了如下一类集合：取一段欧式长度为取一段欧式长度为l l的直线段，将该线段三的直线段，将该线段三等分，去掉中间的一段，剩下两段。再将剩等分，去掉中间的一段，剩下两段。再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间的一段，下的两段分别三等分，各去掉中间的一段，剩下四段。将这个操作进行下去，直至无穷，剩下四段。将这个操作进行下去，直至无穷，可得到一个离散的点集，点数趋于无穷多，可得到一个离散的点集，点数趋于无穷多，而长度趋于
36、零。经无限次操作所得到的离散而长度趋于零。经无限次操作所得到的离散点集称为点集称为CantorCantor集。集。Koch雪花线 瑞典数学家科赫（瑞典数学家科赫（H.vonH.von Koch)Koch)在在19041904年提出了一种曲年提出了一种曲线，它的生成方法是把一条直线，它的生成方法是把一条直线段分成三段，将中间的一段线段分成三段，将中间的一段用夹角为用夹角为6060度的两条等长折线度的两条等长折线来代替，形成一个生成元，然来代替，形成一个生成元，然后再把每个直线段用生成元进后再把每个直线段用生成元进行代换，经无穷次迭代后就呈行代换，经无穷次迭代后就呈现出一条有无穷多弯曲的现出一条有
37、无穷多弯曲的KochKoch曲线。曲线。Sierpinski集 首先，将一个等边三角形四等分，得到四首先，将一个等边三角形四等分，得到四个小等边三角形，去掉中间的一个，保留它个小等边三角形，去掉中间的一个，保留它的边。将剩下的三个小三角形再分别进行四的边。将剩下的三个小三角形再分别进行四等分，并分别去掉中间的一个，保留它的边。等分，并分别去掉中间的一个，保留它的边。重复操作直至无穷，得到一个面积为零，线重复操作直至无穷，得到一个面积为零，线的欧式长度趋于无穷大的图形。这个图形被的欧式长度趋于无穷大的图形。这个图形被人们称为谢尔宾斯基缕垫。人们称为谢尔宾斯基缕垫。Sierpinski地毯 将一个
38、正方形九将一个正方形九等分，去掉中间的一等分，去掉中间的一个，保留四条边，剩个，保留四条边，剩下八个小正方形。将下八个小正方形。将这九个小正方形再分这九个小正方形再分别进行九等分，各自别进行九等分，各自去掉中间的一个保留去掉中间的一个保留它们的边。重复操作它们的边。重复操作直至无穷。直至无穷。 对一个正六面体，将对一个正六面体，将它的每条边进行三等分，它的每条边进行三等分，即对正六面体进行即对正六面体进行2727等分，等分，去掉体心和面心处的去掉体心和面心处的7 7个个小正六面体，剩下小正六面体，剩下2020个小个小正六面体，并保留它们的正六面体，并保留它们的表面，重复操作直无穷，表面，重复操
39、作直无穷，得到的图形。体积趋于零，得到的图形。体积趋于零，而其表面的欧式面积趋于而其表面的欧式面积趋于无穷大。无穷大。Sierpinski海绵Sierpinski集的共同特点v它们都是经典几何无法描述的图形，是一种它们都是经典几何无法描述的图形，是一种“只有皮没有肉只有皮没有肉”的几何集合。的几何集合。 v它们都具有无穷多个自相似的内部结构，任它们都具有无穷多个自相似的内部结构，任何一个分割后的图形放大后都是原来图形的何一个分割后的图形放大后都是原来图形的翻版。翻版。问题在哪里？v以上是一些经典几何意义下的以上是一些经典几何意义下的“病态病态”图形，图形，以以KochKoch曲线为例，以一维来
40、度量它，它的长曲线为例，以一维来度量它，它的长度趋于无穷，而以二维来度量它，它的面积度趋于无穷，而以二维来度量它，它的面积为零，那么，它究竟是几维图形为零，那么，它究竟是几维图形?1?1维？维？ 2 2维维？1 1？维吗？维吗？v经典的维度定义有问题吗？经典的维度定义有问题吗？经典几何的维度定义v在经典几何下，点被定义成在经典几何下，点被定义成0 0维的，点没有长维的，点没有长度；直线被定义成度；直线被定义成1 1维，只有长度，没有面积，维，只有长度，没有面积，平面图形被定义成平面图形被定义成2 2维的，有面积，没有体积，维的，有面积，没有体积，立体图形是立体图形是3 3维的，有体积。维的，有
41、体积。v经典几何讨论的维度都是整数，它们的数值经典几何讨论的维度都是整数，它们的数值与决定几何形状的变量个数及自由度是一致与决定几何形状的变量个数及自由度是一致的，这是一个很自然的想法。的，这是一个很自然的想法。换一个角度看维度 根据相似性来看线段、正方形和立方体的根据相似性来看线段、正方形和立方体的维数。首先把线段、正方形和立方体的边两维数。首先把线段、正方形和立方体的边两等分，这样，线段成为长度一半的两条线段，等分，这样，线段成为长度一半的两条线段，正方形变成边长为原来边长正方形变成边长为原来边长1/21/2的四个小正方的四个小正方形，而立方体而成为八个小立方体，边长为形，而立方体而成为八
42、个小立方体，边长为原来边长的原来边长的1/21/2。原来的线段、正方形和立方。原来的线段、正方形和立方体分别由体分别由2 2，4 4，8 8个把全体分成个把全体分成1/21/2的相似形的相似形组成。而组成。而2 2，4 4，8 8可改写成可改写成2 2的的1 1，2 2，3 3次方，次方，这里的这里的1 1，2 2，3 3分别与其图形的经验维数相一分别与其图形的经验维数相一致。致。 (1)(1)长度长度= , = , 面积面积= = 2 2, , 体积体积= = 3 3（正方体）；（正方体）； (2)(2)长度（半径）长度（半径）= ,= ,面积面积= , = , 体积体积= (= (球）；球
43、）； 由上面两式可以看到，长度、面积和体积的量纲是由上面两式可以看到，长度、面积和体积的量纲是长度单位的长度单位的1 1、2 2和和3 3次方，它们恰好与这些几何图形存在次方，它们恰好与这些几何图形存在空间的欧氏维数相等，而且均为整数。空间的欧氏维数相等，而且均为整数。 除了正方体和球以外的那些几何图形的体积，都可除了正方体和球以外的那些几何图形的体积，都可以用正方体或球来进行测量。以用正方体或球来进行测量。 总结欧氏几何的测量可以看到：第一类几何图形的总结欧氏几何的测量可以看到：第一类几何图形的测量是以长度为基础；第二类几何图形也是以长度（两测量是以长度为基础；第二类几何图形也是以长度（两点
44、间的距离点间的距离r r ）为基础的，平面图形以圆为基础，空间）为基础的，平面图形以圆为基础，空间图形以球为基础。所以，在欧氏几何中对规整几何图形图形以球为基础。所以，在欧氏几何中对规整几何图形的测量，可以用下式来表示：的测量，可以用下式来表示： 在欧氏几何测量中，可以把上述两类几何图形（分别以正在欧氏几何测量中，可以把上述两类几何图形（分别以正方体和球作为代表）归纳为如下二点：方体和球作为代表）归纳为如下二点：长度长度= 面积面积= ( ( 2.1)2.1)体积体积= 式中式中a a和和b b为常数，称为为常数，称为几何因子几何因子，与具体的几何图，与具体的几何图形的形状有关，如对圆形的形状
45、有关，如对圆 ；对球对球 . . 由式由式（2.12.1）可以得出如下）可以得出如下结论结论： 它们是以两点间的距离为基础的，而且它们的量纲它们是以两点间的距离为基础的，而且它们的量纲数分别等于几何图形存在的空间的维数。数分别等于几何图形存在的空间的维数。 在物理学中，大于在物理学中，大于3 3维的空间也是存在的，如把时维的空间也是存在的，如把时间和空间一起加以考虑，就得到了所谓的四维空间。间和空间一起加以考虑，就得到了所谓的四维空间。 以上讨论的维数都是整数，它们的数值与决定几何以上讨论的维数都是整数，它们的数值与决定几何形状的变量个数及自由度数是一致的。也就是说，直线形状的变量个数及自由度
46、数是一致的。也就是说，直线上的任意点可用上的任意点可用1 1 个实数来表示，平面上的点可用由个实数来表示，平面上的点可用由2 2个实数组成的数组来表示个实数组成的数组来表示 我们把自由度数作为我们把自由度数作为维数维数，也称为，也称为经验维数经验维数。现在我们会问现在我们会问: :是否有非整数维的几何存在呢？实际上是否有非整数维的几何存在呢？实际上, ,若对若对长度为长度为1 1的线段的线段n n等分，每段长为等分，每段长为r r，则，则 (2.2) 对面积为对面积为1 1的正方形作的正方形作n n等分，每个小正方形的边长为等分，每个小正方形的边长为r r，则，则 (2.3) 对体积为对体积为
47、1 1的正方体作的正方体作n n等分，每个小正方体的边长为等分，每个小正方体的边长为r r，则则 (2.4) 上面三个等式中，上面三个等式中，r r的幂次实际上就是几何体能得到定的幂次实际上就是几何体能得到定常度量的空间维数，于是有如下公式常度量的空间维数，于是有如下公式 (2.5) 对上式两边取对数，则得到空间维数对上式两边取对数，则得到空间维数D D的表达式：的表达式： （2.6） 对对kochkoch曲线而言，在第曲线而言，在第n n步时，其等长折线段总数为步时，其等长折线段总数为4n4n，每段长度为，每段长度为 ，于是于是kochkoch曲线的维数曲线的维数D D应为应为 （2.7）
48、这是一个非整数值，它定量地表示这是一个非整数值，它定量地表示kochkoch曲线的复杂程度。曲线的复杂程度。kochkoch曲线是一个分形图形。分形图形虽然一般都比较复杂，但曲线是一个分形图形。分形图形虽然一般都比较复杂，但其复杂程度可用非整数维数去定量化，维数愈大，其复杂性就其复杂程度可用非整数维数去定量化，维数愈大，其复杂性就会相应提高。会相应提高。 我们上面讲的维数又称为我们上面讲的维数又称为相似维数相似维数，常用，常用DsDs表示。一表示。一般地，如果某图形是由把原图缩小为般地，如果某图形是由把原图缩小为1/a1/a的相似的的相似的b b个图形个图形所组成，则有：所组成，则有： ， (
49、2.8) 因此，我们对因此，我们对kochkoch曲线，又可看成是由把全体缩小成曲线，又可看成是由把全体缩小成1/31/3的四个相似形构成的，按式（的四个相似形构成的，按式（2.82.8），），kochkoch曲线的相似曲线的相似维数则为维数则为 (2.9) 下面我们再看看下面我们再看看KOCHKOCH曲线在欧氏几何中的长度是多曲线在欧氏几何中的长度是多少，显然少，显然， ， ， ，那那么么 由于它是一条闭区间的曲线，在欧氏几何中，其面积为零。由于它是一条闭区间的曲线，在欧氏几何中，其面积为零。换句讲，换句讲，kochkoch曲线在传统的欧氏几何领域不可度量。而分维曲线在传统的欧氏几何领域不可
50、度量。而分维 恰好反映了这种曲线的恰好反映了这种曲线的不规则性和复杂性。不规则性和复杂性。 由以上的讨论，我们可以看到，从由以上的讨论，我们可以看到，从传统的几何学传统的几何学出发，我出发，我们用非常简单的一把直尺去研究们用非常简单的一把直尺去研究kochkoch曲线，会发现它十分的复曲线，会发现它十分的复杂，它包含无限的层次结构，用什么样的尺子都很难测量它，杂，它包含无限的层次结构，用什么样的尺子都很难测量它，所以我们说所以我们说kochkoch曲线是很复杂的几何对象。从曲线是很复杂的几何对象。从分形几何学分形几何学出发，出发，我们用一个看起来很复杂的测量单位我们用一个看起来很复杂的测量单位
51、一个小的一个小的kochkoch曲线曲线去测量去测量kochkoch曲线，所得的结果却十分简单。对比以上两种情曲线，所得的结果却十分简单。对比以上两种情况：况：欧氏几何欧氏几何用简单的图形作为工具，研究某些对象时发现存用简单的图形作为工具，研究某些对象时发现存在着复杂性；在着复杂性；分形几何分形几何用复杂的图形（恰恰是利用自相似性，用复杂的图形（恰恰是利用自相似性，利用复杂图形的本身或其一部分）作工具利用复杂图形的本身或其一部分）作工具, , 研究对象时得到非研究对象时得到非常简单的结果。常简单的结果。维数的含义v分形是复杂不规则的系统分形是复杂不规则的系统, ,而描述这系统的粗而描述这系统的
52、粗糙糙, ,破碎破碎, ,不规则不规则, ,不光滑程度及复杂性的定量不光滑程度及复杂性的定量指标和手段就指标和手段就是非整数维数是非整数维数: :v分维分维, ,分数维数是描述复杂对象或系统的最基分数维数是描述复杂对象或系统的最基本特征本特征-分形特征的定量参数分形特征的定量参数.v分维分维D D度量了系统填充空间度量了系统填充空间( (致密致密) )或缝隙或缝隙( (疏松疏松) )的能力的能力, ,刻划了系统的无序性刻划了系统的无序性, ,表征了动力学表征了动力学系统最低的基本或独立变量的个数系统最低的基本或独立变量的个数. .描述的对象层次性自相似性特征长度表达方式维数人类创造的简单的标准
53、物体(可微,可导,连续,光滑,规整)常无有用数学公式0及正整数1或2或3大自然创造的复(非欧几何学)杂的真实物体(不连续,不可导,不规则,粗糙,不光滑,曲折)有无用迭代语言,分维一般是分数(可是正整数)分形几何学与欧氏几何学的差异分形几何学欧氏几何学三、分形理论的应用三、分形理论的应用 分形几何的诞生接近分形几何的诞生接近3030年，但它对多种学科的年，但它对多种学科的影响是极其巨大的。分形理论在生物学、地球物理影响是极其巨大的。分形理论在生物学、地球物理学、物理学和化学、天文学、材料科学、计算机图学、物理学和化学、天文学、材料科学、计算机图形学、语言学与情报学、信息科学、经济学等领域形学、语
54、言学与情报学、信息科学、经济学等领域都有广泛的应用。都有广泛的应用。v生物学：肺（人肺的分形维数约为生物学：肺（人肺的分形维数约为2.172.17；血管（血；血管（血管直径分布的分形维数约为管直径分布的分形维数约为2.32.3），人脑（人脑表面），人脑（人脑表面的皱纹的分形维数约为的皱纹的分形维数约为2.73-2.792.73-2.79）；蛋白质。）；蛋白质。v地球物理学：海岸线、河流的干流和支流分布、地地球物理学：海岸线、河流的干流和支流分布、地震研究。震研究。 v物理学和化学：超导；固体表面；高分子。物理学和化学：超导；固体表面；高分子。 下面我们举一个经济学中的例子。所谓股票价格的变动。
55、下面我们举一个经济学中的例子。所谓股票价格的变动。股票价格变动图虽然经常可在报纸（或电视等）上看到，但股票价格变动图虽然经常可在报纸（或电视等）上看到，但因价格涨落得非常厉害，而且完全是随机的，因此使人感到因价格涨落得非常厉害，而且完全是随机的，因此使人感到几乎无规律可循。但若从统计学观点解析这一变动，就会发几乎无规律可循。但若从统计学观点解析这一变动，就会发现有很好的规律。现有很好的规律。MandelbrotMandelbrot发现下面两个法则：发现下面两个法则： 每个单位时间内的股票价格变动分布，服从特性指每个单位时间内的股票价格变动分布，服从特性指数数D1.7D1.7的对称稳定分布。的对
56、称稳定分布。 单位时间不论取多大或多小，其分布也是相似的。单位时间不论取多大或多小，其分布也是相似的。也就是说，适当地改变尺度，就可成为同样的分布。也就是说，适当地改变尺度，就可成为同样的分布。 关于稳态分布关于稳态分布, ,只讨论与分形有关的一些性质。若只讨论与分形有关的一些性质。若把单位时间把单位时间T T之间的股票价格变动之间的股票价格变动x x的分布密度记为的分布密度记为P P（x x），则下述关系成立：），则下述关系成立： 此关系式表示此关系式表示股票价格变动的大小分布为分形股票价格变动的大小分布为分形。例。例如，一天的股票价格变动在如，一天的股票价格变动在x x元以上，比元以上，比
57、2x2x元以上的变元以上的变动次数多动次数多2 21.71.73.23.2倍。倍。 法则（法则（2 2）表示）表示股票价格变动在时间上也是分形的股票价格变动在时间上也是分形的。一天的股票价格变动图形与一年的股票价格变动图形相一天的股票价格变动图形与一年的股票价格变动图形相比，不同的只是股票价格的尺度，而对变动情况则很难比，不同的只是股票价格的尺度，而对变动情况则很难加以区别。加以区别。 下面我们再介绍下面我们再介绍分形对哲学的影响分形对哲学的影响。分形中充满着辩证法。分形中充满着辩证法思想，它不仅为辩证法提供新的事例，而且可以丰富人们对辩思想，它不仅为辩证法提供新的事例，而且可以丰富人们对辩证
58、法的认识。分形理论中具有确定性与随机性、内在随机性与证法的认识。分形理论中具有确定性与随机性、内在随机性与外在随机性、局部与整体、简单与复杂等几对矛盾的辩证关系。外在随机性、局部与整体、简单与复杂等几对矛盾的辩证关系。后面，仅对所谓整体与局部这一对矛盾，存在着辩证的关系，后面，仅对所谓整体与局部这一对矛盾，存在着辩证的关系，加以简要的阐述。加以简要的阐述。 很早以前，人们对部分（局部）与整体的关系，是认为整很早以前，人们对部分（局部）与整体的关系，是认为整体可以分解为一些部分，整体是由部分组成的；部分包含在整体可以分解为一些部分，整体是由部分组成的；部分包含在整体之中，是整体的组成部分，部分相
59、加可以构成整体。因此，体之中，是整体的组成部分，部分相加可以构成整体。因此，整体等于部分。在这一认整体等于部分。在这一认识中识中, , 把部分与整体的关系理解为机把部分与整体的关系理解为机械的分解和相加。比如，人们在求面积的过程中就充分体现了械的分解和相加。比如，人们在求面积的过程中就充分体现了这一思想。人们正是基于这种整体与部分的关系的看法，形成这一思想。人们正是基于这种整体与部分的关系的看法，形成简化事物的方法简化事物的方法还原论方法。这种方法确实为我们解决了还原论方法。这种方法确实为我们解决了许多问题，推动了科学技术的发展。但是，随着科学技术的发许多问题，推动了科学技术的发展。但是，随着
60、科学技术的发展，说明它并非总是有效的。展，说明它并非总是有效的。 1717世纪，伽利略（世纪，伽利略（GalileoGalileo，G.1564G.156416421642）在）在16381638年年出版的出版的关于新科学的对话关于新科学的对话一书中提出一个一书中提出一个悖论悖论：正整：正整数集合数集合s1s1的元素与正整数平方的集合的元素与正整数平方的集合s2s2的元素是一样多的。的元素是一样多的。人们称伽利略悖论人们称伽利略悖论, ,可以表示如下可以表示如下： s1： 1， 2， 3， ， n s2： 12，22， 32， n2 一方面从常识来看，一方面从常识来看，s1s1的元素显然比的元
61、素显然比s2s2的元素多。因的元素多。因为从为从1212到到2222就少了就少了2 2、3 3两个数，从两个数，从2222到到3232缺少缺少5 5、6 6、7 7、8 8四个数，一般地从四个数，一般地从n2n2到（到（n+1n+1）2 2就缺少就缺少2n2n个正整数；另一个正整数；另一方面从上面所列的一一对应关系来看，方面从上面所列的一一对应关系来看，s1s1与与s2s2的元素确实的元素确实是一样多的，或者说是一样多的，或者说s1s1的元素并不比的元素并不比s2s2的元素多。的元素多。 当时，人们用有限数的眼光来看待无限数的关系，无当时，人们用有限数的眼光来看待无限数的关系，无法理解这种奇特
62、的现象，所以称它为法理解这种奇特的现象，所以称它为伽利略悖论伽利略悖论。这个悖。这个悖论说明什么呢？在无穷集合中，整体可以与部分相等，或论说明什么呢？在无穷集合中，整体可以与部分相等，或者说整体不大于部分。这说明我们者说整体不大于部分。这说明我们不能不能把有穷情况下得出把有穷情况下得出的结论，不加限止地推广到无穷的情况，说明我们以前对的结论，不加限止地推广到无穷的情况，说明我们以前对整体与部分的关系的认识是有条件的，不是普遍有效的。整体与部分的关系的认识是有条件的，不是普遍有效的。 在部分（局部）与整体的关系，分形几何已经揭示出在部分（局部）与整体的关系，分形几何已经揭示出一个一个重要特点重要
63、特点：自相似，即取分形上任意一小部分加：自相似，即取分形上任意一小部分加以放以放大，就可以发现部分与整体是相似的。这种自相似可以是大，就可以发现部分与整体是相似的。这种自相似可以是严格的或有规律的，也可以是近似的或统计的。因此，自严格的或有规律的，也可以是近似的或统计的。因此，自相似性为我们理解部分与整体的辩证关系提供了新的科学相似性为我们理解部分与整体的辩证关系提供了新的科学依据。依据。 对于传统的和分形理论中关于部分与整体的关系，对于传统的和分形理论中关于部分与整体的关系，可用图可用图3.13.1和图和图3.23.2表示：表示： 分解为相同的小块分解为相同的小块 相同小块相加相同小块相加
64、整体整体 部分部分 整体整体 图图3.1 分解成一些与整体相似的小块分解成一些与整体相似的小块 迭代法迭代法 整体整体 部分部分 整体整体 图图3.2 由图由图3.13.1和图和图3.23.2，我们可以看到：由部分是以自，我们可以看到：由部分是以自身同等的方式存在于整体之中的传统看法，进而认识身同等的方式存在于整体之中的传统看法，进而认识到部分以与整体相似的方式存在于整体之中。这是人到部分以与整体相似的方式存在于整体之中。这是人类认识史上的一大进步，具有深远的哲学意义。类认识史上的一大进步，具有深远的哲学意义。 结结 束束 语语 分形理论是一门重要的新学科，它的历史很短，但是卷入分形理论是一门
65、重要的新学科，它的历史很短，但是卷入分形狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、分形狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、材料学家等，在社会科学与人文科学方面，地貌学与地震学家、材料学家等，在社会科学与人文科学方面，大批哲学家、经济学家、金融学家乃至作家画家和电影制作家大批哲学家、经济学家、金融学家乃至作家画家和电影制作家都蜂拥而入。著名的电影都蜂拥而入。著名的电影“星球大战星球大战”就是利用分形技术创作就是利用分形技术创作的。由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科学家对其的。由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科学家对其情有独钟，分形图像压缩被
66、认为最具前景的图像压缩技术之一，情有独钟，分形图像压缩被认为最具前景的图像压缩技术之一，分形图形学被认为是描绘大自然景色分形图形学被认为是描绘大自然景色最诱人的方法。美国理论最诱人的方法。美国理论物理学家惠勒（物理学家惠勒（WheelerWheeler）说：）说：“可以相信，明天谁不熟悉分可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能认为是科学上的文化人。形，谁就不能认为是科学上的文化人。”在一些分形网站上写在一些分形网站上写着：着：“分形学，分形学，2121世纪的数学。世纪的数学。” 分形理论正处于发展之中，它涉及面广但还不够成熟，对分形理论正处于发展之中，它涉及面广但还不够成熟，对它争论也不少，但是
67、由于已被广泛应用到自然科学和社会科学它争论也不少，但是由于已被广泛应用到自然科学和社会科学的几乎所有领域，所以成为当今国际上许多学科的前沿研究课的几乎所有领域，所以成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。题之一。 参参 考考 文文 献献1. 1. 林夏水等著，林夏水等著，分形的哲学漫步分形的哲学漫步，首都师范大学出版社，首都师范大学出版社，199919992. 2. 张济忠，张济忠，分形分形，清华大学出版社，清华大学出版社，199519953. 3. 李水根、吴纪桃编著，李水根、吴纪桃编著，分形与小波分形与小波，科学出版社，科学出版社，200020004 4. . 法法BB曼德尔布洛特著，文
68、志英、苏虹译，曼德尔布洛特著，文志英、苏虹译，分形对象分形对象形、机形、机遇遇 和维数和维数，世界图书出版公司北京公司，世界图书出版公司北京公司，199919995. 5. 陈陈颙颙、陈凌编著，、陈凌编著，分形几何学分形几何学，地震出版社，地震出版社，199819986. 6. 胡瑞安、胡纪阳、徐树公著，胡瑞安、胡纪阳、徐树公著，分形的计算机图象及其应用分形的计算机图象及其应用，中，中国铁道出版社，国铁道出版社，199519957. 7. 文志英编著，文志英编著，分形几何的数学基础分形几何的数学基础，上海科技教育出版社，上海科技教育出版社，200020008. 8. 谢和平、薛秀谦编著，谢和平、薛秀谦编著，分形应用中的数学基础与方法分形应用中的数学基础与方法，科学出版，科学出版社，社，199719979. 9. 英英 肯尼思肯尼思法尔科内著，曾文曲，王向阳，陆夷译，法尔科内著，曾文曲，王向阳，陆夷译，分形几何中分形几何中的技巧的技巧，东北大学出版社，东北大学出版社， 1999199910. 10. 吴敏金著，吴敏金著，分形信息导论分形信息导论，上海科学技术文献出版社，上海科学技术文献出版社，1994199411. 11. 辛厚文主编，辛厚文主编，分形理论及其应用分形理论及其应用，中国科学技术大学出版社，中国科学技术大学出版社，19931993 谢 谢
