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1、第八章第八章 采样控制系统采样控制系统本章主要内容本章主要内容8-1 8-1 采样过程及采样定理采样过程及采样定理8-2 8-2 保持器保持器8-3 8-3 差分方程差分方程8-4 z 8-4 z 变换变换8-5 8-5 脉冲传递函数脉冲传递函数8-6 8-6 采样控制系统的时域分析采样控制系统的时域分析8-7 8-7 用用MATLABMATLAB分析采样控制系统小结分析采样控制系统小结2021/3/101讲解：XX本章主要内容本章主要内容本章在阐述了离散控制系本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习统相关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、了采样过程及采样定理、保持器的作用和数学模型、
2、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本变换的定义和求法、基本定理和定理和z反变换的求法、线反变换的求法、线性差分方程的建立及其解性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念法、脉冲传递函数的概念及求取方法等。及求取方法等。本章重点本章重点学习本章，需要掌握离学习本章，需要掌握离散系统的相关基本概念，散系统的相关基本概念，特别是采样过程和采样特别是采样过程和采样定理、定理、z变换和变换和z反变换反变换及其性质、差分方程和及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。脉冲传递函数等概念。在此基础上了解利用脉在此基础上了解利用脉冲传递函数求解离散系冲传递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统的暂态
3、响应，离散系统稳定性和稳态性能计统稳定性和稳态性能计算等内容。算等内容。2021/3/102讲解：XX概概 述述与连续系统显著不同的特点是，在离散系统中的与连续系统显著不同的特点是，在离散系统中的一处或数处的信号不是连续的模拟信号，而是在一处或数处的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲序列，称为离散信号或采样信时间上离散的脉冲序列，称为离散信号或采样信号。相应的离散系统也称为采样系统。典型的采号。相应的离散系统也称为采样系统。典型的采样系统如图样系统如图8-0-1所示。所示。 2021/3/103讲解：XX图图8-0-1 采样系统采样系统2021/3/104讲解：XX在上述系统中在上
4、述系统中,采样误差信号是通过采样开关对采样误差信号是通过采样开关对连续误差信号采样后得到的连续误差信号采样后得到的,如图如图8-0-2.图图8-0-2 模拟信号的采样模拟信号的采样2021/3/105讲解：XX图图8-0-2中，中，T称为采样周期，而称为采样周期，而 及及 分别称为采样频率和采样角频率。分别称为采样频率和采样角频率。由图可见，若采样频率太低，包含在输入信由图可见，若采样频率太低，包含在输入信号中的大量信息通过采样就会损失掉。号中的大量信息通过采样就会损失掉。 在采样系统中，当离散信号为数字量时，称为在采样系统中，当离散信号为数字量时，称为数字控制系统，最常见的时计算机控制系统。
5、数字控制系统，最常见的时计算机控制系统。图图8-0-3为一典型计算机控制系统的框图。为一典型计算机控制系统的框图。 2021/3/106讲解：XX图图8-0-3 计算机控制系统框图计算机控制系统框图2021/3/107讲解：XX在计算机控制系统中，通常时数字在计算机控制系统中，通常时数字模拟混合结构。模拟混合结构。因此需要设置数字量和模拟量相互转换的环节。图因此需要设置数字量和模拟量相互转换的环节。图8-0-3中，模拟信号中，模拟信号e(t)经模拟经模拟数字转换器（数字转换器（A/D转换器）转换成离散信号转换器）转换成离散信号e*(t)，并把其值由十进制，并把其值由十进制数转换成二进制数（编码
6、），输入计算机进行运算数转换成二进制数（编码），输入计算机进行运算处理；计算机输出二进制的控制脉冲序列处理；计算机输出二进制的控制脉冲序列u*c(t)经过经过数字模拟转换器（数字模拟转换器（D/A转换器）转换成模拟信号转换器）转换成模拟信号uc(t)去控制对象。去控制对象。 2021/3/108讲解：XX8-1 采样过程及采样定理采样过程及采样定理采样过程采样过程采样过程：采样过程：按照一定的时间间隔对连续信号进按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称之为采样过程。用来实现采样过程的的过程称之为采样过程。用来实现采样
7、过程的装置称为采样器或采样开关。装置称为采样器或采样开关。 采样器可以用一个按一定周期闭合的开关来表采样器可以用一个按一定周期闭合的开关来表示，采样周期为示，采样周期为T，每次闭合时间为每次闭合时间为。通常采通常采样持续时间样持续时间远小于采样周期远小于采样周期T，也远小于系统也远小于系统中连续部分的时间常数。因此，在分析采样控中连续部分的时间常数。因此，在分析采样控制系统时，可以近似认为制系统时，可以近似认为0。 2021/3/109讲解：XX理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器，能产生单位脉冲序列列发生器，能产生单位脉冲序列T(t)，如图如图
8、8-1-1所示。所示。 图图8-1-1 单位脉冲序列单位脉冲序列2021/3/1010讲解：XX单位脉冲序列单位脉冲序列T(t)的数学表达式为的数学表达式为（8-1-1） 式中式中 T采样周期；采样周期； n整数。整数。脉冲调制器（采样器）的输出信号脉冲调制器（采样器）的输出信号e*(t)可表示为可表示为（8-1-2）2021/3/1011讲解：XX在控制系统中，通常当在控制系统中，通常当t0时，时，e(t)0。因此上式因此上式可改写为可改写为 （8-1-3）上式的拉普拉斯变换式为上式的拉普拉斯变换式为（8-1-4）综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程，采综上所述，采样过程相当于一个脉冲调
9、制过程，采样开关的输出信号样开关的输出信号e*(t)可表示为两个函数的乘积，可表示为两个函数的乘积，其中载波信号其中载波信号T(t)决定采样时间，而采样信号的决定采样时间，而采样信号的幅值则由输入信号幅值则由输入信号e(nT)决定，如图决定，如图8-1-2所示。所示。 2021/3/1012讲解：XX图图8-1-2 采样信号的调制过程采样信号的调制过程2021/3/1013讲解：XX采样定理采样定理理理想想单单位位脉脉冲冲序序列列T(t)是是一一个个以以T为为周周期期的的函函数数，展开成傅立叶级数，复数形式为展开成傅立叶级数，复数形式为（8-1-5）式中式中 为傅立叶系数。为傅立叶系数。 对于
10、对于T(t)， 。将将An代入式（代入式（8-1-5），得），得 2021/3/1014讲解：XX（8-1-6）将式（将式（8-1-6）代入式（）代入式（8-1-2），并考虑式），并考虑式（8-1-3），可得），可得（8-1-7）由于由于e*(t)的拉普拉斯变换式为的拉普拉斯变换式为 （8-1-8）2021/3/1015讲解：XX上式表明，上式表明，E*是是s的周期性函数。的周期性函数。 通常通常E*(s)的全部极点均位于的全部极点均位于s平面的左半部，平面的左半部，因此，可以用因此，可以用 代入上式，得到采样代入上式，得到采样信号信号e*(t)的傅立叶变换的傅立叶变换 （8-1-9）设采样器
11、输入连续信号的频谱设采样器输入连续信号的频谱E (j)为有限带宽为有限带宽的图形，其最大频率为的图形，其最大频率为m,如图如图8-1-3所示。则采所示。则采样后得到的离散信号的频谱如图样后得到的离散信号的频谱如图8-1-48-1-4所示。所示。2021/3/1016讲解：XX图图8-1-3 连续信号频谱连续信号频谱2021/3/1017讲解：XX图图8-1-3 离散信号频谱离散信号频谱2021/3/1018讲解：XX图图8-1-4a对应于对应于 的情况，而的情况，而8-1-4b对应于对应于 的的情情况况。由由图图8-1-4可可见见，相相邻邻两两部部分分频频谱谱不不重叠的条件是重叠的条件是（8-
12、1-10）而而2m,为连续信号的有限频率带宽。为连续信号的有限频率带宽。 综综上上所所述述，只只有有在在 的的条条件件下下，才才能能将将采采样样后后的的离离散散信信号号无无失失真真地地恢恢复复为为原原来来的的连连续续信信号号。这就是这就是香农（香农（Shannon）采样定理采样定理。2021/3/1019讲解：XX8-2 保持器保持器零阶保持器零阶保持器 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它将前一采样时刻将前一采样时刻nT的采样值的采样值e(nT)保持到下一采保持到下一采样时刻样时刻(n+1)T，其输入信号与输出信号的关系其输入信号与输出信号的关系如
13、图如图8-2-1所示。所示。 2021/3/1020讲解：XX图图8-2-1 8-2-1 零阶保持器的输入和输出信号零阶保持器的输入和输出信号由图可见，零阶保持器的输出信号是阶梯形的，由图可见，零阶保持器的输出信号是阶梯形的，包含高次谐波，与要恢复的连续信号有区别的。包含高次谐波，与要恢复的连续信号有区别的。 2021/3/1021讲解：XX若若将将阶阶梯梯波波输输出出信信号号的的各各中中点点连连接接起起来来，可可以以得得到到一一条条比比连连续续信信号号滞滞后后T/2的的曲曲线线，反反映映了了零零阶阶保保持器的相位滞后特性。持器的相位滞后特性。零零阶阶保保持持器器的的单单位位脉脉冲冲响响应应如
14、如图图8-2-2所所示示，它它可可以表示为以表示为上式的拉普拉斯变换式为上式的拉普拉斯变换式为 （8-2-1） 2021/3/1022讲解：XX图图8-2-2 8-2-2 零阶保持器的单位脉冲响应零阶保持器的单位脉冲响应2021/3/1023讲解：XX单单位位脉脉冲冲响响应应的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换，就就是是零零阶阶保保持持器器的频率特性的频率特性（8-2-2） 或或（8-2-3） 式中式中 （8-2-4） 2021/3/1024讲解：XX零阶保持器的幅频特性如图零阶保持器的幅频特性如图8-2-3所示。由图可见，所示。由图可见，它的幅值随角频率它的幅值随角频率的增大而衰减，具有明显的的增大
15、而衰减，具有明显的低通滤波特性。低通滤波特性。 图图8-2-3 零阶保持器的幅频特性零阶保持器的幅频特性2021/3/1025讲解：XX若将零阶保持器传递函数展开为下列级数形式若将零阶保持器传递函数展开为下列级数形式（8-2-5） 只取级数的前两项，可得只取级数的前两项，可得 （8-2-6） 这就是说，零阶保持器可以近似地用这就是说，零阶保持器可以近似地用RC网络实现。网络实现。 2021/3/1026讲解：XX若取级数的前三项，则若取级数的前三项，则 这可用图这可用图8-2-4所示的无源网络实现。所示的无源网络实现。 图图8-2-4 无源网络无源网络2021/3/1027讲解：XX8-3 差
16、分方程差分方程 设采样系统的框图如图设采样系统的框图如图8-3-1所示。在第所示。在第k个采样时个采样时间间隔中，零阶保持器的输出为间间隔中，零阶保持器的输出为 考虑到积分环节的作用，在该周期内输出考虑到积分环节的作用，在该周期内输出c(t)由下式由下式决定决定 式中式中 2021/3/1028讲解：XX图图8-3-1 采样控制系统采样控制系统由此可得由此可得 2021/3/1029讲解：XX或简写为或简写为 （8-3-1）考虑到考虑到 ，上式可改写为，上式可改写为 （8-3-2）这就是图这就是图8-3-18-3-1所示采样系统的差分方程。所示采样系统的差分方程。 根据式根据式(8-3-2)(
17、8-3-2)可得可得 2021/3/1030讲解：XX（8-3-3）一般一般n n阶线性常系数差分方程的形式为阶线性常系数差分方程的形式为 （8-3-4）2021/3/1031讲解：XX8-4 Z变换变换Z变换的定义变换的定义连续函数连续函数f(t)的拉普拉斯变换式为的拉普拉斯变换式为设设f(t)的采样信号为的采样信号为f*(t) （8-4-1）其拉普拉斯变换式为其拉普拉斯变换式为 2021/3/1032讲解：XX（8-4-2）上式中上式中 是是s的超越函数，不便于直接运算，的超越函数，不便于直接运算，因此引入一个新的复变量因此引入一个新的复变量 （8-4-3）将上式代入式（将上式代入式（8-
18、4-28-4-2），得），得 （8-4-4）2021/3/1033讲解：XX式（式（8-4-48-4-4）被定义为采样函数）被定义为采样函数f f* *(t)(t)的的z z变换。变换。它和式（它和式（8-4-28-4-2）是互为补充的两种变换形式。）是互为补充的两种变换形式。前者表示前者表示z z平面上的函数关系，后者表示平面上的函数关系，后者表示s s平面平面上的函数关系。上的函数关系。 2021/3/1034讲解：XXZ变换的方法变换的方法1 1、级数求和法、级数求和法 将离散函数将离散函数f f* *(t)(t)展开如下展开如下 （8-4-5）然后逐项进行拉普拉斯变换，得然后逐项进行拉
19、普拉斯变换，得2021/3/1035讲解：XX（8-4-6）或或上式即为离散函数的上式即为离散函数的z z变换的展开形式。变换的展开形式。2021/3/1036讲解：XX上式写成闭合形式，即上式写成闭合形式，即例例8-4-1 8-4-1 求单位阶跃函数求单位阶跃函数1(1(t)t)的的z z变换变换 。解解 单位阶跃函数的采样函数为单位阶跃函数的采样函数为(8-4-7)2021/3/1037讲解：XX例例8-4-2 8-4-2 求求 的的z z变换。变换。解解根据式根据式(8-4-6)可得可得上两式相减，可以求得上两式相减，可以求得2021/3/1038讲解：XX(8-4-8)2、部分分式法、
20、部分分式法设连续函数设连续函数f(t)的拉普拉斯变换式为有理函数，的拉普拉斯变换式为有理函数，可以展开为部分分式的形式，即可以展开为部分分式的形式，即(8-4-9)2021/3/1039讲解：XX(8-4-10)例例8-4-3 8-4-3 设连续函数设连续函数f(t)f(t)的拉普拉斯变换式为的拉普拉斯变换式为，试求其，试求其z z变换。变换。解解 将将F(s)F(s)展开为部分分式展开为部分分式2021/3/1040讲解：XX由例由例8-4-18-4-1和例和例8-4-28-4-2可知可知例例8-4-4 8-4-4 求求 的的z z变换。变换。解解 将将F(s)F(s)展开为部分分式展开为部
21、分分式2021/3/1041讲解：XX2021/3/1042讲解：XX3、留数计算法、留数计算法设连续函数设连续函数f(t)的拉普拉斯变换式的拉普拉斯变换式F(s)及其全部极点及其全部极点为已知，则可用留数计算法求其为已知，则可用留数计算法求其z变换变换 。(8-4-11)2021/3/1043讲解：XX(8-4-12)若若f(s)具有具有q阶重复极点，则响应的留数为阶重复极点，则响应的留数为(8-4-13)例例8-4-5 8-4-5 求求 的的z z变换。变换。解解2021/3/1044讲解：XX由此可得由此可得(8-4-14)2021/3/1045讲解：XX例例8-4-6 8-4-6 求求
22、f(t)=tf(t)=t的的z z变换变换( (f(t)=0,t0)f(t)=0,t0)。解解它在它在s=0处有两阶重极点，其留数为处有两阶重极点，其留数为(8-4-15)2021/3/1046讲解：XX例例8-4-7 8-4-7 求求f(t)=f(t)=t t2 2的的z z变换变换( (f(t)=0,t0)f(t)=0,t0)。解解它在它在s=0处有三个重极点，其留数为处有三个重极点，其留数为(8-4-16)常见函数及其相应的拉普拉斯变换和常见函数及其相应的拉普拉斯变换和z变换参见变换参见教材的表教材的表8-4-1。2021/3/1047讲解：XXZ变换的性质变换的性质1、线性定理、线性定
23、理设函数为设函数为则则(8-4-17)2021/3/1048讲解：XX2、滞后定理、滞后定理(负偏移定理负偏移定理)设在设在t0时连续函数时连续函数f(t)为零，其为零，其z变换为变换为F(z)，则则(8-4-18)证明证明根据根据z变换定义变换定义2021/3/1049讲解：XX图图8-4-1 滞后定理滞后定理2021/3/1050讲解：XX3、初值定理、初值定理设函数设函数f(t)f(t)的的z z变换为变换为F(z)F(z)，并且并且(8-4-19)证明证明2021/3/1051讲解：XX4、终值定理、终值定理证明证明 离散函数离散函数f(nT)f(nT)的的z z变换为变换为 (8-4
24、-20)而而f(n+1)Tf(n+1)T的的z z变换为变换为2021/3/1052讲解：XX上面两式相减可得上面两式相减可得2021/3/1053讲解：XX5、超前定理、超前定理(正偏移定理正偏移定理)(8-4-21)(8-4-22)2021/3/1054讲解：XX证明证明 根据根据z变换定义可知变换定义可知2021/3/1055讲解：XX6、复数偏移定理、复数偏移定理设函数设函数f(t) 的的z变换为变换为F(z)，则则(8-4-23)证明证明 根据根据z变换定义可知变换定义可知2021/3/1056讲解：XX7、卷积和定理、卷积和定理设设 (8-4-24)(8-4-25)2021/3/1
25、057讲解：XX证明证明 根据根据z变换定义可知变换定义可知将式将式(8-4-24)代入上式，得代入上式，得由于由于kn时，时，g(k-n)T=0,上式可改写为上式可改写为2021/3/1058讲解：XX2021/3/1059讲解：XX和拉普拉斯反变换相类似，和拉普拉斯反变换相类似，z反变换可表示为反变换可表示为Z反变换反变换（8-4-26）下面介绍三种比较常用的下面介绍三种比较常用的z反变换方法。反变换方法。1、长除法、长除法2021/3/1060讲解：XX（8-4-27）（8-4-28）上式的上式的z反变换为反变换为2021/3/1061讲解：XX例例8-4-88-4-8 解解 用长除法可
26、以求得用长除法可以求得上式的上式的z反变换为反变换为2021/3/1062讲解：XX2、部分分式法、部分分式法例例8-4-9 用部分分式法求出上例中用部分分式法求出上例中F(z)的反变换式。的反变换式。解解根据表根据表8-1可知，其对应的时间函数为可知，其对应的时间函数为2021/3/1063讲解：XX或或3、留数计算法、留数计算法根据根据z变换的定义变换的定义2021/3/1064讲解：XX由复变函数理论可知由复变函数理论可知（8-4-29）（8-4-30）对于一阶极点的留数为对于一阶极点的留数为2021/3/1065讲解：XX（8-4-31）对于对于q阶重极点的留数为阶重极点的留数为（8-
27、4-32）2021/3/1066讲解：XX例例 8-4-10 8-4-10解解 F(z)在在z=1处有二重极点，因此处有二重极点，因此由此可得由此可得2021/3/1067讲解：XX例例 8-4-11 8-4-11解解2021/3/1068讲解：XX由此可得由此可得式中式中 t=nT(n=0,1,2,).2021/3/1069讲解：XX8-5 脉冲传递函数脉冲传递函数基本概念基本概念传递函数：传递函数：在线性连续系统理论中，把初始在线性连续系统理论中，把初始条件为零的情况下系统输出信号的拉普拉斯条件为零的情况下系统输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，定义变换与输入信号的拉普拉斯
28、变换之比，定义为传递函数。为传递函数。脉冲传递函数：脉冲传递函数：在线性采样系统理论中，把初始在线性采样系统理论中，把初始条件为零的情况下系统的离散输出信号的条件为零的情况下系统的离散输出信号的z变换与变换与输入信号的输入信号的z变换之比，定义为传递函数。变换之比，定义为传递函数。2021/3/1070讲解：XX对于图对于图8-5-1a 所示的采样系统，脉冲传递函数为所示的采样系统，脉冲传递函数为(8-5-1)由上式可求采样系统的离散输出信号由上式可求采样系统的离散输出信号在实际上，许多采样系统的输出信号是连续信号，在实际上，许多采样系统的输出信号是连续信号，如图如图8-5-1b所示。在这种情
29、况下，为了应用脉冲所示。在这种情况下，为了应用脉冲传递函数传递函数 的概念，可以在输出端虚设一个采样开的概念，可以在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与输入端采样开关的相同。关，并令其采样周期与输入端采样开关的相同。2021/3/1071讲解：XX8-5-1 采样系统采样系统2021/3/1072讲解：XX脉冲传递函数的推导脉冲传递函数的推导由线性连续系统的理论已知，但线性部分的输入由线性连续系统的理论已知，但线性部分的输入信号为单位脉冲信号信号为单位脉冲信号 时，其输出信号称为单位时，其输出信号称为单位脉冲响应，以脉冲响应，以g(t)表示。当输入信号为如下的脉冲表示。当输入信号为如下的脉
30、冲序列时序列时根据叠加原理，输出信号为一系列脉冲响应之根据叠加原理，输出信号为一系列脉冲响应之和，即和，即2021/3/1073讲解：XX在在t=kT时刻，输出的脉冲值为时刻，输出的脉冲值为由于系统的单位脉冲响应是从由于系统的单位脉冲响应是从t=0才开始出现的信才开始出现的信号，当号，当tk时，上式中的时，上式中的g(k-n)T=0。因此，上式可写成：因此，上式可写成：根据卷积和定理，可得上式的根据卷积和定理，可得上式的z变换变换2021/3/1074讲解：XX由此可见，系统的脉冲传递函数即为系统的单位由此可见，系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应脉冲响应g(t)经过采样后离散信号经过采样
31、后离散信号 的的z变换，变换，可表示为可表示为(8-5-2)上式表明，系统的响应速度越快，即其单位脉冲上式表明，系统的响应速度越快，即其单位脉冲响应响应g(t)衰减越快，则响应的脉冲传递函数衰减越快，则响应的脉冲传递函数G(z)的的展开式中包含的项数越少。展开式中包含的项数越少。2021/3/1075讲解：XX开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数串联各环节之间有采样器的情况串联各环节之间有采样器的情况图图8-5-2 两种串联结构两种串联结构2021/3/1076讲解：XX如图如图8-5-2a所示的开环系统所示的开环系统(8-5-3)2021/3/1077讲解：XX串联各环节之间无采样器的情
32、况串联各环节之间无采样器的情况图图8-5-2 两种串联结构两种串联结构2021/3/1078讲解：XX注意式注意式(8-5-3) 和式和式(8-5-4)的区别：的区别：如图如图8-5-2a所示的系统，这时系统的开环脉冲所示的系统，这时系统的开环脉冲传递函数为传递函数为(8-5-4)采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传函等于采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传函等于两个环节的脉冲传函之积；没有采样开关分隔的两两个环节的脉冲传函之积；没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传函为这两个环节的传个线性环节串联时，其脉冲传函为这两个环节的传函相乘之积的函相乘之积的Z变换。变换。2021/3/1
33、079讲解：XX例例8-5-1 8-5-1 设在图设在图8-5-28-5-2中中求系统的开环脉冲传递函数。求系统的开环脉冲传递函数。解解图图8-5-28-5-2a a所示系统的开环脉冲传递函数为所示系统的开环脉冲传递函数为图图8-5-28-5-2b b所示系统的开环脉冲传递函数为所示系统的开环脉冲传递函数为2021/3/1080讲解：XX采样系统的闭环脉冲传递函数采样系统的闭环脉冲传递函数图图 8-5-3 采样控制系统采样控制系统2021/3/1081讲解：XX由图由图8-5-3知知求上式采样信号的拉普拉斯变换，得求上式采样信号的拉普拉斯变换，得2021/3/1082讲解：XX写成写成z变换形
34、式，即得闭环脉冲传递函数变换形式，即得闭环脉冲传递函数或或考虑到输出信号采样后的拉普拉斯变换为考虑到输出信号采样后的拉普拉斯变换为(8-5-5)2021/3/1083讲解：XX以及脉冲传递函数以及脉冲传递函数对于单位反馈系统对于单位反馈系统H(s)=1，则有则有(8-5-6)(8-5-7)(8-5-8)2021/3/1084讲解：XX采样系统中有数字控制器采样系统中有数字控制器D(s)时，系统的框图如时，系统的框图如图图8-5-4所示。所示。图图8-5-4 具有数字控制器的采样系统具有数字控制器的采样系统2021/3/1085讲解：XX由图由图8-5-4可见可见由此可得由此可得Z变换得变换得2
35、021/3/1086讲解：XX或或采样系统中有干扰信号采样系统中有干扰信号时，系统的框图如图时，系统的框图如图8-5-5所示。图中所示。图中N(s)为干扰信号的拉普拉斯变为干扰信号的拉普拉斯变换。换。2021/3/1087讲解：XX图图8-5-5 有干扰信号的采样系统有干扰信号的采样系统由图可见由图可见2021/3/1088讲解：XX由以上两式得由以上两式得或或典型采样系统的框图及其输出离散信号的典型采样系统的框图及其输出离散信号的z变换变换参见教材表参见教材表8-5-1。2021/3/1089讲解：XX8-6 采样控制系统的时域分析采样控制系统的时域分析 采样控制系统的稳定条件采样控制系统的
36、稳定条件1、s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系复变量复变量z与与s的关系为的关系为式中式中 T采样周期采样周期2021/3/1090讲解：XX由以上分析可知，由以上分析可知，s平面的虚轴在平面的虚轴在z平面上的映射曲平面上的映射曲线是以坐标原点为圆心的单位圆线是以坐标原点为圆心的单位圆(参见图参见图8-6-1)。2021/3/1091讲解：XX图图8-6-1 s平面上虚轴在平面上虚轴在z平面上的映象平面上的映象2021/3/1092讲解：XX由此可见，由此可见，s平面虚轴左半部在平面虚轴左半部在z平面上的映象为平面上的映象为以原点为圆心的单位圆的内部区域。以原点为圆心的单位圆的内部区
37、域。2021/3/1093讲解：XX2、线性采样系统稳定的充要条件、线性采样系统稳定的充要条件讨论图讨论图8-5-3所示闭环采样系统的稳定性，此系统所示闭环采样系统的稳定性，此系统之闭环脉冲传递函数已由式之闭环脉冲传递函数已由式(8-5-5)给出，即给出，即相应的特征方程式为相应的特征方程式为2021/3/1094讲解：XX根据以上的分析可知，闭环采样系统稳定的充分根据以上的分析可知，闭环采样系统稳定的充分和必要条件是，系统特征方程的所有根均位于和必要条件是，系统特征方程的所有根均位于z平面上以原点为圆心的单位圆之内。平面上以原点为圆心的单位圆之内。劳斯稳定判据劳斯稳定判据对于线性采样系统，不
38、能直接应用劳斯稳定判据，对于线性采样系统，不能直接应用劳斯稳定判据，因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否在在s平面虚轴的左半部。因此，必须采用一种变换平面虚轴的左半部。因此，必须采用一种变换方法，使方法，使z平面上的单位圆，映射为新坐标系的虚平面上的单位圆，映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为双线性变换，又称轴。这种坐标变换称为双线性变换，又称w变换。变换。2021/3/1095讲解：XX根据复变函数的双线性变换方法，设根据复变函数的双线性变换方法，设上式中上式中z和和w均为复变量，可以用下式表示：均为复变量，可以用下式表示：（8-6-1）则则
39、（8-6-2）将上两式代入（将上两式代入（8-6-2），得），得2021/3/1096讲解：XX对于对于w平面上的虚轴，实部平面上的虚轴，实部u=0，即即上式即为上式即为z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。2021/3/1097讲解：XX图图8-6-2 z平面与平面与w平面的映射关系平面的映射关系2021/3/1098讲解：XX综上所述，令综上所述，令 代入闭环采样系统的特征代入闭环采样系统的特征方程，进行方程，进行w变换之后，即可应用劳斯判据。变换之后，即可应用劳斯判据。例例8-6-1 8-6-1 设采样系统的框图如图设采样系统的框图如图8-6-38
40、-6-3。其中。其中采样周期采样周期T=0.25sT=0.25s，求能使求能使系统稳定的系统稳定的k k1 1值范围。值范围。图图8-6-3 采样系统采样系统2021/3/1099讲解：XX解解 系统的开环脉冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为2021/3/10100讲解：XX和特征方程和特征方程根据上式可求系统的闭环脉冲传递函数根据上式可求系统的闭环脉冲传递函数2021/3/10101讲解：XX根据上式列出劳斯表根据上式列出劳斯表为了使此系统稳定工作，必须使劳斯表中的为了使此系统稳定工作，必须使劳斯表中的第一列各项均大于零。这就要求第一列各项均大于零。这就要求2021/3/10102讲解：X
41、X稳态误差终值的计算稳态误差终值的计算由此可见，为使系统稳定，增益由此可见，为使系统稳定，增益k1 应在应在017.3之间取值。之间取值。设图设图8-6-3所示的单位反馈采样控制系统的开所示的单位反馈采样控制系统的开环脉冲传递函数为环脉冲传递函数为G(z)，由式由式(8-5-8)可得可得2021/3/10103讲解：XX设闭环系统稳定，根据设闭环系统稳定，根据z变换的终值定理可以变换的终值定理可以求出在输入信号作用下采样系统的稳态误差终值求出在输入信号作用下采样系统的稳态误差终值（8-6-3）上式表明，采样系统的稳态误差决定于系统的上式表明，采样系统的稳态误差决定于系统的脉冲传递函数脉冲传递函
42、数G(z)和输入信号的形式。和输入信号的形式。2021/3/10104讲解：XX下面讨论三种典型输入信号的情况下面讨论三种典型输入信号的情况1、输入信号为单位阶跃信号、输入信号为单位阶跃信号这时这时将将R(z)代入式代入式(8-6-3)，得，得（8-6-4）2021/3/10105讲解：XX2、输入信号为单位斜坡信号、输入信号为单位斜坡信号这时这时将将R(z)代入式代入式(8-6-3)，得，得（8-6-5）2021/3/10106讲解：XX3、输入信号为单位抛物线信号、输入信号为单位抛物线信号这时这时将将R(z)代入式代入式(8-6-3)，得，得（8-6-6）2021/3/10107讲解：XX
43、表表8-6-1 不同类型系统的稳态误差终值不同类型系统的稳态误差终值表表8-6-1中列出了以上三种输入信号作用下之稳态中列出了以上三种输入信号作用下之稳态误差终值。误差终值。2021/3/10108讲解：XX采样系统的暂态响应与脉冲传递函数极采样系统的暂态响应与脉冲传递函数极点、零点分布的关系点、零点分布的关系设闭环采样系统的脉冲传递函数为设闭环采样系统的脉冲传递函数为（8-6-7）式中式中 N(z)、M(z)分子、分母多项式。分子、分母多项式。2021/3/10109讲解：XX设闭环脉冲传递函数的极点为设闭环脉冲传递函数的极点为假设没有相重的极点。假设没有相重的极点。（8-6-8）2021/
44、3/10110讲解：XX对上式进行对上式进行z变换，可以求出某一采样时刻的输出值变换，可以求出某一采样时刻的输出值（8-6-9）上式中第一项为系统输出采样信号的稳态分量，第上式中第一项为系统输出采样信号的稳态分量，第二项为输出采样信号的暂态分量。由此可见，极点二项为输出采样信号的暂态分量。由此可见，极点2021/3/10111讲解：XX2021/3/10112讲解：XX图图8-6-4 各种闭环极点对应的暂态分量各种闭环极点对应的暂态分量2021/3/10113讲解：XX2021/3/10114讲解：XX（8-6-10）这时这时2021/3/10115讲解：XX闭环极点在闭环极点在z平面不同位置
45、时对应的暂态响应分量平面不同位置时对应的暂态响应分量如图如图8-6-4所示。所示。综上所述，闭环脉冲传递函数的极点在综上所述，闭环脉冲传递函数的极点在z平面上平面上的位置决定相应暂态分量的性质与特点。当闭的位置决定相应暂态分量的性质与特点。当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分量是环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分量是衰减的。极点距衰减的。极点距z平面坐标原点愈近，则衰减速平面坐标原点愈近，则衰减速度愈快。若极点位于单位圆内的正实轴上，则度愈快。若极点位于单位圆内的正实轴上，则对应的暂态分量按指数函数衰减。单位圆内一对应的暂态分量按指数函数衰减。单位圆内一对共轭复数对共轭复数2021/3/
46、10116讲解：XX极点所对应的暂态分量为衰减的振荡函数，极点所对应的暂态分量为衰减的振荡函数，其角频率为其角频率为 。若闭环极点位于单位圆内。若闭环极点位于单位圆内的负实轴上，其对应的暂态分量也为衰减振的负实轴上，其对应的暂态分量也为衰减振荡函数，其振荡角频率荡函数，其振荡角频率为了使采样控制系统具有比较满意的暂态响应为了使采样控制系统具有比较满意的暂态响应性能，闭环脉冲传递函数的极点最好分布在单性能，闭环脉冲传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部，并尽量靠近位圆内的右半部，并尽量靠近z平面的坐标原点。平面的坐标原点。若闭环脉冲传递函数的极点位于单位圆外，则若闭环脉冲传递函数的极点位于单位
47、圆外，则其对应的暂态分量是发散的。这意味着闭环采其对应的暂态分量是发散的。这意味着闭环采样系统是不稳定的。样系统是不稳定的。2021/3/10117讲解：XX小结小结v为能无失真地恢复连续信号，采样频率的选为能无失真地恢复连续信号，采样频率的选定应符合香农采样定理。定应符合香农采样定理。v理想滤波器能将采样后的离散信号无失真地理想滤波器能将采样后的离散信号无失真地恢复为连续信号。但实际上不存在理想滤波恢复为连续信号。但实际上不存在理想滤波器，常用的是零阶保持器。器，常用的是零阶保持器。v离散信号的拉普拉斯变换式包含有超越函数，离散信号的拉普拉斯变换式包含有超越函数，采用采用z z变换能将其有理
48、化。变换能将其有理化。2021/3/10118讲解：XXv在零初始条件下，采样系统的离散输出在零初始条件下，采样系统的离散输出信号的信号的z z变换与离散输入信号变换与离散输入信号z z变换之比变换之比是脉冲传递函数。是脉冲传递函数。v计算线性连续稳态误差的方法可以推广用于进计算线性连续稳态误差的方法可以推广用于进行行z变换之后的采样控制系统。变换之后的采样控制系统。v在采样系统中常使用数字在采样系统中常使用数字PID控制器。控制器。2021/3/10119讲解：XX习题习题习题习题8-1求下列拉普拉斯变换式所对应的求下列拉普拉斯变换式所对应的z变换。变换。2021/3/10120讲解：XX习
49、题习题8-2求下列各式所的求下列各式所的z反变换。反变换。2021/3/10121讲解：XX图图8-1 题题8-3图图习题习题8-3请列出图请列出图8-1所示采样控制系统的差分方程。所示采样控制系统的差分方程。2021/3/10122讲解：XX设图设图8-1所示系统的采样周期所示系统的采样周期T=1s，试求出此试求出此系统稳定的临界增益系统稳定的临界增益K值。值。习题习题8-42021/3/10123讲解：XX习题习题8-5采样系统如图采样系统如图8-2所示，其中采样周期所示，其中采样周期T=0.4。试试求使系统稳定的求使系统稳定的K 值范围。值范围。图图8-2 采样系统采样系统解解 系统开环
50、传递函数为系统开环传递函数为2021/3/10124讲解：XX开环脉冲传递函数为开环脉冲传递函数为2021/3/10125讲解：XX代入代入 T=0.4得得闭环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为2021/3/10126讲解：XX列劳斯表或者直接由列劳斯表或者直接由w域特征方程，可得使系统域特征方程，可得使系统稳定的稳定的K值应满足如下不等式：值应满足如下不等式：因此，使系统稳定因此，使系统稳定K值范围为值范围为 2021/3/10127讲解：XX习题习题8-6已知采样系统如图已知采样系统如图8-3，采样周期，采样周期T=1。试求闭试求闭环系统的脉冲传递函数环系统的脉冲
51、传递函数C(z)/R(z)，并计算系统并计算系统在在r(t)=2(t)时的稳态误差时的稳态误差图图8-3 采样系统采样系统2021/3/10128讲解：XX解解 开环脉冲传递函数为开环脉冲传递函数为2021/3/10129讲解：XX闭环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为闭环特征方程及其解如下：闭环特征方程及其解如下：2021/3/10130讲解：XX2021/3/10131讲解：XX习题习题8-7已知采样系统结构如图已知采样系统结构如图8-4，采样周期，采样周期T=1。当当输入输入r(t)=1(t)时，试求输出时，试求输出图图8-4 采样系统采样系统2021/3/10132讲解：XX解解 开环传递函数为开环传递函数为对上式进行对上式进行z变换，并考虑变换，并考虑T=1，可得开环脉冲可得开环脉冲传递函数传递函数闭环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为2021/3/10133讲解：XX输入输入z变换变换故输出故输出z变换变换2021/3/10134讲解：XX因而因而2021/3/10135讲解：XX感谢您的阅读收藏，谢谢！2021/3/10136
