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1、非线性回归模型非线性回归模型 一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例二、非线性回归实例1非线性模型 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。 如著名的如著名的恩格尔曲线恩格尔曲线(Engle curves)(Engle curves)表现为表现为幂函数曲线幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips cuvesPillips cuves）表现为）表现为双曲线双曲线形式等。形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关
2、系，从单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。的处理。2非线性模型 一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，例如，描述税收与税率关系的描述税收与税率关系的拉弗曲线：拉弗曲线：抛物线抛物线 s = a + b r + c r2 c0 s：税收；：税收； r：税率：税率设设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c0 幂函数模型、指数函数模型的对数变换法幂函数
3、模型、指数函数模型的对数变换法 3非线性模型 例如例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKLQ：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数：方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L4非线性模型5非线性模型2、双ln模型6非线性模型7非线性模型3、对数函数（X单ln)8非线性模型4、指数函数（Y单ln)9非线性模型5、倒数函数10非线性模型11非线性模型并非所有的函数形式都可以线性化并非所有的函数形式都可以线性化 无法线性化模型的一般形式为:其中，f(x1,x2,Xk)为非线性函数。如：12非线性模型 二、非线性回归实例二、非线性回归实
4、例 例例 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。 根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为 Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。 零阶齐次性零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变 (*)(*)为了进行比较，将同时估计（为了进行比较，将同时估计（* *）式与（）式与（*）式。）式。 13非线性模型 根据恩格尔定律恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数幂函数的变化关系: 首先,确定具体的函数形式对数变换: 考虑到零阶齐次性零阶齐次性时时(*)(*
5、)(*)式也可看成是对（*）式施加如下约束而得因此，对对（*）式式进进行行回回归归，就就意意味味着着原原需需求函数满足零阶齐次性条件求函数满足零阶齐次性条件。14非线性模型X：人均消费X1：人均食品消费GP：居民消费价格指数FP：居民食品消费价格指数XC：人均消费（90年价）Q：人均食品消费（90年价）P0：居民消费价格缩减指数（1990=100）P：居民食品消费价格缩减指数（1990=10015非线性模型中中国国城城镇镇居居民民人人均均食食品品消消费费 特征：特征：消费行为在19811995年间表现出较强的一致性1995年之后呈现出另外一种变动特征。 建立19811994年中国城镇居民对食品的消费需求模型: (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34) 16非线性模型按按零阶齐次性零阶齐次性表达式回归表达式回归: : （75.86）(52.66) (-3.62) 为了比较，改写该式为： 发现与接近。意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征17非线性模型
