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1、第一章第一章 行列式行列式中南财经政法大学统计与数学学院中南财经政法大学统计与数学学院用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 称为二阶行列式。称为二阶行列式。定义定义定义定义对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则主主对角线对角线副对角线副对角线若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例例1 1 1 1解解三元线性方程组三元线性方程组是否也能用类似的行列式来
2、表示？是否也能用类似的行列式来表示？二、三阶行列式定义定义定义定义上式称为上式称为三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式. . .列标列标行标行标对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以红线上三元素的乘积冠以正号正号，蓝线上三，蓝线上三元素的乘积冠以元素的乘积冠以负号负号说明说明 对角线法则对角线法则只适用只适用于二阶与三阶行列式于二阶与三阶行列式 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于每一项都是位
3、于不同行不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:若记若记例例例例 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:中，中，6 6项的行下标全为项的行下标全为123123，而列下标分别为，而列下标分别为在三阶行列式在三阶行列式123123，231231，312 312 此三项均为正号此三项均为正号132132
4、，213213，321 321 此三项均为负号此三项均为负号 为了给出为了给出n n 阶行列式的定义，下面给出全排阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。列及其逆序数的概念及性质。符号与下标符号与下标的排列有关的排列有关定义定义由由 组成的一个有序数组组成的一个有序数组三三 全排列及其逆序数的定义全排列及其逆序数的定义称为一个称为一个n级排列。级排列。n级排列的总数：级排列的总数： 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序
5、逆序定义定义 一个排列一个排列 中所有逆序的总数称中所有逆序的总数称为此排列的为此排列的逆序数逆序数, 记为记为 .例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 401故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为 2+1+ 2 + 0 + 0 =5.计算排列逆序数的方法：计算排列逆序数的方法：逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分别计算出排列中分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码每个元素前面比它大的数码个数个数，即算出排列中每个元素的逆序数，所有，即算出排列中每个元素的逆序数，所有这些
6、元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法方法1 1 向前法向前法例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;3 2 5 1 4于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为分别计算出排列中分别计算
7、出排列中每个元素后面比它小的数码每个元素后面比它小的数码个数个数，即算出排列中每个元素的逆序数，所有，即算出排列中每个元素的逆序数，所有这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法方法2 2 向后法向后法例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.对换的定义对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种变换叫做元素不动，这种变换叫做对换对换例如例如对换
8、与排列的奇偶性的关系对换与排列的奇偶性的关系: :定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当 时，时，经对换后逆序数增加经对换后逆序数增加1 。经对换后逆序数减少经对换后逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列所以一个排列中的任意两个元素
9、对换，排列改变奇偶性改变奇偶性.定理定理2 2 时，时，n个元素的所有排列中，奇排个元素的所有排列中，奇排列和偶排列的个数相等，各为列和偶排列的个数相等，各为 观察三阶行列式的特征：观察三阶行列式的特征： 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积四、n 阶行列式（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的的三个元素的下标排列下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列
10、n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为更一般的我们有更一般的我们有: :说明说明1、行列式是一种特定的、行列式是一种特定的算式算式，它是根据求解方，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、 的符号为的符号为例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开
11、式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕例例5用行列式定义计算用行列式定义计算对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算
12、小 结2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 计算排列逆序数常用的方法有计算排列逆序数常用的方法有2 种种.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为排列的概念排列的概念n阶行列式的概念阶行列式的概念 n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 n 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.思考题思考题1. 求排列求排列16352487的逆序数的逆序数.2. 已知已知3. 5阶行列式中，阶行列式中， 的符号？的符号？解解1 用方法用方法1 11 6 3 5 2 4 8 7 用方法用方法2 2由前向后求每个数的逆序数由前向后求每个数的逆序数.思考题解答思考题解答2 解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于
