《线性代数：2.7 极大线性无关组及线性表示系数的求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数：2.7 极大线性无关组及线性表示系数的求法（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、例例10. 10. 讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性(要求用要求用“观察法观察法”).(1)(2)解：解： 对于对于(1)组，显然有组，显然有 (2)组中每一个向量的前组中每一个向量的前3个分量构成无关组，由定理个分量构成无关组，由定理5知知(2)组无关组无关.证明：证明：（反证反证） 若向量组若向量组 b b1, b b2, b bm线性相关线性相关，则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数k1, k2, km ,使得使得 k1 b b1 +k2 b b2 +km b bm=o （1 1）即即（2 2）显然显然，方程方程(2)的前的前 n 行就是行就是 k1a a1
2、+k2a a2 +kma am=o ，从而得从而得，a a1 ，a a2 ，a am线性相关，矛盾线性相关，矛盾.证毕证毕.定定理理5 5 若若向向量量组组 a ai=(a ai i1 1, a ai i2, ,a ai in) (i=1,2,m)线线性性无无关关，则则向向量组量组 b b i=(a ai i1 1, a ai i2, ,a ai in , a ai in+1 ) (i=1,2,m)也线性无关也线性无关. .练习题练习题 一一、填填空空题题：在在向向量量组组a a1 ,a a2 , a ar中中，如如果果有有部部分分向向量量线性相关，则向量组必（线性相关，则向量组必（ ）二、多
3、选题：二、多选题：下列命题中正确的有（下列命题中正确的有（ ） 非零向量组成的向量组一定线性无关非零向量组成的向量组一定线性无关 含零向量的向量组一定线性相关含零向量的向量组一定线性相关 由一个零向量组成的向量组一定线性无关由一个零向量组成的向量组一定线性无关 由零向量组成的向量组一定线性相关由零向量组成的向量组一定线性相关 线性相关的向量组一定含有零向量线性相关的向量组一定含有零向量三、分析判断题三、分析判断题 ：若若a a1不能被不能被a a2 ,a a3 , a ar 线性表示，线性表示，则向量则向量a a1 , a a2 ,a a3 , a ar线性无关（线性无关（）四、证明题：四、证
4、明题：设设b b可由设可由设a a1 ,a a2 , a ar线性表示，但不能线性表示，但不能由由a a1 ,a a2 , a ar-1线性表示，证明线性表示，证明a ar可由可由a a1 ,a a2 , a ar-1 ,b b线性表示线性表示等价向量组等价向量组定义定义3 3 设有两个向量组设有两个向量组(I)(II) 如如果果向向量量(I)(I)与与向向量量组组(II)(II)可可以以相相互互线线性性表表示示，则则称称向向量量组组(I)(I)与与向量组向量组(II)(II)等价等价. .例例11. 11. (I) a a=(1, 0) , , a a 2=(0, 1)(II) (II) b
5、 b b b= =(1, (1, ) ) , , b b b b 2 2=(=(, -1), -1), b b b b 3 3= =( (, 5), 5)两组两组两组两组. .因为因为,b b=a aa a， b b 2=a aa a， b b 3=a aa a,5.4 5.4 极大线性无关组极大线性无关组向量组向量组(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)等价等价. .等价向量组的性质等价向量组的性质l自反性自反性l对称性对称性l传递性传递性 引例引例. . 向量组向量组a a=(1,1,1), a a2=(0,2,5), a a3=(1,3,6), 等价于其部分向等价于其部分向量组量组
6、a a a a2 . 事实上，事实上，a a，a a，a a3中的每一个向量可由中的每一个向量可由a a，a a线性表示线性表示,即即而而 a a，a a中的每一个向量可由中的每一个向量可由a，a，a3线性表示，即线性表示，即向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组例例12在向量组在向量组a a1= =(0, 1)，a a2= =(1, 0)，a a3= =(1, 1)，a a4= =(0, 2)中中，向量组向量组a a1= =(0, 1)， a a2= =(1, 0)线性无关线性无关，且有且有 同样同样a a2，a a4也是一个极大线性无关组也是一个极大线性无关组. .所以所以a a1，
7、a a2是向量组是向量组a a1，a a2，a a3，a a4的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组. a a4= =(0, 2)= =2(0, 1)= =2a a1 1+ +0 0a a2，a a3= =(1, 1)= =(0, 1)+ +(1, 0)= =1 1a a1+ +1 1a a2， 定定义义4 4 如如果果向向量量组组a a1，a a2 , ,am的的一一个个部部分分组组a aj1，a aj2 , ,ajr (rm) 满足：满足： (1) 部分组部分组aj1，aj2 , ,ajr线性无关；线性无关； (2) 向向量量组组a a1，a a2 , ,am中中的的任任一一向向量量可可
8、由由该该部部分分组组线线性性表表示示，则称所选部分组为原向量组的一个则称所选部分组为原向量组的一个极大线性无关组极大线性无关组.极大线性无关组不一定唯一；极大线性无关组不一定唯一；向量组与它的极大线性无关组向量组与它的极大线性无关组等价等价.线性表示线性表示，则则rs.定理定理6 6 设向量组设向量组线性无关，并且可由向量组线性无关，并且可由向量组 推论推论2 2 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. . 推论推论1 1 任意任意n+1个个n维向量一定线性相关维向量一定线性相关. .向量组的秩向量组的秩n维空间至多找到n个线性无关的向量！ 定定义义
9、5 5 向向量量组组a a1，a a2， ，a am的的极极大大线线性性无无关关组组所所含含向向量量的的个个数数称称为为向量组的秩向量组的秩. 记作记作r(a a1，a a2， ，a am). 规定，只含零向量的向量组的秩为规定，只含零向量的向量组的秩为0 . .推论推论3 3 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩. . 若若r(a a1，a a2， ，a am)m，则向量组，则向量组a a1，a a2， ，a am必线性相关必线性相关. 重要结论重要结论 ( (线性相关性新的判定方法！线性相关性新的判定方法！) )向量组的秩向量组的秩2.7 极大线性无关组及线性表示系数的求法1. 向
10、量组秩的求法2. 向量组极大线性无关组的求法3. 用极大线性无关组表示其他的向量 定义定义4 4 矩阵矩阵A的行向量组的秩称为矩阵的行向量组的秩称为矩阵A的的行秩行秩，列向量组的秩列向量组的秩称为矩阵称为矩阵A的的列秩列秩. 即即行向量组行向量组a a1，a a2， ，a am的秩，称为矩阵的秩，称为矩阵A的的行秩行秩.列向量组列向量组b b1，b b2， ，b bm的秩，称为矩阵的秩，称为矩阵A的的列秩列秩.定理定理3 3 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.1. 向量组秩的求法 例例4. 4. 求下列向量组求下列向量组a a=(1, 2, 3, 4)，
11、a a2 2 =( 2, 3, 4, 5)，a a3 3 =(3, 4, 5, 6)的秩的秩.步步1.把向量组的向量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量列（或行）向量组成矩阵组成矩阵A；步步2.对矩阵对矩阵A进行进行初等初等行变换行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B；步步3.阶梯形阶梯形B中中非零行的个数即为所求向量组的秩非零行的个数即为所求向量组的秩 解：解：以以a a, ,a a, ,a a为为列向量列向量作作成矩阵成矩阵A,因为阶梯形矩阵的秩为因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为，所以向量组的秩为21. 向量组秩的求法问题：问题：基本单位向量组的秩是多少？它们相关基本单位
12、向量组的秩是多少？它们相关/无关？无关？ 定定理理4 4 矩矩阵阵A经经初初等等行行变变换换化化为为B，则则B的的列列向向量量组组与与A对对应应的列向量组有相同的线性的列向量组有相同的线性相关性相关性.下面通过例子验证结论成立下面通过例子验证结论成立. .线性关系线性关系: :矩阵矩阵A矩阵矩阵A1矩阵矩阵A22.向量组极大线性无关组的求法步步1. 1. 把向量组的向量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列向量列向量组成矩阵组成矩阵A；步步2. 2. 对矩阵对矩阵A进行进行初等行变换初等行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B；步步3. 3. A中的与中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为极大线性无
13、关组的每阶梯首列对应的向量组，即为极大线性无关组由上可得，由上可得，求向量组的极大线性线性无关组的方法：求向量组的极大线性线性无关组的方法：矩阵矩阵A2矩阵矩阵A3矩阵矩阵B例例5. 5. 求下列向量组的一个极求下列向量组的一个极大线性无关大线性无关组，其中：组，其中：解：解：以以5个向量为列个向量为列矩阵矩阵A，用初等行变换将，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵 矩阵矩阵B已是阶梯形矩阵已是阶梯形矩阵, B的每阶梯的每阶梯首列所在的列是首列所在的列是1，2，4列，所以列，所以A的第的第1，2，4列就是列就是A的列向量组的极大线性的列向量组的极大线性无关组，即无关组，即a a,a a
14、,a a是向量组的一个是向量组的一个极大线性无关组极大线性无关组. 行最简形矩阵行最简形矩阵 一个矩阵是行最简形矩阵一个矩阵是行最简形矩阵(或称行最简式或称行最简式)是指它为是指它为阶梯形矩阵阶梯形矩阵, 且它的每一行的第一个非零元素均为且它的每一行的第一个非零元素均为1, 第一个非零元第一个非零元素所在的列其余元素均为素所在的列其余元素均为0 例如例如, , 利用初等行变换将利用初等行变换将A先化为阶梯形矩阵先化为阶梯形矩阵B，再化成行最简形，再化成行最简形矩阵矩阵C.3. 用极大线性无关组表示其他的向量 即列向量组的一个即列向量组的一个极大极大线性线性无关组化为无关组化为单位向量组单位向量
15、组. . 步步1. 1. 把向量组的向量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列向量列向量组成矩阵组成矩阵A； 步步2.2. 对矩阵对矩阵A进行进行初等初等行变换行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B； 步步3. 3. 把阶梯形把阶梯形B进行进行初等初等行变换行变换化为行最简形矩阵化为行最简形矩阵C； 步步4. 4. 根根据据行行最最简简形形矩矩阵阵列列向向量量的的分分量量，用用极极大大线线性性无无关关组表示其它向量组表示其它向量3. 用极大线性无关组表示其他的向量例例6.6.求下列向量组的一个极大求下列向量组的一个极大线性线性无关组，并表示其它向量无关组，并表示其它向量:解解：以以给给定定向向量量
16、为为列列向向量量作作成成矩矩阵阵A，用用初初等等行行变变换换将将A化化为为行行最简形最简形: 根据行最简形矩阵根据行最简形矩阵C可知可知a a, ,a a, ,a a是向量组是向量组的一个极大的一个极大线性线性无关组无关组，且且 a a3 3=2=2a a1 1- -a a+0+0a a, , a a5 5= = a a1 1+ +a a+ +a a. .3560假设第假设第5列为，列为， 该如何表示？该如何表示？ 证明证明: : (反证反证) 设设a a1，a a2， ，a am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向线性相关，则其中至少有一向量可由其余向量线性表示，不妨设量线性表示，不妨设a
17、 a1可由可由a a2， ，a am线性表示，即有一组数线性表示，即有一组数k2， ，km，使，使 a a1k2a a2+ + + +kma am ，于是，于是 (a a1 , a a1)= (a a1 , k2a a2+ + + +kma am) = (a a1 , k2a a2)+ + (a a1 , kma am) =k2 (a a1 , a a2)+ + + km (a a1 , a am)=0这与这与(a a1 , a a1)0矛盾，所以矛盾，所以a a1，a a2， ，a am线性无关线性无关. . 定理定理1 1 正交向量组是线性无关的向量组正交向量组是线性无关的向量组.2.8
18、2.8 向量组的正交化标准化向量组的正交化标准化 定理定理2 2 对于线性无关的向量组对于线性无关的向量组a a1,a a2, ,a am，令，令则向量组则向量组b b1,b b2, ,b bm是是正交向量组正交向量组. .施密特正交化方法施密特正交化方法 另另 外外 ： 很很 明明 显显 ， 向向 量量 组组a a1,a a2, ,a am可可 由由 向向 量量 组组b b1,b b2, ,b bm线性表示线性表示. . 向向量量组组b b1,b b2, ,b bm也也可可由由向向量量组组a a1,a a2, ,a am线线性性表表示，因为：示，因为： 例例1已已知知向向量量组组a a1=
19、=(1,1,1,1)T, a a2= =(3,3,-1,-1)T, a a3= =(-2, 0, 6, 8)T,线性无关，试将它们正交化、标准化线性无关，试将它们正交化、标准化. .解解:(1)(1)先先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令b1=a1=(1, 1, 1, 1)T=(3, 3, -1, -1)T=(2, 2, -2, -2)T =(-1, 1, -1, 1)T(1, 1, 1, 1)T此时此时 b b1, b b2, b b3 为正交组为正交组. .(2)(2)再将再将正交化后的向量组标准化，即令正交化后的向量组标准化，即令此时此时 1
20、, 2, 3 即为所求标准正交组即为所求标准正交组. .说明：说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化. .线性代数课程结构线性代数课程结构 基基基基 础础础础基础知识基础知识 准准准准 备备备备行列式行列式矩矩 阵阵向向 量量 正正正正 题题题题线性方程组线性方程组特征值、特征向量特征值、特征向量二次型二次型练习 求求求求a a a a1 1=(1,0,1)=(1,0,1)T T, , a a a a2 2=(1,1,2)=(1,1,2)T T, , a a a a3 3=(1,2,3)=(1,2,3)T T, , a a a a4 4=(1,2
21、,6)=(1,2,6)T T, , a a a a3 3=(2,3,6)=(2,3,6)T T的极大线性无关组，并用的极大线性无关组，并用的极大线性无关组，并用的极大线性无关组，并用该该该该极大线性无关组极大线性无关组极大线性无关组极大线性无关组表示其他的向量表示其他的向量表示其他的向量表示其他的向量. .解：以以以以a a a a1 1 1 1, , , ,a a a a2 2 2 2, , , ,a a a a3 3 3 3, , , ,a a a a4 4 4 4, , , ,a a a a5 5 5 5为列构造矩阵为列构造矩阵为列构造矩阵为列构造矩阵A A3 3分分分分于是，于是，于是
22、，于是，a a a a1 1, ,a a a a2 2, ,a a a a4 4为极大为极大为极大为极大线性无关组线性无关组线性无关组线性无关组. .5 5分分分分2 2分分分分a a a a3 3= =- -a a a a1 1+ +2 2a a a a2 2, ,a a a a5 5= =4/34/3a a a a1 1+ +4/34/3a a a a2 2+ +1/31/3a a a a4 43 3分分分分2 2分分分分一、填空题一、填空题1若向量组若向量组a a，a a， ，a am线性相关，则它的秩（线性相关，则它的秩（ ）m2一一个个向向量量组组若若含含有有两两个个以以上上的的极极
23、大大无无关关组组，则则各各极极大大无无关关组所含向量个数必（组所含向量个数必（ ）3设设a a，a a， ，a ar线线性性无无关关，且且可可由由b b，b b， ，b bs线线性表示，则性表示，则r ( ) s设A是是n阶方方阵且且|A|0，则（ ） 1) A中必有两行（列）元素中必有两行（列）元素对应成比例成比例 2) A中至少有一行（列）的元素全中至少有一行（列）的元素全为0 3) A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性性组合合 4) A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性性组合合二、
24、单选题二、单选题n; rn.3向量组向量组a a，a a， ，a as，线性无关的充要条件是（，线性无关的充要条件是（ ） r1; 它有一个部分向量它有一个部分向量组线性无关性无关; r0; 它所有的部分向量它所有的部分向量组线性无关性无关.4若若矩矩阵阵A有有一一个个r阶阶子子式式D0,且且A中中有有一一个个含含有有D的的r+1阶阶子子式等于零，则一定有（式等于零，则一定有（ ） . r(A) r ; r(A) r ; r(A) = r ; r(A) = r+1.5设设向向量量组组a a,a a,a a线线性性无无关关，则则下下列列向向量量组组中中，线线性性无无关的是（关的是（ ） . . a a+a a，a a+a a，a a-a a a a+a a，a a+a a，a a+2a a+a a a a+2a a，2a a+3a a，3a a+a a a a+a a+a a，2a a-3a a+2a a，3a a+5a a-5a a物理几何论向量， 通观大小及方向。 且看加法与数乘， 代数形式可推广。 分块矩阵向量组， 手足情深常相伴。 线性相关有冗余， 选出代表得精华。 n维向量 作业：作业：作业：作业：8855页页页页 27(3); 28 (3) 27(3); 28 (3)；32(1)32(1)
