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1、1.1.运动方程及其解运动方程及其解 振振动动物物体体不不受受阻阻力力作作用用，只只在在回回复复力力作作用用下下的的振振动动称称为为无无阻阻尼尼自自由由振振动动。但但振振动动时时的的阻阻尼尼是是不不可可避避免免的的，例例如如空空气气的的阻阻力力、弹弹簧簧伸伸缩缩时时的的内内摩摩擦擦、能能量量的的辐辐射射等等，均均可可将将它它们们等等效效为为摩摩擦擦阻阻尼尼。在在回回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。 15-3 15-3 阻尼与受迫振动阻尼与受迫振动一一. . 阻尼振动阻尼振动物体在速度不太大时，其阻力与速度大小成正比而反向物体在速度不太大时，其阻力与速度大小
2、成正比而反向 称称为为阻阻力力系系数数，由由物物体体的的形形状状、大大小小和和介介质质的的性性质质决定。决定。质量为质量为m m的物体在回复力和阻力作用下的运动方程为的物体在回复力和阻力作用下的运动方程为令令严严格格说说，阻阻尼尼振振动动不不是是周周期期性性振振动动。称称为为准准周周期期性振动。性振动。将将振振动动物物体体两两次次通通过过极极大大（极极小小）位位置置经经历历的的时时间间叫做阻尼振动的周期。叫做阻尼振动的周期。显然，其周期比无阻尼时长。显然，其周期比无阻尼时长。2. 2. 阻尼因数对振动的影响阻尼因数对振动的影响欠阻尼欠阻尼1 1、2 2为为阻阻尼尼振振动动状状态态，3 3为为临
3、临界界阻阻尼尼状状态态，4 4、5 5为为过过阻阻尼尼状状态态。用用灵灵敏敏电电流流计计测测微微电电流流时时，往往往往将将电电流流设设计计在临界阻尼状态以减小表针达到平衡状态的时间。在临界阻尼状态以减小表针达到平衡状态的时间。二二. . 受迫振动受迫振动 为为能能获获得得稳稳定定的的振振动动，对对振振动动系系统统作作用用一一周周期期性性外外力力。物物体体在在周周期期性性外外力力作作用用下下的的振振动动称称为为受受迫迫振振动动。这这种种周周期期性性外外力力称称为为强强迫迫力力。喇喇叭叭纸纸盆盆的的振振动、机器运转时机座的振动等均为受迫振动。动、机器运转时机座的振动等均为受迫振动。1.运动方程及其
4、解运动方程及其解该微分方程的解为该微分方程的解为该该解解的的第第一一项项随随时时间间迅迅速速衰衰减减，称称为为暂暂态态解解，第第二二项不随时间衰减，称为稳态解。项不随时间衰减，称为稳态解。 达达到到稳稳定定状状态态时时，受受迫迫振振动动的的角角频频率率不不是是振振子子的的固固有有频频率率而而是是强强迫迫力力的的角角频频率率；受受迫迫振振动动的的振振幅幅和和初初相相位位不不是是决决定定于于振振子子的的初初始始状状态态，而而是是依依赖赖于于振振子子的性质、阻尼的大小和强迫力的特征的性质、阻尼的大小和强迫力的特征。2. 2. 共振共振（resonance)理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为理论
5、计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为稳态时物体的速度稳态时物体的速度速度振幅速度振幅受受迫迫振振动动时时，振振动动物物体体因因强强迫迫力力作作功功获获得得能能量量，而而因因阻阻尼尼作作用用而而消消耗耗能能量量。在在稳稳态态振振动动情情况况下下，一一周周期期内内外外力力所所作作功功恰恰好好补补偿偿阻阻尼尼消消耗耗的的能能量量，因因而而系系统维持等幅振动。统维持等幅振动。l位移共振位移共振对对一一定定的的振振动动系系统统，如如果果强强迫迫力力的的幅幅值值一一定定，稳稳态态时时位位移移振振幅幅随随强强迫迫力力的的频频率改变。率改变。当当强强迫迫力力的的角角频频率率为为某某个个特特定定值值时时，位位移
6、移振振幅幅达达到到最最大大值值，把把这这种种位位移移振振幅幅达达到到最最大值的现象叫做大值的现象叫做位移共振位移共振。由由求得共振圆频率为求得共振圆频率为共振时的位移振幅为共振时的位移振幅为l速度共振速度共振受受迫迫振振动动的的速速度度在在一一定定条条件件下下也也会会发发生生共共振振，其其共共振圆频率为振圆频率为这这表表明明，当当强强迫迫力力的的频频率率等等于于系系统统固固有有频频率率0 0时时，速速度度幅幅值值达达到到最最大大值值。在在给给定定幅幅值值的的周周期期性性外外力力作作用用下下，振振动动时时的的阻阻尼尼愈愈小小，速速度度幅幅值值的的极极大大值值也也越越大大，共共振振曲曲线越为尖锐。
7、线越为尖锐。 l共振的危害与利用共振的危害与利用危害：军队过桥的情况、火车速度的限制，危害：军队过桥的情况、火车速度的限制，利利用用：超超声声清清洗洗、音音箱箱设设计计、振振荡荡电电路路、核核磁磁共共振振l受迫振动与无阻尼简谐振动的区别受迫振动与无阻尼简谐振动的区别尽尽管管受受迫迫振振动动与与无无阻阻尼尼简简谐谐振振动动的的表表达达式式相相似似，受受迫迫振振动动的的受受力力与与无无阻阻尼尼简简谐谐振振动动的的受受力力不不同同，运运动动情情况况也也不不同同。受受迫迫振振动动以以强强迫迫力力的的频频率率振振动动，阻阻力力消消耗耗的的能能量量由由强强迫迫力力作作功功补补偿偿；无无阻阻尼尼简简谐谐振振
8、动动以以系统固有频率振动，不消耗能量。系统固有频率振动，不消耗能量。无无阻阻尼尼简简谐谐振振动动的的振振幅幅和和初初位位相相由由初初始始条条件件决决定定；稳稳定定的的受受迫迫振振动动的的振振幅幅和和初初位位相相由由系系统统性性质质及及强强迫迫力力性性质共同决定，与初始条件无关。质共同决定，与初始条件无关。15-4 15-4 电磁振荡电磁振荡 电电路路中中电电压压和和电电流流的的周周期期性性变变化化称称为为电电磁磁振振荡荡，产产生生电电磁磁振振荡荡的的的的电电路路称称为为振振荡荡电电路路，最最简简单单的的振振荡荡电电路路由由一一个个电电容容和和一一个个自自感感线线圈圈组组成成，称称为为LCLC振
9、振荡电路。荡电路。1. 1. LCLC电路的振荡电路的振荡 使使电电源源给给电电容容器器充充电电，然然后后将将开开关关接接通通电电感感器器，在在此此瞬瞬间间电电容容器器上上的的电电荷荷最最多多，两两极极板板间间的的场场强强最最大大，电电场场的的能能量量全全部部集集中中在两极板之间。在两极板之间。电电容容器器放放电电时时自自感感线线圈圈（电电路路）中中的的电电流流逐逐渐渐增增大大到到最最大大值值，电电容容器器上上的的电电荷荷逐逐渐渐减减小小为为零零。电电流流激激发发的的磁磁场场随随之之增增大大到到最最大大，此此过过程程电电容容器器中中电电场场的的能量全部转化为线圈中磁场的能量能量全部转化为线圈中
10、磁场的能量。电电容容器器放放电电结结束束时时电电路路中中的的电电流流最最大大，由由于于电电磁磁惯惯性性，电电流流将将对对电电容容器器作作反反向向充充电电，当当电电流流减减小小为为零零时时，电电容容器器的的电电荷荷量量达达到到反反向向的的最最大大值值。线线圈圈内内的的磁场能量重又转化为电场的能量磁场能量重又转化为电场的能量。随随后后电电容容器器又又进进行行反反向向放放电电，又又将将电电场场的的能能量量转转化化为磁场的能量；再后电容器又被充电，回复原状。为磁场的能量；再后电容器又被充电，回复原状。可可见见，LCLC电电路路中中电电容容器器上上的的电电荷荷及及电电路路中中的的电电流流均均作作周周期期
11、性性变变化化，电电场场与与磁磁场场的的能能量量相相应应作作周周期期性性变变化化。如如电电路路中中无无能能量量损损耗耗，这这种种周周期期性性变变化化将将持持续续下下去去，这这种种情情况况称称为为无无阻阻尼尼的的自自由由振振荡荡。其其变变化化规规律律可可与与弹弹簧簧振振子子的的自自由由振振动动相相类类比比，电电容容器器中中的的电电荷荷与与弹弹簧簧振振子子的的位位移移变变化化相相对对应应，线线圈圈中中的的电电流流与与弹弹簧簧振振子子的的速速度度相相对对应应，磁磁场场的的能能量量对对应应于于机机械械振振动动的的动动能，电场的能量对应于机械振动的势能。能，电场的能量对应于机械振动的势能。2 2电流随时间
12、的变化规律电流随时间的变化规律设设t t时时刻刻电电容容器器极极板板上上的的电电量量为为q q，电电路路中中的的电电流流为为i i，回回路路电电流流沿沿顺顺时时针针方方向向。线线圈圈两两端端的的电电势势差差等等于于电电容容器器极极板板间间的的电电势差，有势差，有由于电流的方向使电容器的电量减少，故有由于电流的方向使电容器的电量减少，故有令令得得即即上述微分方程的解为上述微分方程的解为振荡的振荡的频率频率和和周期周期分别为分别为对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流3 3LCLC振荡电路的能量振荡电路的能量任意时刻任意时刻t t电容器中的电场能量电容
13、器中的电场能量任意时刻任意时刻t t线圈中的磁场能量线圈中的磁场能量无阻尼自无阻尼自由振荡电由振荡电路的电磁路的电磁能量是守能量是守恒的恒的。2. 2. 阻尼振荡阻尼振荡 实实际际电电路路总总有有电电阻阻存存在在，因因此此是是RLCRLC电电路路，与与机机械械振振动动类类比比，微微分方程为分方程为阻尼不大时方程的解为阻尼不大时方程的解为因因电电路路有有电电阻阻存存在在，电电容容器器上上的的电电量量及及电电路路中中的的电电流流均均振幅渐次降低并趋近于零振幅渐次降低并趋近于零。3. 3. 受迫振荡受迫振荡 电共振电共振如如在在RLCRLC电电路路中中接接入入一一电电动动势势周周期期性性变变化化的的电电源源补补偿偿电电路路消消耗耗的的能能量量，则则能能使使电电路路中中的的电电流流振振幅幅维维持持不不变变。这这种种在在周周期期性性外外电电动动势势持持续续作作用用下下的的振振荡荡称称为为受受迫迫振振荡。荡。 其稳态解为其稳态解为电路中的电流为电路中的电流为
