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1、第七章第七章弹性体振动弹性体振动弹性体的线性振动在数学上可归结为偏弹性体的线性振动在数学上可归结为偏 微分方程的边值问题。但只有在一些最简单的微分方程的边值问题。但只有在一些最简单的下才能下才能 找到准确解找到准确解 ， 因而对于复杂因而对于复杂 的弹性体的线性振动问题必须求助于近似解的弹性体的线性振动问题必须求助于近似解, 也就是将无限多自由度系统也就是将无限多自由度系统 离散化为有限多个自由度离散化为有限多个自由度 情况情况系统（系统（ 离散系统离散系统 ）( 连续系统连续系统 )弹性体弹性体 (连续体连续体 ) 的线性振动有无限多的线性振动有无限多个个 自由度，因而具有无限多个固有自由度
2、，因而具有无限多个固有 频率和无限频率和无限 多个主振型多个主振型 。弹性体的任何振动形态也可。弹性体的任何振动形态也可 表示为各主振型的线表示为各主振型的线 性叠加。因而对于弹性性叠加。因而对于弹性 体的动态响应分析，主振型叠加法仍然适用。体的动态响应分析，主振型叠加法仍然适用。 一、杆的纵向振动一、杆的纵向振动杆单位体积质量为杆单位体积质量为 x ，杆长为，杆长为 ,截面积为截面积为A， ，纵向张力为，纵向张力为 ，则，则 dx 应变应变在在 截面处张力为截面处张力为 列出杆微元列出杆微元 的运动微分方程的运动微分方程 c为纵波波速，与为纵波波速，与E成正比成正比, 波动方程波动方程 令令
3、 有有 1. 两端固定杆两端固定杆2. 两端自由杆两端自由杆有有 及及 或或 3. 一端固定一端自由杆一端固定一端自由杆 基桩低应变测试及其应用基桩低应变测试及其应用 适用条件适用条件 判断基桩完整性判断基桩完整性.-质量检测（质量检测（Quality Inspection） 基本假定基本假定 1.假定桩为细长的、无阻尼的弹性直杆；假定桩为细长的、无阻尼的弹性直杆； 2.假定桩产生轴向变形以后横截面仍保持为假定桩产生轴向变形以后横截面仍保持为平面，横截面上应力分布均匀。平面，横截面上应力分布均匀。 基本原理基本原理 (一一).建立单元微分方程建立单元微分方程(平衡方程平衡方程) 假假定定桩桩长
4、长为为l，截截面面积积为为A，重重度度为为，质质量量密密度度为为，弹弹性性模模量量为为E， 桩桩端端土土的的抗抗压压刚刚度度为为K0、阻阻尼尼系系数数为为C0，桩桩侧侧土土的的抗抗压压刚刚度度为为K、阻阻尼尼系系数数为为C.于于是是，桩桩单单元元的的应应力力平平衡衡方方程程（结结合合图图示示）（桩桩土土作作用用：弹弹簧簧K粘滞体粘滞体C）基本微分方程的建立过程基本微分方程的建立过程即即由于由于所以所以(二二).微分方程的求解微分方程的求解 1.不考虑桩侧土的影响不考虑桩侧土的影响(K=0,C=0) 摩擦桩：摩擦桩：端承桩：端承桩：VP桩身材料的桩身材料的纵波纵波波速波速(m/s)C1、C2由桩
5、顶桩端的边界条件（见下）确定：由桩顶桩端的边界条件（见下）确定：2.考虑桩周土的影响考虑桩周土的影响 同上述，但结果很复杂。同上述，但结果很复杂。 无无论论桩桩周周土土考考虑虑与与否否，都都可可以以根根据据实实际际波波形形进进行行基桩完整性分析：相邻固有频率差为基桩完整性分析：相邻固有频率差为分析该式分析该式- 已已知知曲曲线线得得t时时域域曲曲线线(或或频频域域曲曲线线),再再据据VP得缺陷位置得缺陷位置l.试验设备试验设备 手锤、黄油手锤、黄油 传感器、导线传感器、导线基桩低应变分析仪、显示器基桩低应变分析仪、显示器 试验方法试验方法 黄油、传感器、手锤、获得波形（时域）曲线黄油、传感器、
6、手锤、获得波形（时域）曲线。 资料整理资料整理 直接由显示器得波形（时域）曲线（或其积分直接由显示器得波形（时域）曲线（或其积分 频频域曲线），只要分析该曲线即可，无需进一步整理。域曲线），只要分析该曲线即可，无需进一步整理。 二二. 弦振动弦振动 若若横横波波在在张张紧紧的的弦弦线线上上沿沿x轴轴正正方方向向传传播播，我我们们取取 的的微微分分段段加加以以讨讨论论（见见图图）。 设设弦弦线线的的线线密密度度（即即单单位位长长质质量量）为为 ，则则此此微微分分段段弦弦线线的的质质量量为为 。在在A、B处处受受到到左左右右邻邻段段的的张张力力分分别别为为 、 ，其其方方向向为为沿沿弦线的切线方向
7、与弦线的切线方向与x轴交成轴交成 、 角。角。 由于弦线上传播的横波在由于弦线上传播的横波在方向无振动，方向无振动，所以作用在微分段所以作用在微分段 该为该为零，即零，即又根据牛顿第二定律，在又根据牛顿第二定律，在y 方向微分段的运方向微分段的运上的张力的上的张力的 x分量应分量应动方程为动方程为：对于小的振动，可取对于小的振动，可取 而而、都很小，所以都很小，所以 又从导数的几何意义可知又从导数的几何意义可知 即即 表示张力不随时间和地点而变，为一定值表示张力不随时间和地点而变，为一定值 有有将将按泰勒级数展开并略去二级微量得按泰勒级数展开并略去二级微量得将此式代入，得将此式代入，得即即在线
8、密度为在线密度为 张力为张力为T的弦线上的弦线上， 横波传播速度横波传播速度c的平方等于的平方等于： 有有:上式亦为波动方程上式亦为波动方程令令有有:边界条件边界条件:有有:特征值特征值:振型函数振型函数:弦的弦的1、2、3阶主振型阶主振型 张紧弦的前三阶振型如图张紧弦的前三阶振型如图 拉索索力测量原理拉索索力测量原理斜拉索索力测定的理论基础是弦振动理论斜拉索索力测定的理论基础是弦振动理论, 张紧的斜拉索张紧的斜拉索 的动力方程为的动力方程为 其中：其中：y-横向坐标横向坐标(垂直于索长度方向垂直于索长度方向)x-纵向坐标纵向坐标(沿索长度方向沿索长度方向)w-单位索长的重量单位索长的重量g-
9、重力加速度重力加速度T-索的张力索的张力如果索的两端是铰支的，则方程的解为如果索的两端是铰支的，则方程的解为 其中：其中：l-索的长度索的长度n-索的振动阶次索的振动阶次 fn-索的第索的第n阶振动频率阶振动频率对于某一确定的索，对于某一确定的索，w、l、g都是已知值都是已知值, 如果能精确测定如果能精确测定fn ，并确定，并确定 相应的相应的 n 值值 ， 便可求得索力便可求得索力T。 拉索索力测试的基本原理是基于环境拉索索力测试的基本原理是基于环境随机振动法，其现场测试的流程图如下：随机振动法，其现场测试的流程图如下： 加速度传感器加速度传感器 信号采集分析信号采集分析 拉索索力计算拉索索力计算 三、梁的横向振动三、梁的横向振动y x x dx M V 又又： 则则 则则 令令 令令 代入有代入有 设设 则则 特征方程特征方程 从从 有有 1. 两端简支两端简支 则则 振型振型 当当 时，时， 不为零则不为零则 ,有特征方程有特征方程 2. 两端固支两端固支 特征方程特征方程 3. 悬臂梁悬臂梁特征方程特征方程
