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1、重点重点导数与微分的定义导数与微分的定义导数与微分的定义导数与微分的定义及几何解释及几何解释导数与微分导数与微分基本公式基本公式基本公式基本公式四则运算法则四则运算法则复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则高阶导数高阶导数隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求导难点难点导数的实质，用定义求导，链式法则导数的实质，用定义求导，链式法则第二章第二章 导数与微分导数与微分一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系第
2、一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 一、一、 引例引例1. 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为则则 到到 的平均速度为的平均速度为而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为速度反映了路程对时间变化的速度反映了路程对时间变化的快慢程度快慢程度. 极限位置即极限位置即 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.如图如图,2.切线的斜率问题切线的斜率问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、
3、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系二、导数的定义二、导数的定义 定义定义: : 设函数设函数 y=f (x)在点在点x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义, 当自变量当自变量x在在x0处取得增量处取得增量 x(点点x0+ x仍在该邻域内仍在该邻域内)时时, 相应地函数取得增量相应地函数取得增量 y = f (x0+ x) f (x0); 如如果当果当 x0时时, y与与 x之比的极限存在之比的极限存在, 则称函数则称函数 y=f (x)在点在点x0处可导处可导, 此极限值称为函数此极限值称为函数y=f (x)在点在点x0处处的导数的导数,
4、 并记为并记为f (x0), 即即也可记作也可记作:1.1.函数在一点处的导数与导函数函数在一点处的导数与导函数注注1)函数函数f(x)在点在点x0处可导也可说成处可导也可说成函数函数f(x)在点在点x0处具有导数处具有导数2) 或或导数存在导数存在.2) 导数定义可取不同的形式导数定义可取不同的形式 若若 不存在不存在, 则称则称y= =f( (x) )在在x0点不可导点不可导. 其中当其中当 时时 ,称称y= =f( (x) )在在x0点的导数为无穷大点的导数为无穷大.3) 若若f( (x) )在在(a,b)内每一点可导内每一点可导,函数函数f(x)在在(a,b)内可导内可导.4) 函数函
5、数f(x)在在(a,b)内可导内可导, 即即 对应着对应着f( (x) )的一个确的一个确 定的导数值定的导数值, 这样就构成了一个新的函数这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原这个函数叫做原 来函数来函数y= =f( (x) )的的导函数导函数简称简称导数导数. 记作记作即即或或 函数函数函数函数y y= =f f ( (x x) )在点在点在点在点x x0 0处可导处可导处可导处可导左导数左导数左导数左导数f f- - ( (x x0 0) )和和和和右导数右导数右导数右导数f f+ + ( (x x0 0) )都存在且相等都存在且相等都存在且相等都存在且相等. 如果函数如果函数y=f
6、 (x)在在开区间开区间(a, b)内可导内可导, 且且f+(a)和和 f-(b)都存在都存在, 就说就说函数函数函数函数 f f ( (x x) )在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间 a a, , b b 上可导上可导上可导上可导. 2.2.单侧导数单侧导数f(x)在在x0点的导数点的导数: f(x)在在x0点的点的左导数左导数: f(x)在在x0点的点的右导数右导数:例例1: 讨论函数讨论函数 f (x) =| x |在在 x = 0 处的可导性处的可导性.例例1 1解解用定义求导数用定义求导数(三步法三步法)步骤步骤:例例2 2解解例例3 3解解例例4 4解解更一般地更一般地例如例如,例例
7、5 5解解特别地特别地例例6 6解解特别地特别地例例5: 求求函数函数 y = a x 的导数的导数( a0, a 1).例例6: 求求函数函数 y = loga x 的导数的导数( a0, a 1).例例7.7. 设设存在存在, 求极限求极限一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系三、导数的几何意义三、导数的几何意义物理意义物理意义: :变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的瞬时速度路程对时间的导数为物体的瞬时速度.过点过点M(x0,y0)的切线方程与法线方程的切线方程与法线方
8、程. .过点过点 M(x0,y0) 且与切线垂直的直线且与切线垂直的直线叫曲线叫曲线 y=f(x) 在点在点M M处的法线处的法线. .切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例 在点在点(0,0)处的切线方程处的切线方程为为 y=0例例 在点在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为 x=0例例8 8解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续
9、性的关系四、函数的可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系 定理定理: 若若函数函数 f (x)在点在点x0处可导处可导, 则则f (x)在点在点x0处连续处连续.证证注意注意:1)该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立,即连续函数不一定存在导数即连续函数不一定存在导数.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导2)2)若若 f( (x) )在在x0 0点不连续，则点不连续，则 f( (x) )在在x0 0点必不可导。点必不可导。连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例例如例如, 1. 若函数若函数 f (x)在点在点x0处连
10、续处连续, 且且f-(x0)和和 f+(x0)均存在均存在, 但但 f-(x0) f+(x0), 则称点则称点x0为为f (x)的的角点角点. 由于由于, f-(0)=0, f+(0)=1. 故故f (x)在点在点x =0处处不可导不可导, x =0为为f (x)的的角点角点.例如例如, 2. 若函数若函数 f (x)在点在点x0处连续处连续, 但但f (x0)= (不可不可导导), 则称则称f (x)在点在点x0处有处有无穷导数无穷导数.即即f (x)在在x =0处有处有无穷导数无穷导数. 3. 若函数若函数 f (x)在点在点x0处连续处连续, 但但f (x0)= (不可不可导导), 且两
11、个单侧导数符号相反且两个单侧导数符号相反, 则称点则称点x0为函数为函数f (x)的的尖点尖点.例如例如, 即即x =1处为函数处为函数 f (x)和和 g (x)的的尖点尖点.和和 4. 若函数若函数 f (x)在点在点x0处连续处连续, 但但f (x0)不存在不存在(不不可导可导), 也不为无穷大也不为无穷大, 如摆动不定情况如摆动不定情况.例例9 9: 讨论函讨论函数数在在=0处的连续性与可导性处的连续性与可导性.解解011/1/小结小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定
12、可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题 由导数的定义知由导数的定义知, f (x0)是一个具体的数值是一个具体的数值, f (x)是由于在某区间是由于在某区间 I 上每一点都可导而定义在上每一点都可导而定义在 I 上上的一个新函数的一个新函数, 即即 x I, 有唯一值有唯一值 f (x)与之对应与之对应.所所以以 两者的两者的区别区别是是: 一个是数值一个是数值, 另
13、一个是函数另一个是函数. 两者的两者的联系联系是是: 在某点在某点x0处的导数处的导数f (x0)即是导函即是导函数数f (x)在在x0处的函数值处的函数值. 函数函数f (x0)在某点在某点x0 处的导数处的导数f (x0)与导函数与导函数f (x)有什么区别与联系？有什么区别与联系？思考题解答思考题解答显然显然导数导数f (x0)就是导函数就是导函数f (x)在点在点x0处的函数值处的函数值.即即函数函数 f (x)在在点点x0处的处的 导函数导函数f (x)简称为简称为导数导数, 而而f (x0)称为称为函数函数 f (x)在在点点x0处处的导数的导数或或导数导数f (x)在点在点x0处的值处的值.5) 区别区别 注意注意注意注意: :
