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1、例例1.4 设设事事件件A的的概概率率为为 ，即即 。为为了了估估计计 而而作作n次次独立观察，其中事件独立观察，其中事件A出现次数为出现次数为X，则有，则有X服从二项分布服从二项分布 即即 解题步骤：解题步骤：1.1.作贝叶斯假设。如果此时我们对事件作贝叶斯假设。如果此时我们对事件A的发生的发生没有任何了解，对没有任何了解，对 的大小也没有任何信息。在这种情况下，的大小也没有任何信息。在这种情况下，贝叶斯建议用区间（贝叶斯建议用区间（0，1）上的均匀分布作为）上的均匀分布作为的先验分布。的先验分布。因为它在（因为它在（0，1）上每一点都是机会均等的。因此：）上每一点都是机会均等的。因此：2.
2、计算样本计算样本X与参数与参数 的联合分布：的联合分布：此式在定义域上与二项分布有区别。此式在定义域上与二项分布有区别。如何求出后验分布？即： 5.具具体体算算例例。拉拉普普拉拉斯斯计计算算过过这这个个概概率率,研研究究男男婴婴的的诞诞生生比比例例是是否否大大于于0.5?如如抽抽了了251527个个男男婴婴,女女婴婴241945个个。他他选选用用U(0，1)作作为为的的先先验验分分布布，于于是是可可得得的的后后验验分分布布Be(x+1,n-x+1), 其其中中n=251527+241945=493472，x=251527。由由此此拉拉普普拉斯计算了拉斯计算了“0.5”的后验概率：的后验概率：故
3、他断言男婴诞生的概率大于故他断言男婴诞生的概率大于0.5。4.利用贝叶斯公式可得利用贝叶斯公式可得 的后验分布：的后验分布：3.计算计算X的边际密度为的边际密度为:注：1.伽玛分布与贝塔分布简介：定义：定义在0，1上，且用密度函数：表示的概率分布称为型分布，记为(p,q)。 例1.5 投资决策问题 为了提高某产品的质量，公司经理考虑增加投资来改进生产设备，预计需投资100万元，但从投资效果看，下属部门有两种意见：l 1 ：改进生产设备后，高质量产品可占90%l 2 ：改进生产设备后，高质量产品可占70% 问：公司经理怎样决策？l为此经理做了一项试验，试验结果（记为A）如下： A：试制五个产品，
4、全是高质量产品 因为 而由全概率公式可得： 注：根据过去的经验知：1的可信度为40%，2的可信度为60%l由贝叶斯公式的离散形式可得：l经理根据试验A的信息调整了自己的看法，把对 和 的看法由0.4和0.6调整到了0.7和0.3。为此经理再次事业，观其结果再作决策。 试验B：试制10个产品，有9个是高质量产品 l为此把上次后验概率看作是这次试验的先验概率，即l由二项分布可以得到： 由此可以算得 和后验概率 经过二次试验， 的概率已经上升到0.883，因此经理选择了第一个方案。(2)确定先验分布确定先验分布: :例例1.6 证明：正态均值（方差已知）的共轭先验分证明：正态均值（方差已知）的共轭先
5、验分布是正态分布。布是正态分布。证明思路：证明思路：(1)写出样本的似然函数写出样本的似然函数:(3)计算后验分布计算后验分布: :例例1.7 证明：二项分布的成功概率证明：二项分布的成功概率的共轭先验分布是的共轭先验分布是贝塔分布。贝塔分布。例例1.8 例例1.6中后验均值与后验方差的合理解释。中后验均值与后验方差的合理解释。l由例由例1.6知知l 其中其中 是用方差倒数组成的权，于是后验均值是用方差倒数组成的权，于是后验均值 是样本均值与先验均值是样本均值与先验均值 的加权平均。的加权平均。而而 可解释为：后验分布的精度是样本均可解释为：后验分布的精度是样本均值分布的精度与先验分布精度之和
6、，增加样本量值分布的精度与先验分布精度之和，增加样本量n或减少先或减少先验分布方差都有利于提高后验分布的精度。验分布方差都有利于提高后验分布的精度。例例1.9 对例对例1.7中后验分布的均值和方差的解释。中后验分布的均值和方差的解释。 分析：后验分布分析：后验分布Be(+x, +n-x)的均值和方差可写为：的均值和方差可写为：1.利用先验矩：利用先验矩：2.利用先验分位数：利用先验分位数：l假如根据先验信息可以确定贝塔分布的二个分位数，则可用这两个分位数来确定与，譬如用两个上、下四分位数U与L来确定与，U与L分别满足如下二个方程：l从这两个方程解出与即可确定超参数。3.利用先验矩和先验分位数l假如根据先验信息可获得先验均值 和p分位数 ，则可列出下列方程：l l由此可解出与的估计值。4.其它方法
