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1、第六讲解析函数与调和函数的关系 在在3.63.6我我们证明了在明了在D D内的解析函数内的解析函数, ,其其导数数仍仍为解析函数解析函数, ,所以解析函数有恣意所以解析函数有恣意阶导数。本数。本节利用利用这一重要一重要结论研研讨解析函数与解析函数与调和函数之和函数之间的关系。的关系。内内 容容 简 介介3.7 解析函数与解析函数与调和函数的关系和函数的关系定义定义定理定理证明：设证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，那么内解析，那么即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:定义定义上面定理上面定理阐明：明：由解析的概念得：由解
2、析的概念得：如今研讨反过来的问题：如今研讨反过来的问题：如如定理定理A 公式不用公式不用强记！可如下推出：！可如下推出：类似地，似地， 然后两端然后两端积分得，分得，A 调和函数在流膂力学和和函数在流膂力学和电磁磁场实际等等实践践A问题中都有重要运用。本中都有重要运用。本节引引见了了调和函数与解和函数与解A析函数的关系。析函数的关系。例例1解解曲曲线积分法分法故故A 又解又解凑凑全全微微分分法法又解又解偏偏积分分法法又解又解不不定定积分分法法& 1. 复数列的极限复数列的极限& 2. 级数的概念级数的概念第第 四四 章章 级级 数数CH44.1 复数复数项级数数 1. 复数列的极限复数列的极限
3、定定义又设复常数：又设复常数：定理定理1证明证明2. 级数的概念数的概念级数的前面数的前面n项的和的和-级数的部分和级数的部分和不收不收敛-无穷级无穷级数数定义定义设复数列：设复数列：例例1解解定理定理2证明明A 由定理由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为A 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。性质性质定理定理3证明明A ?定定义由定理由定理3的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式定理定理4解解例例2例例3解解练习：& 1. 幂级数的概念幂级数的概念& 2. 收敛定理收敛定理& 3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径& 4. 收敛半径的求法收敛
4、半径的求法& 5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数数1. 幂级数的概念数的概念定定义设复复变函数列：函数列：-称为复变函数项级称为复变函数项级数数级数的最前面数的最前面n项的和的和-级数的部分和级数的部分和假设级数假设级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数-级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中称为幂级数称为幂级数2. 收收敛定理定理同同实变函数一函数一样，复，复变幂级数也有所数也有所谓的收的收敛定理：定理：定理定理1 (阿阿贝尔(Able)定理定理证明证明(2)用反证法，用反证法，3. 收收敛圆与收与收敛半径半
5、径由由Able定理，定理，幂级数的收数的收敛范范围不外乎下述不外乎下述三种情况：三种情况：(i)假假设对一切正一切正实数都收数都收敛，级数数(3)在复平面上在复平面上处处收收敛。(ii )除除z=0外，外，对一切的正一切的正实数都是数都是发散的，散的，这时， 级数数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外外处处发散。散。显然，然， 否那么，否那么，级数数(3)将在将在处发散。散。将收将收敛部分染成部分染成红色，色，发散散部分染成部分染成蓝色，色，逐逐渐变大，大，在在c c内部都是内部都是红色色, ,逐逐渐变小，在小，在c外部都是外部都是蓝色，色，红、蓝色不会交色不会交错。故。故播放播放A (i)
6、幂级数在收数在收敛圆内部收内部收敛，在收，在收敛圆外外A部部发散，在散，在圆周上能周上能够收收敛能能够发散，散，详细问题A要要详细分析。分析。定义这个红蓝两色的分界圆周定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数数(3)的收的收敛范范围是以是以0为中心，半径中心，半径为R的的圆域；域；幂级数数(2)的收的收敛范范围是以是以z0为中心中心,半径半径为R的的圆域域.4. 收收敛半径的求法半径的求法 定理定理2(比值法比值法)证明证明 定理定理3(根值法根值法) 定理定理3(根值法根值法)
7、定理定理2(比值法比值法)例例1解解 综综上上例例2 求以下幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求以下幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1)该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2该级数在收数在收敛圆上是上是处处收收敛的。的。 综综上上该级数数发散。散。该级数收数收敛，故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.5. 幂级数的运算和性数的运算和性质q代数运算代数运算-幂级数的加、减运算数的加、减运算-幂级数的乘法运算数的乘法运算-幂级数的代数的代换(复合复合)运算运算A 幂级A数的代数的代换运运A算在函数展算在函数展A成成幂级数中数中A很有用很有用.例例3解解代换代换解解代换代换展开展开复原复原q分析运算分析运算定理定理4-幂级数的逐数的逐项求求导运算运算-幂级数的逐数的逐项积分运算分运算 作业P103 30(1)(2),31P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)
