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1、 对于闭环系统对于闭环系统 的情况，如果在所关心的的情况，如果在所关心的复数域内，都有：复数域内，都有： (3.71)(3.71) 成立，则可得到：成立，则可得到： (3.72)(3.72) 那么，输出仅受到那么，输出仅受到H(s)H(s)的影响，而且的影响，而且H(s)H(s)有可能是一个有可能是一个常数。如果常数。如果H(s)=1H(s)=1，得到的结果正是期望的输入值，那就，得到的结果正是期望的输入值，那就是，输出等于输入。但是，在对闭环控制系统应用式是，输出等于输入。但是，在对闭环控制系统应用式(3.72)(3.72)这样一个近似之前，必须注意式这样一个近似之前，必须注意式(3.71)
2、(3.71)这一前提条这一前提条件，可能会导致系统的响应为剧烈振荡，甚至于不稳定。件，可能会导致系统的响应为剧烈振荡，甚至于不稳定。尽管如此，增加开环传递函数尽管如此，增加开环传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)的大小会导致的大小会导致G(s)G(s)对输出影响减少的事实是一个极有用的概念。因此，反馈对输出影响减少的事实是一个极有用的概念。因此，反馈控制系统的最重要优势就是被控过程参数控制系统的最重要优势就是被控过程参数G(s)G(s)变化的影响变化的影响被减少了。被减少了。|G(s)H(s)|1 为描述参数变化的影响，假设被控过程为描述参数变化的影响，假设被控过程G G( (s s) )
3、发生变化，新发生变化，新被控过程就是被控过程就是G G( (s s)+)+G G( (s s) )。那么，在开环情况下，输出的。那么，在开环情况下，输出的变化为变化为 (3.73)(3.73) 在闭环系统中，有在闭环系统中，有 (3.74)(3.74) 考虑到考虑到 , ,则输出的改变就是：则输出的改变就是： (3.75)(3.75)通常情况下，有通常情况下，有G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)，于是：，于是： (3.76)(3.76)C(s)=G(s)R(s) 观察式观察式(3.76)(3.76)可以看出，由于可以看出，由于1+1+G G( (s s) )H H
4、( (s s)在所关心的复在所关心的复数域范围内常常远大于数域范围内常常远大于1 1，因此闭环系统输出的变化减少，因此闭环系统输出的变化减少了。因子了。因子1+1+G G( (s s) )H H( (s s)在反馈控制系统的特征中起到了非在反馈控制系统的特征中起到了非常重要的作用。常重要的作用。系统灵敏度定义为系统传递函数的变化率与被控过程传递系统灵敏度定义为系统传递函数的变化率与被控过程传递函数变化率的比值。如果系统传递函数为函数变化率的比值。如果系统传递函数为 则，灵敏度定义为则，灵敏度定义为 (3.77)(3.77) 取微小增量的极限形式，则式取微小增量的极限形式，则式(3.77)(3.
5、77)成为成为 (3.78)(3.78)GB(s)=C(s)/R(s)很明显，从式很明显，从式(3.73)(3.73)可以看出，开环系统的灵敏度等于可以看出，开环系统的灵敏度等于1 1。闭环系统灵敏度可以从式闭环系统灵敏度可以从式(3.78)(3.78)容易得到。设闭环系统的容易得到。设闭环系统的系统传递函数为系统传递函数为 因此反馈系统关于因此反馈系统关于G (s)G (s)的灵敏度为的灵敏度为 即即 (3.79)(3.79)再次可以看到，在所关心的复数域范围内再次可以看到，在所关心的复数域范围内GHGH( (s s) )增加时，增加时，闭环系统的灵敏度将会低于开环系统的灵敏度。闭环系统的灵
6、敏度将会低于开环系统的灵敏度。同样道理，可以考察闭环系统对反馈环节同样道理，可以考察闭环系统对反馈环节H H( (s s) )改变时的系改变时的系统灵敏度，令统灵敏度，令 (3.80)(3.80) 即即 (3.81)(3.81) 当当G(s)H(s)G(s)H(s)很大时，灵敏度约为很大时，灵敏度约为1 1，也就是，也就是H(s)H(s)的变化将的变化将直接影响到系统的输出。因此，使用不随环境改变或基本直接影响到系统的输出。因此，使用不随环境改变或基本恒定的反馈器件是很重要的。恒定的反馈器件是很重要的。 由此可见，控制系统引入反馈环节后能减少因参数变化由此可见，控制系统引入反馈环节后能减少因参
7、数变化而造成的影响，尤其是因被控过程参数变化所造成的影响，而造成的影响，尤其是因被控过程参数变化所造成的影响，这是反馈控制系统的一个重要优点。这是反馈控制系统的一个重要优点。下面介绍一个利用反馈减少灵敏度的简单例子。运算放大下面介绍一个利用反馈减少灵敏度的简单例子。运算放大器是一种被广泛使用在电子线路上的集成电路器件，它的器是一种被广泛使用在电子线路上的集成电路器件，它的基本应用电路是图基本应用电路是图3-363-36（a a）所示的反相放大器电路。）所示的反相放大器电路。通常，运算放大器的增益通常，运算放大器的增益A A远大于远大于10104 4 。由于输入阻抗很高，。由于输入阻抗很高，所以
8、运算放大器的输入电流可以忽略不计，因此在节点所以运算放大器的输入电流可以忽略不计，因此在节点n n，可写出电流关系式如下，可写出电流关系式如下 (3.82)(3.82) 由于放大器的增益是由于放大器的增益是A A，并且是反相接法，所以，并且是反相接法，所以uc = -Aun uc = -Aun ，因此，因此 (3.83)(3.83) 将将(3.83)(3.83)代入代入(3.82)(3.82)，得到，得到 (3.84)(3.84)解出输出电压解出输出电压u uc c ，有，有 (3.85)(3.85)可重写式可重写式(3.85)(3.85)如下如下 (a) 电路原理图 (b) 结构图图3-36
9、 反相放大器 当当A A11时，可忽略时，可忽略R R1/1/RfRf项，则项，则 (3.86)(3.86) 其中，其中，k = R1/Rf k = R1/Rf 。反相放大器电路结构图如图。反相放大器电路结构图如图3-3-3636（b b），图中反馈环节是），图中反馈环节是H(s)= kH(s)= k，前向通道的传递函数，前向通道的传递函数是是G(s)= -A G(s)= -A 。进一步，当。进一步，当A1A1时，反相放大器电路的传时，反相放大器电路的传递函数为递函数为 (3.87)(3.87) 当运算放大器处于开环状态（即无反馈电阻当运算放大器处于开环状态（即无反馈电阻Rf Rf ）时，）时
10、，相对于增益相对于增益A A的开环灵敏度为的开环灵敏度为1 1。在闭环时，相对于增益。在闭环时，相对于增益A A的闭环灵敏度为的闭环灵敏度为 (3.88)(3.88) 如果如果A A= =10104 4而且而且k k = 0.1= 0.1，有，有 (3.89)(3.89) 则灵敏度接近于则灵敏度接近于0.0010.001，是开环灵敏度的千分之一。，是开环灵敏度的千分之一。 再来考虑闭环时相对于因子再来考虑闭环时相对于因子k k（或者反馈电阻（或者反馈电阻RfRf）的灵）的灵敏度。处理方法同上，得敏度。处理方法同上，得 (3.90)(3.90) 相对于相对于k k的闭环灵敏度接近于的闭环灵敏度接
11、近于1 1。第六节 应用MATLAB分析控制系统的性能 这一节将用两个例子描述反馈控制的优点，同时说明如何利用MATLAB来分析控制系统。系统分析的主要内容包括如何抑制干扰、如何减小稳态误差、如何调节瞬态响应以及如何减少系统对参数变化的影响等。第一个例子是带有负载转矩干扰信号的电枢控制直流电动第一个例子是带有负载转矩干扰信号的电枢控制直流电动机。开环系统结构图如图机。开环系统结构图如图3-37(a)3-37(a)所示，为了改善系统性能，所示，为了改善系统性能，加入速度反馈如图加入速度反馈如图3-37(b)3-37(b)所示。系统的各元器件参数值在所示。系统的各元器件参数值在表表3.63.6中给
12、出。中给出。 从图中可以看出，系统有从图中可以看出，系统有UaUa( (s s) )（或（或VrVr( (s s) )）和）和MLML( (s s) )两两个输入。由于这是一个线性系统，按叠加定理可以分别考个输入。由于这是一个线性系统，按叠加定理可以分别考虑两个输入的独立作用结果。为了研究干扰对系统的作用，虑两个输入的独立作用结果。为了研究干扰对系统的作用，可令可令UaUa( (s s)=0)=0（或（或VrVr( (s s)=0)=0），此时只有干扰），此时只有干扰MLML( (s s) )起作用。起作用。相反地，为了研究参考输入对系统的响应，可令相反地，为了研究参考输入对系统的响应，可令M
13、LML( (s s)=0)=0。如果系统具有很好的抗干扰能力，则干扰信号如果系统具有很好的抗干扰能力，则干扰信号MLML( (s s) )对输对输出出w w ( (s s) )的影响就应该很小，下面就来验证此结论。的影响就应该很小，下面就来验证此结论。参数名参数名 R Ra a K Km m J J B B K Ke e K Ka a K Ks s 参数值参数值 1 1 1010 2 2 0.5 0.5 0.10.1 54 54 1 1 图3-37 速度控制系统结构图首先，考虑图首先，考虑图3-37(a)3-37(a)所示的开环系统，从所示的开环系统，从MML L( (s s) )到到w w
14、o o( (s s) ) ( (此处的下标此处的下标“ “o”o”表示开环表示开环) )的传递函数为的传递函数为假设干扰信号为单位阶跃信号，即假设干扰信号为单位阶跃信号，即MML L( (s s) ) =1/s =1/s。利用。利用MATLABMATLAB可以计算系统的单位阶跃响应如图可以计算系统的单位阶跃响应如图3-38(a)3-38(a)所示，所示，而用于分析此开环控制系统的而用于分析此开环控制系统的MATLABMATLAB程序文本程序文本opentach.mopentach.m示于图示于图3-38(b)3-38(b)。 在输入信号在输入信号Ua(s)=0Ua(s)=0的情况下，稳态误差就
15、是干扰响应的情况下，稳态误差就是干扰响应w w o o( (t t) )的终值。在图的终值。在图3-38(a)3-38(a)的曲线中，干扰响应的曲线中，干扰响应w w o o( (t t) )在在t = t = 7 7秒后已近似不变，所以近似稳态误差值为秒后已近似不变，所以近似稳态误差值为 w w o o() () -0.663(-0.663(弧度弧度/ /秒秒) )同样，通过计算从同样，通过计算从MML L ( (s s) )到到w w c c( (s s) ) ( (此处下标此处下标“ “c”c”表示闭环表示闭环) )的闭环传递函数可分析图的闭环传递函数可分析图3-37(b)3-37(b)
16、所示闭环系统的抗干扰所示闭环系统的抗干扰性能。对于干扰输入的闭环传递函数为性能。对于干扰输入的闭环传递函数为 (a) 开环速度系统对阶跃干扰的响应曲线 %开环速度控制系统对干扰信号的单位阶跃应开环速度控制系统对干扰信号的单位阶跃应:opentach.m:opentach.m Ra=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1; Ra=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1; num1=1;den1=J B; num1=1;den1=J B; num2=Km*Ke/Ra;den2=1; num2=Km*Ke/Ra;den2=1; num,den=feedback(num1,den1
17、,num2,den2); num,den=feedback(num1,den1,num2,den2); % %干扰信号为负干扰信号为负 num=-num;num=-num; printsys(num,den) printsys(num,den) %wo %wo为输出为输出,“o”,“o”表示开环表示开环 wo,x,t=step(num,den);plot(t,wo)wo,x,t=step(num,den);plot(t,wo) xlabel(Timesec),ylabel(Speed),grid xlabel(Timesec),ylabel(Speed),grid % %显示稳态误差，即显示稳
18、态误差，即wowo的最后一个值的最后一个值 wo(length(t)wo(length(t)闭环系统对单位阶跃干扰输入的响应曲线闭环系统对单位阶跃干扰输入的响应曲线w w ( (t t) )和和MATLABMATLAB程序文本程序文本closedtach.mclosedtach.m分别示于图分别示于图3-39(a) (b)3-39(a) (b)。同前，稳态误差就是同前，稳态误差就是w w ( (t t) )的终值，稳态误差的近似值为的终值，稳态误差的近似值为 在本例中，闭环系统与开环系统对单位阶跃干扰信号的输在本例中，闭环系统与开环系统对单位阶跃干扰信号的输出响应的稳态值之比为出响应的稳态值之
19、比为 可见通过引入负反馈已明显减小了干扰对输出的影响，这可见通过引入负反馈已明显减小了干扰对输出的影响，这说明闭环反馈系统具有抑制噪声特性。说明闭环反馈系统具有抑制噪声特性。(a) 闭环系统对阶跃干扰的响应曲线 (b) MATLAB程序文本:closetach.m 图3-39 闭环速度控制系统分析 %闭环速度控制系统对干扰信号的单位阶跃响应闭环速度控制系统对干扰信号的单位阶跃响应:closetach.m:closetach.m Ra=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;Ka=54;Ks=1 Ra=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;Ka=54;Ks=1 num1=1
20、;den1=J B;num2=Ka*Ks;den2=1; num1=1;den1=J B;num2=Ka*Ks;den2=1; num3=Ke;den3=1;num4=Km/Ra;den4=1; num3=Ke;den3=1;num4=Km/Ra;den4=1; numa,dena=parallel(num2,den2,num3,den3);numa,dena=parallel(num2,den2,num3,den3); numb,denb=series(numa,dena,num4,den4); numb,denb=series(numa,dena,num4,den4); num,den=f
21、eedback(num1,den1,numb,denb); num,den=feedback(num1,den1,numb,denb); % %干扰信号为负干扰信号为负 num=-num;num=-num; printsys(num,den) printsys(num,den) %wc %wc为输出为输出,“c”,“c”表示闭环表示闭环 wc,x,t=step(num,den);plot(t,wc)wc,x,t=step(num,den);plot(t,wc) xlabel(Timesec),ylabel(Speed),grid xlabel(Timesec),ylabel(Speed),gr
22、id % %显示稳态误差，即显示稳态误差，即wcwc的最后一个值的最后一个值 wc(length(t)wc(length(t)第二个例子是分析闭环控制系统的控制器增益第二个例子是分析闭环控制系统的控制器增益K K对瞬态响对瞬态响应的影响。图应的影响。图3-403-40是闭环控制系统的结构图。在参考输入是闭环控制系统的结构图。在参考输入R R ( (s s) )和干扰输入和干扰输入N N ( (s s) )同时作用下系统的输出为同时作用下系统的输出为图3-40 反馈控制系统的结构图如果单纯考虑增益如果单纯考虑增益K K对参考输入产生的瞬态响应的影响，对参考输入产生的瞬态响应的影响，可以预计增加可
23、以预计增加K K将导致超调量增加、调整时间减少和响应将导致超调量增加、调整时间减少和响应速度提高。在增益速度提高。在增益K=20K=20和和K=100K=100时，系统对参考输入的时，系统对参考输入的单位阶跃响应曲线以及相应的单位阶跃响应曲线以及相应的MATLABMATLAB程序文本程序文本gain_kr.mgain_kr.m示于图示于图3-413-41。对比两条响应曲线，可以看出上述预计的正。对比两条响应曲线，可以看出上述预计的正确性。确性。尽管在图中不能明显看出增大尽管在图中不能明显看出增大K K能减少调整时间，但是这能减少调整时间，但是这一点可以通过观察一点可以通过观察MATLABMAT
24、LAB程序的运行数据得以验证。这程序的运行数据得以验证。这个例子说明了控制器增益个例子说明了控制器增益K K是如何改变系统瞬态响应的。是如何改变系统瞬态响应的。根据以上分析，选择根据以上分析，选择K=20K=20可能是一个比较好的方案。尽可能是一个比较好的方案。尽管如此，在做出最后决定之前还应该考虑其他因素。管如此，在做出最后决定之前还应该考虑其他因素。 (a) (a) 阶跃响应曲线阶跃响应曲线(b) MATLAB(b) MATLAB程文本程文本:gain_kr.m:gain_kr.m 图图3-41 3-41 单位阶跃输入的响应分析单位阶跃输入的响应分析 % K=20% K=20和和K=100
25、K=100时，参考输入的单位阶跃响应：时，参考输入的单位阶跃响应：gain_kr.mgain_kr.m numg=1;deng=1 1 0; numg=1;deng=1 1 0; K1=100;K2=20; K1=100;K2=20; num1=11 K1;num2=11 K2;den=0 1; num1=11 K1;num2=11 K2;den=0 1; % %简化结构图简化结构图 na,da=series(num1,den,numg,deng);na,da=series(num1,den,numg,deng); nb,db=series(num2,den,numg,deng); nb,db
26、=series(num2,den,numg,deng); numa,dena=cloop(na,da); numa,dena=cloop(na,da); numb,denb=cloop(nb,db); numb,denb=cloop(nb,db); % %选择时间间隔选择时间间隔 t=0:0.01:2.0;t=0:0.01:2.0; c1,x,t=step(numa,dena,t); c1,x,t=step(numa,dena,t); c2,x,t=step(numb,denb,t); c2,x,t=step(numb,denb,t); plot(t,c1,-,t,c2) plot(t,c1,
27、-,t,c2) xlabel(Timesec),ylabel(Cr(t),grid xlabel(Timesec),ylabel(Cr(t),grid在对在对K K做出最后选择之前，非常重要的是要研究系统对单做出最后选择之前，非常重要的是要研究系统对单位阶跃干扰的响应，有关结果和相应的位阶跃干扰的响应，有关结果和相应的MATLABMATLAB程序文本程序文本如图如图3-423-42所示。从中可以看到，增加所示。从中可以看到，增加K K减少了单位干扰响减少了单位干扰响应的幅值。对于应的幅值。对于K K=20=20和和K K=100=100，响应的稳态值分别为，响应的稳态值分别为0.050.05和
28、和0.010.01。对干扰输入的稳态值可按终值定理求得。对干扰输入的稳态值可按终值定理求得 如果仅从抗干扰的角度考虑，选择如果仅从抗干扰的角度考虑，选择K=100K=100更合适。更合适。 在本例中所求出的稳态误差、超调量和调整时间（在本例中所求出的稳态误差、超调量和调整时间（2%2%误差）归纳于表误差）归纳于表3.73.7。 (a) (a) 阶跃响应曲线阶跃响应曲线 (b) MATLAB(b) MATLAB程序文本程序文本:gain_kn.m:gain_kn.m 图图3-42 3-42 单位阶跃干扰的响应分析单位阶跃干扰的响应分析 % K=20% K=20和和K=100K=100时，干扰输入
29、的单位阶跃响应：时，干扰输入的单位阶跃响应：gain_kn.mgain_kn.m numg=1;deng=1 1 0;numg=1;deng=1 1 0; K1=100;K2=20;K1=100;K2=20; num1=11 K1;num2=11 K2;den=0 1;num1=11 K1;num2=11 K2;den=0 1; %简化结构图简化结构图 numa,dena=feedback(numg,deng,num1,den);numa,dena=feedback(numg,deng,num1,den); numb,denb=feedback(numg,deng,num2,den);numb
30、,denb=feedback(numg,deng,num2,den); %选择时间间隔选择时间间隔 t=0:0.01:2.5;t=0:0.01:2.5; c1,x,t=step(numa,dena,t);c1,x,t=step(numa,dena,t); c2,x,t=step(numb,denb,t);c2,x,t=step(numb,denb,t); plot(t,c1,-,t,c2)plot(t,c1,-,t,c2) xlabel(Timesec),ylabel(Cn(t),gridxlabel(Timesec),ylabel(Cn(t),grid 表表3.7 3.7 K K=20=20
31、和和K K=100=100时，控制系统的响应特性时，控制系统的响应特性 K K值值 K=20K=20 K K=100=100 超调量超调量s sp p% 4%4% 22% 22% 调整时间调整时间 t ts s 1.01.0秒秒 0.70.7秒秒 稳态误差稳态误差e essss 5% 5% 1% 1% (a) (a) 被控对象变化时系统的灵敏度被控对象变化时系统的灵敏度 %系统灵敏度分析系统灵敏度分析 K=20;num=1 1 0;den=1 12 K;K=20;num=1 1 0;den=1 12 K; %取取s s= =jwjw, ,w w 的范围为的范围为10-110-1103103，共
32、取，共取200200点点 w=logspace(-1,3,200);s=w*j;w=logspace(-1,3,200);s=w*j; %S%S为灵敏度，为灵敏度，S2S2为灵敏度的近似值为灵敏度的近似值 n=s.2+s;d=s.2+12*s+K;S=n./d;n=s.2+s;d=s.2+12*s+K;S=n./d; n2=s;d2=K;S2=n2./d2;n2=s;d2=K;S2=n2./d2; subplot(211),plot(real(S),imag(S)subplot(211),plot(real(S),imag(S) xlabel(Real(S),ylabel(imag(S),gr
33、idxlabel(Real(S),ylabel(imag(S),grid subplot(212),loglog(w,abs(S),w,abs(S2)subplot(212),loglog(w,abs(S),w,abs(S2) xlabel(wrad/sec),ylabel(abs(S)xlabel(wrad/sec),ylabel(abs(S)(b)(b)MATLABMATLAB程序文本程序文本图图3-43 3-43 系统的灵敏度分析系统的灵敏度分析最后来分析被控对象变化时系统的灵敏度。在本例中，被最后来分析被控对象变化时系统的灵敏度。在本例中，被控对象的传递函数和闭环系统的传递函数分别为控
34、对象的传递函数和闭环系统的传递函数分别为 系统的灵敏度可由式系统的灵敏度可由式(3.78)(3.78)得出得出 利用上式可计算不同利用上式可计算不同s s值所对应的灵敏度值所对应的灵敏度S SG G ，并绘制出，并绘制出频率频率灵敏度曲线。图灵敏度曲线。图3-43(a)3-43(a)中给出的是中给出的是K=20K=20，s s= =j jw w，w w =10-1 10-4 =10-1 10-4 时，系统的灵敏度相对于频率时，系统的灵敏度相对于频率w w的变化曲的变化曲线，图线，图3-43(b)3-43(b)是相应的是相应的MATLABMATLAB程序文本。在低频段，系程序文本。在低频段，系统
35、的灵敏度可近似为统的灵敏度可近似为 可见，增大可见，增大K K值，可以减少系统的灵敏度。值，可以减少系统的灵敏度。 小结小结本章对控制系统分析的基本内容进行了讨论，概括地讲，本章对控制系统分析的基本内容进行了讨论，概括地讲，就是稳定性、瞬态性能和稳态性能。另外还对控制系统关就是稳定性、瞬态性能和稳态性能。另外还对控制系统关于某个环节的灵敏度以及用于某个环节的灵敏度以及用MATLABMATLAB进行系统分析等内容进行系统分析等内容作了初步探讨。本章的内容是以后各章的基础。作了初步探讨。本章的内容是以后各章的基础。使用闭环反馈，必然带来设备及元器件的花销和随之而来使用闭环反馈，必然带来设备及元器件
36、的花销和随之而来的系统复杂问题，另外，对于原本稳定的开环系统，由于的系统复杂问题，另外，对于原本稳定的开环系统，由于反馈的引入，完全可以造成闭环系统的不稳定。但是，尽反馈的引入，完全可以造成闭环系统的不稳定。但是，尽管如此，反馈控制系统在各行各业得到了广泛的应用，这管如此，反馈控制系统在各行各业得到了广泛的应用，这是由于反馈控制能够：是由于反馈控制能够： （1 1）减少被控过程）减少被控过程G(s)G(s)中参数变化时系统的灵敏度；中参数变化时系统的灵敏度； （2 2）有利于控制和调节系统的瞬态响应性能；）有利于控制和调节系统的瞬态响应性能； （3 3）提高系统对干扰的抑制力；）提高系统对干扰的抑制力； （4 4）减小或消除系统的静态误差。）减小或消除系统的静态误差。
