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1、考点扫描：考点扫描： 函数是高中数学重要的基础知识，高考试题中始终贯穿考查函数函数是高中数学重要的基础知识，高考试题中始终贯穿考查函数概念及其性质这一主线。特别是函数的三要素，反函数，函数的奇概念及其性质这一主线。特别是函数的三要素，反函数，函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性以及函数最值等有关性质已经成为偶性、单调性、周期性、对称性以及函数最值等有关性质已经成为高考经久不衰的命题热点，而且常考常新，根据对近年来高考试题高考经久不衰的命题热点，而且常考常新，根据对近年来高考试题的分析研究，函数综合问题呈现以下几个特点：的分析研究，函数综合问题呈现以下几个特点：1、考查函数概念、逻辑推理能力和必
2、要的数学解题思想方法。、考查函数概念、逻辑推理能力和必要的数学解题思想方法。2、考查抽象函数、发散思维能力以及解决函数综合问题的特殊思想、考查抽象函数、发散思维能力以及解决函数综合问题的特殊思想方法如数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等。方法如数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等。 3、考查函数与不等式、数列、几何等知识交叉渗透以及综合应用。、考查函数与不等式、数列、几何等知识交叉渗透以及综合应用。4、考查以函数为模型的实际应用问题，培养学生的应用意识。、考查以函数为模型的实际应用问题，培养学生的应用意识。 这些方法分别具有极强的针对性，每一种方这些方法分别具有极强的针对性
3、，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。域的方法，下面就常见问题进行总结。l求函数值域方法很多，常用方法有：求函数值域方法很多，常用方法有：（1） 配方法配方法（3）判别式法）判别式法（2） 换元法换元法（4）不等式法）不等式法（5）反函数法）反函数法、（6）图像法）图像法（数形结合法）（数形结合法）（7）函数的单调性法）函数的单调性法(导数）导数）（8）均值不等式法）均值不等式法例例1 1 求函数求函数如图，如图，y-
4、3/4,3/2.y-3/4,3/2.分析：本题是求二次函数在区间上的分析：本题是求二次函数在区间上的值值域问题，可用配方法或图像法求解。域问题，可用配方法或图像法求解。oxy-113/2-3/41/2例例2 2 求函数求函数分析：函数是分式函数且都含有分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法二次项，可用判别式和单调性法求解。求解。解法解法2 2：（：（函数的单调性法函数的单调性法）是增函数，u取最小值时，y也取最小值。解法2：（函数的单调性法）原函数的值域为例3 求函数 的反函数的定义域.分析：函数分析：函数f(x)f(x)的反函数的定义域就是原函数的的反函数的定义域就是原函数
5、的 值域，可用不等式法求解，可用不等式法求解。解：变形可得反函数的定义域为(-1,1)。例例4 4 求下列函数的值域：求下列函数的值域： (1) y=6x2-2x3, (0x3); (2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围（99年高考题）。分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。(1)解：原函数可变形为：当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0x0,u0,故故y=logy=log1/21/2u u的定义域为（的定义域为（0 0，22上的上的减函数，减函数，即原函数值域的为即原函数值域的为y y -1,+)-1,+)。分析：本题求值域看
6、似简单，其实有分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。其技巧性，变形适当事半功倍。 (1)可用配方法或判别式法求解可用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性解之。）可用单调有界性解之。例例7 求下列函数的值域求下列函数的值域：解法解法1 1：不难看出：不难看出y y0,0,且可得定且可得定义域为义域为3 3x x 5,5,原函数变形为：原函数变形为：例例7 求下列函数的值域求下列函数的值域：由由x3,5x3,5知，知，-x-x2 2+8x-15 0,1,+8x-15 0,1,即当即当x=4x=4时，时，y ymaxmax=2=2，当，当x=3x=3或或5 5时，时，y
7、yminmin=2,=2,故原函数的值域为故原函数的值域为22，22。解法解法2 2：( (判别式法判别式法).).两边平方移项得:y2-2=2(x-3)(5-x),再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2 0,y看成常数,方程有实根的条件是 =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4) 0,注意到y20得y2-40 即0y24而y2-20即有2y2, y2,2.例例8 8 已知圆已知圆C C：x x2 2-4x+y-4x+y2 2+1=0+1=0上任意一上任意一点点P P（x,y),x,y),求求 的最大值与最小值。的最大值与最小值。xyoPC例8 已知圆C：
8、x2-4x+y2+1=0上任意一点P（x,y),求 的最大值与最小值。xyoPC解：圆C方程为 (x-2)2+y2=3 ， 的最值即求圆上的点P到原点的斜率的最值。设y=kx,如图，显然，当直线y=kx与圆C相切时k有最值，容易得出其最大与最小值分别为3，-3.例例9 9 已知圆已知圆C C：x x2 2+y+y2 2-4x+6y+11=0,-4x+6y+11=0,求求x+y+4x+y+4的最值。的最值。分析：本题可转化采用圆的参数方程表达，利用三角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件下，求x+y+4的线性规划。 解法2（线性规划）x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，设x
9、+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线y=-x并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时，z-4有最大值和最小值。xyoC(2,-3)y=-x解法2（线性规划）(x+y+4)(x+y+4)maxmax=5 =5 (x+y+4) (x+y+4)minmin=1=1xyoC(2,-3)y=-x例10 求函数 的值域。分析：分析：利用三角函数的有界性较数形结合利用三角函数的有界性较数形结合为点为点(2,0)与点与点(cosx,-sinx)连线的斜连线的斜率的过程要简单。率的过程要简单。解：将原函数化为解：将原函数化为sinx+yco
10、sx=2ysinx+ycosx=2y例例11 11 求函数求函数y=xy=x2 2-2x+10+x-2x+10+x2 2+6x+13+6x+13的值域。的值域。分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。A1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)x oPA1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)xoP将上式可看成为将上式可看成为x x轴上点轴上点P(x,0)P(x,0)与与A(1,3),B(-3,2)A(1,3),B(-3,2)的距离之和。的距离之和。即在即在x x轴上求作一点轴上求作一点P P与两定点与两定点A,BA,B的距离之和的最值，利用解的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。析几何的方法可求其最小值。解：函数变形为解：函数变形为y=(x-1)y=(x-1)2 2+(0-3)+(0-3)2 2+(x+3)+(x+3)2 2+(0-2)+(0-2)2 2. .A1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)xoP如图，可求如图，可求A关于关于x轴对称点轴对称点A A1 1(1,-(1,-3)3)连结连结A A1 1B B交交x x轴轴y y于于P,P,则则P(x,0)P(x,0)为所为所求，可证明求，可证明所以原函数值域所以原函数值域的为的为y41,+).y41,+).
