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1、第八章第八章 多元函数微积分学多元函数微积分学8.1 8.1 预备知识预备知识8.2 8.2 多元函数的概念多元函数的概念8.3 8.3 偏导数与全微分偏导数与全微分8.5 8.5 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值8.6 8.6 二重积分二重积分8.4 8.4 复合函数与隐函数微分法复合函数与隐函数微分法 区域区域（1邻域邻域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2 2区域区域8.1 8.1 预备知识预备知识平面方程平面方程一般式：球面方程球面方程标准式：练练 习习 一一练习练习: : 球心为球心为3 3，4 4，5 5半径为半径为6 6的球面方的球面方程为程为。8.2
2、 多元函数的概念一、 多元函数的定义二、 二元函数的极限 三、二元函数的连续性一、多元函数的定义一、多元函数的定义定义定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数函数的两要素是定义域和对应法则函数的两要素是定义域和对应法则要会求函数的定义域要会求函数的定义域1.求下列函数的定义域练练 习习 二二, 那么那么2. 设设_.二、二元函数的极限说明：说明：（1定义中定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限（3二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似定义定义 . 设二元函数设二元函数定义在定义在
3、 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上各点处都连续上各点处都连续, 则称此函数在则称此函数在 D 上上如果存在如果存在否则称为不连续否则称为不连续,此时此时称为间断点称为间断点 .则称则称 二元函数二元函数连续连续.连续连续, 三、二元函数的连续性 8.3 偏导数与全微分一、 偏导数二、 全微分一、偏导数重点）一、偏导数重点）1、解解例例1 求求 在点在点处的偏的偏导数数. 例例2 2 求函数求函数的偏导数的偏导数.解解2 2、高阶偏导数、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.解解例例3 3设设求求例4.
4、 求函数解解 :的二阶偏导数的二阶偏导数. 二、全微分概念二、全微分概念例5. 计算函数在点在点 (2,1) 处的全微分处的全微分. 解解:例例6. 计算函数计算函数的全微分的全微分. 解解: 练练 习习 三三求求1 1、设、设2 2、知、知求求3 3、求求设设考虑：多元函数连续、可导、可考虑：多元函数连续、可导、可 微三者之间的关系？微三者之间的关系？多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 8.4 复合函数与隐函数微分法一、 链锁法则 二、 隐函数求导法则一、复合函数求导法则链式法则）（重点）一、复合函
5、数求导法则链式法则）（重点）以上公式中的导数以上公式中的导数 称为全导数称为全导数.解解解解例9. 设 求全导数求全导数解解:练练 习习 四四练习四答案练习四答案隐函数的求导公式隐函数的求导公式二、隐函数的求导法则重点）二、隐函数的求导法则重点）解解令令那那么么解解令令那那么么1、设、设, 求求练练 习习 四四2、求由方程、求由方程 确定的隐函数确定的隐函数的偏导数的偏导数 8.5 多元函数的极值与最值 一、 多元函数的极值与最值 二、条件极值 （重点） 1、二元函数极值的定义一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值(1)(2)(3)例例1 1例例例例2 2、多元函数取得极值的条件、多
6、元函数取得极值的条件 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点的点，均称为函数的驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：练 习 五3、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时, 为极小 值为最小 值( (大大) )( (大大) )根据根据 二、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制练 习 六例1、设某厂生产两产品，产量为 总利润为已知这两种产品每千件均消耗原料2000公斤，现有原料12000公斤，问两种产品各生产多少时，总利润达最大？（3.8，2.2）例2、设企业在雇用 名技术人员、名非技术人员时，产品的产量若企业只能雇佣230人，那么该雇佣多少技术人员、多少非技术人员才能使产量最大？（90，140）
