函数的连续性hanshudelianxuxing课件

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1、 第五节第五节 函数的连续性函数的连续性一、函数连续的概念一、函数连续的概念定义定义设函数设函数 的某一邻域内有定义，如的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量果当自变量的增量 趋于零时，相应的函数值的增量趋于零时，相应的函数值的增量 也趋于零，则称也趋于零，则称f(x)在点在点 处处。 函数函数函数函数f(x)f(x)在点连续的另一种形式的定义在点连续的另一种形式的定义在点连续的另一种形式的定义在点连续的另一种形式的定义定义定义定义定义设函数设函数设函数设函数f(x)f(x)在点在点在点在点 的某个邻域内有定义，若的某个邻域内有定义，若的某个邻域内有定义，若的某个邻域内有定义，若则称函数则称函

2、数则称函数则称函数f(x)f(x)在点在点在点在点 处连续。处连续。处连续。处连续。 左连续左连续左连续左连续右连续右连续右连续右连续注：注：注：注：函数在某点连续的充要条件是函数在该点既是左连续函数在某点连续的充要条件是函数在该点既是左连续函数在某点连续的充要条件是函数在该点既是左连续函数在某点连续的充要条件是函数在该点既是左连续又是右连续。又是右连续。又是右连续。又是右连续。定义定义定义定义如果一个函数在某个区间上的每一点都连续，则称如果一个函数在某个区间上的每一点都连续，则称如果一个函数在某个区间上的每一点都连续，则称如果一个函数在某个区间上的每一点都连续，则称这个函数为该区间上的连续函

3、数。这个函数为该区间上的连续函数。这个函数为该区间上的连续函数。这个函数为该区间上的连续函数。例例例例1 1 证明函数证明函数证明函数证明函数 在定义域内连续。在定义域内连续。在定义域内连续。在定义域内连续。证明证明证明证明 设设x x为函数定义域为函数定义域 上的任意一点，则上的任意一点，则因为因为所以所以因此因此在定义域上连续在定义域上连续在定义域上连续在定义域上连续。例例例例2 2 讨论函数讨论函数讨论函数讨论函数在在在在x x0 0处的连续性。处的连续性。处的连续性。处的连续性。 解解 左连续左连续右连续右连续所以所以 函数函数f(x)f(x)在在x x0 0处连续。处连续。二、函数的

4、间断点二、函数的间断点 设函数设函数f f（x x）在点）在点 的某去心邻域内有定义，则下列的某去心邻域内有定义，则下列情形之一函数情形之一函数f(x)f(x)在点在点 不连续不连续不连续不连续。 (1) (1) 在在在在 处没有定义；处没有定义；处没有定义；处没有定义； (2) (2) 虽在虽在虽在虽在 处有定义，且处有定义，且处有定义，且处有定义，且 存在，但存在，但存在，但存在，但 (3) (3) 虽在虽在虽在虽在 有定义，但有定义，但有定义，但有定义，但 不存在。不存在。不存在。不存在。这样的点这样的点这样的点这样的点 称为称为称为称为间断点间断点间断点间断点。下面举例来说明函数间断点

5、的几种常见类型下面举例来说明函数间断点的几种常见类型下面举例来说明函数间断点的几种常见类型下面举例来说明函数间断点的几种常见类型例例3 3 函数函数 在点在点x x2 2处没有定义，所以处没有定义，所以x x2 2是该函数的间断点，但是该函数的间断点，但 ，如果，如果补充定义：令补充定义：令x x2 2时，时，y y4 4，所给函数在，所给函数在x x2 2成为连续，成为连续，则称则称x x2 2为该函数的为该函数的可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点。例例4 4 符号函数符号函数 ，当，当 时时 ，左、右极限都存在，但不相等，故左、右极限都存在，但不相等，故 不存在，所不存在，所以点以点

6、x x0 0是函数的间断点，则称是函数的间断点，则称x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的的跳跃间跳跃间跳跃间跳跃间断点。断点。断点。断点。例例5 5 函数函数 在在x x0 0没有定义，且没有定义，且 都不存在，则称都不存在，则称x x0 0是是f(x)f(x)第二类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点。小结：小结：小结：小结：间断点分两类间断点分两类间断点分两类间断点分两类：如果如果如果如果 是函数是函数是函数是函数f(x)f(x)的间断点，但的间断点，但的间断点，但的间断点，但左极限左极限左极限左极限 及右极限及右极限及右极限及右极限 都存在都存在都存在都存在 ，则称，则称，则

7、称，则称 为为为为f(x)f(x)的的的的第一类间断点第一类间断点第一类间断点第一类间断点；在第一类间断点中，左、右极限相；在第一类间断点中，左、右极限相；在第一类间断点中，左、右极限相；在第一类间断点中，左、右极限相等者称为等者称为等者称为等者称为可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点，不相等者称为，不相等者称为，不相等者称为，不相等者称为跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点。不是第。不是第。不是第。不是第一类间断点的任何间断点，称为一类间断点的任何间断点，称为一类间断点的任何间断点，称为一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点。三、连续函数的基本性

8、质三、连续函数的基本性质三、连续函数的基本性质三、连续函数的基本性质定理定理定理定理1.101.10 （连续函数的四则运算）（连续函数的四则运算） 设设设设f(x)f(x)、g(x)g(x)均均均均在在在在 处连续，则处连续，则处连续，则处连续，则（1 1） 处连续；处连续；处连续；处连续；（2 2） 处连续；处连续；处连续；处连续；（3 3）若）若）若）若 处连续。处连续。处连续。处连续。 例如例如 由定理可知由定理可知 在其定义域上连续。在其定义域上连续。定理定理定理定理1.12 1.12 （复合函数的连续性）（复合函数的连续性）设函数设函数设函数设函数 处连续，函数处连续，函数处连续，函

9、数处连续，函数 在在在在 处连续，且且处连续，且且处连续，且且处连续，且且 则复合函数则复合函数则复合函数则复合函数 处连续。处连续。处连续。处连续。 即即即即说明说明说明说明 ：定理的条件中内函数：定理的条件中内函数 在在 处连续可处连续可以减弱为内函数以减弱为内函数 在在 时极限存在，函数的时极限存在，函数的符号与极限号可以交换次序。即符号与极限号可以交换次序。即 例例5 5 求求解解 定理定理定理定理1.131.13 （反函数的连续性）（反函数的连续性）若函数在某区间上是严格若函数在某区间上是严格若函数在某区间上是严格若函数在某区间上是严格单调且连续，则它的反连续在对应的区间上也严格单调

10、且单调且连续，则它的反连续在对应的区间上也严格单调且单调且连续，则它的反连续在对应的区间上也严格单调且单调且连续，则它的反连续在对应的区间上也严格单调且连续连续连续连续。例如例如 反三角函数反三角函数 它们的定义域内都是连续的。它们的定义域内都是连续的。定理定理定理定理1.14 1.14 一切初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义域内是连续的。注：注：注：注：初等函数在定义域上某点的极限值等于函数在该点的初等函数在定义域上某点的极限值等于函数在该点的初等函数在定义域上某点的极限值等于函数在该点的初等函数在定义域上某点的极

11、限值等于函数在该点的函数值。函数值。函数值。函数值。例例6 6 求求解解 例例7 7 求求分析分析 ：属于属于 型，先有理化，再求极限。型，先有理化，再求极限。解解 四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质定理定理定理定理1.15 1.15 ( (最大值最小值定理最大值最小值定理最大值最小值定理最大值最小值定理) ) 若函数若函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间 上连续，则在上连续，则在 上至少存在两点上至少存在两点 ，使对，使对 上一切的上一切的x x，都有，都有 , ,其中其中和和 分别称为分别称为f(x)f(x)在在 上的最

12、小值和最大值。如图上的最小值和最大值。如图0 0X Xy ya ab b推论推论推论推论 若函数若函数若函数若函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间 上连续，则上连续，则上连续，则上连续，则f(x)f(x)在在在在 上上上上必有界必有界必有界必有界。 说明说明1 1 ：若把推论中的闭区间改为开区间，定理不一定：若把推论中的闭区间改为开区间，定理不一定成立。成立。例如例如 是是(0,1) (0,1) 内的连续函数，它在内的连续函数，它在(0,1) (0,1) 内既不能内既不能取得最大值，也不能取得最小值。取得最大值，也不能取得最小值。 说明说明说明说明2 2：若定理及推论中函数若定

13、理及推论中函数若定理及推论中函数若定理及推论中函数f(x)f(x)在闭区间有间断点，定在闭区间有间断点，定在闭区间有间断点，定在闭区间有间断点，定理的结论也不一定成立。理的结论也不一定成立。理的结论也不一定成立。理的结论也不一定成立。例如例如 函数函数 在闭区间在闭区间 上有间上有间断点断点x x0 0，它取不到最大值和最小值。，它取不到最大值和最小值。定理定理定理定理（介值定理）（介值定理）（介值定理）（介值定理）若函数若函数若函数若函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间 上连续，且上连续，且上连续，且上连续，且 ，则对于，则对于，则对于，则对于f(a)f(a)与与与与f(b)

14、f(b)之间的任意数之间的任意数之间的任意数之间的任意数k k，在，在，在，在(a,b)(a,b)内内内内至少存在一点至少存在一点至少存在一点至少存在一点 说明：说明：说明：说明：如果函数如果函数如果函数如果函数f(xf(x) )在闭区间在闭区间在闭区间在闭区间 上连续，则它必定能上连续，则它必定能上连续，则它必定能上连续，则它必定能够取得够取得够取得够取得f(af(a) )与与与与f(bf(b) )之间的任意值之间的任意值之间的任意值之间的任意值k k 。0 0a ba by yx xk k推论推论推论推论（根的存在定理）（根的存在定理）（根的存在定理）（根的存在定理）若若f(xf(x) )

15、在在区间区间 上连续，且上连续，且 ( (即即f(af(a) )、f(bf(b) )异号异号) )，则在，则在( (a,ba,b) )内少存在一点内少存在一点 闭闭至至即方程即方程即方程即方程在在(a,b)(a,b)内至少有一个内至少有一个根根说明说明说明说明 ：连续的曲线：连续的曲线：连续的曲线：连续的曲线y=y=f(xf(x) )端点在端点在端点在端点在x x轴的两侧时，则曲线与轴的两侧时，则曲线与轴的两侧时，则曲线与轴的两侧时，则曲线与x x轴至少相交一次。轴至少相交一次。轴至少相交一次。轴至少相交一次。例例9 9 证明方程证明方程 至少有一个根介于至少有一个根介于1 1和和2 2之间之间。0 0a ab bx xy y证明：证明：证明：证明：设设设设， 则则f(x)f(x)在在 上连续，且上连续，且由根的存在定理知：在由根的存在定理知：在(1,2)(1,2)内至少存在一点内至少存在一点使得使得，得证。，得证。内容小结：内容小结：内容小结：内容小结：1 1、函数连续与间断的概念；函数连续与间断的概念；函数连续与间断的概念；函数连续与间断的概念；2 2、连续函数的基本性质；连续函数的基本性质；连续函数的基本性质；连续函数的基本性质；3 3、闭区间上连续函数的性质。闭区间上连续函数的性质。闭区间上连续函数的性质。闭区间上连续函数的性质。