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1、目录上页下页返回结束二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法 第四章 目录上页下页返回结束第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 设可导, 则有目录上页下页返回结束一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式(也称配元法即, 凑微分法凑微分法)目录上页下页返回结束例例1. 求求解解: 令令那么故原式原式 =注注: 当当时注意换回原变量目录上页下页返回结束例例2. 求求解解:令那么想到公式目录上页下页返回结束例例3. 求求想到解解:(直接配元)目录上页下页返回结束例例4. 求求解解:类似目录上页下页返回结束例例5. 求
2、求解解: 原式原式 =目录上页下页返回结束常用的几种配元形式常用的几种配元形式: 万能凑幂法目录上页下页返回结束例例6. 求求解解: 原式原式 =目录上页下页返回结束例例7. 求求解解: 原式原式 =例例8. 求求解解: 原式原式 =目录上页下页返回结束例例9. 求求解法解法1解法解法2 两法结果一样两法结果一样目录上页下页返回结束例例10. 求求解法解法1 目录上页下页返回结束解法解法 2 同样可证或(P199 例18 )目录上页下页返回结束例例11. 求求解解: 原式原式 =目录上页下页返回结束例例12 . 求求解解:目录上页下页返回结束例例13. 求求解解:原式 =目录上页下页返回结束例
3、例14. 求求解解: 原式原式 =分析分析: 目录上页下页返回结束例例15. 求求解解: 原式原式目录上页下页返回结束小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同?目录上页下页返回结束2. 求求提示提示:法法1法法2法法3作业目录上页下页返回结束二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法 .难求，目录上页下页返回结束定理定理2 . 设
4、设是单调可导函数 , 且具有原函数 ,证证:令那么则有换元公式目录上页下页返回结束例例16. 求求解解: 令令那么 原式目录上页下页返回结束例例17. 求求解解: 令令那么 原式目录上页下页返回结束例例18. 求求解解:令那么 原式目录上页下页返回结束令于是目录上页下页返回结束说明说明:1. 被积函数含有除采用三角采用双曲代换消去根式 ,所得结果一致 . ( 参考 P204 P205 )或代换外, 还可利用公式2. 再补充两个常用双曲函数积分公式 目录上页下页返回结束原式例例19. 求求解解: 令令那么原式当 x 0 时, 类似可得同样结果 .目录上页下页返回结束小结小结:1. 第二类换元法常
5、见类型第二类换元法常见类型: 令令令或令或令或第四节讲目录上页下页返回结束2. 常用基本积分公式的补充 (P205 P206)7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束解解: 原式原式(P206 公式 (20) )例例20. 求求例例21. 求求解解:(P206 公式 (23) )目录上页下页返回结束例例22. 求求解解: 原式原式 =(P206 公式 (22) )例例23. 求求解解: 原式原式(P206 公式 (22) )目录上页下页返回结束例例24. 求求解解: 令令得原式目录上页下页返回结束例例25. 求求解解: 原式原式令例例16例16目录
6、上页下页返回结束思考与练习思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令目录上页下页返回结束2. 知知求解解: 两边求导两边求导, 得得那么(代回原变量代回原变量) 目录上页下页返回结束 P207 2 (4) , (5) , (9) , (11) , (12) , (16) , (20) , (21) , (23) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44)作业作业第三节目录上页下页返回结束备用题备用题 1. 求下列积分求下列积分:目录上页下页返回结束2. 求不定积分解：解：利用凑微分法 ,原式 =令得目录上页下页返回结束分子分母同除以3.求不定积分解解: 令原式
