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1、8.5 8.5 曲线积分曲线积分8.5.1 8.5.1 曲线积分的概念与性质曲线积分的概念与性质 8.5.2 8.5.2 曲线积分的计算法曲线积分的计算法 8.5.3 8.5.3 格林公式格林公式 8.5.4 8.5.4 曲线积分与路径无关的条件及曲线积分与路径无关的条件及8.5.6* 8.5.6* 曲线积分的应用曲线积分的应用 二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积 3.3.理解对坐标的曲线积分的定义理解对坐标的曲线积分的定义; ; 4.4.了解对坐标的曲线积分的性质了解对坐标的曲线积分的性质; ; 5.5.掌握对坐标的曲线积分的计算方法掌握对坐标的曲线积分的计算方法; ; 6.6.了解两
2、类曲线积分的关系了解两类曲线积分的关系; ; 1.1.理解对弧长的曲线积分的定义理解对弧长的曲线积分的定义, ,物理意义和几何意义物理意义和几何意义; ; 2.2.掌握对弧长的曲线积分的性质与计算方法；掌握对弧长的曲线积分的性质与计算方法； 7.7.掌握并能正确运用格林公式掌握并能正确运用格林公式; ; 8.8.掌握平面上关于坐标的曲线积分与路径无关的条件掌握平面上关于坐标的曲线积分与路径无关的条件, , 基本要求基本要求 会求全微分的原函数会求全微分的原函数. . 上页 下页第8.5.1节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的
3、曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第 八章 上页 下页一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB , 其线密度为其线密度为的方法的方法,可得可得为计算此构件的质量为计算此构件的质量, ,1.1.引例引例: : 曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用采用上页 下页“分割、近似代替、求和、取极限分割、近似代替、求和、取极限” 注意注意:是定义在是定义在 弧段弧段AB上的函数上的函数. 设设 是空间中一条有限长的光滑曲线是空间中一条有限长的光滑曲线,义在义在 上的一个有界函数上的一个有界函数, 都存在都存在,
4、 上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分, 记作记作若通过对若通过对 的任意分割的任意分割局部的任意取点局部的任意取点, 2.定义定义以下以下“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或第一类曲线积分或第一类曲线积分. 称为被积函数，称为被积函数， 称为积分弧段称为积分弧段 .和对和对上页 下页假如假如 L 是是 xoy 面上的曲线弧面上的曲线弧 ,假如假如 L 是闭曲线是闭曲线 , 则记为则记为则定义对弧长的曲线积则定义对弧长的曲线积 分为分为考虑考虑: (1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长的曲线积分的特例定积分是否可看
5、作对弧长的曲线积分的特例 ? 否否! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.上页 下页3.3.对弧长的曲线积分的物理意义和几何意义对弧长的曲线积分的物理意义和几何意义 物理意义物理意义 表示弧表示弧的线密度的线密度. . 其中其中几何意义几何意义 表示表示的弧长的弧长. . 曲线形构件的质量曲线形构件的质量, 4. 性质性质（k 为常数为常数) ( 由由 组成组成) 上页 下页表示表示 二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理:且且上的连续函数上的连续函数,证证
6、: :是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分求曲线积分求曲线积分根据定义根据定义 上页 下页点点设各分点对应参数为设各分点对应参数为对应参数为对应参数为 那么那么上页 下页说明说明:因此积分限必须满足因此积分限必须满足(2) 注意到注意到 因此上述计算公式类似于因此上述计算公式类似于“换元法换元法”. 因而因而上页 下页如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为则有则有如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:那那么么推广推广: 设空间曲线弧的参数方程设空间曲线弧的参数方程为为那那么么上页 下页上页 下页由上述定理得对弧长的曲线积分的一般计算步骤如下由上述定理得对弧长的曲线积分的
7、一般计算步骤如下: : 第一步第一步 画出积分曲线画出积分曲线L L的草图；的草图； 第二步第二步 写出写出L L的方程的方程; ; 第三步第三步 化为定积分化为定积分; ; 作法：作法：L L的方程形式代入的方程形式代入, ,弧微分用同一形式的表达式代入弧微分用同一形式的表达式代入; ; 把被积函数中的把被积函数中的x,yx,y用积分曲线用积分曲线 变量参数化变量参数化: : 一类小放下一类小放下: : 化为定积分时要用参数的最小值化为定积分时要用参数的最小值 作为定积分的下限作为定积分的下限.第四步第四步 计算定积分计算定积分. . (L的方程形式决定定积分形式的方程形式决定定积分形式 )
8、 例例1. 计算计算其中其中 L 是抛物线是抛物线与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解:上点上点 O (0,0)上页 下页其中其中 L 是是所围成的扇形的整个边界所围成的扇形的整个边界 . 上页 下页解解 由图可知由图可知 在在 上，上，在在 上上, , 故故 例例2. 求求 故故 在在 上，上， 综上所述，得综上所述，得 故故 上页 下页上页 下页例例3. 计算计算其中其中 L 是抛物线是抛物线A(1,2)到点到点 B (1,-2) 之间的一段弧之间的一段弧 . 上从点上从点解解 为了得到单值函数为了得到单值函数, ,应把应把 的方程写成的方程写成 因而因而 ( (因
9、为被积函数为奇函数因为被积函数为奇函数). ). 例例4. 计算曲线积分计算曲线积分 其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解: 线线上页 下页例例5. 计算计算其中其中 为球面为球面解解: 化为参数方程化为参数方程 那么那么 上页 下页例例6. 计算计算其中其中 为球面为球面 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. 解解: 由对称性可知由对称性可知上页 下页内容小结内容小结1. 定义定义2. 性质性质( l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)上页 下页3. 计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧上页 下页思考与练习思考与练习1. 已知椭圆已知椭圆周长为周长为a , 求求提示提示:原式原式 =利用对称性利用对称性分析分析:上页 下页作业作业P238 1 (1), (2)上页 下页备用题备用题1. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线及及所围区域的边界所围区域的边界, 求求提示提示: 分段积分分段积分
