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1、 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之号内在
2、的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。波、调制和频分复用等重要概念。 频域分析频域分析 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利
3、用对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。理。主要内容 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 第第4章章连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1信号的正交分解信号的正交分解4.2傅里叶级数傅里叶级数4.3周期信号的频谱周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱非周期信号的频谱4.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6能量谱与功率谱能量谱
4、与功率谱周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析4.9取样定理取样定理 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.1信号的正交分解信号的正交分解 4.1.1信号的正交分解信号的正交分解数数学学上上给给定定条条件件下下的的函函数数可可展展开开为为由由某某种种基基本本函函数数形形式式所所构构成成的的一一组组多多项项式式,例例如如函函数数的的泰泰勒勒级级数数展展开开式式。信信号号是是随随时时间间变变化化的的函函数数,在在一一定定条条件件下下也也可可展展开开成这样一组多项式。这就是信号的分解成这样一组多项式。这就是信号的分解,用下式描述用下式描述:(i,
5、n为整数为整数)（）（） 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 当当上上述述函函数数集集中中任任意意两两个个函函数数i(t),j(t)之之间间,在在区区间间(t1,t2)内满足：内满足：式式中中Ki为为常常数数，则则称称此此函函数数集集是是在在区区间间(t1,t2)内内的的正正交交函数集。函数集。例如例如,三角函数集三角函数集1,cost,cos2t,cosmt,sint,sin2t,sinnt,在区间（在区间（t0,t0+）(式中式中T=2/)组成正交函数集组成正交函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为而且是完备的正交函数集。这是因为（ki为与之有关的常量且不为零） （） 信号与线
6、性系统分析第4章 连续系统的频域分析 (4.1-3) 即三角函数集满足正交性式（）即三角函数集满足正交性式（）,因而是正交函数集。因而是正交函数集。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.2傅里叶级数傅里叶级数19世世纪纪初初叶叶,法法国国数数学学家家吉吉傅傅里里叶叶证证明明:任任何何正正常常的的周周期期为为T的的函函数数f(t)都都可可分分解解为为无无限限个个正正弦弦和和余余弦弦函函数数的代数和。即的代数和。即通通常常称称（）式式为为傅傅里里叶叶级级数数。式式中中，=2/T称称为为基基波角频率波角频率,an和和bn为傅里叶系数。为傅里叶系数。(4.2-1) 信号与线性系统分析第4
7、章 连续系统的频域分析 (4.2-2) (4.2-3) 如如果果已已知知f(t),则则可可通通过过下下面面三三式式分分别别求求出出an,bn和和a0的的值值。为为简简便便，我我们们把把积积分分区区间间取取为为(-T/2,T/2)，因因此此有：有：(4.2-4) 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 根据三角函数的运算法则根据三角函数的运算法则,式式(4.2-1)还可写成下式：还可写成下式：(4.2-5) (4.2-6) (4.2-8) (4.2-7) a0 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 式式(4.2-5)表明，任何满足表明，任何满足狄里赫利条件狄里赫利条件的周期的周期函
8、数都可分解为直流和许多余弦分量。函数都可分解为直流和许多余弦分量。其中第一项其中第一项A0/2是常数项，即周期信号中所包是常数项，即周期信号中所包含的直流分量；含的直流分量；式中第二项式中第二项为基波或一次谐波，为基波或一次谐波，其角频率与周期信号相同。其角频率与周期信号相同。A1是基波振幅，是基波振幅，1是基波是基波初相角；初相角；式中第三项式中第三项称为二次谐波，它的称为二次谐波，它的频率是基波频率的二倍。一般而言，频率是基波频率的二倍。一般而言，称为称为n次谐波，次谐波，An是是n次谐波的振幅，次谐波的振幅，n是初相角。是初相角。1、函数绝对可积、函数绝对可积2、具有有限个间断点、具有有
9、限个间断点3、具有有限个极值点、具有有限个极值点 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.2.1信号的傅里叶级数正交分解信号的傅里叶级数正交分解由由于于傅傅里里叶叶级级数数具具有有正正交交性性及及完完备备性性,故故任任何何周周期期信信号号均均可可正正交交分分解解成成傅傅里里叶叶级级数数。这这种种分分解解,在在对对信信号号进进行分析时将会表现出很大的优势。行分析时将会表现出很大的优势。例例41试试将将图图所所示示的的方方波波信信号号f(t)展展开开为为傅傅里里叶叶级级数。数。图4.2 方波信号的傅里叶级数 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 解解我我们们将将信信号号分分解解成
10、成傅傅里里叶叶级级数数,并并分分别别计计算算an,bn及及a0。cos(2nft)dt 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 sin(2nft)dt 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 a0 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 当当f(t)为为t的奇函数时，则有的奇函数时，则有f(t)cos(nt)为为t的奇函数的奇函数， f(t)sin(nt)为为t的偶函数的偶函数，因而有因而有：奇偶函数的傅里叶系数奇偶函数的傅里叶系数 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 当当f(t)为为t的的偶偶函函数数时时，由由于于f(t)cos(nt)为为t的的偶偶函函数数，f(
11、t)sin(nt)为为t的奇函数。因而有的奇函数。因而有即即当当f(t)为为偶偶函函数数时时，其其傅傅里里叶叶级级数数展展开开式式中中只只可可能能有有直直流流分分量及量及cos(nt)分量，分量，而无而无sin(nt)分量。分量。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.2.3指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数指指数数傅傅里里叶叶级级数数可可以以从从三三角角傅傅里里叶叶级级数数直直接接导导出出。因因为为cos=(ej+e-j)/2，将将这这一一关关系系应应用用于于式式(4.2-5)，并并考考虑虑到到An是是n的的偶偶函函数数，n是是n的的奇奇函函数数，即即An=A-n，n=-n
12、，则式，则式(4.2-5)可写为可写为: 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 一般来说一般来说Fn亦为一复数，即亦为一复数，即(4.2-10)(4.2-9) 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.3周期信号的频谱周期信号的频谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.3.1周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的复振幅周期信号的复振幅一一般般为为n的的复复函函数数，因因而而描描述述其其特特点点的的频频谱谱图图一一般般要要画画两两个个，一一个个称称为为振振幅幅频频谱谱，另另一一个个称称为为相相位位频频谱谱。所所谓谓振振幅
13、幅频频谱谱为为以以为为横横坐坐标标，以以振振幅幅为为纵纵坐坐标标所所画画出出的的谱谱线线图图；而而相相位位频频谱谱则则为为以以为为横横坐坐标标，以以相相位为纵坐标所得到的谱线图。位为纵坐标所得到的谱线图。在信号的复振幅在信号的复振幅 为为n的的实实函函数数的的特特殊殊情情况况下下，其其复复振振幅幅n(Fn)与与变变量量(n)的的关关系系也也可以用一个图绘出。可以用一个图绘出。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例4.3-1试画出试画出f(t)的振幅谱和相位谱。的振幅谱和相位谱。解解：根据根据可可知知，其其基基波波频频率率=(rad/s)，基基本本周周期期T=2s，=2、3、6分别
14、为二、分别为二、三、六次谐波频率。且有三、六次谐波频率。且有 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 其余 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图图4.3-1例例4.3-1信号的频谱信号的频谱(a)振幅谱；振幅谱；(b)(b)相位谱相位谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.3.2周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点图图4.3-3周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 取样函数定义为取样
15、函数定义为这是一个偶函数，且这是一个偶函数，且x0时，时，Sa(x)=1；当；当x=k时，时，Sa(k)=0。据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即因此可写出该周期性矩形脉冲的指数形式傅立叶级数展开式因此可写出该周期性矩形脉冲的指数形式傅立叶级数展开式为：为： 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.3-4 Sa(x)函数的波形 图 4.3-5 周期矩形脉冲信号的频谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 由图由图4.3-5可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：可以看出，此周期信号频谱具有以下几
16、个特点：第第一一为为离离散散性性，此此频频谱谱由由不不连连续续的的谱谱线线组组成成，每每一一条条谱谱线线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。第第二二为为谐谐波波性性，此此频频谱谱的的每每一一条条谱谱线线只只能能出出现现在在基基波波频频率率的的整整数数倍倍频频率率上上，即即含含有有的的各各次次谐谐波波分分量量，而而决决不不含含有有非非的谐波分量。的谐波分量。第第三三为为收收敛敛性性，此此频频谱谱的的各各次次谐谐波波分分量量的的振振幅幅虽虽然然随随n的的变变化化有有起起伏伏变变化化，但但总总的的趋趋势势是是随随着着n的的增增大大而而逐
17、逐渐渐减减小小。当当n时，时，|Fn|0。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.3-6 不同值时周期矩形信号的频谱(a) =T/5; (b) =T/10 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.3-7 不同T值时周期矩形信号的频谱(a) T=5; (b) T=10 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 周周期期矩矩形形脉脉冲冲信信号号含含有有无无穷穷多多条条谱谱线线，也也就就是是说说，周周期期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在在信信号号的的传传输输过过程程中中，应应要要求求传传输输系系统统能能将将信信号
18、号中中的的主主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周周期期矩矩形形脉脉冲冲信信号号的的主主要要能能量量集集中中在在第第一一个个零零点点之之内内，因而，常常将因而，常常将=0 这这段段频频率率范范围围称称为为矩矩形形脉脉冲冲信信号号的的频频带宽度带宽度。记为。记为或 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.3.3周期信号的功率周期信号的功率周周期期信信号号的的能能量量是是无无限限的的，而而其其平平均均功功率率是是有有界界的的，因因而而周周期期信信号号是是功功率率信信号号。为为了了方方便便，往往往往将将周周期期信信号号在在1电电
19、阻阻上上消消耗耗的的平平均均功功率率定定义义为为周周期期信信号号的的功功率率。显显然然，对对于于周周期期信信号号f(t)，无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 由于：由于：所以：所以：因为：因为： 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.4非周期信号的频谱非周期信号的频谱4.4.1傅里叶变换傅里叶变换 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 对对于于非非周周期期信信号号，重重复复周周期期T趋趋于于无无限限大大，谱谱线线间间隔隔趋趋于于无无穷穷小小量量d，而而离离散散频频率率n变变成
20、成连连续续频频率率。在在这这种种极极限限情情况况下下，Fn趋于无穷小量，但趋于无穷小量，但可可望望趋趋于于有有限限值值，且为一个连续函数，通常记为且为一个连续函数，通常记为F(j)，即，即 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 非周期信号的傅里叶变换可简记为非周期信号的傅里叶变换可简记为一一般般来来说说，傅傅里里叶叶变变换换存存在在的的充充分分条条件件为为f(t)应应满满足足绝绝对对可积，可积，即要求即要求 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.4.2非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数由非周期信号的傅里叶变换可知由非周期信号的傅里叶变换可知:频谱函数频谱函数F(j)一
21、般是复函数，可记为一般是复函数，可记为习习惯惯上上将将F()的的关关系系曲曲线线称称为为非非周周期期信信号号的的幅幅度度频频谱谱(F()并并不不是是幅幅度度!)，而而将将()曲曲线线称称为为相相位位频频谱谱，它它们们都是都是的连续函数。的连续函数。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:式中：式中： 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.4.3典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换例例4.4-1图图4.4-1(a)所所示示矩矩形形脉脉冲冲一一般般称称为为门门函函数数。其其宽宽度度为为
22、，高度为高度为1，通常用符号，通常用符号g(t)来表示。试求其频谱函数。来表示。试求其频谱函数。解解门函数门函数g(t)可表示为可表示为可得可得： 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.4-1 门函数及其频谱(a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例4.4-2求指数函数求指数函数f(t)的频谱函数。的频谱函数。图 4.4-2 单边指数函数e-t及其频谱(a) 单边指数函数e-t; (b) e-t的幅度谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 其振幅频谱及相位频谱分别为其振幅频谱及相位频谱
23、分别为解解 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例4.4-3求图求图4.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。所示双边指数函数的频谱函数。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.4-3 双边指数函数及其频谱(a) 双边指数函数； (b) 频谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例4.4-4求图求图4.4-4(a)所示信号所示信号f(t)的频谱函数。的频谱函数。图 4.4-4 例 4.4-4 图(a) 信号f(t); (b) 频谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 (a0)解解图示信号图示信号f(t)可表示为可表示为 信号与线性系统分析第4
24、章 连续系统的频域分析 例例4.4-5求单位冲激函数求单位冲激函数(t)的频谱函数。的频谱函数。图 4.4-5 信号(t)及其频谱(a) 单位冲激信号(t); (b) (t)的频谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 解解可可见见，冲冲激激函函数数(t)的的频频谱谱是是常常数数1。也也就就是是说说，(t)中中包包含含了了所所有有的的频频率率分分量量，而而各各频频率率分分量量的的频频谱谱密密度都相等，常称为度都相等，常称为“均匀谱均匀谱”或或“白色频谱白色频谱”。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例4.4-6求直流信号求直流信号1的频谱函数。的频谱函数。图图 直流信号f
25、(t)及其频谱(a) 直流信号f(t); (b) 频谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 解解直流信号直流信号1可表示为可表示为 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例4.4-7求符号函数求符号函数Sgn(t)的频谱函数。的频谱函数。考察例考察例4.4-4所示信号所示信号f(t) 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 当当0时时，其其极极限限为为符符号号函函数数Sgn(t)。因因而而可可以以用用求求f(t)的的频频谱函数谱函数F(j)当当0的极限的方法来求得的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。的频谱函数。例例4.4-4所示信号的频谱函数为所示信号的频谱函数为，从而有，从而有 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图图 符号函数Sgn(t)及其频谱(a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例4.4-8求阶跃函数求阶跃函数(t)的频谱函数。的频谱函数。由阶跃函数由阶跃函数(t)的波形容易得到的波形容易得到解解从而就可更为方便地求出从而就可更为方便地求出(t)的频谱函数，的频谱函数，即即 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.4-8 阶跃函数及其频谱(a) (t)的波形； (b) 频谱
