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1、第四章第四章根轨迹法根轨迹法作者： 浙江大学 邹伯敏 教授 自动控制理论自动控制理论普通高等教育普通高等教育普通高等教育普通高等教育“ “九五九五九五九五” ”部级重点教部级重点教部级重点教部级重点教材材材材9/21/20241课件第一节 根轨迹的基本概念 我们的任务是求当参变量K从0向变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化轨迹，表4-1列出了当参变量K从0向变化时，特征根s1 和s2相应的变化关系图4-1，二阶系统系统闭环特征方程式为：系统闭环特征方程式为：闭环系统的特征根：C(s)R(s)-对图对图4-14-1所示二阶系统，系统开环传递函数为：所示二阶系统，系统开环传递函数为：9/21/2
2、0242课件K K0 00.250.250.50.51 1s s1 10 0-0.5-0.5-05+j0.5-05+j0.5-0.5+j0.87-0.5+j0.870.5+j0.5+js s2 2-1-1-0.5-0.5-0.5-j0.5-0.5-j0.5-0.5-j0.87-0.5-j0.87-0.5-j-0.5-j表表4-1 根与根与K的关系的关系1) 0K， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态）为两相异的实数根（过阻尼状态）2) K=， s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼），（临界阻尼）3) K， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）为一对共轭复根（欠阻尼）对于不同的对于不同的
3、K值值,系统有下列系统有下列 三种不同的工作状态三种不同的工作状态9/21/20243课件图图4-2如要求系统在阶跃信号的作用如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为下，超调量为4%，求一对希望，求一对希望的闭环极点。由式（的闭环极点。由式（3-26）求得）求得=0.707，由于，由于 arctan0.707=45在图在图4-2上过坐标原点作与负实上过坐标原点作与负实轴夹角为轴夹角为45的射线，它与根轨的射线，它与根轨迹的交点迹的交点S= -05j0.5，这就是所，这就是所求的希望闭环极点。求的希望闭环极点。自动控制理论自动控制理论9/21/20244课件 可见，根轨迹图全面地描述了参数可见，根
4、轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征根对闭环特征根分布的影响。分布的影响。 定义定义：当系统中某一参数当系统中某一参数( (一般以增益为变化参数一般以增益为变化参数) )发生变化时，系统闭环特征根在发生变化时，系统闭环特征根在s s平面上描绘的曲线称平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。系统的根轨迹。 它是一种用图解方式表示特征方程的根于系统某一它是一种用图解方式表示特征方程的根于系统某一参数的全部数值关系的方法。参数的全部数值关系的方法。 一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益系统的任意参量。以系统根轨迹增益K K为可
5、变参量绘制为可变参量绘制的根轨迹称为的根轨迹称为常规根轨迹常规根轨迹。以其它参数为变量绘制的根。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为轨迹称为参量根轨迹参量根轨迹。 9/21/20245课件图图4-3根轨迹的幅值条件与相角条件根轨迹的幅值条件与相角条件特征方程：特征方程：上式改写为：上式改写为：自动控制理论自动控制理论于是得：于是得：或或9/21/20246课件假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：9/21/20247课件自动控制理论自动控制理论则上式改写为：则上式改写为：图图4
6、-4于是得：于是得：9/21/20248课件幅值条件与幅值条件与K K有关，相角条件与有关，相角条件与K K无关无关满足相角条件的点必然满足幅值条件。满足相角条件的点必然满足幅值条件。反之，满足幅值条件点未必能满足相角条件。反之，满足幅值条件点未必能满足相角条件。自动控制理论自动控制理论结论：结论：图图4-54-5幅值条件：幅值条件：系统的等增益轨迹是一簇同心圆，对于某一个确定的系统的等增益轨迹是一簇同心圆，对于某一个确定的K K值，对应圆值，对应圆周上有无穷多个周上有无穷多个S S值都满足方程，其中只有同时满足相角条件的值都满足方程，其中只有同时满足相角条件的S S值才值才是方程的根。是方程
7、的根。根轨迹就是根轨迹就是S S平面上满足相角条件点的集合。平面上满足相角条件点的集合。9/21/20249课件绘制根轨迹步骤绘制根轨迹步骤1）先找出）先找出S平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；2）用幅值条件确定相应点对应的）用幅值条件确定相应点对应的K值。值。例例4-1 求图求图4-1所示系统的根轨迹所示系统的根轨迹解：解：1）用相角条件绘制根轨迹）用相角条件绘制根轨迹自动控制理论自动控制理论2）用幅值条件确定增益）用幅值条件确定增益K9/21/202410课件图图4-6自动控制理论自动控制理论9/21/202411课件第二节第二节 绘制根轨
8、迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则开环传递函数有如下两种表示开环传递函数有如下两种表示：自动控制理论自动控制理论其中，其中，K为系统的开环增益；为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益它们之间的为系统的根轨迹增益它们之间的关系为：关系为：9/21/202412课件绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则规则规则1：根轨迹的对称性：根轨迹的对称性由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根或为实数，或由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根或为实数，或为共轭复数，根轨迹必然对称于为共轭复数，根轨迹必然对称于S平面的实轴。平面的实轴。规则规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点：根轨迹的分支数及其起
9、点和终点闭环特征方程：闭环特征方程：自动控制理论自动控制理论当当k0由由 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称称为根轨迹的一条分支；为根轨迹的一条分支；9/21/202413课件自动控制理论自动控制理论因为因为nm，所以根轨迹分支共计为，所以根轨迹分支共计为n条条；根轨迹起点就是根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当时根的位置，当k0=0时有：时有：根轨迹终点就是当根轨迹终点就是当 时根的位置时根的位置；由此可知，开环传递函数的零点由此可知，开环传递函数的零点- -z zi i (i=1,(i=1,m),m)是是m m条根轨迹分支的终
10、点条根轨迹分支的终点条根轨迹的终点也需确定条根轨迹的终点也需确定当当9/21/202414课件规则规则3：根轨迹在实轴上的分布：根轨迹在实轴上的分布自动控制理论自动控制理论幅值条件幅值条件9/21/202415课件图图图图4-7 4-7 4-7 4-7 实轴上根轨迹的确定实轴上根轨迹的确定实轴上根轨迹的确定实轴上根轨迹的确定自动控制理论自动控制理论实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点s si i右方实轴上开环极点数右方实轴上开环极点数与零点数之和的数是否为奇数。与零点数之和的数是否为奇数。m mr r 和和 n nr r分别为右方实轴上开环零点和开环极点数分别为
11、右方实轴上开环零点和开环极点数9/21/202416课件规则规则4：根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线自动控制理论自动控制理论1、渐近线的倾角、渐近线的倾角2、渐进线与实轴交点、渐进线与实轴交点9/21/202417课件3、用分子除以分母得、用分子除以分母得9/21/202418课件自动控制理论自动控制理论则：则：方程方程 有（有（n- mn- m）条根轨迹分支，它们是由实轴上）条根轨迹分支，它们是由实轴上 点出发的射线，这些射线于正实轴的夹角为点出发的射线，这些射线于正实轴的夹角为 由于由于G(s)H(sG(s)H(s) )和和W(sW(s) )分母中前两项高阶次项完全相同，因而当分母中前两项高
12、阶次项完全相同，因而当ss时，时，G(s)H(sG(s)H(s) )就能近似地用就能近似地用W(sW(s) )来表征。方程来表征。方程1+G(s)H(s)=01+G(s)H(s)=0的的( (n-mn-m) )条条根轨迹分支便会趋向于根轨迹分支便会趋向于1+W(s)=01+W(s)=0的根轨迹。即它们有相同的渐近线。的根轨迹。即它们有相同的渐近线。9/21/202419课件图图4-8 控制系统方框图控制系统方框图例例4-2 绘制图绘制图4-8所示系统的根轨迹所示系统的根轨迹1） 有三条根轨迹分支有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点它们的始点为开环极点(0,-1,-2）2） 三条根轨迹分支的终
13、点均在无限远处三条根轨迹分支的终点均在无限远处3） 渐近线与正实轴的夹角渐近线与正实轴的夹角解：解：4）实轴上的）实轴上的0至至-1和和-2至至-间的线段为根轨迹间的线段为根轨迹自动控制理论自动控制理论（见P119）9/21/202420课件规则规则5：分离点与会合点：分离点与会合点当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，此交点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复此交点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复平面走向实轴时，它们在实轴上的交点称为平面走向实轴时，它们在实轴上的交点称为会合点会合点图图4-10 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点图图图图4-11
14、4-11 根轨迹的复数分离点根轨迹的复数分离点根轨迹的复数分离点根轨迹的复数分离点自动控制理论自动控制理论求解根轨迹的分离点和会合点求解根轨迹的分离点和会合点9/21/202421课件例例例例4-3 4-3 求图求图求图求图4-84-8所示系统的分离点所示系统的分离点所示系统的分离点所示系统的分离点解：特征方程解：特征方程例例4-4 已知已知求根的分离点求根的分离点 1）有）有4条根轨迹分支条根轨迹分支,它们的始点分别为它们的始点分别为0，-4，-2j4解：解：自动控制理论自动控制理论(s2舍去)9/21/202422课件图图图图4-12 4-12 例例例例4-44-4的根轨迹的根轨迹的根轨迹
15、的根轨迹2） 渐近线与正实轴的夹角渐近线与正实轴的夹角3 3） 实轴上的实轴上的实轴上的实轴上的0 0至至至至-4-4间的线段是根轨迹间的线段是根轨迹间的线段是根轨迹间的线段是根轨迹9/21/202423课件4 4） 求分离点，系统的特征方程为求分离点，系统的特征方程为求分离点，系统的特征方程为求分离点，系统的特征方程为规则规则6：出射角与入射角：出射角与入射角根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角称根轨迹的出射角，根轨迹进入开环向的夹角称根轨迹的出射角，根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角复数零点处的切线与实轴正方向夹角称入
16、射角图图4-13 根轨迹出射角的确定根轨迹出射角的确定自动控制理论自动控制理论设系统的开环零、极点的分布如图设系统的开环零、极点的分布如图4-13所示，取试验点所示，取试验点si 十分靠近开环十分靠近开环复数极点复数极点-p4 (因而可以认为开环的零点和其它极点指向因而可以认为开环的零点和其它极点指向si点矢量的相角点矢量的相角和它们指向极点和它们指向极点-p4 矢量的相角相等矢量的相角相等)，若试验点，若试验点si在根轨迹上，则在根轨迹上，则9/21/202424课件规则规则7：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点(以实例说明以实例说明)例例 已知闭环特征方程式为已知闭环特征方程式为自动控
17、制理论自动控制理论计算出射角的一般表达式为计算出射角的一般表达式为同理，计算入射角的一般表达式为同理，计算入射角的一般表达式为式中，式中， 就是根轨迹离开复数极点就是根轨迹离开复数极点-P4 的出射角的出射角9/21/202425课件由劳斯判据：由劳斯判据：当当K=260时，求解时，求解以以 代入方程直接求解代入方程直接求解9/21/202426课件自动控制理论自动控制理论规则规则8：特征方程式根之和与根之积：特征方程式根之和与根之积把式（把式（4-13）改为）改为9/21/202427课件自动控制理论自动控制理论如果如果n-m2则闭环特征方程则闭环特征方程于是得：于是得：令令 为特征方程的根
18、，则为特征方程的根，则9/21/202428课件图图图图4-14 4-14 例例例例4-54-5的根轨迹图的根轨迹图的根轨迹图的根轨迹图自动控制理论自动控制理论例例4-5 4-5 已知一单位反馈控制系统的开环传递已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为函数为9/21/202429课件第三节第三节 参量根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制图图4-18 双闭环控制系统的框图双闭环控制系统的框图例例4-7 试绘制图试绘制图4-18所示的系统以所示的系统以为参变量的根轨迹为参变量的根轨迹解：解：图图4-19 例例4-7的根轨迹图的根轨迹图自动控制理论自动控制理论一个可变量根轨迹的绘制一个可变量根轨迹的绘制系统的
19、开环传递函数为系统的开环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为9/21/202430课件令系统等效开环传递函数为令系统等效开环传递函数为例例4-8 试绘制图试绘制图4-20所示所示,试绘制以试绘制以K和和为为参变量的根轨迹参变量的根轨迹几个可变参量根轨迹的绘制几个可变参量根轨迹的绘制解：解： 系统的闭环特征方程式系统的闭环特征方程式9/21/202431课件图图4-21 根轨迹图根轨迹图图图4-20 单位反馈控制系统单位反馈控制系统自动控制理论自动控制理论9/21/202432课件第四节第四节 非最小相位系统的根轨迹非最小相位系统的根轨迹开环传递函数的零点、极点均位于开环传递函数的零点、极点均
20、位于S左半平面的系统，称为最小相左半平面的系统，称为最小相位系统；反之，则称为非最小相位系统。位系统；反之，则称为非最小相位系统。出现非最小相位系统有出现非最小相位系统有如下三种情况如下三种情况1） 系统中有局部正反馈回路系统中有局部正反馈回路2） 系统中含有非最小相位元件系统中含有非最小相位元件3） 系统中含有纯滞后环节系统中含有纯滞后环节图图4-22具有正反馈回路的控制系统具有正反馈回路的控制系统自动控制理论自动控制理论正反馈回路的根轨迹正反馈回路的根轨迹内回路的闭环传递函数为内回路的闭环传递函数为9/21/202433课件自动控制理论自动控制理论相应的特征方程为相应的特征方程为由上式得由
21、上式得正反馈系统根轨迹与负反馈系统根轨迹的不同这处有：正反馈系统根轨迹与负反馈系统根轨迹的不同这处有：1）实轴上线段成这根轨迹的充要条件是该线段右方实轴上开环零点）实轴上线段成这根轨迹的充要条件是该线段右方实轴上开环零点数与极点数这和为偶数数与极点数这和为偶数2）渐近线与实轴的倾角）渐近线与实轴的倾角3）开环共轭极点的出射角与开环共轭零点的入射角分别为）开环共轭极点的出射角与开环共轭零点的入射角分别为9/21/202434课件系统中含有非最小相位元件系统中含有非最小相位元件图图4-23 非最小相位系统非最小相位系统自动控制理论自动控制理论由相角条件得由相角条件得9/21/202435课件滞后系
22、统的根轨迹滞后系统的根轨迹图图4-25 滞后系统的框图滞后系统的框图自动控制理论自动控制理论特征方程为特征方程为图图4-249/21/202436课件第五节第五节 用用MATLAB绘制系统的根轨迹绘制系统的根轨迹特征方程特征方程图图4-26 反馈控制系统反馈控制系统自动控制理论自动控制理论其中：其中：Num和和dem两个数组是由上面二式的多项系数构成，两个数组是由上面二式的多项系数构成，MATLAB绘制根轨迹的指令为绘制根轨迹的指令为9/21/202437课件例例 已知已知试用试用MATLAB绘制该系统的根轨迹绘制该系统的根轨迹解：解： 应用应用MATLAB程序程序4-1，就能作出，就能作出4
23、-27所示的根轨迹。所示的根轨迹。 %MATLAB程序程序4-1 %绘制控制系统的根轨迹绘制控制系统的根轨迹 num= 0 0 1 1; den= 1 9 0 0; rlocus（num,dem) axis(square); grid on title(Root-locus plot of G(s)=K(s+1)/(s2(s+9) xlabel(Re) ylabel(Im)图图图图4-27 4-27 例例例例4-94-9的根轨迹图的根轨迹图的根轨迹图的根轨迹图自动控制理论自动控制理论9/21/202438课件用用MATLAB绘制根轨迹的指令还有下列两种形式：绘制根轨迹的指令还有下列两种形式：r
24、，K=rlocus（num，den） （2）r，K=rlocus（num，den，K） （3）用用MATLAB方程方程4-2，就能算出，就能算出K变化时相应根的值变化时相应根的值例例 已知已知解解 应用应用MATLAB程序程序4-2，就得到，就得到K与根的对应数据和根轨迹图与根的对应数据和根轨迹图4-28 %MATLAB程序程序4-2 %给出系统矩件值和增益向量给出系统矩件值和增益向量K值值 %绘制根轨迹绘制根轨迹 num= 0 0 1 1; den= 1 9 0 0; r，K=rlocus（num，den） v=-3 3 -3 3 %axis(square) plot(r, o) grid
25、on xlabel(Re) ylabel(Im) title(Root-locus plot of G(s)=K(s+1)/(s2(s+8)图图4-28 根轨迹图根轨迹图自动控制理论自动控制理论9/21/202439课件例例 4-10 已知一系统如图已知一系统如图4-29所示，试用所示，试用MATLAB绘制该系统的根轨迹绘制该系统的根轨迹图图429 反馈控制系统反馈控制系统自动控制理论自动控制理论图图4-30 例例4-10的根轨迹的根轨迹解解 应用应用MATLAB程序程序4-3，就能求得图，就能求得图4-28所示的根轨迹所示的根轨迹 %MATLAB程序程序4-3 %绘制系统根轨迹绘制系统根轨迹
26、 num= 0 0 0 0 1 1; den= 1 1.1 10.3 5 0;9/21/202440课件r=rlocus（num，den） plot(r, ) v=-4 4 -4 4;axis(v) grid on title(Root-locus plot of G(s)=K(s+0.5)/(s2+0.6s+10) xlabel(Re) ylabel(Im) 自动控制理论自动控制理论如果要求某一特征值所对应的如果要求某一特征值所对应的K值，可用指令值，可用指令rlocfind。具体步骤：。具体步骤：1）用）用rlocus指令画根轨迹指令画根轨迹2） 由由rlocfind指令求出根轨迹上某一给
27、定点对应的指令求出根轨迹上某一给定点对应的K值，其程序见值，其程序见4-4 %MATLAB程序程序4-4 num=0 0 1 1 dem=1 8 0 0 K=inline(s3+8*s2)/(s+1)）；）；%构造一个构造一个K(s)函数函数9/21/202441课件 k=K(-3+1.8i) %代入代入s= -3+1.8i即可求得对应即可求得对应K的真实值的真实值 rlocus(num,den) rlocfid(num,den %求对应的求对应的K值值 r=rlocus(num.den,K) grid on xlabel(Re) ylabel(Im) K=24.4268自动控制理论自动控制理
28、论图图4-31 根轨迹图根轨迹图由由MATLAB确定根轨迹上某一点所对应的确定根轨迹上某一点所对应的K值值,只要把标记线移到只要把标记线移到该点上，然后点该点上，然后点“enter”键即可，例如确定图键即可，例如确定图4-31根轨迹上的根轨迹上的-3+j3.8点对应的点对应的K值，只要应用值，只要应用MATLAB程序程序4-4；就能快速地求得；就能快速地求得K=24.4289/21/202442课件例例4-11 已知一系统如图已知一系统如图4-32所示所示,图图4-32 反馈控制系统反馈控制系统试用试用MATLAB指令指令tf和和rlocus绘制根轨迹绘制根轨迹自动控制理论自动控制理论在在MA
29、TLAB新版本中，有创建传递函数的指令新版本中，有创建传递函数的指令tf。其中。其中tf2zp指令指令用于传递函数转换为零、极点表示的形式；指令用于传递函数转换为零、极点表示的形式；指令2zptf是将零、极是将零、极点形式转换为传递函数点形式转换为传递函数9/21/202443课件图图图图4-33 4-33 例例例例4-114-11的根轨迹图的根轨迹图的根轨迹图的根轨迹图自动控制理论自动控制理论9/21/202444课件自动控制理论自动控制理论9/21/202445课件第六节第六节 用根轨迹法分析控制系用根轨迹法分析控制系统统用根轨迹法确定系统中的有关参数用根轨迹法确定系统中的有关参数图图4-
30、35 控制系统控制系统试用选择参数试用选择参数K1和和K2以使系统满足下列性能指标以使系统满足下列性能指标自动控制理论自动控制理论9/21/202446课件在在S左半平面上左半平面上,过坐标原点作一与负实轴成过坐标原点作一与负实轴成45角的射线角的射线,如图如图4-36所示所示图图4-36 在在S平面上希望极点的区域平面上希望极点的区域自动控制理论自动控制理论9/21/202447课件图图4-37为对应的根轨迹。为对应的根轨迹。以以为参变量的根轨迹如图为参变量的根轨迹如图4-38所示所示,该图与由过坐标原点作一与负该图与由过坐标原点作一与负实轴成实轴成45角的直线；并与根轨迹相交于角的直线；并
31、与根轨迹相交于-3.15j3.17。由根轨迹幅。由根轨迹幅值条件求得值条件求得=4.3=20K2 ； K2=0.215因为所术闭环极点实部因为所术闭环极点实部=3.15;因而因而图图4-37 式（式（4-63）的根轨迹）的根轨迹图图4-38 式（式（4-64）的根轨迹）的根轨迹自动控制理论自动控制理论9/21/202448课件确定指定确定指定K0时的闭环传递函数时的闭环传递函数例例 已知已知求求K0=0.5时的闭环传递函数。时的闭环传递函数。解解 在分离点在分离点S=-0.423处，由幅值条件求得处，由幅值条件求得K0=0.385由此可知，由此可知，K0=0.5时，系统有一对共轭复根和一个实根，经试样法确定，当时，系统有一对共轭复根和一个实根，经试样法确定，当s3=-2.192时，时，K00.5图图4-39 根轨迹图根轨迹图自动控制理论自动控制理论9/21/202449课件确定具有指定阻尼比确定具有指定阻尼比的闭环极点和单位阶跃响应的闭环极点和单位阶跃响应仍以图仍以图4-8所示系统为例令，所示系统为例令，=0.5，试求，试求1）闭环极点和相应的增益）闭环极点和相应的增益2）单位阶跃信号作用下的输出响应）单位阶跃信号作用下的输出响应自动控制理论自动控制理论9/21/202450课件
