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1、 引理引理 设函数设函数 f (x)在在a , b上有定义，并且在点上有定义，并且在点x0 (a , b)取到最值，取到最值， f (x)在点在点x0 可导，则可导，则 f (x0 )=0。证证: 设 f(x0)值最大,则证毕费马费马一、罗尔(Rolle)定理 P128几何解释几何解释: :AB罗尔罗尔(Rolle)定理定理 如果函数如果函数 f(x)满足：满足： （1）在）在闭闭区间区间a, b上上连续连续；（2）在）在开开区间区间(a, b)内内可导可导；（3）在区间端点的函数值相等，即）在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b),那么在那么在(a, b) 内内至少至少存在存在一点一
2、点 ( a m , 则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 则则至少存在一点至少存在一点使使则由则由费马引理费马引理得得 证毕注注: :定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,零点定理零点定理用不上用不上!? !证毕例例2. 证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .则则在在 0 , 1 连续连续 ,且且由由零点定理零点定理知存在知存在使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根 x0 .设设例例2. 证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一
3、个小于1 的的正实根正实根 . 2) 唯一性唯一性 . 假设另有假设另有为端点的区间满足为端点的区间满足罗尔定理罗尔定理条件条件 ,至少存在一点至少存在一点但但矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!证毕证证: 1) 存在性存在性 . 存在存在 使使二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 P129思考思考:表示直线表示直线AB的斜率的斜率.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数如果函数 f(x)满足：满足： （1）在）在闭闭区间区间a, b上上连续连续；（2）在）在开开区间区间(a, b)内内可导可导；那么那么 在在(a, b) 内内至少至少存在存在一点一点 ( a 2 时，方程时，方程 xn+
4、 yn = zn 又有又有没有整数解呢？没有整数解呢？p这是不可能的。我对这个命题有这是不可能的。我对这个命题有一个美妙的证明，这里空白太小，写一个美妙的证明，这里空白太小，写不下不下(约约 1637 年年)。p欧拉欧拉1770年提出年提出 n = 3 的证明，但的证明，但其中有一点错误。其中有一点错误。p高斯完成欧拉的证明高斯完成欧拉的证明.费马(Fermat,1601？-1665 ) 费马大定理p狄利克雷狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859),德国人德国人p1828 年，独立地证明了年，独立地证明了 n = 5。p1832 年，解决了年，解决了 n = 14 的情况。的情
5、况。p柯西柯西Cauchy (1789-1857)、拉梅、拉梅Lam (1795 - 1870)p1847年，两位法国数学家分别表示他们证明了费马大定年，两位法国数学家分别表示他们证明了费马大定理。理。p5 月月 24 日，德国数学家库麦尔指出拉梅和柯西的方法是日，德国数学家库麦尔指出拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二人的争论。行不通的，从而平息了二人的争论。p费马大定理p1995 年年 5 月，怀尔斯长一百页月，怀尔斯长一百页的证明，在杂志的证明，在杂志数学年鉴数学年鉴中中发表。发表。p1997 年年 6 月月 27 日，怀尔斯获日，怀尔斯获得价值五万美元的得价值五万美元的沃尔夫斯凯沃
6、尔夫斯凯尔奖金尔奖金。xn + yn = zn,(n 2)无整数解无整数解(1637)这是真这是真的的(1995)作业P134:5、6、7、8、10、11-（2）、12、14P134 P134 习题习题1 12 2证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,例例6 6 设设f(x)在在a, b上可微，且上可微，且ab0，求证：，求证：(ab)证明证明 令令 a, b同号，故同号，故x=0不在不在(a, b)内内; (x),g(x)在在(a, b)内可微。内可微。由柯西中值定理由柯西中值定理Z 思考思考2、证明、证明解答解答2o 对对f(x)在在b, a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式 ,即即1o 由所要证明的不等式选定一函数由所要证明的不等式选定一函数f(x) 及定义区及定义区间间: 令令 f(x)=lnx , xb, a.1、 B .2 、证明：证明：补充补充1补充补充2罗尔罗尔LagrangeCauchy
