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1、第七章第七章第七章第七章 应力状态分析应力状态分析应力状态分析应力状态分析 71 应力状态的概念应力状态的概念72 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法73 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法74 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线75 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法76 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律）77 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能作业作业7 应力状态的概念应力状态的概念一、引言一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁
2、拉伸 P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP四、普遍状态下的应力表示四、普遍状态下的应力表示三、单元体三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。xyz x z y xyxyz x z y xy五、剪应力互等定理（五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stres
3、s):): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。 zx六、原始单元体（已知单元体）：六、原始单元体（已知单元体）：例例1 1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 PPAA x xMPxyzBC x xB xz xy yx七、主单元体、主面、主应力：七、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。主面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小， 1 1 2 2
4、3 3xyz x y z单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。A x x zx x xB xz72 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法 x xy yxyzxy x xy yO规定： 截面外法线同向为正； 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力一、任意斜
5、截面上的应力xy x xy yO y xy x a a a aa axyOn图2图1xy x xy yO y xy x a a a aa axyOn图2考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：二、极值应力二、极值应力xy x xy yOxy x xy yO在剪应力相对的项限内，且偏向于x 及y大的一侧。222x yyxminmax + +- - = = ）（例例2 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原 始单元体求极值应力 xyC yxMCxyO xy yx破坏分析低碳钢铸铁73 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（一、应力圆（ Stres
6、s Circle）xy x xy yO y xy x a a a aa axyOn此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法二、应力圆的画法在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx) AB与 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆； x xy yxyOn a a a aa aO a a a aCA( x , xy)B( y , yx)x2a anD( a a , a a) ) x xy yxyOn a a a aa aO a a a aCA( x , xy)B( y , yx)x2a
7、 anD( a a , a a) )三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， )面的法线 应力圆的半径两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。四、在应力圆上标出极值应力四、在应力圆上标出极值应力OC a a a aA( x , xy)B( y , yx)x2a a1 12a a0 0 1 2 3 3例例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB 1 2解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆0 1 2BAC20 a a a a(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画
8、出点 3 1 2BAC20 a a a a(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图 10 2AB解法2解析法：分析建立坐标系如图60xyO74 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：2 21 1 1 1 3 3 3 33 3 1 1 3 34 4 1 1 1 1 3 35 50450 A1A2D2D1CO A2D2D1CA1O 20 D2D1CD1O20= 90 D2A1O 20CD1A2 A2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线（Stress Trajec
9、tories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。 1 3 1 3qxy主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd 1 3 3 175 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法 2 1xyz 31 1、空间应力状态、空间应力状态2 2、三向应力分析、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b整个单元体内的最大剪应力为： max 2 1xyz 3例例
10、4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主面建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:5040xyz3010 (M Pa) a a（M Pa ） a aABCAB 1 2 3 max76 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律）一、单拉下的应力一、单拉下的应力-应变关系应变关系二、纯剪的应力二、纯剪的应力-应变关系应变关系xyz xxyz x y三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 - - 应变关系应变关系依叠加原理,得: xyz z y xy x主应力主应力 - - 主应变关系主应变关系四、平面状态
11、下的应力四、平面状态下的应力-应变关系应变关系: :方向一致 1 3 2主应力与主应变主应力与主应变方向一致方向一致?五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系: 1 3 2a1a2a3例例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态m me e334 2.- -= =例例8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =35
12、0l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxmlpODxABy图a1、轴向应力:(longitudinal stress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程p m mxD图b用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop stress)3、求内压（以应力应变关系求之）t m外表面yp t tDqdqz图cO777 7 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能 2 3 1图图 a图图 c
13、3 - m 1- m 2- m m图图 b m m称为形状改变比能或歪形能。图图 c 3 - m 1- m 2- m例例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为： xyA13一、引子：一、引子：78强度理论的概念强度理论的概念1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸 P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。1、伽利略播下了第一强度理论的种子；三、材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。2、马里奥特关于变形过大引起破坏的
14、论述，是第二强度理论的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。79 四个强度理论及其相当应力四个强度理论及其相当应力一、最大拉应力（第一强度）理论：一、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 二、最大伸长线应变（第二强度）理论：最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应
15、力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 三、最大剪应力（第三强度）理论：三、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 2、强度准则：四、形状改变比能（第四强度）理论：四、形状改变比能（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。1、破坏判据：2、强度准则3、实用范围：实用于破坏形
16、式为屈服的构件。 710 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力 莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大剪应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。近似包络线极限应力圆的包络线O s 极限应力圆一、两个概念：一、两个概念：1、极限应力圆：2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope）。 yo LO1O2莫尔理论危险条件的推导莫尔理论危险条件的推导2、强度准则：1、破坏判据：O3 1 3MKLPN二、莫尔强度理论：二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触， 则材料即将屈服或剪断。三、相当应力：（强度
17、准则的统一形式）。三、相当应力：（强度准则的统一形式）。其中， *相当应力。3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。 711 强度理论的应用强度理论的应用一、强度计算的步骤：一、强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使
18、用第一理论；3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。 当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 其它应力状态时，使用第三或第四理论。解：危险点A的应力状态如图：例例1 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。故，安全。PPTTAA 例例2 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。 解：由广义虎克定律得:As sx yxyA所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。破坏判据：例例3 一铸铁构件 bL= 400MPa， by= 1200MPa，一平面应力状态点按莫尔强度理论屈服时，最大剪应力为450MPa，试求该点的主应力值。解：做莫尔理论分析图 yo LO1O2莫尔理论危险图莫尔理论危险图O3 1 3MKLPNa a解解上述联立方程得上述联立方程得：第18次作业：习题72a,b,c,d,7 3a,74a第19次作业：习题74d,78，719第20次作业：习题726，727第21次作业：习题736，737
