函数极限与连续PPT课件

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1、第第1章章 函数、极限、连续函数、极限、连续本本章章主主要要内内容容1 11函数2 22初等函数4 44极限运算 5 55函数的连续性 6 66曲线的渐近线3 33极限的概念与性质 1.1 函函 数数 本节内容 函数的概念 函数的几何特性 反函数 一 函数1、函数的定义、函数的定义定义定义1-1 设设x和和y是两个变量，是两个变量，D是是R的非空子集，如果对于每的非空子集，如果对于每 一个数一个数xD，变量，变量y按照某种对应法则有按照某种对应法则有惟一惟一确定的数值和确定的数值和它对应，则称它对应，则称y是是x的函数，记作的函数，记作 yf (x)，xDx称称为为自变量自变量，y为为因变量因

2、变量， f 对应法则对应法则， D称为称为函数的函数的定义域定义域， 数集数集 Zy|yf (x), xD称称为为该该函数的函数的值域值域。函数的三要素要素函数的三要素要素: :定义域定义域 D值域值域 Z对应关系对应关系 f注意：注意： 如如f(x)=lg2x 和和 g(x)=2lgx 就不是同一个函数，为什么？就不是同一个函数，为什么？v 当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数。才是同一个函数。例例1、 下列各组函数是否相同下列各组函数是否相同 ? 为什么为什么? 不同不同不同不同相同相同2 2、常用的函数表示法常用的函数表示法列

3、表法列表法列表法列表法 用表格列示出用表格列示出用表格列示出用表格列示出x x x x与与与与y y y y的对应关系。的对应关系。的对应关系。的对应关系。图像法图像法图像法图像法 以数对以数对以数对以数对( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )为点的坐标描绘出能反映为点的坐标描绘出能反映为点的坐标描绘出能反映为点的坐标描绘出能反映x x x x与与与与y y y y的对的对的对的对 应关系的曲线。应关系的曲线。应关系的曲线。应关系的曲线。解析法解析法解析法解析法 用等式表示出用等式表示出用等式表示出用等式表示出x x x x与与与与y y y y的关系。的关系。

4、的关系。的关系。 优点优点优点优点：便于查出函数值。：便于查出函数值。：便于查出函数值。：便于查出函数值。 优点优点优点优点：容易观察函数的变化趋势。：容易观察函数的变化趋势。：容易观察函数的变化趋势。：容易观察函数的变化趋势。 优点优点优点优点：便于从理论上对函数进行定性：便于从理论上对函数进行定性：便于从理论上对函数进行定性：便于从理论上对函数进行定性研究和定研究和定研究和定研究和定 量分析量分析量分析量分析4 4、分段函数、分段函数在不同的区间内用不同的式子来表示的函数称为在不同的区间内用不同的式子来表示的函数称为分段分段函数函数，即用几个式子合在一起表示一个函数，即用几个式子合在一起表

5、示一个函数. .例例5 5已知函数已知函数f(x)的解析式：的解析式： 求求 的值；的值； 练习：练习：已知已知 求求fff(3)【解析】【解析】32,+),f(3)=32-43=-3.-3(-,-2,ff(3)=f(-3)= (-3)= . (-2,2),fff(3)=f( )=.【评析】解决此类问题应自内向外依次求值【评析】解决此类问题应自内向外依次求值.(1) 函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo 5 5、函数的性质函数的性质例例6 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：解解 (1)故故为偶函数偶函数(2) 故故为奇函数奇函数 (3) ，它既不等于，它既不等于也

6、不等于也不等于，故故是非奇非偶函数是非奇非偶函数课堂练习判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(4) 函数的有界性函数的有界性:x(2) 函数的单调性函数的单调性: 设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有： (1) ,则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2) , 则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。时，有时，有例例7 7 判断函数判断函数的单调性

7、的单调性，由于，由于当当当当时，有时，有 因此，函数因此，函数在在上单调减少上单调减少, ,上单调增加上单调增加. .解解 函数的定义域为函数的定义域为在在（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.(3) 函数的函数的周期周期性性:例如，例如，ysin x和和ytan x都是周期函数，都是周期函数， 前者的周期是前者的周期是2，后者的周期是，后者的周期是。 6 6、反函数、反函数不一定！不一定！定义结论：结论：求反函数的方法：例例8、求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：解：解：（1）(2)(3)(4) 二、初等函数二、初等函数1、基本初等函数1）幂函数

8、幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数5）反三角函数）反三角函数6）常量函数）常量函数2 2. . 复合函数复合函数 v对于函数对于函数ysinx，如果令，如果令xt ，并将它代入，并将它代入 ysinx ，就可以得到函数就可以得到函数ysint 。可以看成由。可以看成由ysinx和和xt复复合合而成。而成。 定义：定义：如果如果y是是u的函数的函数, ,而而u又是又是x x的函数的函数, ,y=f(f(u),),u=g( (x),),那那么么y关于关于x的函数的函

9、数y=f g( (x)叫做函数叫做函数f f和和g的复合函数的复合函数,f(,f(u) )是外是外层函数，层函数，g( (x) )是内层函数，是内层函数，u叫做中间变量叫做中间变量. .解：解：是由是由 和和 复合而成的复合而成的是由是由 和和 复合而成的复合而成的是由是由 和和 复合而成的复合而成的是由是由 、 和和 复合而成的复合而成的例例1、 指出下列各函数的复合过程指出下列各函数的复合过程（1）T ln(tan) （2）（3） （4） 例例2、 设函数设函数求求例例3 3、p由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运 算所构成并能用一个

10、式子表示的函数，称为算所构成并能用一个式子表示的函数，称为初等函数初等函数。 例如，例如， y sin3x 、 u sin(x) （、是常数）是常数） 都是初等函数。都是初等函数。p凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。 一般情况下，分段函数不是初等函数一般情况下，分段函数不是初等函数. .含有绝对值符号的函数一含有绝对值符号的函数一 般也不是初等函数。般也不是初等函数。3 3. . 初等函数初等函数三三、极限的概念与性质极限的概念与性质1、数列的极限 数数列列的的定定义义：如如果果按按照照某某一一法法则则, , 对对每每一一n N , 对对应应着

11、一个确定的实数着一个确定的实数xn, , 则得到一个序列则得到一个序列 x1, , x2, , x3, , , , xn , , , ,这这一一序序列列叫叫做做数数列列, , 记记为为xn, , 其其中中第第n项项xn叫叫做做数数列列的的一一般般项或通项项或通项. . 数列举例:2 4 8 2n ; 1 -1 1 (-1)n+1 . 例如例如 当当n无无限限增增大大时时, , 如如果果数数列列xn的的一一般般项项xn无无限限接接近近于于常常数数a, , 则则常常数数a称称为为数数列列xn的的极极限限, , 或或称称数数列列xn收收敛敛a, , 记为记为v数列极限的定义数列极限的定义 如果不存在

12、这样的常数a 就说数列xn没有极限 注意：注意：有极限的数列称为有极限的数列称为收敛数列，收敛数列，没有极限的数列称为没有极限的数列称为发散数列。发散数列。例例1、 根据极限的定义，判断下列各数列是否有极限，根据极限的定义，判断下列各数列是否有极限， 对于收敛的数列指出其极限：对于收敛的数列指出其极限：（1）1,2,3,n, （2）（3）1,1,1,(1)n1, （4）（5）2、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限 2 2、 函数的极限函数的极限 自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:1、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内

13、容 :1、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限 p对函数 ，当|x|无限增大时，对应的函数值y 无限接近常数0（参看右图）， 这时就称 以0为极限。 p定义定义 设函数设函数yf(x)对绝对值无论怎样大的自变量对绝对值无论怎样大的自变量 都有定义，如果当都有定义，如果当|x|无限增大（即无限增大（即x ）时，函数）时，函数 f (x)无限接近某个常数无限接近某个常数A ，那么，那么A就称为函数就称为函数f (x)当当x趋趋 向无穷大时的向无穷大时的极限极限，记为，记为 如果如果 不存在，则函数不存在，则函数f (x)当当x时没有极限。时没有极限。或或 f (x) A (x

14、)p如果在定义中限制如果在定义中限制x只取正值或者只取负值，只取正值或者只取负值， 即有即有 称函数称函数f (x)当当x趋向正无穷大（或负无穷大）时的极限为趋向正无穷大（或负无穷大）时的极限为A。或p对于函数对于函数 ，其图像如下图所示。，其图像如下图所示。 由于由于 ，并且，并且 两个极限相等，从而两个极限相等，从而p对于函数对于函数yarctan x ，由于，由于 两个极限不相等，从而两个极限不相等，从而 不存在不存在p对于函数对于函数y2x ，由于，由于其中一个极限不存在，从而其中一个极限不存在，从而 不存在不存在通过对以上通过对以上3个函数的分析说明，个函数的分析说明，p只有当只有当

15、 和和 都都存在并且相等存在并且相等时，时， 才存在并与前两者相等。才存在并与前两者相等。2、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限或或 f (x)A (当当xx0 )p定义定义 设函数设函数yf (x)在点在点x0的某个空心邻域的某个空心邻域 有定义，如果有定义，如果x无限接近有限数无限接近有限数 x0 ，即，即xx0(xx0)时，时， 函数函数f (x)无限接近某个常数无限接近某个常数A，那么就称，那么就称A为函数为函数f (x) 当当xx0时的时的极限极限，记为，记为为点为点 的的邻域，记作邻域，记作 ；点；点 和数和数分别称为分别称为这个邻域的中心和半径。这个邻域的

16、中心和半径。数集数集 称为点称为点 的的空心空心邻域，记作邻域，记作 。邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。邻域邻域p设设 与与是两个实数，且是两个实数，且0，数集，数集 称称p x无限接近有限数无限接近有限数x0而不要求等于而不要求等于x0，意味着当，意味着当xx0 时，时， f (x)的变化趋势与的变化趋势与f (x) 在在x0是否有定义或如何是否有定义或如何 定义无关。前者是定义无关。前者是f (x)在在x0附近的动态描述，后者是附近的动态描述，后者是 f (x)在在 x0的静态说明。的静态说明。 yxo24左极限左极限:右极限：右极限：v 单侧极限单

17、侧极限:p例例1 考察极限考察极限 （c为常数）。为常数）。 因为函数因为函数yc在在R上都等于常数上都等于常数c ，所以，所以p例例2 考察极限考察极限 。 当当 时，时，tanx ；当当 时，时，tanx 。故故 不存在。不存在。 故故p例例3 考察极限考察极限 ，其中，其中 由于由于 和和 都存在并且都等于都存在并且都等于2， 所以所以 存在且等于存在且等于2。但是，但是， f(1)1，所以，所以 。例例4、求求 当当从从0左右两侧趋近于左右两侧趋近于0时，时，的表达式不一样的表达式不一样, 须须考察左右极限考察左右极限.解：解：左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例5、解：解：

18、1 1、 无穷小量无穷小量p定义定义 如果在如果在x的某种趋向下，函数的某种趋向下，函数f (x)以以零零为极为极 限，则称在限，则称在x的这种趋向下，函数的这种趋向下，函数f (x)是是无穷小量无穷小量， 简称简称无穷小无穷小。例如，数列例如，数列 的极限是零，故的极限是零，故 （当（当n时）时） 是无穷小量。当是无穷小量。当x时，函数时，函数 是无穷小量。是无穷小量。 当当x0时，时，sinx和和 lg(1x)也都是无穷小量。也都是无穷小量。 三三、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大p定理定理1 有限个无穷小量的有限个无穷小量的和和也是无穷小量。也是无穷小量。 例如，当例如，当x0时，时，x3

19、和和sinx都是无穷小量，都是无穷小量， 所以所以x3sinx也是无穷小量。也是无穷小量。无限个无穷小量的和就不一定是无穷小量了。无限个无穷小量的和就不一定是无穷小量了。p定理定理2 有限个无穷小量的乘有限个无穷小量的乘积积是无穷小量。是无穷小量。 例如，当例如，当x2时，时，(x24)和和ln(x1)都是无穷小量，都是无穷小量， 所以所以(x24)ln(x1)也是无穷小量。也是无穷小量。 2、无穷小量的性质、无穷小量的性质p定理定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当例如，当x0时，函数时，函数x是无穷小量，而是无穷小量，而 是是 有界函数，

20、所以有界函数，所以 也是无穷小量也是无穷小量p定理定理4 常数与无穷小量的乘积是无穷小量。常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当例如，当x时，时，2-x是无穷小量，是无穷小量， 所以所以3（2-x）也是无穷小量。）也是无穷小量。3 3、 无穷小量的比较无穷小量的比较 已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？定义定义: :无穷小量的比较无穷小量的比较 p定义定义 如果在如果在x的某种趋向下，函数的某种趋向下，函数 f (x)的绝对值的绝对值 可以任意地大，则称函数是在的

21、这种趋向下的可以任意地大，则称函数是在的这种趋向下的无穷大无穷大 量量，简称，简称无穷大无穷大。p例如，当例如，当x时函数时函数x2是无穷大量，当是无穷大量，当x0时函数时函数 1/x是无穷大量，当是无穷大量，当x时函数时函数ln(1x)是无穷大量。是无穷大量。 4、无穷大量、无穷大量 p在自变量的变化过程中为无穷大量的函数在自变量的变化过程中为无穷大量的函数f (x) ，按极，按极 限的定义其极限是不存在的。但是为了便于叙述函数限的定义其极限是不存在的。但是为了便于叙述函数 的这一性态，可以这样说：函数的极限是无穷大量，的这一性态，可以这样说：函数的极限是无穷大量， 并记做并记做 lim f

22、 (x) 类似地，还有类似地，还有lim f (x) lim f (x) p这样一来，相关的极限就可以方便地表达了。 前面的几个例子可以写成 v 无无 穷穷 大大 量量 的的 倒倒 数数 是是 无无 穷穷 小小 量量v 恒恒 不不 为为 零零 的的 无无 穷穷 小小 量量 的的 倒倒 数数 是是 无无 穷穷 大大 量量 5、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量与无穷大量的关系 6、极限存在准则、极限存在准则 1.夹逼准则(两边夹定理）注意注意: :准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则. .2.单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:四四、极限运算

23、极限运算本节内容本节内容v 极限的运算法则 v 两个重要极限 1、极限的运算法则、极限的运算法则 设设 lim f (x)A ， lim g(x)B ，则，则（1）limf(x)g(x) limf(x)limg(x) =AB （2）limf(x)g(x) limf(x)limg(x) AB 或或 limf (x)nlimf (x)n An （n为正整数）为正整数）（3）limCf(x) Climf(x) CA （C为常数）为常数）（4 4） （B B00）或或limf(x)g(x)limf(x) limg(x) =AB, limf(x) 0 利用上述极限运算法则求下列函数极限利用上述极限运算法

24、则求下列函数极限例例1解：解：解：解：因为分母因为分母所以原式所以原式例例2 求解：= = - - -4532lim21xxxx故由恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量得= =- - - -03245lim21xxxx但因= = - -, 0)45(lim21xxx不能应用商的极限运算法则。因为分母的极限例例3，不能应用商的极限，不能应用商的极限运算法则。运算法则。因为分母的极限因为分母的极限但因但因时时。，故，故解：解：型型例例4 4、解解：“ 抓大抓大头头”解解：例例5 5、解解：例例5 5练： 求下列函数极限解：解：解：练习 求下列极限： （1）（2）（3

25、） （2）（1）解:（3）p通过本题的解答可以得到如下的一般结果： 当a0，b00时，有 2 2、 两个重要极限两个重要极限 第一个重要极限：第一个重要极限：这个结果可以作为公式使用这个结果可以作为公式使用解：原式解：原式= =例例 1计算计算即当即当x0时，时，x tanx解例 2这个结果可以作为公式使用即当x0时，1-cosxx2解解例例 3也可以按如下格式进行：也可以按如下格式进行：第二个重要极限：第二个重要极限：第二个重要极限：第二个重要极限：（1 1）此极限主要解决）此极限主要解决1 1型幂指函数的极限型幂指函数的极限说明：说明：（2 2）它可以形象的表示为：）它可以形象的表示为：（

26、其中（其中表示相同的表示相同的 变量或表达式）变量或表达式）或或例2 证明：例1 求解：原式=证明：即当x0时，ln(1+x)x例3 解解方法一方法一令令 u = -x， 因为因为 x 0 时 u 0，所以所以方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握熟练后可不设新变量例 4解因为所以令 u = x - 3 ，当 x 时 u ，因此练习练习 求下列极限求下列极限利用无穷小量计算极限利用无穷小量计算极限等价无穷小替换定理： 本定理说，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小本定理说，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换量的因子时，可以用

27、和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换常使计算简化。常使计算简化。但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换，但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换，而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极限过程一般不能用等价无穷小代换。限过程一般不能用等价无穷小代换。常用等价无穷小常用等价无穷小:注：注：利用等价无穷小计算极限是一种基本方法利用等价无穷小计算极限是一种基本方法 例例1 1 求求 例例2 2 求求 解解 当当x x00时，时，sin2x 2x，ln(1+x) x，所以，所以若直接用若直接用 x 代替代替 tanx 及及 s

28、inx，因为，虽然因为，虽然 tanx x，sinx x ，但，但 tanx-sinx 0则不成立，因此，这里用则不成立，因此，这里用 0 代替代替 tanx sinx 是错误的。是错误的。是是错误错误的。的。则则例例3 3例例3 3解：解：原式原式=不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记：切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中的各个无穷小不能分别代换对于代数和中的各个无穷小不能分别代换. .注意：注意：例例4 4、解：解：本节内容本节内容I. 函数的连续性函数的连续性 II. 间断点间断点III. 初等函数的连续性初等函数的连续性

29、 IV. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质五五、 函数的连续函数的连续性性 连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反映了许多自然现象的一个共同特性。例如，气温的变化、动植映了许多自然现象的一个共同特性。例如，气温的变化、动植物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着。这些现象反映在数学上，就是函数的连续性。着。这些现象反映在数学上，就是函数的连续性。1、 函数的连续性函数的连续性 从下图所表示的函数图象看，函数在点从下图所表示的函数图象看，函数在点x x1

30、 1、x x2 2和和x x3 3是是间断的，在其余的点是连续的。间断的，在其余的点是连续的。 记 x = x - x0，且称之为自变量 x 的改变量或增量，记 y = f (x) - f (x0) 或 y = f (x0+ x) - f (x) 称为函数 y = f (x) 在 x0 处的增量。 那么函数 y = f (x) 在 x0 处连续也可以叙述为：定义 1设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义，如果则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续，称x0为该函数的连续点。Np定义定义2 设函数设函数f (x)在在x0的一个邻域内有定义，如果的一个邻域内有定义，如果 函

31、数函数f (x)当当xx0时的极限存在，且等于它在点时的极限存在，且等于它在点x0处的处的 函数值函数值f (x0)，即，即那么就称函数那么就称函数f (x)在点在点x0处处连续连续，称，称x0为函数的为函数的连续点连续点。根据定义可以得知：函数在点根据定义可以得知：函数在点x0处连续的充分且必要的条件是：处连续的充分且必要的条件是： f (x0)存在；存在； 存在；存在； 两者相等两者相等若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续。 由此可知，函数 y = f (x) 在 x0 处连续的充要条件可表示为：即函数在某点连续的充要

32、条件为函数在该点处左、右连续 xy例 1证因为且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续，所以它在 x = 0 处连续 。例例2 2 讨论下列函数在指定点的连续性：讨论下列函数在指定点的连续性：右不连续右不连续 左连续左连续 解解2、 函数的间断点函数的间断点第第 一一 类类 间间 断断 点点特点特点: :第第 二二 类类 间间 断断 点点例例1 1解解解解解解解解解解 结论：结论：初等函数在其初等函数在其定义域区间定义域区间上连续上连续 .基本初等函数：基本初等函数： 常值函数、幂函数、指数函常值函数、幂函数、指数函 其其定义域区间定义域区间上都连续上都连续 . 、

33、反三角函数在、反三角函数在 函数、对数函数、三角函数函数、对数函数、三角函数 注意：注意：1. 初等函数仅在其初等函数仅在其定义域区间定义域区间上上连续连续, 例如：例如：函数在这些函数在这些孤立点孤立点的空心邻域内没有定义的空心邻域内没有定义 ， 因此在这些因此在这些孤立点无法讨论其连续性孤立点无法讨论其连续性 .在其在其定义域定义域内内不一定连续不一定连续 .3、 初等函数的连续性初等函数的连续性注意注意: 若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,或在闭区间内或在闭区间内有间断点有间断点 则结论不一定成立则结论不一定成立 .4 4、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质（1 1）

34、最值定理最值定理：在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数在该区间上在该区间上一定有最大一定有最大值值M M和最小值和最小值m m. .例如例如,无最大值和最小值无最大值和最小值 也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 推论：推论：在闭区间上连续的函数在该区间上在闭区间上连续的函数在该区间上才有最值才有最值. 定理定理2(2(介值定理介值定理):):设设 且且则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C ,一点一点使使至少有至少有定理定理3 (零点定理零点定理):至少有一点至少有一点使使例例3 3、 证明方程证明方程一个根一个根 .证证: 显然显然又又根据零点定理根据零点定理

35、, 至少存在一点至少存在一点使使即即在区间在区间内至少有内至少有例例4 4、证：证：由零点定理由零点定理,定义定义当曲线当曲线y= =( (x) )上动上动点点M沿着曲线无限远离原沿着曲线无限远离原点移动时点移动时, ,若该动点若该动点M到到某直线某直线L的距离无限趋近的距离无限趋近于零于零( (如右图如右图),),则称此直则称此直线线L是曲线是曲线y= =( (x) )的渐近的渐近线线. .oxyy=(x)MQL:y=ax+b六六、 函数的函数的渐近线渐近线曲线曲线y=(x)的渐近线按其与的渐近线按其与x轴的位置关系轴的位置关系, ,可分为三种可分为三种: :则称直线则称直线y=c为曲线为曲

36、线y=(x)的水平渐近线的水平渐近线. .oxyy=arctgxy=/2/2y= /21.1.水平渐近线水平渐近线如果曲线如果曲线y = (x)的定义域是无限区间的定义域是无限区间, , 且有且有曲线曲线 是否有水平渐近线？是否有水平渐近线？所以曲线所以曲线y=arctanx有水平渐近线有水平渐近线2.2.垂直垂直( (铅垂铅垂) )渐近线渐近线如果曲线如果曲线y = (x)在在x0 0处无定义处无定义( (或不连续或不连续),),且且则称直线则称直线x=x0为曲线为曲线y = (x)的垂直渐近线的垂直渐近线. .oxy所以曲线有一条垂直渐近线所以曲线有一条垂直渐近线x=0. =0. 曲线曲线是否有垂直渐近线？是否有垂直渐近线？例例1 求下列函数曲线的渐近线：求下列函数曲线的渐近线：解解 (1)直线直线 x =1是曲线的垂直渐近线是曲线的垂直渐近线.直线直线 y =0是曲线的水平渐近线是曲线的水平渐近线.直线直线 y =0是曲线的水平渐近线是曲线的水平渐近线.(2)