《高中数学 3.1两角和与差的三角函数课件 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 3.1两角和与差的三角函数课件 北师大版必修4（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 求同一个角的三角函数值求同一个角的三角函数值 利用同角三角函数关系求利用同角三角函数关系求值可以按以下步骤、方法进行：值可以按以下步骤、方法进行：(1)(1)一一看看：考考查查题题设设的的条条件件中中是是否否能能确确定定角角的的范范围围，角角的的范范围直接决定三角函数值解的个数围直接决定三角函数值解的个数. .(2)(2)二二变变：在在求求值值时时，往往往往要要在在原原有有关关系系的的基基础础上上先先变变形形，再列方程再列方程( (组组) )，具体如下：，具体如下：若已知若已知sinsin( (或或coscos) )求求tantan常用以下变形常用以下变形: :若已知若已知tantan求求s
2、insin( (或或coscos) )常用以下变形：常用以下变形：(3)(3)三算：利用步骤二建立方程三算：利用步骤二建立方程( (组组) )，并结合步骤一角的范，并结合步骤一角的范围写出该角的三角函数值围写出该角的三角函数值. . 若角若角的范围不确定，涉及开方时，常因三的范围不确定，涉及开方时，常因三角函数值的符号问题，对角角函数值的符号问题，对角进行分区间进行分区间( (象限象限) )讨论讨论. . 【例例1 1】(2011(2011上海春季高考改编上海春季高考改编) )在在ABCABC中，中，求求sinAsinA和和cosAcosA的值的值. .【审题指导审题指导】该题中的前提条件该题
3、中的前提条件“在在ABCABC中中”实际上暗示实际上暗示了角了角A(0,)A(0,)，又给出，又给出 进一步明确了角进一步明确了角A A是锐是锐角，因此角，因此, ,在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值. .【规范解答规范解答】因为因为ABCABC中中 所以所以A A是锐角，是锐角，由由 解得解得所以所以【例例】已知已知是三角形的内角，且是三角形的内角，且求求tantan的值的值. .【审题指导审题指导】由由 及及sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，可求，可求sin,cossin,cos的值的值. .【规范解答规范解答】方法一：方法一：
4、由由得得 将其代入将其代入，整理得，整理得25sin25sin2 2-5sin-12=0.-5sin-12=0.是三角形的内角，是三角形的内角，方法二：方法二：即即 且且0 0,sinsin0,cos0,cos0,sin-cos0,sin-cos0, 0, 由由 得得 关于关于sin,cossin,cos的齐次式的求值的齐次式的求值 关于关于sin,cossin,cos的齐次式的求值问题的齐次式的求值问题. .关于关于sin,cossin,cos的齐次式就是式子中的每一项都是关于的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin,cossin,cos的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略的式子，且它们
5、的次数之和相同，其求解策略为：可用为：可用coscosn n(nN(nN* *) )去除原式分子、分母的各项，这样去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于可以将原式化为关于tantan的表达式，再整体代入的表达式，再整体代入tantan=m=m的值，从而完成求值任务的值，从而完成求值任务. .具体如下：具体如下：(1)(1)形如形如的分式，分子、分母分别同时除以的分式，分子、分母分别同时除以coscos、coscos2 2，将正、，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值余弦转化为正切或常数，从而求值. .(2)(2)形如形如asinasin2 2+bsincos+ccos+bsincos
6、+ccos2 2的式子，将其看成的式子，将其看成分母为分母为1 1的分式，再将分母的分式，再将分母1 1变形为变形为sinsin2 2+cos+cos2 2,转化为转化为形如形如 的式子的式子. .【例例2 2】(2011(2011天津高一检测天津高一检测) )已知已知sinsin=2cos,=2cos,求求 的值的值. .【审题指导审题指导】根据条件根据条件sinsin=2cos=2cos得得tantan=2,=2,再利用平再利用平方关系方关系sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1代替式子中的常数，最终利用商数代替式子中的常数，最终利用商数关系转化成关系转化成tantan的式子求值
7、的式子求值. .【规范解答规范解答】由由sinsin=2cos,=2cos,得得tantan=2,=2,分子、分母同时除以分子、分母同时除以coscos2 2,得上式得上式代入代入tantan=2=2，上式，上式 化简三角函数式化简三角函数式 用用同同角角三三角角函函数数关关系系式式化化简简三三角角函函数数式式是是检检验验对对公公式式掌掌握握的的灵灵活活程程度度和和驾驾驭驭能能力力，化化繁繁为为简简是是根根本本原则，常用以下的技巧方法：原则，常用以下的技巧方法：(1)(1)化化切切为为弦弦，即即把把正正切切函函数数化化成成正正、余余弦弦函函数数，从从而而减减少少函数名称，达到化简的目的函数名称
8、，达到化简的目的. .(2)(2)对对于于含含有有根根号号的的，常常把把根根号号下下化化成成完完全全平平方方式式，然然后后根根据选取的正负号去根号达到化简的目的据选取的正负号去根号达到化简的目的. .(3)(3)对对于于化化简简含含高高次次的的三三角角函函数数式式，往往往往借借助助于于因因式式分分解解，或构造或构造sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,以降低函数次数，达到化简的目的以降低函数次数，达到化简的目的. .例例3 3 化简化简【审题指导审题指导】从式子结构出发，解决该题先开方，再化从式子结构出发，解决该题先开方，再化简，角的范围的不确定性需要分情况讨论简，角的范围的不确
9、定性需要分情况讨论. .【规范解答规范解答】原式原式 证明三角恒等式证明三角恒等式 证证明明三三角角恒恒等等式式，实实际际上上就就是是将将左左右右两两端端表表面面看看似似存存在在较较大大差差异异的的式式子子通通过过巧巧妙妙变变形形后后消消除除差差异异，实实现现联联通通，使使其其左左右右两两侧侧相相等等，为为了了达达到到这这个个目目的的，我我们们经常采用以下的策略和方法：经常采用以下的策略和方法：(1)(1)从一边开始，证明它等于另一边；从一边开始，证明它等于另一边；(2)(2)证明左右两边都等于同一个式子；证明左右两边都等于同一个式子；(3)(3)变变更更论论证证，采采用用左左右右相相减减，化
10、化除除为为乘乘等等方方法法，转转化化成成与与原结论等价的命题形式原结论等价的命题形式. .【例例4 4】 求证：求证：【审题指导审题指导】所要求证等式左右两边均比较繁琐时，由一所要求证等式左右两边均比较繁琐时，由一边推导出另一边比较困难，此时可将两边分别化简再比较边推导出另一边比较困难，此时可将两边分别化简再比较. .【规范解答规范解答】证明：左边证明：左边(sin+cos)(sin+cos)2 2= =sinsin2 2+cos+cos2 2+2sincos=1+2sincos,+2sincos=1+2sincos,右边右边左边右边，即左边右边，即【典例典例】(12(12分分) )已知已知s
11、insin=t=t，且，且-1-1t t1 1，求角，求角的余弦值的余弦值和正切值和正切值. .【审题指导审题指导】已知角已知角的正弦值的正弦值sinsin, ,可用平方关系求余弦可用平方关系求余弦值值coscos, ,再利用商数关系求正切值再利用商数关系求正切值tantan, ,求解过程中要讨论求解过程中要讨论的范围的范围. .【规范解答规范解答】sinsin=t=t，且，且|t|t|1 1，角角可能为四个象限角或可能为四个象限角或x x轴上的轴线角轴上的轴线角. . 2 2分分(1)(1)当当为第一、四象限和为第一、四象限和x x轴非负半轴上的角时，有轴非负半轴上的角时，有 6 6分分(2
12、)(2)当当为第二、三象限和为第二、三象限和x x轴非正半轴上的角时，有轴非正半轴上的角时，有 1212分分【误区警示误区警示】对解答本题易犯的错误具体分析如下：对解答本题易犯的错误具体分析如下：1.1.已知已知 且且是第四象限角，则是第四象限角，则sinsin等于等于( )( )【解析解析】选选D.D.在第四象限，在第四象限，sinsin0 02.2.若若 则下列结论中一定成立的是则下列结论中一定成立的是( )( )( (C)sin+cosC)sin+cos=1=1( (D)sin-cosD)sin-cos=0=0【解析解析】选选D. (sin-cos)D. (sin-cos)2 2=1-2sincos=0.=1-2sincos=0.3.3.若若cos80cos80=k,=k,则则tan100tan100_._.【解析解析】由由cos80cos80=k,=k,得得答案答案: :4.4.已知已知tantan=2=2，则，则 的值为的值为_【解析解析】答案答案: :5.5.已知已知 其中其中 试求试求m m的值的值. .【解析解析】由由sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,得得解得解得m=0m=0或或m=8,m=8,又又 sin0,cos0,sin0,cos0,经检验可知经检验可知m=0m=0不合题不合题意，故意，故m=8.m=8.
