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1、装箱问题和排序问题 本本讲主要内容主要内容装箱问题（Bin Packing）最小完工时间安排（排序问题）（Minimum Makespan Scheduling)Bin Packing装箱问题：给定n个物件，大小为 用单位体积的箱子来装这些物件，找一个装箱方案使得所用的箱子数目最少？通俗地说，把 分成最少的组数， 使得每组数的和不超过1。在工业中有许多应用，譬如在下料问题中，箱子代表标准木料的长度，而 表示实际问题中需要裁截成的木料长度。当然，需要的标准料越少越好。一个一个2倍近似算法倍近似算法证明明一个不可逼近性一个不可逼近性结果果NP-难问题按照其可逼近性分按照其可逼近性分类多项式时间近似
2、方案（Polynomial Time Approximation Scheme ,PTAS),渐近多项式时间近似方案一个一个渐进的的PTAS限制装箱限制装箱问题限制装箱限制装箱问题定理定理2的的证明明算法算法总结排序排序问题排序问题（ Minimum Makespan Scheduling） 给定n个工件 的加工时间 以及一个整数m， 给工件安排一个在m个相同机器上的加工顺序，使得最后的完工时间 （ makespan）最小。该问题是排序问题中最简单的问题。在生产调度中有广泛的应用。Graham 的的2-近似算法近似算法算法描述（List Scheduling） Step 1.将工件任意排序；
3、Step 2.将工件按照上述顺序分配给机器，将下一 个工件安排给当前负荷最轻（剩余加工时 间最少）的机器。直到所有工件加工完毕. 算法分析算法分析上述算法的要点是， 让机器不要闲着，只要有机器加工完，就把排在最前面尚待加工的工件让该机器去做。算法分析的要点是：最小makespan取决于最后一个工件的完工时间，在最后一个活开始加工之前，没有机器是空闲的。一个一个紧的例子的例子Lowest Fit Decreasing（LFD）算法描述（LFD） Step 1.将工件按工时从高到低排列； Step 2.将工件按照上述顺序分配给机器，将下一 个工件安排给当前负荷最轻（剩余加工时 间最少）的机器。直到
4、所有工件加工完毕.排序排序问题的的PTAS排序问题与装箱问题有如下紧密联系： 排序问题存在最优解t，当且仅当n个大小分别为 的物件可以装入m个容量为t的箱子。因此，可将排序问题自转化为装箱问题：令I表示n个物件大小 ；令 表示能装下n个物件的容量为t的箱子的最少数目； 则最小排序问题转化为：基本思想基本思想不同物件型号数目固定的装箱不同物件型号数目固定的装箱问题动态规划划动态规划（划（续）动态规划（划（续）把排序把排序问题划划归为限制装箱限制装箱问题基本思想：如果我们能容忍在计算最小makespan问题的一点小的误差，则我们可把该问题在多项式时间内划归为限制装箱问题。主要有两种类型的误差：把物件的尺寸做一些调整，使得不同尺寸的数目有界。终止二分搜索，保证多项式时间算法。 每种误差都可以做到任意小，但代价是计算时间的增加。 但对固定的误差， 我们可以得到多项式时间近似算法。 箱子容量固定的装箱算法箱子容量固定的装箱算法(核心算法）核心算法）核心算法（核心算法（续）二分搜索法二分搜索法二分搜索二分搜索LB2LBt3T2T1Thanks, End
