《7存在唯一性定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《7存在唯一性定理（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 一阶微分方程解的存在定理一阶微分方程解的存在定理问题的提出问题的提出 在前一章中，我们学习了用初等方法求解一阶方程的几在前一章中，我们学习了用初等方法求解一阶方程的几种类型。但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出种类型。但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条其通解，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此把问题集中在件的解。因此把问题集中在Cauchy问题问题求解上，与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微求解上，与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微分方程，往往采用数值方法求解。这就需要解决以下问题
2、分方程，往往采用数值方法求解。这就需要解决以下问题需解决的问题初值问题（初值问题（E）：）：存在唯一性定理存在唯一性定理 定理定理1 1则初值问题则初值问题(E)(E)在区间在区间 存在唯一的连续解存在唯一的连续解 若若 f (x,y) 在在 矩形域矩形域 上满足：上满足： (1) 连续；连续；(2) 关于关于 y 满足满足Lipschitz条件条件；1. 1. 利普希兹条件利普希兹条件 函数函数称为在矩形域称为在矩形域 : :关于关于 y 满足满足利普希兹利普希兹 ( (LipschitzLipschitz) )条件条件，如果存在常数，如果存在常数 L L0 0 使得不等式使得不等式 对所有
3、对所有都成立。都成立。L L 称为利普希兹常数。称为利普希兹常数。 说明：说明：2.2.定理定理1 1的证明的证明需要证明五个命题：需要证明五个命题： 命题命题 1 求解微分方程的初值问题求解微分方程的初值问题等价等价于于 求解一个求解一个积分方程积分方程 命题命题 2 构造一个连续的构造一个连续的Picard逐步逼近逐步逼近序列序列 命题命题 3 证明此证明此序列一致收敛序列一致收敛 命题命题 4 证明此收敛的证明此收敛的极限函数为极限函数为所求所求 初值问题的初值问题的解解 命题命题 5 证明证明唯一性唯一性积分方程的解积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符如果一个数学
4、关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程则称这样的关系式为积分方程.积分方程积分方程定理定理1 1的证明的证明命题命题1 1 设设是初值问题是初值问题的解的充要条件是的解的充要条件是是积分方是积分方程程(3.5) (3.5) 的定义于的定义于上的连续解。上的连续解。证明证明: : 微分方程的初值问题的解满足积分方程（微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.53.5）。）。 积分方程积分方程(3.5)的连续解是微分方程的初值问题的解。的连续解是微分方程的初值问题的解。证证 明明1) 1) 因为因为是是(E(E) )的解的解，故有故有: :两
5、边从两边从积分得到积分得到: :即即因此因此, ,是是积分方程积分方程在在 上的连续解上的连续解. . (2) (2) 如果如果是是 (3.5) (3.5) 的连续解的连续解，则有：则有：(3.6)(3.6)微分之，得到微分之，得到: :又把又把 代入代入(3.6)(3.6)，得到得到: :因此，因此， 是初值问题是初值问题(E(E) )定义于定义于命题命题1 1证毕证毕. .同理，可证在同理，可证在也成立。也成立。上的解。上的解。构造Picard逐步逼近函数列问题问题:这样构造的函数列是否行得通这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分即上述的积分 是否有意义是否有意义?注命题命题2 2 对
6、于所有的对于所有的 (3.7) (3.7) 中函数中函数 在在上有定义、连续，且满足不等式上有定义、连续，且满足不等式: : 证证 明明: : （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似（只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）1 10 0 当当 n =1 时时, ,下面用数学归纳法证明对于任何正整数下面用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题命题2 2都成立。都成立。 2 20 0 假设当假设当 n=k 时成立，即时成立，即在在上有定义，连续，且上有定义，连续，且则当则当 n=k+1 时，由时，由上有定义，连续，且上有定义，连续，且知知 在在命题命题在在上是上是一致一致收敛的。收敛的。函数序
7、列函数序列思路:构造函数项级数它的前n项部分和为下面用归纳法证明下面用归纳法证明如下不等式：如下不等式：设对于正整数设对于正整数 n , , 不等式不等式成立，成立， 于是于是，由数学归纳法得到由数学归纳法得到：对于所有的正整数对于所有的正整数 k，有如下的估计有如下的估计: :由此可知由此可知，当当时时其右端是正项收敛级数其右端是正项收敛级数的一般项，的一般项， 由由WeierstrassWeierstrass判别法判别法, , 级数级数(3.9) (3.9) 在在上一致收敛上一致收敛, , 因而序列因而序列也在也在上一致收敛上一致收敛。 命题命题3 3证毕证毕现设命题4命题命题5(5(唯一
8、性唯一性) )也是积分方程也是积分方程(3.5)(3.5)的定义于的定义于 上的一个连续解上的一个连续解, , 则则若若存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题2命题3命题4命题5附附 注注/Remark/Remark/1 1）如果在）如果在 R 上上存在且连续存在且连续, , 则则 f (x, y) 在在R上关于上关于 y 满足利普希兹条件，反之不成立。满足利普希兹条件，反之不成立。证证在在 R 上连续，则在上连续，则在 R 上有界，记为上有界，记为L由中值定理由中值定理故故 f (x,y) 在在 R 上关于上关于 y
9、满足利普希兹条件。满足利普希兹条件。存在唯一性定理的说明存在唯一性定理的说明2)定理定理1 中的两个条件中的两个条件(连续连续, Lipscitz 条件条件)是保证是保证 Cauchy（E） 存在唯一的充分条件，而非必要条件。存在唯一的充分条件，而非必要条件。xyORP0x0y0x0+hy=(x)|xx0|h x0hx0ax0+ay0+by0 b小结本节要求理解解的存在唯一性定理及其证明。掌握判断一个方程是否满足解的存在唯一性定理条件的方法。三三 、 近似计算和误差估计近似计算和误差估计 第第 n 次近似解次近似解第第 n 次近似解的误差公式次近似解的误差公式在在(3.1.6)中，令中，令例1 讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超作业vP88 4,6,7
