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1、2.3变量间的相互关系变量间的相互关系阅读教材阅读教材P84-911.两个变量的关系两个变量的关系函数函数散点散点线性相关线性相关某条曲线某条曲线不相关不相关1.两个变量的关系两个变量的关系蓝皮书蓝皮书 P29例例1及变式及变式12.线性相关关系的判断线性相关关系的判断3.正相关和负相关正相关和负相关正相关正相关负相关负相关20 20 404030305050101030302020404060600 0101020 20 404030305050101030302020404060600 010104.回归直线方程1.回归直线2.回归方程3.最小二乘法4.求回归方程20 20 4040303
2、050501010303020204040脂脂肪肪含含量量) )60600 01010年龄年龄 如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系线性相关关系，这，这条直线叫做条直线叫做回归直线回归直线. .并根据回归方程对总体进行估计并根据回归方程对总体进行估计. . . 方案方案1、先画出一条直线，测量出各点与先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。最小时，测出它的斜率和
3、截距，得回归方程。202530 35 4045 50 55 60 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量0510152025303540. 方案方案2、在图中选两点作直线，使直线在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同。两侧的点的个数基本相同。 202530 35 4045 50 55 60 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量0510152025303540 方案方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方程。线的斜率和截距。而得回归方程。202530 35 404
4、5 50 55 60 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量0510152025303540(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2，y y2 2) )(x(xi i，y yi i) )(x(xn n，y yn n) ) 讨论：对一组具有线性相关关系的样本数据：讨论：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x(x1 1，y y1 1) )，(x(x2 2，y y2 2) )，(x(xn n，y yn n) )，设其回归方程为设其回归方程为 , ,可以用哪些数量关可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？ (x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2
5、2，y y2 2) )(x(xi i，y yi i) )(x(xn n，y yn n) ) 我们可以用点（我们可以用点（x xi i，y yi i）与这条直线上横坐）与这条直线上横坐标为标为x xi i的点之间的距离来刻画点（的点之间的距离来刻画点（x xi i，y yi i）到直线）到直线的远近的远近. . 为了从整体上反映为了从整体上反映n n个样本数据与回归直线的个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？适？ (x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2，y y2 2) )(x(xi i，y yi i) )(x(
6、xn n，y yn n) ) 用这用这n n个距离之和来刻画各点到直线的个距离之和来刻画各点到直线的“整体距离整体距离”是比较合适的，即可以用是比较合适的，即可以用表示各点到直线表示各点到直线 的的“整体距离整体距离”. .(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2，y y2 2) )(x(xi i，y yi i) )(x(xn n，y yn n) ) 用这用这n n个距离之和来刻画各点到直线的个距离之和来刻画各点到直线的“整体距离整体距离”是比较合适的，即可以用是比较合适的，即可以用(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2，y y2 2) )(x(xi i，y yi i) )(
7、x(xn n，y yn n) ) 由于绝对值使得计算不方便，在实际应用由于绝对值使得计算不方便，在实际应用中人们更喜欢用中人们更喜欢用(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2，y y2 2) )(x(xi i，y yi i) )(x(xn n，y yn n) )这样，问题就归结为：当这样，问题就归结为：当a a，b b取什么值时取什么值时Q Q最小？即最小？即点到直线点到直线 的的“整体距离整体距离”最小最小. .这样，问题就归结为：当这样，问题就归结为：当a a，b b取什么值时取什么值时Q Q最小？即最小？即点到直线点到直线 的的“整体距离整体距离”最小最小. . 这样通过求此式的
8、最小值而得到回归直线的方这样通过求此式的最小值而得到回归直线的方法，即使得一半数据的点到回归直线的距离的平方法，即使得一半数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做和最小的方法叫做最小二乘法最小二乘法. .根据有关数学原理推导，根据有关数学原理推导，a a，b b的值由下列公式给出的值由下列公式给出 根据最小二乘法的思想和根据最小二乘法的思想和此公式，利用计算器或计算机此公式，利用计算器或计算机可以方便的求得年龄和人体脂可以方便的求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程肪含量的样本数据的回归方程. .求线性回归方程求线性回归方程观察两相关变量得如下表：观察两相关变量得如下表：x-1 -2
9、 -3 -4 -553421y-9 -7 -5 -3 -115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程解解1： 列表：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149计算得计算得: 所求回归直线方程为所求回归直线方程为 y=x求线性回归直线方程的步骤：求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表第一步：列表 ；第二步：计算第二步：计算 ；第三步：代入公式计算第三步：代入公式计算b,a的值；的值；第四步：写出直线方程。第四步：写出直线方程。例子：例子： 2009年义乌小商品博览会共设国际标准展位年义乌小商品博览会共设国际标
10、准展位5000个。为了解展览期间成交状况，现从中抽取个。为了解展览期间成交状况，现从中抽取100展位的展位的成交额（万元），制成如下频率分布表和频率分布直方成交额（万元），制成如下频率分布表和频率分布直方图：图：分组分组分组分组频频频频数数数数频率频率频率频率 频率频率频率频率/ /组距组距组距组距150,170150,170) )4 0.04170,190170,190) )0.05190,210190,210) )210,230210,230) )230,250230,250 5合计合计合计合计1 15 536365050 0.500.500.050.05100100频率频率/组距组距0.
11、0020.002150 170 190 210 230 2500.0060.0100.0140.0180.0220.026万元万元0.360.360.040.050.360.500.050.0020.0020.00250.00250.0180.0180.0250.0250.00250.0025例子：例子： 2009年义乌小商品博览会共设国际标准展位年义乌小商品博览会共设国际标准展位5000个。为了解展览期间成交状况，现从中抽取若干展位的个。为了解展览期间成交状况，现从中抽取若干展位的成交额（万元），制成如下频率分布表和频率分布直方成交额（万元），制成如下频率分布表和频率分布直方图：图：频率频率
12、/组距组距0.0020.002150 170 190 210 230 2500.0060.0100.0140.0180.0220.026万元万元0.040.050.360.500.05试通过直方图估计：试通过直方图估计：试通过直方图估计：试通过直方图估计：（1 1）众数；）众数；（2 2）中位数；）中位数；（3 3）平均数；）平均数；最高矩形区间中点最高矩形区间中点面积相等（概率面积相等（概率0.5）区间中点与相应概率区间中点与相应概率之积的和之积的和220220万元万元万元万元212212万元万元万元万元209.4209.4万元万元万元万元2.3 总体特征数的估计1.平均数平均数2.方差，标准差方差，标准差设一组样本数据设一组样本数据 ,其平均数为其平均数为 ，则称，则称为这个样本的方差，其算术平方根为这个样本的方差，其算术平方根 为样本的标准差为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标准差分别简称样本方差、样本标准差小结：小结：1.方差，标准差是用来刻画样本的稳定性；方差，标准差是用来刻画样本的稳定性；2.比较的标准比较的标准越小越好。越小越好。
