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1、第四节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 第七章 三、有轴平面束三、有轴平面束高等数学高等数学2 2目录 上页 下页 返回 结束 一、空间直线方程一、空间直线方程1 1.对称式方程对称式方程故有设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)已知直线上一点和它的方向向量 说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.表示 .例如, 当 时，若表示？高等数学高等数学3 3目录 上页 下页 返回 结束 2. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :高等数学高等数学4 4目录 上页 下页 返回 结束 3.
2、一般式方程一般式方程因此其一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)高等数学高等数学5 5目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .高等数学高等数学6 6目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.高等数学高等数学7 7目录 上页 下页 返回 结束 是直线外一点,点例例2. 求点 M0 到线 L 的距离.解解: 由直线方程可知,直线方向向量为是直线 L上一点. 那么向量与构成
3、的平行四边形的面积为所以点 M0 到线 L 的距离为高等数学高等数学8 8目录 上页 下页 返回 结束 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为高等数学高等数学9 9目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:高等数学高等数学1010目录 上页 下页 返回 结束 例例3. . 求以下两直线的夹角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为从而的方向向量为的方向向量为高等数学高等数学1111目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;2
4、. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直高等数学高等数学1212目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有: :解解: : 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例例4. 求过点(1,2 , 4) 且与平面高等数学高等数学1313目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 有轴平面束有轴平面束设空间直线方程为则过 L 的平面束方程为若不为零， 令则过 L 的平面束方程为高等数学高等数学1414目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求过直线 L:且与
5、平面夹成角的平面方程.解解: 过直线 L 的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为选择使从而得所求平面方程应该还有一个平面，怎么丢了呢？高等数学高等数学1515目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求直线在平面上的投影直线方程.解解：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程高等数学高等数学1616目录 上页 下页 返回 结束 一般式对称式参数式1. 空间直线方程空间直线方程 内容小结内容小结 高等数学高等数学1717目录 上页 下页 返回 结束 直线2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:高等数学高等数学1818目录 上页 下页 返回 结束 平
6、面 :L L / 夹角公式：3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 L :高等数学高等数学1919目录 上页 下页 返回 结束 P228 A: 1.(2),(4); 2.(1); 3; 5.(2) 6.(3) B: 2; 5作业作业高等数学高等数学2020目录 上页 下页 返回 结束 解：解：相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积. 所以一直线过点 且垂直于直线 又和直线备用题备用题高等数学高等数学2121目录 上页 下页 返回 结束 设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与L2 的交点 .即故所求直线方程为 则有高等数学高等数学2222目录 上页 下页 返回 结束 代入上式 , 得由点法式得所求直线方程而
