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1、4.7 4.7 正弦定理、余弦定理应用举例正弦定理、余弦定理应用举例要点梳理要点梳理1.1.解斜三角形的常见类型及解法解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的在三角形的6 6个元素中要已知三个（除三角外）个元素中要已知三个（除三角外） 才能求解，常见类型及其解法如表所示才能求解，常见类型及其解法如表所示. . 已知条件已知条件应用定理应用定理 一般解法一般解法一边和两角一边和两角( (如如a a, ,B B, ,C C) )正弦定理正弦定理由由A A+ +B B+ +C C=180=180, ,求求角角A A；由正弦定理求；由正弦定理求出出b b与与c c. .在有解时只有一解在有解时只有一解
2、基础知识基础知识 自主学习自主学习两边和夹角两边和夹角( (如如a a, ,b b, ,C C) )余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理 由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c c; ;由正弦定理求出小由正弦定理求出小边所对的角；再由边所对的角；再由A A+ +B B+ +C C=180=180求出另一角求出另一角. .在有解时只有一解在有解时只有一解 三边三边 ( (a a, ,b b, ,c c) ) 余弦定理余弦定理 由余弦定理求出角由余弦定理求出角A A、B B；再利用；再利用A A+ +B B+ +C C=180=180, ,求出角求出角C C. .在有解时只有一解在有解时只有一解 两边
3、和其中两边和其中一边的对角一边的对角（如（如a a, ,b b, ,A A) ) 正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B B；由由A A+ +B B+ +C C=180=180，求出，求出角角C C；再利用正弦定理；再利用正弦定理或余弦定理求或余弦定理求c c. .可有两解，一解或无解可有两解，一解或无解 2.2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等积问题、航海问题、物理问题等. .3.3.实际问题中的常用角实际问
4、题中的常用角 （1 1）仰角和俯角）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角视线的夹角, ,目标视线在水平视线目标视线在水平视线 叫仰角叫仰角, , 目标视线在水平视线目标视线在水平视线 叫俯角（如图叫俯角（如图）. . 上方上方下方下方(2)(2)方位角方位角指从指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，方向顺时针转到目标方向线的水平角，如如B B点的方位角为点的方位角为（如图（如图）. .（3 3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. .正北正北基础自测基础自测1.1.在某次测量中，在在某
5、次测量中，在A A处测得同一半平面方向的处测得同一半平面方向的B B 点的仰角是点的仰角是6060, ,C C点的俯角是点的俯角是7070，则，则BACBAC 等于（等于（ ） A.10 A.10 B.50 B.50 C.120 C.120 D.130 D.130 解析解析 由已知由已知BADBAD=60=60,CADCAD=70=70, , BACBAC=60=60+70+70=130=130. .D2.2.两座灯塔两座灯塔A A和和B B与海岸观察站与海岸观察站C C的距离相等的距离相等, ,灯塔灯塔 A A在观察站北偏东在观察站北偏东4040, ,灯塔灯塔B B在观察站南偏在观察站南偏
6、东东6060，则灯塔，则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的（的（ ） A. A.北偏东北偏东1010 B. B.北偏西北偏西1010 C. C.南偏东南偏东1010 D. D.南偏西南偏西1010 解析解析 灯塔灯塔A A、B B的相对位置如图所示，的相对位置如图所示， 由已知得由已知得ACBACB=80=80， CABCAB=CBACBA=50=50， 则则=60=60-50-50=10=10. .B3.3.在在ABCABC中，中，ABAB=3=3，BCBC= = ，ACAC=4=4，则边，则边ACAC 上的高为（上的高为（ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由余弦定
7、理可得：由余弦定理可得：B4.4.ABCABC中中, ,若若A A=60=60, ,b b=16,=16,此三角形面积此三角形面积 则则a a的值为（的值为（ ） A.20 B.25 C.55 D.49 A.20 B.25 C.55 D.49 解析解析 由由S S= = bcbcsin sin A A=220 ,=220 ,得得c c=55.=55. 由余弦定理得由余弦定理得 a a2 2=16=162 2+55+552 2-2-216165555cos 60cos 60=2 401,=2 401, a a=49.=49.D5.5.(2009(2009湖南湖南) )在锐角在锐角ABCABC中中
8、, ,BCBC=1,=1,B B=2=2A A, , 则则 的值等于的值等于 , ,ACAC的取值范围为的取值范围为 . . 解析解析2 2题型一题型一 与距离有关的问题与距离有关的问题 要测量对岸要测量对岸A A、B B两点之间的距离，选取两点之间的距离，选取 相距相距 km km的的C C、D D两点两点, ,并测得并测得ACBACB=75=75, , BCDBCD=45=45,ADCADC=30=30,ADBADB=45=45, ,求求 A A、B B之间的距离之间的距离. . 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 如图所示在如图所示在ACDACD中，中，ACDACD=120=120，
9、CADCAD=ADCADC=30=30，ACAC= =CDCD= km.= km.在在BCDBCD中，中，BCDBCD=45=45，BDCBDC=75=75，CBDCBD=60=60. .在在ABCABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得B 求距离问题要注意：求距离问题要注意：（1 1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解解. .（2 2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可）确定用
10、正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理用，就选择更便于计算的定理. .知能迁移知能迁移1 1（20092009海南海南, ,宁夏）宁夏） 为了测量两山顶为了测量两山顶MM、N N间的距间的距 离，飞机沿水平方向在离，飞机沿水平方向在A A、B B 两点进行测量，两点进行测量，A A、B B、MM、N N在同一个铅垂平面在同一个铅垂平面 内（如示意图）内（如示意图）. .飞机能够测量的数据有俯角和飞机能够测量的数据有俯角和 A A、B B间的距离，请设计一个方案，包括：间的距离，请设计一个方案，包括：指指 出需要测量的数据出需要测量的数据( (用字母表示用字母表示, ,并在图中
11、标并在图中标 出出) )；用文字和公式写出计算用文字和公式写出计算MM、N N间的距离间的距离 的步骤的步骤. .解解 方案一方案一：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A A点到点到MM、N N点的俯角点的俯角1 1、1 1；B B点到点到MM、N N点的俯角点的俯角2 2、2 2；A A、B B的距离的距离d d( (如图所示如图所示).).第一步：计算第一步：计算AMAM. .由正弦定理由正弦定理第二步：计算第二步：计算ANAN. .由正弦定理由正弦定理第三步：计算第三步：计算MNMN. .由余弦定理由余弦定理方案二方案二：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A A点到点到MM、N N点
12、的点的俯角俯角1 1、1 1；B B点到点到MM、N N点的俯角点的俯角2 2、2 2; ;A A、B B的距离的距离d d（如图所示）（如图所示）. .第一步：计算第一步：计算BMBM. .由正弦定理由正弦定理第二步：计算第二步：计算BNBN. .由正弦定理由正弦定理第三步：计算第三步：计算MNMN. .由余弦定理由余弦定理题型二题型二 与高度有关的问题与高度有关的问题 某人在塔的正东沿着南偏西某人在塔的正东沿着南偏西6060的方向的方向 前进前进4040米后，望见塔在东北方向，若沿途测得米后，望见塔在东北方向，若沿途测得 塔顶的最大仰角为塔顶的最大仰角为3030，求塔高，求塔高. .解解
13、如图所示，某人在如图所示，某人在C C处，处，ABAB为塔高，他沿为塔高，他沿CDCD前进，前进，CDCD=40=40，此时，此时DBFDBF=45=45，过点，过点B B作作BEBECDCD于于E E，则，则AEBAEB=30=30，在在BCDBCD中中, ,CDCD=40,=40,BCDBCD=30=30,DBCDBC=135=135, , BDEBDE=180=180-135-135-30-30=15=15. .在在RtRtBEDBED中，中，BEBE= =DBDBsin 15sin 15在在RtRtABEABE中，中，AEBAEB=30=30，ABAB= =BEBEtan 30tan
14、30= =故所求的塔高为故所求的塔高为 解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：（1 1）准确理解题意，分清已知与所求；）准确理解题意，分清已知与所求；（2 2）依题意画出示意图；）依题意画出示意图；（3 3）分析与问题有关的三角形；）分析与问题有关的三角形；（4 4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形, , 逐步求解问题的答案；逐步求解问题的答案；（5 5）注意方程思想的运用；）注意方程思想的运用；（6 6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识）要综合运用立体几何知识与平面几何知识. .知能迁移知能迁移2 2 如图所示，测量河对
15、岸的如图所示，测量河对岸的 塔高塔高ABAB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B B在同一水在同一水 平面内的两个测点平面内的两个测点C C与与D D，现测得，现测得 BCDBCD= =，BDCBDC= =，CDCD= =s s，并，并 在点在点C C测得塔顶测得塔顶A A的仰角为的仰角为，求塔高，求塔高ABAB. . 解解 在在BCDBCD中，中，CBDCBD=-=- -题型三题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平面几何中的综合应用 (12 (12分分) )如图所示如图所示, ,在梯形在梯形 ABCDABCD中，中， ADADBCBC，ABAB=5=5， ACAC=9=9，
16、BCABCA=30=30,ADBADB=45=45， 求求BDBD的长的长. . 由于由于ABAB=5=5，ADBADB=45=45，因此要，因此要 求求BDBD，可在，可在ABDABD中，由正弦定理求解中，由正弦定理求解, ,关键关键 是确定是确定BADBAD的正弦值的正弦值. .在在ABCABC中中, ,ABAB=5,=5, ACAC=9=9，ACBACB=30=30, ,因此可用正弦定理求因此可用正弦定理求 出出sinsinABCABC, ,再依据再依据ABCABC与与BADBAD互补确定互补确定 sin sinBADBAD即可即可. .解解 在在ABCABC中，中，ABAB=5=5，A
17、CAC=9=9，BCABCA=30=30. . ADADBCBC，BADBAD=180=180-ABCABC, ,于是于是sinsinBADBAD=sin=sinABCABC= . 8= . 8分同理，在同理，在ABDABD中，中，ABAB=5=5，sinsinBADBAD= = ，ADBADB=45=45，解得解得BDBD= .= .故故BDBD的长为的长为 . . 要利用正、余弦定理解决问题要利用正、余弦定理解决问题, ,需将多需将多边形分割成若干个三角形边形分割成若干个三角形. .在分割时，要注意有利在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理于应用正、余弦定理. .6 6分分 1212分分方
18、法与技巧方法与技巧1.1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型建立三角函数模型. .2.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个 平面上利用三角函数求值平面上利用三角函数求值. .3.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题合理运用换元法、代入法解决实际问题. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义在解实际问题时，应正确理解如下角的含义. .1.1.方向角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角从指定方向线到目标方向线的水平角. .2.2.方位角方位角从正北方向线顺时针到目标方向线从正北方向线顺时针到目标方向线 的水平角的水平角. .3.3.坡度坡度坡面与水平面的二面角的度数坡面与水平面的二面角的度数. .4.4.仰角与俯角仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内与目标视线在同一铅直平面内 的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线 下方时称为俯角下方时称为俯角. . 返回返回
