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1、3.3.1函数的单函数的单调性与导数调性与导数（2）高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用1、函数、函数单调性与性与导数正数正负的关系的关系2、利用、利用导数研究函数数研究函数单调性的步性的步骤：练习练习判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数
2、关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”(”(向上或向上或向下向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象内的图象“平缓平缓”. .通通过函数函数图像，不像
3、，不仅可以看出函数的增或减，可以看出函数的增或减，还可可以看出其以看出其变化的快慢，化的快慢，结合合图像，从像，从导数的角度解数的角度解释变化快慢的情况。化快慢的情况。例例4.求证求证: 函数函数 在在 内是减函数内是减函数.解解: 题型三：型三：证明函数在区明函数在区间上的上的单调性性(04年全国年全国)Bxyo练习函数函数单调性与性与导数的关系数的关系1.如果在区如果在区间(a,b)内内f(x)0(f(x)0),那么函数那么函数f(x)在在(a,b)内内为增函数（减函数）增函数（减函数）2.如果函数如果函数f(x)在在(a,b)内内为增函数（减函数）增函数（减函数） ,那么那么f(x)0(
4、f(x)0）在区）在区间(a,b)内恒成立。内恒成立。因此： 是函数 为增（减）函数的_条件。充分不必要充分不必要例如：函数 在实数集内是增函数，但当 时，有题型四：根据函数的型四：根据函数的单调性求参数的取性求参数的取值范范围函数在（0，1上单调递增注：注： 在某个区间上，在某个区间上， ，f（x）在）在这个区间上单调递增（递减）；这个区间上单调递增（递减）； 但由但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到而仅仅得到 是不够的。还有可是不够的。还有可能导数等于能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题
5、需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：练习：练习：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取的取值范范围。解：解：f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，f(x)=3ax2+6x-10在在R上恒成立，上恒成立，a0且且=36+12a0，a -3例例3：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。1、证明可导函数、证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的方法：内的单调性的方法：(1)求求f(x)(2)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论总结：2、已知函数、已知函数 f(x)在区在区间（ a,b）上的）上的单调性，性，求参数取求参数取值范范围的方法：的方法：(1)求求f(x)(2)f(x) 0（0）在）在(a,b)内恒成立内恒成立(3)求参数取求参数取值范范围，注意，注意检验等号是否成立。等号是否成立。
