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1、返回返回zhouq第九章第九章第九章第九章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用LOGO第第1 1节节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、多元函数的概念一、多元函数的概念 1 1、邻域、邻域 2 2 、区域、区域 3 3、二元函数、二元函数二、多元函数的极限二、多元函数的极限三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性 返回返回zhouq（1 1）邻域）邻域一、多元函数的概念一、多元函数的概念( (以二元为例以二元为例) )例如：点例如：点(0，2)的的0.5邻邻 域如图所示域如图所示(0，2)0.5简记为简记为特记特记去心邻域：去心邻域：
2、返回返回zhouq（2 2）区域）区域例如：例如：即为开集即为开集21如图所示：如图所示：返回返回zhouq连通的开集称为连通的开集称为区域区域或或开区域开区域例如例如（2 2）区域）区域返回返回zhouq为有界闭区域；为有界闭区域；为无界开区域为无界开区域例如，例如，返回返回zhouq几点说明几点说明 平面上的邻域、区域等概念可推广到一般空间平面上的邻域、区域等概念可推广到一般空间以及以及n n维空间中去；维空间中去；如在空间中：如在空间中：邻域邻域的定义式为：的定义式为：邻域邻域的几何意义为半径为的几何意义为半径为 ，球，球心在心在(x0， y0， z0) 球体，球体，如图：如图：xyz在
3、在n n维维空间中：空间中：无几何意义无几何意义返回返回zhouq（3 3）二元函数的定义）二元函数的定义 1、类似地可定义三元及三元以上函数、类似地可定义三元及三元以上函数定义：定义：自变量自变量定义域定义域z的变化范围称的变化范围称值域值域因变量因变量 2、允许自变量变化的范围为、允许自变量变化的范围为定义域定义域返回返回zhouq例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为为使分子、分母有意义，需成立下式为使分子、分母有意义，需成立下式返回返回zhouq 如图所示，二元函数如图所示，二元函数的图形通常是一张曲面的图形通常是一张曲面. .称点集：称点集：为二元为二元函数的
4、图形函数的图形。 3、二元函数的图形、二元函数的图形如如返回返回zhouq二、多元函数的极限二、多元函数的极限说明：说明：1 1）定义中）定义中PP0的方式是任意的；的方式是任意的；2 2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似返回返回zhouq例例2 2 求证求证 当当 时时，原结论成立原结论成立证明：证明：返回返回zhouq例例3 3 求极限求极限 解：解：其中其中或或y0当当y0时时注意注意：多元函数的极限求法较复杂，在此不多做研究；但多元函数的极限求法较复杂，在此不多做研究；但部分极限可通
5、过一元函数的极限的有关结论求得；部分极限可通过一元函数的极限的有关结论求得；返回返回zhouq例例4 4 证明极限证明极限 不存在不存在证明：证明：取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在。故极限不存在。注意注意：证明多元函数的极限不存在时；一般是取两种证明多元函数的极限不存在时；一般是取两种不同的路径求极限，若两个极限不相等，则由多元函不同的路径求极限，若两个极限不相等，则由多元函数极限的定义知，该数极限的定义知，该 极限不存在；极限不存在；返回返回zhouq多元函数极限的推广多元函数极限的推广 在在n维向量空间中，可将维向量空间中，可将n元函数元函数f( (x1，x2，x
6、n) )看成空间点看成空间点P ( (x1，x2，xn) )的函数，称为的函数，称为点函数点函数，记为：记为： f( (P) )返回返回zhouq三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性定义：定义：说明：说明： 同一元函数一样同一元函数一样, ,关于连续关于连续：多元函数在：多元函数在P0 0点连续，即指极限成立点连续，即指极限成立 关于间断关于间断：没有定义的点一定是间断点，多元：没有定义的点一定是间断点，多元函数的间断点可形成一条线；函数的间断点可形成一条线；连续函数求极限等同求连续函数求极限等同求函数值函数值返回返回zhouq例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)(0,0)处的连续性
7、处的连续性解解故函数在故函数在(0,0)(0,0)处连续处连续. .返回返回zhouq例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化， 极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)(0,0)处不连续处不连续则极限则极限返回返回zhouq 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函上的多元连续函数，在数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得
8、介于这两上取得介于这两值之间的任何值至少一次值之间的任何值至少一次（1 1）最大值和最小值定理：）最大值和最小值定理：（2 2）介值定理：）介值定理：闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质多元函数的连续性：多元函数的连续性：一切多元一切多元初等函数初等函数在其定义在其定义区域内区域内是连续的；是连续的；注：以上结论都不作证明，可直接应用；注：以上结论都不作证明，可直接应用；关于连续函数的重要结论关于连续函数的重要结论返回返回zhouq例例 解：解： 函数在函数在(0(0，0)0)点无定义，但点无定义，但(分子有理化分子有理化)(为连续函数为连续函数)(求函数值求函数值 )返回返回zhouq多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）小结小结多元函数的定义多元函数的定义返回返回zhouq思考题思考题解答解答: 不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.因若取因若取返回返回zhouq二二. .求下列函数的间断点求下列函数的间断点练习题练习题 作业作业 P62 ：3, 5（偶）；（偶）；6（奇）；（奇）；7；8
