离散数学及应用课件

《离散数学及应用课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学及应用课件（1147页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、离散数学及应用2024/9/202024/9/20计算机科学与技术学院 引引 言言一一.离散数学与计算机离散数学与计算机计计算算机机开开辟辟了了脑脑力力劳劳动动机机械械化化和和自自动动化化的的新新纪元。纪元。计计算算机机的的诞诞生生，人人们们就就要要为为它它进进一一步步发发展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。例：为了描述新开拓的应用领域中的各例：为了描述新开拓的应用领域中的各种数据的结构，就需要适宜的数学工具。种数据的结构，就需要适宜的数学工具。2024/9/20计算机科学与技术学院引引 言（续）言（续）故故计计算算机机各各分分支支领领域域中中的的理

2、理论论问问题题，交交错地使用着现代数学的各种不同的论题。错地使用着现代数学的各种不同的论题。因因为为计计算算机机系系统统从从本本质质上上说说是是一一种种离离散散性性的的结结构构，它它的的许许多多性性质质可可以以在在有有限限数数学学系系统统的的框框架架中中来来理理解解，从从中中选选出出一一些些必必要要而而且且是基本的主干论题称为离散数学。是基本的主干论题称为离散数学。因因此此，离离散散数数学学是是随随着着计计算算机机科科学学的的发发展展而而逐逐步步建建立立的的，它它形形成成于于七七十十年年代代初初期期，是一门新兴的工具性学科。是一门新兴的工具性学科。2024/9/20计算机科学与技术学院引引 言

3、（续）言（续）离离散散数数学学是是现现代代数数学学的的一一个个重重要要分分支支，是是计计算算机机科科学学与与技技术术的的理理论论基基础础，是是计计算算机机科学与技术专业的核心、骨干课程。科学与技术专业的核心、骨干课程。它它以以研研究究离离散散量量的的结结构构和和相相互互间间的的关关系系为为主主要要目目标标，其其研研究究对对象象一一般般是是有有限限个个或或可可数数个个元元素素，因因此此它它充充分分描描述述了了计计算算机机科科学学离离散性散性的特点。的特点。2024/9/20计算机科学与技术学院引引 言（续）言（续） 二、二、该课程的主要内容：该课程的主要内容：离散数学课程的主要内容可以分为四个部

4、分：离散数学课程的主要内容可以分为四个部分：数理逻辑，数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章教材的第一、二章) 集合论，集合论，包括集合、关系和函数。包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章）（教材的第三、四章）代数系统，代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系 统和格。统和格。（教材的第五、六章）（教材的第五、六章）图论，图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章教材的第七章)2024/9/20计算机科学与技术学院引引 言（续）言（续） 三、三、学习该课程的目的

5、学习该课程的目的：1.为为学学习习计计算算机机后后继继课课程程，如如数数据据结结构构、编编译译理理论论、操操作作系系统统、数数据据库库原原理理、形形式式语语言言及及自自动动机机、软软件件工工程程与与方方法法学学、计计算算机机网网络络和和人人工工智智能能、高高级级程程序序设设计计语语言言等等，提提供供必必要要的的数数学学基基础础；为为阅阅读读计计算算机机文文章章作作充充分分的数学准备。的数学准备。2024/9/20计算机科学与技术学院引引 言（续）言（续） 数理逻辑：数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机，人工智能，数据库，形式语言及自动机，高级程序设计语言。高级程序设计语言。集合论：集合

6、论：信息结构与检索，数据结构。信息结构与检索，数据结构。图论：图论：可计算性理论，计算机网络可计算性理论，计算机网络,数据结构。数据结构。代数结构：代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法开关理论，逻辑设计和程序理论，语法分析。分析。2.通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思维和逻辑推理能力，维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，获得解决实际问题能力，为以为以后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数学基础。学基础。2024/9/20计算机科学与技术学院引引 言言（续）（续）四、四、教学要求教

7、学要求：通通过过该该课课程程的的学学习习，学学生生应应当当了了解解并并掌掌握握计计算算机机科科学学中中普普遍遍采采用用的的离离散散数数学学中中的的一一些些基基本本概概念念、基本思想、基本方法。基本思想、基本方法。五、五、自学要求自学要求：由于课时少，内容多且抽象，故要求课前预习，由于课时少，内容多且抽象，故要求课前预习，课后复习；认真完成习题，通过做课后习题，来加课后复习；认真完成习题，通过做课后习题，来加深对该课程中的一些基本概念的理解，逐步提高自深对该课程中的一些基本概念的理解，逐步提高自己的抽象思维和逻辑推理能力。己的抽象思维和逻辑推理能力。作业每星期一交，作为平时成绩作业每星期一交，作

8、为平时成绩。2024/9/20计算机科学与技术学院引引 言言（续）（续）六、六、参考教材参考教材：1.离散数学及其应用离散数学及其应用魏雪丽等编著魏雪丽等编著机械工业出版社机械工业出版社2.离散数学离散数学左孝凌等著左孝凌等著上海科技文献出版社上海科技文献出版社3.离散数学离散数学理论理论分析分析题解题解左孝凌等著左孝凌等著上海科技文献出版社上海科技文献出版社4.DiscreteMathematicsandItsApplications（英英文文版）版）(美美)KennethH.Rosen著著机械工业出版社机械工业出版社2024/9/20计算机科学与技术学院引引 言言（续）（续）七、七、考核方

9、式：考核方式：期末考试成绩占期末考试成绩占70%, 平时成绩占平时成绩占30%.2024/9/20计算机科学与技术学院第一部分第一部分 数理逻辑数理逻辑（Mathematical Logic)Mathematical Logic)v逻逻辑辑：是是研研究究推推理理的的科科学学。公公元元前前四四世世纪纪由由希希腊腊的的哲哲学学家家亚亚里里斯斯多多德德首首创创。作作为为一一门门独独立立科科学学，十十七七世世纪纪，德德国国的的莱莱布布尼尼兹兹(Leibniz)给给逻逻辑辑学学引引进进了了符符号号,又称为数理逻辑又称为数理逻辑(或符号逻辑或符号逻辑)。逻辑逻辑可分为：可分为：1.形式逻辑（通过数学方法）

10、形式逻辑（通过数学方法）数理逻辑数理逻辑2.辩证逻辑辩证逻辑指引进一套符号体系的方法。指引进一套符号体系的方法。辩证逻辑辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。思维的形态的。2024/9/20计算机科学与技术学院第一部分第一部分 数理逻辑数理逻辑（Mathematical Logic)Mathematical Logic)v形形式式逻逻辑辑是是研研究究思思维维的的形形式式结结构构和和规规律律的的科科学学，它它撇撇开开具具体体的的、个个别别的的思思维维内内容容，从从形形式式结结构构方方面面研研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。究概念、判断

11、和推理及其正确联系的规律。v数数理理逻逻辑辑是是用用数数学学方方法法研研究究推推理理的的形形式式结结构构和和推推理理的的规规律律的的数数学学学学科科。它它的的创创始始人人Leibniz，为为了了实实现现把把推推理理变变为为演演算算的的想想法法，把把数数学学引引入入了了形形式式逻逻辑辑。其其后后，又又经经多多人人努努力力，逐逐渐渐使使得得数数理理逻逻辑辑成成为为一一门门专门的学科。专门的学科。v上上个个世世纪纪30年年代代以以后后，数数理理逻逻辑辑进进入入一一个个崭崭新新的的发发展展阶阶段段，逻逻辑辑学学不不仅仅与与数数学学结结合合，还还与与计计算算机机科科学学等密切关联。等密切关联。2024/

12、9/20计算机科学与技术学院第一部分第一部分 数理逻辑数理逻辑（Mathematical Logic)Mathematical Logic)v1931年年Godel不不完完全全性性定定理理的的提提出出，以以及及递递归归函函数数可可计计算算性性的的引引入入，促促使使了了1936年年Turing机机的的产产生生，十十年年后后，第第一一台台电电子子计计算算机问世机问世。v从从广广义义上上讲讲，数数理理逻逻辑辑包包括括四四论论、两两演演算算即即集集合合论论、模模型型论论、递递归归论论、证证明明论论和和命命题题演演算算、谓谓词词演演算算，但但现现在在提提到到数数理理逻逻辑辑，一一般般是是指指命命题题演演

13、算算和和谓谓词词演演算算。本本书书课课程程只只研究这两个演算。研究这两个演算。2024/9/20计算机科学与技术学院第一部分第一部分 数理逻辑数理逻辑（Mathematical Logic)Mathematical Logic)v数数理理逻逻辑辑与与计计算算机机学学、控控制制论论、人人工工智智能能的的相相互互渗渗透透推推动动了了其其自自身身的的发发展展，模模糊糊逻逻辑辑、概概率率逻逻辑辑、归归纳纳逻逻辑辑、时时态态逻逻辑辑等等都都是是目目前前比较热门的研究领域。比较热门的研究领域。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）n1.

14、1命题命题及其及其表示方法表示方法(PropositionandItsExpression)n1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)n1.3命题公式与翻译命题公式与翻译(PropositionalFormula&ItsTranslation)n n1.4真值表与等价公式真值表与等价公式(TruthTablesandPrepositionalEquivalences)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）n n1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)n n

15、1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)n n1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)n n1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）n n1.1命题及其表示方法命题及其表示方法n1.1.1命题命题n1.1.2命题的表示方法命题的表示方法n1.1.3命题的分类命题的分类2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表

16、示方法命题及其表示方法1.1.1命题命题（Proposition)数数 理理 逻逻 辑辑 研研 究究 的的 中中 心心 问问 题题 是是 推推 理理（inference),而而推推理理的的前前提提和和结结论论都都是是表表达达判判断断的的陈陈述述句句，因因而而表表达达判判断断的的陈陈述述句句构构成成了了推推理理的的基本单位基本单位。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法基本概念基本概念命题：能够判断真假的陈述句。命题：能够判断真假的陈述句。命命题题

17、的的真真值值：命命题题的的判判断断结结果果。命命题题的的真真值值只只取取两两个个值值:真真（用用T(true)或或1表表示示）、假假（用用F(false)或或0表表示示）。真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。2024/9/20计算机科学与技术学院因而又可以称因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。命题是具有唯一真值的陈述句。判断命题的两个步骤判断命题的两个步骤：1、是否为陈述句；、是否为陈述句；2、是否有确定的、唯一的真值。、是否有确定的、唯一的真值。例例

18、：判断下列句子是否为命题。：判断下列句子是否为命题。(1).100是自然数。是自然数。T(2).太阳从西方升起。太阳从西方升起。F第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic） 1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法(3).3+3=8.F(4).Howdoyoudo?疑问句，疑问句，不是命题不是命题(5).明明年年的的十十月月一一日日是是晴晴天

19、天。是是命命题题，其其真真值值到到明年十月一日方可知道。明年十月一日方可知道。(6).x+39不是命题不是命题(7).我正在说谎。我正在说谎。是悖论是悖论2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法(8).1+101=110二进制中为真，十进制中为假。二进制中为真，十进制中为假。(9).如果太阳从西方升起，那么如果太阳从西方升起，那么2是奇数是奇数。T(10).国足能杀入国足能杀入2006世界杯当且仅当世界杯当且仅当2+2=4。F(11).今天天气多好

20、啊！今天天气多好啊！感叹句，感叹句，不是命题不是命题(12).请你关上门！请你关上门！祁使句，不祁使句，不是命题，是命题，(13).别别的的星星球球上上有有生生物物。是是命命题题，客客观观上上能能判判断真假。断真假。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法说明：说明：（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。）只有具有确定真值的陈述句才是命题。一切没有判断内容的句子，无所谓一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如是非的句子，如感叹句、祁使句、感叹

21、句、祁使句、疑问疑问句等都不是命题。句等都不是命题。（2）因为因为命题只有两种真值，所以命题只有两种真值，所以“命题命题逻逻辑辑”又称又称“二值逻辑二值逻辑”。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法(3)“具有确定真值具有确定真值”是指客观上的具有，与我们是指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。如上例中是否知道它的真值是两回事。如上例中的（的（5）和（）和（13）。）。1.1.2 命题的表示方法命题的表示方法在在本本书书中中，用用大大写

22、写英英文文字字母母A,B,P,Q或或带带下下标标的的字字母母P1,P2,P3,或或数数字字(1),2,等等表表示示命命题题，称之为命题标识符。称之为命题标识符。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法例如：例如：P：罗纳尔多是球星。：罗纳尔多是球星。Q：5是负数。是负数。P3：明天天气晴。明天天气晴。(2)：太阳从西方升起。：太阳从西方升起。皆皆为为符符号号化化的的命命题题，其其真真值值依依次次为为1、0、1或或0、0。2024/9/20计算机科学

23、与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元之分。之分。命题常量命题常量：表示确定命题的命题标识符。：表示确定命题的命题标识符。命题变元命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。志，就称为命题变元。原子变元原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为：当命题变元表示原子命题时，该变元称为原子变元。原子变元。命题变元也用命题变元也用A,

24、B,P,Q,P1,P2,P3,表示。表示。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法1.1.3命题的分类：命题的分类：简单简单/原子命题：原子命题：不能分解为更简单的陈述语不能分解为更简单的陈述语句的命题句的命题(如上例中的命题如上例中的命题)。复合命题：复合命题：由简单命题通过由简单命题通过联结词联结词联结而成联结而成的命题。的命题。联结词就是复合命题中的运算符。联结词就是复合命题中的运算符。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题

25、逻辑命题逻辑（Propositional LogicPropositional Logic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法注意注意：（1）一一个个符符号号(如如P),它它表表示示的的是是命命题题常常量量还还是是命题变元，一般由上下文来确定。命题变元，一般由上下文来确定。（2）命命题题变变元元可可以以表表示示任任意意命命题题，它它不不能能确确定定真真值值，故故命命题题变变元元不不是是命命题题。这这与与“变变数数x不不是数是数”是一样的道理。是一样的道理。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（Propositiona

26、l LogicPropositional Logic）1.1 1.1 命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法命题及其表示方法小结：小结：本节主要介绍了命题、命题的真值、本节主要介绍了命题、命题的真值、原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、命题变元和原子变元的概念。命题变元和原子变元的概念。重点理解和掌握命题、命题变元、简单（原子）重点理解和掌握命题、命题变元、简单（原子）命题、复合命题四个概念。命题、复合命题四个概念。作业：作业：P21,22024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLo

27、gic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)1.2.1否定联结词否定联结词(Negation)1.2.2合取联结词合取联结词(Conjunction)1.2.3析取联结词析取联结词(Disjunction)1.2.4条件联结词条件联结词(蕴涵联结词蕴涵联结词Conditional)1.2.5双条件联结双条件联结(等值联结词等值联结词Biconditional)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)在在命命题题逻逻辑辑中中, ,主主

28、要要研研究究的的是是复复合合命命题题, ,而而复复合合命命题题是是由由原原子子命命题题与与逻逻辑辑联联结结词词组组合合而而成成, ,联联结结词词组组是是复复合合命命题题的的重要组成部分重要组成部分. .2024/9/20计算机科学与技术学院1.2.1否定否定联结词联结词定义定义1.2.1设设P为一命题，为一命题，P的否定是一个新的的否定是一个新的复复合合命命题题,称称为为P的的否否定定式式，记记作作“P”读读作作“非非P”.符号符号“” 称为否定联结词。称为否定联结词。P为真当且为真当且仅当仅当P为假为假.说明说明：“”属于一元属于一元(unary)运算符运算符.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑

29、（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)n“”的定义也可用下表来说明的定义也可用下表来说明.联结词联结词“”的定义真值表的定义真值表PP01102024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)例例1.P:天津是一个城市天津是一个城市.

30、Q:3是偶数是偶数.于是于是: P:天津不是一个城市天津不是一个城市.Q:3不是偶数不是偶数.例例2.P:苏州处处清洁苏州处处清洁.Q:这些都是男同学这些都是男同学.P:苏州不处处清洁苏州不处处清洁(注意注意,不是处处不清洁不是处处不清洁).Q:这些不都是男同学这些不都是男同学.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)1.2.2合取联结词合取联结词(Conjunction)定义定义1.2.2设设P,Q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“P并且并且Q”（或（或“

31、P与与Q”）称为）称为P与与Q的合取式，记作的合取式，记作PQ，符号，符号“” 称为合取联结词称为合取联结词.PQ为真为真当且仅当当且仅当P P和和Q Q同时为真同时为真. .2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)联结词联结词“”的定义真值表的定义真值表PQP Q0 00 00 00 01 10 01 10 00 01 11 11 12024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑

32、联结词(LogicalConnectives)说明：说明：“” 属于二元属于二元(binary)运算符运算符.合取运算特点合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真：只有参与运算的二命题全为真时，运算结果才为真，否则为假。时，运算结果才为真，否则为假。自自然然语语言言中中的的表表示示“并并且且”意意思思的的联联结结词词，如如“既既又又”、“不不但但而而且且”、“虽虽然然但但是是”、“一一面面一面一面”、“和和”、“与与”等都可以等都可以符号化为符号化为。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(Logi

33、calConnectives)n例例3.将下列命题符号化将下列命题符号化.(1)李平既聪明又用功李平既聪明又用功.(2)李平虽然聪明李平虽然聪明,但不用功但不用功.(3)李平不但聪明李平不但聪明,而且用功而且用功.(4)李平不是不聪明李平不是不聪明,而是不用功而是不用功.解解:设设P:李平聪明李平聪明.Q:李平用功李平用功.则则(1)PQ(2)PQ(3)PQ(4)(P)Q2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)注注意意：不不要要见见到到“与与”或或“和和”就就使

34、使用用联联结结词词！例如例如:(1)李敏和李华是姐妹。李敏和李华是姐妹。(2)李敏和张华是朋友。李敏和张华是朋友。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)例例4.试生成下列命题的合取试生成下列命题的合取.(1)P:我们在我们在6-503.Q:今天是星期二今天是星期二. (2)S：李平在吃饭：李平在吃饭.R：张明在吃饭：张明在吃饭.解解:(1)PQ:我们在我们在6-503且今天是星期二且今天是星期二.(2)SR:李平与张明在吃饭李平与张明在吃饭.2024/9/20

35、计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（Propositional LogicPropositional Logic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)1.2.3析取联结词析取联结词(Disjunction)定义定义1.2.3设设P,Q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“P或或Q”称为称为P与与Q的析取式，记作的析取式，记作PQ，符号，符号称为称为析取联结词析取联结词.PQ为真

36、当且仅当为真当且仅当P与与Q中至少有中至少有一个为真一个为真.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)联结词联结词“”的定义真值表的定义真值表PQP Q0 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 11 12024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)说明：说明：“” 属于二元属于二元(binary)运算符运算符.析取

37、运算特点析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才为假，否则为真。时，运算结果才为假，否则为真。由由析析取取联联结结词词的的定定义义可可以以看看出出，“”与与汉汉语中的联结词语中的联结词“或或”意义相近，但又不完全相同。意义相近，但又不完全相同。在在现现代代汉汉语语中中，联联结结词词的的“或或”实实际际上上有有“可可兼兼或或”和和“排斥或排斥或”之分。之分。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)考察下面命题：考察下面命题

38、：（1）小王爱打球或爱跑步。）小王爱打球或爱跑步。（可兼或）可兼或）设设P：小王爱打球。：小王爱打球。Q：小王爱跑步。：小王爱跑步。则上述命题可符号化为：则上述命题可符号化为：PQ（2）林芳学过英语或法语。）林芳学过英语或法语。（可兼或）可兼或）设设P：林芳学过英语林芳学过英语。Q：林芳学过法语林芳学过法语。则上述命题可符号化为：则上述命题可符号化为：PQ2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)（3）派小王或小李中的一人去开会。）派小王或小李中的一人去开会。（排

39、斥或排斥或）设设P：派小王去开会。派小王去开会。Q：派小李去开会。派小李去开会。则上述命题可符号化为：则上述命题可符号化为：(PQ)(PQ)（4）人固有一死，或重于泰山或轻于鸿毛）人固有一死，或重于泰山或轻于鸿毛.(排斥或排斥或排斥或排斥或）（5）ab=0,即即a=0或或b=0.（可兼或）可兼或）由此可见由此可见,“PQ”表示的是表示的是“可兼或可兼或”.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)注意：注意：当当P和和Q客观上不能同时发生时，客观上不能同时发生时，

40、“P或或Q”可以符号化为可以符号化为“PQ”。例如：小王现在在宿舍或在图书馆。设例如：小王现在在宿舍或在图书馆。设P：小王现在在宿舍。：小王现在在宿舍。Q：小王现在在图书馆。：小王现在在图书馆。则上述命题可符号化为：则上述命题可符号化为：PQ。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)1.2.

41、4.条件联结词条件联结词(蕴涵联结词蕴涵联结词Conditional)定义定义1.2.4设设P,Q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“如果如果P则则Q(若若P则则Q)”称为称为P与与Q的条件命题的条件命题,记作记作PQ.PQ为假当且仅当为假当且仅当P为真且为真且Q为假为假.称符称符号号“”为条件联结词。并称为条件联结词。并称P为前件，为前件，Q为后为后件件.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)联结词联结词“”的定义真值表的定义真值表PQPQ0 00 01

42、10 01 11 11 10 00 01 11 11 12024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)注：注：（1）PQ表表示示的的基基本本逻逻辑辑关关系系是是,Q是是P的的必必要要条条件件或或P是是Q的的充充分分条条件件.因因此此复复合合命命题题“只只要要P就就Q”、“因因为为P，所所以以Q”、“P仅仅当当Q”、“只有只有Q才才P”等都可以符号化为等都可以符号化为PQ的形式。的形式。（2）“”属于二元属于二元(binary)运算运算.2024/9/20计算机科学与技

43、术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)例例5. 将下列命题符号化。将下列命题符号化。 （1 1）天不下雨，则草木枯黄。）天不下雨，则草木枯黄。 P：天下雨。：天下雨。Q：草木枯黄。：草木枯黄。则原命题可表示为：则原命题可表示为：PQ。（2）如果小明学日语，小华学英语，则小芳）如果小明学日语，小华学英语，则小芳学德语。学德语。P：小明学日语：小明学日语.Q：小华学英语：小华学英语.R：小芳学德语：小芳学德语.则原命题可表示为：则原命题可表示为：(PQ)R

44、2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)（3）只要不下雨，我就骑自行车上班。）只要不下雨，我就骑自行车上班。P：天下雨。：天下雨。Q：我骑自行车上班。：我骑自行车上班。则原命题可表示为：则原命题可表示为：PQ。（4）只有不下雨，我才骑自行车上班。）只有不下雨，我才骑自行车上班。P：天下雨。：天下雨。Q：我骑自行车上班。：我骑自行车上班。则原命题可表示为：则原命题可表示为：QP。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（Proposit

45、ionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)（5）如果如果2+2=4,则则太阳从东方升起太阳从东方升起。(PQ,T)PQ如果如果2+2=4,则则太阳从西方升起太阳从西方升起。(PR,F)R如果如果2+24,则太阳从东方升起。则太阳从东方升起。(PQ,T)如果如果2+24,则太阳从西方升起。则太阳从西方升起。(PR,T)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)注意注意:(1)与与自自然然语语言言的的不不同同：前前件件与与

46、后后件件可可以以没没有有任任何内在联系！何内在联系！(2)在数学中，在数学中，“若若P则则Q”往往表示前件往往表示前件P为真，为真，则后件则后件Q为真的推理关系为真的推理关系.但数理逻辑中，当前但数理逻辑中，当前件件P为假时，为假时，PQ的真值为真。的真值为真。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)1.2.5双条件联结双条件联结(等值联结词等值联结词Biconditional)定义定义1.2.5设设P,Q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“P当且仅当且仅当当

47、Q”称为称为P与与Q的双条件命题，记作的双条件命题，记作PiffQ或或PQ，符号，符号称为双条件（等值）联结词。称为双条件（等值）联结词。PQ为真当且仅当为真当且仅当P，Q真值相同。真值相同。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)联结词联结词“”的定义真值表的定义真值表PQPQ0 00 01 10 01 10 01 10 00 01 11 11 12024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2

48、逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)注：注：（1）P仅当仅当Q可译为可译为PQP当当Q可译为可译为QPP当且仅当当且仅当Q译为译为PQ（2）“”属于二元属于二元(binary)运算符。运算符。(3)双条件命题双条件命题PQ所表达的逻辑关系是所表达的逻辑关系是,P与与Q互为充分必要条件互为充分必要条件,相当于相当于(PQ)(QP).只只要要P与与Q的真值同为的真值同为1或同为或同为0,PQ的真值就为的真值就为1,否则否则PQ的真值为的真值为0.双条件联结词连接的两双条件联结词连接的两个命题之间可以没有因果关系。个命题之间可以没有因果关系。2024/9/20计算机科学与技术

49、学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)例例6.分析下列命题的真值分析下列命题的真值.(1)2+2=4当且仅当当且仅当3是奇数是奇数.(PQ)P：2+2=4.Q：3是奇数是奇数.(2)2+2=4当且仅当当且仅当3不是奇数不是奇数.(PQ)(3)2+24当且仅当当且仅当3是奇数是奇数.(PQ)(4)2+24当且仅当当且仅当3不是奇数不是奇数.(PQ)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic）1

50、.2逻辑联结词逻辑联结词(LogicalConnectives)约约定定:1.运算次序优先级：运算次序优先级：， ， ，.2.相同的运算符按从左至右次序计算，否相同的运算符按从左至右次序计算，否则要加上括号。则要加上括号。3.最外层圆括号可省去。最外层圆括号可省去。小结小结:本节介绍了五种联结词本节介绍了五种联结词(， ， ，),重点是理解和掌握重点是理解和掌握五种联结词的内涵及它五种联结词的内涵及它们与自然语言中相应联结词的不同之处们与自然语言中相应联结词的不同之处.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.2逻辑联结词逻

51、辑联结词(LogicalConnectives)作业作业:1.P522.预习预习1.3,1.4思考题思考题:1.何谓合式公式何谓合式公式?2.复合命题符号化的基本步骤是什么复合命题符号化的基本步骤是什么?3.何谓真值表何谓真值表?4.两个命题公式等价的涵义是什么两个命题公式等价的涵义是什么?5.两个等价的命题公式其真值表有何关系两个等价的命题公式其真值表有何关系?2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.3命题公式与翻译命题公式与翻译1.3命题公式与翻译命题公式与翻译1.3.1命题公式命题公式1.3.2复合命题的符号化复合命

52、题的符号化(翻译翻译)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic） 1.3命题公式与翻译命题公式与翻译(PropositionalFormula&ItsTranslation)1.3.1命题合式公式命题合式公式(Well-formedformula)(wff)定定义义1.3.1: :单单个个命命题题变变元元和和命命题题常常量量称称为为原原子子公公式式。命命题题合合式式公公式式是是由由命命题题变变元元、命命题题常常量量、联联结结词词和和圆圆括括号号按按一一定定的的逻逻辑辑关关系系联联结结起起来来的的符符号号串串。我们以如下递归的形式

53、来定义合式公式：我们以如下递归的形式来定义合式公式：2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.3命题公式与翻译命题公式与翻译定义定义1.3.2：(1)(1)原子公式是原子公式是合式合式公式公式( (wff)。（2）若）若A是合式公式，则是合式公式，则(A)也是合式公式。也是合式公式。（3）若若A，B是是合合式式公公式式，则则(AB)，(AB)，(AB)，(AB)也是合式公式。也是合式公式。（4）当当且且仅仅当当有有限限次次地地应应用用(1)(3)所所得得到到的的包包含含原子公式、原子公式、联结词和括号的符号串是合式公式。联结

54、词和括号的符号串是合式公式。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.3命题公式与翻译命题公式与翻译注注:(1)合式公式也称为合式公式也称为命题公式命题公式，并简称为，并简称为公式。公式。(2)命命题题公公式式一一般般不不是是命命题题,仅仅当当公公式式中中的的命命题题变变元元用用确确定定的的命命题题代代入入时时,才才得得到到一一个个命命题题.其其真真值值依赖于代换变元的那些命题的真值依赖于代换变元的那些命题的真值.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional ProPosi

55、tional LogicLogic）1.3命题公式与翻译命题公式与翻译例例1：指出：指出(P(P Q)是否是命题公式是否是命题公式(wff)，如果是，则具体说明。如果是，则具体说明。解：解：P是是wff由由(1)Q是是wff由由(1)P Q是是wff由由(2)(P(P Q)由由(2)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional ProPositional LogicLogic）1.3命题公式与翻译命题公式与翻译例例2:(PQ),(RS)Q,P，(P)等均为等均为合式公式，而合式公式，而PQS,(PW)Q)等不是等不是合式公式。合式公式。202

56、4/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.3命题公式与翻译命题公式与翻译n1.3.2复合命题的符号化复合命题的符号化(翻译翻译)n有了命题演算的合式公式的概念有了命题演算的合式公式的概念,我们可以把我们可以把自然语言中的有些语句自然语言中的有些语句(复合命题复合命题),翻译成数翻译成数理逻辑中的符号形式理逻辑中的符号形式.基本步骤如下基本步骤如下:n(1)分析出各简单命题分析出各简单命题,将它们符号化将它们符号化;n(2)使用合适的联结词使用合适的联结词,把简单命题逐个的联把简单命题逐个的联结起来结起来,组成复合命题的符号化表示组

57、成复合命题的符号化表示.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.3命题公式与翻译命题公式与翻译n例例3：1) 我今天进城，除非下雨。我今天进城，除非下雨。n2) 仅当你走我将留下。仅当你走我将留下。n3) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里n 读书或看报。读书或看报。n4)除非你努力，否则你将失败。除非你努力，否则你将失败。n5)一个人起初说：一个人起初说：“占据空间的、有质量的而且不占据空间的、有质量的而且不断变化的叫做物质断变化的叫做物质”；后来他改说，；后来他改说，“占据

58、空间的占据空间的有质量的叫做物质，而物质是不断变化的。有质量的叫做物质，而物质是不断变化的。”问他问他前后主张的差异在什么地方，试以命题形式进行分前后主张的差异在什么地方，试以命题形式进行分析析。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.3命题公式与翻译命题公式与翻译n例例4：P6 例例1.3.3 ，例，例1.3.4(5) ，例，例1.3.5n小结小结：本节介了命题公式的概念及复合命题的：本节介了命题公式的概念及复合命题的符号化符号化.重点是理解命题公式的递归定义重点是理解命题公式的递归定义,掌握掌握复合命题的符号化方法复合

59、命题的符号化方法.n作业作业: P7: 22024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式1.4.1真值表真值表(TruthTable)1.4.2等价公式等价公式(ProPositional Equivalences)1.4.1真值表真值表前前面面在在定定义义联联结结词词时时,曾曾经经使使用用过过真真值值表表,下下面面给给出真值表的定义出真值表的定义.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式定

60、义定义1.4.1(对公式的赋值或解释对公式的赋值或解释)设设P1,P2,Pn是出现在公式是出现在公式A中的全部的命题变元中的全部的命题变元,给给P1,P2,Pn各指定一个真值，称为对各指定一个真值，称为对A的一个的一个赋值赋值或或解释解释。若指定的一组值使。若指定的一组值使A的真值为真的真值为真(假假),称这组值为称这组值为A的的成真成真(假假)赋值赋值.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式例如例如:对公式对公式(PQ)R，赋值，赋值011(即令即令P=0，Q=1，R=1)为为(PQ)

61、R的成真赋值的成真赋值;另一组另一组赋值赋值010为为(PQ)R的成假赋值；还有的成假赋值；还有000，001，1112024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.4真值表与等价公式真值表与等价公式考考虑虑：含含有有n个个命命题题变变元元的的公公式式共共有有多多少少组不同的赋值？组不同的赋值？定义定义1.4.2(真值表真值表)在命题公式在命题公式A中中,对于命题变对于命题变元的每一组赋值和由它们所确定的命题公式元的每一组赋值和由它们所确定的命题公式A的真值列成表，称做命题公式的真值列成表

62、，称做命题公式A的的真值表真值表。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式对公式对公式A构造真值表的具体步骤为：构造真值表的具体步骤为：（1）找找出出公公式式中中所所有有命命题题变变元元P1,P2,Pn,列出全部的列出全部的2n组赋值。组赋值。（2）按按从从小小到到大大的的顺顺序序列列出出对对命命题题变变元元P1,P2,Pn,的全部的全部2n组赋值。组赋值。（3）对对应应各各组组赋赋值值计计算算出出公公式式A的的真真值值，并并将将其列在对应赋值的后面。其列在对应赋值的后面。2024/9/2

63、0计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式例例1.1. 给出给出(P Q)(P Q)的真值表：的真值表：P QP Q(P Q)P Q(P Q)(P Q)0 0 0 00 0 1 11 1 0 01 1 1 12024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.4真值表与等价公式真值表与等价公式例例1.1.给出给出(P(P Q)Q)(P(P Q)Q)的真值表：的真值表：P QP Q(P Q)P Q(P Q)(

64、P Q)0 0 0 00 01 11 11 10 0 1 10 01 11 11 11 1 0 00 01 11 11 11 1 1 11 10 00 01 12024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.4真值表与等价公式真值表与等价公式例例2：构造公式：构造公式(PQ)R的的真值表。真值表。PQRPQ(PQ)R0000010100111001011101112024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公

65、式真值表与等价公式例例2：构造公式：构造公式(PQ)R的的真值表。真值表。PQRPQ(PQ)R00010001110101001111100001010011010111112024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式n练习练习1：构造公式：构造公式(PQ)(QP)真值表。真值表。PQPQPQQP(PQ)(QP)000110112024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.4真值表与等价

66、公式真值表与等价公式n练习练习1：构造公式：构造公式(PQ)(QP)真值表。真值表。PQPQPQQP(PQ)(QP)00111110110111100100111001112024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式PQ(PQ)(PQ)(PQ)Q00011011练习练习2：构造公式：构造公式(PQ)Q真值表。真值表。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式PQ(PQ)(PQ)(PQ)Q00

67、100011001001011100练习练习2：构造公式：构造公式(PQ)Q真值表。真值表。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic） 1.4真值表与等价公式真值表与等价公式n1.4.2等价公式等价公式n给定给定n个个 命题命题变元变元,按合式按合式公式的形成公式的形成规则可以形成无数多个命题公式规则可以形成无数多个命题公式,但这些无穷但这些无穷尽的尽的命题公式中，有些具有相同的真值表。命题公式中，有些具有相同的真值表。考虑：考虑：由由n个命题变元能生成个命题变元能生成? 种真值种真值(表表)不同的命题公式？不同的命题公式？20

68、24/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic） 1.4真值表与等价公式真值表与等价公式定义定义1.4.3:给定两个命题公式给定两个命题公式A和和B，设，设P1,P2,Pn为出现于为出现于A和和B中的所有原子变元中的所有原子变元,若给若给P1,P2,Pn任一组真值指派任一组真值指派,A和和B的真值的真值都相同都相同,则称则称A和和B是等价的或逻辑相等是等价的或逻辑相等.记作记作AB。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式n注注:n(

69、1)“”不是逻辑联结词不是逻辑联结词.n(2)命题公式之间的逻辑相等关系具有命题公式之间的逻辑相等关系具有：自反性：自反性：AA；对称性：若对称性：若AB，则，则BA；传递性：若传递性：若AB且且BC，则，则AC。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式n证明公式等价的方法：证明公式等价的方法：n1. 真值表法真值表法 2. 等值演算法等值演算法v1. 真值表法真值表法n例例1.1.(P Q)(P Q)见真值表例题见真值表例题1.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑

70、命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式例例2.证明证明:PQ(PQ) (QP)PQ PQ QP PQ (PQ) (QP)0 00 00 01 11 10 01 11 12024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式例例2.证明证明:PQ(PQ) (QP)PQ PQ QP PQ (PQ) (QP)0 00 01 11 11 11 10 01 10 00 01 10 01 10 00 01 10 00 01 11 11 11 11 11 12024/9

71、/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式例例3：判断公式判断公式P(QR)、(PQ)R是否等价。是否等价。P Q RPQQRP(QR)(PQ)R00001001010100001101100011010111010111112024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式P Q RPQQRP(QR)(PQ)R0000111001011101000110110111100011110101111101000

72、1111111例例3：判断公式判断公式P(QR)、(PQ)R是否等价。是否等价。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式由真值表可知，两个公式为等价式。由真值表可知，两个公式为等价式。n2. 等值演算法等值演算法(EquivalentCalculation) 等值演算中使用的一条重要规则：等值演算中使用的一条重要规则：置换规则置换规则定义定义1.4.4(子公式子公式)：如果如果X是是wffA的一部分的一部分,且且X本身也是本身也是wff，则称，则称X是是A的子公式。例如的子公式。例如,P

73、(P Q)为为Q(P (P Q)的子公式。的子公式。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.4真值表与等价公式真值表与等价公式定理定理1.4.1(置换定理置换定理AxiomofrePlacement)设设X是是wffA的子的子wff，若，若XY，则若将，则若将A中的中的X用用Y来置换，所得公式来置换，所得公式B与与A等价，即等价，即AB。证：证：因为对变元的任一指派因为对变元的任一指派,X与与Y真值相同，真值相同，所以所以Y取代取代X后，公式后，公式B与公式与公式A对变元的任对变元

74、的任一指派真值也相同一指派真值也相同,所以所以AB。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式注注: : 满足满足定理定理1.4.1的条件的置换称为等价置的条件的置换称为等价置换换(或等价代换或等价代换).定义定义1.4.5( (等值演算等值演算) )：根据已知的等价公式根据已知的等价公式, ,推演出另外一些等价公式的过程称为推演出另外一些等价公式的过程称为等值演等值演算算.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值

75、表与等价公式真值表与等价公式n常用的等价式：常用的等价式： 1.双重否定律双重否定律： PP2.结合律：结合律：(P Q) RP (Q R)(P Q) RP (Q R)(PQ)RP(QR)3.交换律交换律:P QQ PP QQ PPQQP4.分配律分配律:P (Q R)(P Q) (P R)P (Q R)(P Q) (P R)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式n常用的等价式：常用的等价式： 5.幂等律幂等律: : P PPP PP6.吸收律吸收律:P (P Q)PP (P Q)P7.

76、德德.摩根律摩根律:(P Q)P Q(P Q)P Q8.同一律同一律:P FPP TP9.零律零律:P TTP FF2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式n常用的等价式：常用的等价式： 10.否定律否定律： P PTP PF11. 蕴涵等值式蕴涵等值式: : PQP Q12.等价等值式等价等值式:PQ(PQ) (QP)13.假言易位假言易位:PQQP14.等价否定等值式等价否定等值式:PQPQ15.归谬论归谬论:(PQ) (PQ)P2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题

77、逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式其中其中P,Q,R等代表任意命题公式等代表任意命题公式.这样上面的这样上面的每一个公式都是一个模式每一个公式都是一个模式,它可以代表无数多它可以代表无数多个同类型的命题公式个同类型的命题公式.例如例如,P PT中中,用用(P Q)置换置换P,则得则得(P Q) (P Q)T,用用P置换置换P,则得则得(P) (P)T。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.4真值表与等价公式真值表与等价公式例

78、例1 1： 证明证明Q(P (P Q)QP证证:Q(P (P Q)QPP(吸收律吸收律)例例2：证明证明P Q QP Q证：证：(P Q) Q(P Q) (Q Q)(P Q) TP Q2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式例例3：证明：证明(PQ)(Q R)P Q R证：证：(PQ)(Q R)(P Q)(Q R)(P Q) (Q R)(P Q) (Q R)(P Q R) (Q Q R)P Q R2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（Propositiona

79、lLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式例例4：验证验证P(QR)(PQ)R证证:右右(PQ)RPQRP(QR)P(QR)P(QR)练：练：1.(PQ)(PR)P(QR)2.(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式v等等值值演演算算在在计计算算机机硬硬件件设设计计中中,在在开开关关理理论论和和电子元器件中都占有重要地位电子元器件中都占有重要地位.v小小结结: 本本节节介介绍绍了了真真值值表表、公公式式等等价价、等等值值演演算算和和等等价价置置换换

80、等等概概念念，给给出出了了常常用用的的重重要要等等价价公公式式（26个个）。重重点点掌掌握握用用真真值值表表法法验验证证公公式式的的等等价价性性和和等等值值演演算算法法推推演演两两个个公公式式等价。等价。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.4真值表与等价公式真值表与等价公式作业：作业：Pg.13:1(2),(4)；2(2),(4)；4；6（3）预习预习:1.5,1.6思考题：思考题：Pg.13:52024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重

81、言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)1.5.1命题公式的分类命题公式的分类1.5.2重言式重言式(Tautology)与矛盾式与矛盾式(contradictory)的性质的性质1.5.3蕴含式蕴含式( ImPlication)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)1.5.1命题公式的分类命题公式的分类复合命题复合命题2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（Propositional

82、Logic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)定义定义1.5.1设设A为任一命题公式，为任一命题公式，(1)若若A在其各种赋值下的取值均为真，则称在其各种赋值下的取值均为真，则称A是是重言式重言式或或永真式永真式,记为记为T或或1。(2)若若A在其各种赋值下的取值均为假，则称在其各种赋值下的取值均为假，则称A是是矛盾式矛盾式或或永假式永假式,记为记为F或或0。(3)若若A不是矛盾式则称不是矛盾式则称A为为可满足式可满足式(satisfiable)。注注:由定义可知由定义可知,重言式一定是可满足式重言式一定是可满足式,反之不真反之不真.2024/

83、9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)判别命题公式的类型有两种方法判别命题公式的类型有两种方法:真值真值表法和等值演算法表法和等值演算法.等值演算法等值演算法是将所给命题公式通过等值是将所给命题公式通过等值演算化为最简单的形式演算化为最简单的形式,然后再进行判别然后再进行判别.例例1.判别下列命题公式的类型判别下列命题公式的类型.(1).Q(PQ)P)(重言式重言式)(2).(PP)(QQ)R(矛盾式矛盾式)(3).(PQ)P.(可满足式可满足式)20

84、24/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)1.5.2 重重言言式式(Tautology)Tautology)与与矛矛盾盾式式(contradictory)的性质的性质定定理理1.5.1:任任何何两两个个重重言言式式的的合合取取或或析析取取,仍仍然然是一重言式是一重言式.（由幂等律立得）（由幂等律立得）n证明证明:设设A和和B为两个重言式为两个重言式,则不论则不论A和和B的分的分量指派任何真值量指派任何真值,总有总有A为为T,B为为T,故故ABT，AB

85、T。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)n定理定理1.5.2:1.5.2:一个重言式一个重言式( (矛盾式矛盾式), ,对同一分量都对同一分量都用任何合式公式置换用任何合式公式置换, ,其结果仍为一重言式其结果仍为一重言式( (矛矛盾式盾式). .n证明：证明：由于由于重言式重言式( (矛盾式矛盾式)的真值与对变元的的真值与对变元的赋值无关，故对同一变元以任何赋值无关，故对同一变元以任何合式公式置换合式公式置换后，重言式后，重言式( (矛盾

86、式矛盾式)的真值仍永为的真值仍永为T（F）。）。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)n定理定理1.5.3：A,B是两个命题公式，是两个命题公式，AB的充要条件是的充要条件是AB为重言式。为重言式。证明证明:若若AB为重言式，则为重言式，则AB永为永为T，即，即A，B的真值表相同，所以的真值表相同，所以AB。反之，反之，若若AB，则，则A，B真值表相同，真值表相同，所以所以AB永为永为T，所以，所以AB为重言式。为重言式。2024/9/20计

87、算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)n它们之间具有如下关系它们之间具有如下关系:PQQPQPPQ原命题原命题逆换式逆换式反换式反换式逆反式逆反式PQQPPQQP1.5.3蕴含式蕴含式（ImPlication）定义定义1.5.2：当且仅当：当且仅当PQ是一个重言式时，是一个重言式时，我们称我们称“P蕴含蕴含Q”，并记作，并记作PQ.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴

88、含蕴含式式(TautologyandImplication)n因此因此,要证明要证明PQ有三种方法有三种方法:n1)真值表法真值表法:即列出即列出PQ的真值表的真值表,观察其是观察其是否永为真。否永为真。n2)等值演算法：通过证明等值演算法：通过证明PQ1来证来证PQn3)分析法：分析法：直接分析法直接分析法:假定前件假定前件P是真，推出后件是真，推出后件Q是真。是真。间接分析法间接分析法:假定后件是假，推出前件是假假定后件是假，推出前件是假,即证即证QP。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含

89、式式(TautologyandImplication)例例:证明证明Q (PQ)P1)法法1：真值表（略）：真值表（略）2)法法2：Q (PQ)P(Q (PQ)(P)Q(PQ)(P)(PQ)(PQ)1即即Q (PQ)P2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)3)直接分析法：直接分析法：若若Q (PQ)为真，则为真，则Q，PQ为真，所以为真，所以Q为假，为假，P为假，所以为假，所以P为为真。真。间接分析法：间接分析法：若若P为假，则为假，则P为真

90、，再分二为真，再分二种情况：种情况：若若Q为真，则为真，则Q为假为假,从而从而Q (PQ)为假为假.若若Q为假，则为假，则PQ为假，则为假，则Q (PQ)为假为假.根据根据，所以，所以Q (PQ)P2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)下面常用的下面常用的14个蕴含式个蕴含式,都可以用上述方法加以推证都可以用上述方法加以推证.1. P QP 2. P QQ3.PPQ4.PPQ5.QPQ 6.(PQ)P 7.(PQ)Q 8.P (PQ)Q9.Q

91、 (PQ)P 10.P (PQ)Q11. (PQ) (QR)PR12. (PQ) (PR) (QR)R13.(PQ) (RS)(P R)(Q S)14.(PQ) (QR)(PR)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)n等价式与蕴含式的关系等价式与蕴含式的关系:n定理定理1.5.4:设设P,Q为任意两个命题公式为任意两个命题公式,PQ的充要的充要条件为条件为PQ且且QP.n证：若证：若PQ，则，则PQ为永真式为永真式因为因为PQ（PQ） （QP

92、）所以所以PQ，QP为永真式为永真式,从而从而PQ，QP.反之，若反之，若PQ，QP，则，则PQ，QP为永真式为永真式,所以（所以（PQ） （QP）为永真式，）为永真式，从而从而PQ为永真式，即为永真式，即PQ.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)n蕴含的性质蕴含的性质:n设设A，B，C为任意为任意wff,1)若若AB，且，且A为永真式，则为永真式，则B必为永真式必为永真式.2)若若AB，BC，则，则AC.3)若若AB，AC，则，则AB C

93、.4)若若AB且且CB，则，则A CB.证：证：1)因为因为AB，A永为永为T,所以所以B必永为必永为T.2)由由I11（AB) (BC）AC,所以若所以若AB，BC，则（，则（AB) (BC）永为）永为T,从而从而AC永永为为T,故故AC.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)3)（AB） （AC）（A B） （A C）A （B C）AB C4)(AB) (CB)(A B) (C B)(A C) B(A C) BA CB2024/9/20计

94、算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)n小小结结：本本节节介介绍绍了了命命题题公公式式的的分分类类，重重言言式式、矛矛盾盾式式与与蕴蕴含含式式的的概概念念及及其其性性质质，等等价价式式与与蕴蕴涵式的关系。涵式的关系。n重点掌握重点掌握:（1 1）用等值演算法判别命题公式的类型。）用等值演算法判别命题公式的类型。（2 2）重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。）重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。（3 3）等价式与蕴涵式的关系。）等价式与蕴涵式的关系。2024/9/20计算机科

95、学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.5重言式与重言式与蕴含蕴含式式(TautologyandImplication)n作业作业:Pg16：1,2(2),(4);5.n预习预习:1.6n思考题思考题:1)为什么要引入联结词为什么要引入联结词?2)什么是最小功能完备联结词组什么是最小功能完备联结词组?2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)1.6.1不可兼析取不可兼析取(排斥或排斥或/异或异或)(exclusiveor)1

96、.6.2与非联结词与非联结词(Nand)1.6.3或非联结词或非联结词(Nor)1.6.4条件否定联结词条件否定联结词(Non-conditional)1.6.5 最最小小联联结结词词组组(The minimal set ofconnectives)2024/9/20计算机科学与技术学院在在第第二二节节(1.2)中中我我们们定定义义了了五五种种基基本本的的联联结结词词， ， ， ，, ,但但在在命命题题逻逻辑辑中中, ,这这些些联联结结词词还还不不能能很很广广泛泛地地直直接接表表达达命命题题之之间间的的联联系系(例例如如 ,“P异异 或或 Q”只只 能能 间间 接接 地地 表表 示示 为为(P

97、 Q) (P Q),为此本节再给出逻辑设计中为此本节再给出逻辑设计中常用的常用的另外四种联结词另外四种联结词.第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)1.6.1不可兼析取不可兼析取(排斥或排斥或/异或异或)(exclusiveor)定定义义1.6.1:设设P,Q为为二二命命题题，复复合合命命题题“P,Q之之中中恰恰有一个为真有一个为真”称为

98、称为P与与Q的的不可兼析取不可兼析取，记作，记作PQ，符符号号“” 称称为为异异或或联联结结词词.P P Q Q 为为真真当当且仅当且仅当P P和和Q Q的真值不同的真值不同. .2024/9/20计算机科学与技术学院联结词联结词“”的定义真值表的定义真值表PQPQ0 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 10 0定义了定义了联结词联结词“”后后,命题逻辑中的有些命命题逻辑中的有些命题就可以符号化为非常简捷的形式题就可以符号化为非常简捷的形式.第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)

99、2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.6其它联结词其它联结词(Other Connectives)(Other Connectives)例例:派小王或小李中的一人去开会。派小王或小李中的一人去开会。（排斥或排斥或）设设P：派小王去开会。派小王去开会。Q：派小李去开会。派小李去开会。则上述命题可符号化为：则上述命题可符号化为：(PQ)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherCon

100、nectives)说明：说明：“” 属于二元属于二元(binary)运算符运算符.联结词联结词“”的性质的性质:设设P,Q,R为命题公式为命题公式,则有则有(1)PQQP(交换律交换律)(2)(PQ)RP(QR)(结合律结合律)(3)P(Q R) (PQ ) (PR) (分配律分配律)(4) (P Q) (P Q)(PQ)(5)(PQ)(PQ)(6)PPF,FPP,TPP2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)定定理理1.6.1:设设P,Q,R为为命命题题公公式式,如

101、如果果PQR,则则PRQ,QRP,且且PQR为一矛盾式为一矛盾式.证证:由由PQR得得PRP(PQ)(PP)QFQQQRQ(PQ)FPPPQRRRF2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.6其它联结词其它联结词(Other Connectives)(Other Connectives)1.6.2与非联结词与非联结词(Nand)定义定义1.6.2设设P,Q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“P与与Q的的否定否定”称为称为P与与Q的与非式，记作的与非式，记作PQ，符号，符号“” 称称

102、为为与与非非联联结结词词.PQ PQ 为为真真当当且且仅仅当当P P和和Q Q不同时为真不同时为真. .2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)联结词联结词“”的定义真值表的定义真值表PQPQ0 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 10 02024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)说明说明:(1)由定义可知由定义可知,P

103、Q(PQ)(2)“”属于二元属于二元(binary)运算符运算符.联结词联结词“”的性质的性质:(1)PP(PP)P(2)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(3)(PP)(QQ)PQ(PQ)PQ2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)1.6.3或非联结词或非联结词(Nor)定义定义1.6.3设设P,Q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“P或或Q的的否定否定”称为称为P与与Q的或非式，记作的或非式，记作PQ，符号，符号“”称为或非联结词称为或非联结词.PQ为真当且仅当为

104、真当且仅当P与与Q同为假同为假.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)联结词联结词“”的定义真值表的定义真值表PQPQ0 00 01 10 01 10 01 10 00 01 11 10 02024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)说明说明:(1)由定义可知由定义可知,PQ (PQ)(2)“” 属于二元属于二元(binary)运算符运算符.联

105、结词联结词“”的性质的性质:(1)PP(PP)P(2)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(3)(PP)(QQ)PQ(PQ)PQ2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)1.6.4条件否定联结词条件否定联结词(Non-conditional)定义定义1.6.4设设P,Q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“PQ”称称为命题为命题P与与Q的条件否定式的条件否定式,PQ为真当且仅当为真当且仅当P为真且为真且Q为假为假.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑

106、命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.6其它联结词其它联结词(Other Connectives)(Other Connectives)联结词联结词“”的定义真值表的定义真值表PQPQ0 00 00 00 01 10 01 10 01 11 11 10 02024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)说明说明:(1)由定义可知由定义可知,PQ(PQ)(2)“”属于二元属于二元(binary)运算符运算符.有了联结词有了

107、联结词后，合式公式的定义后，合式公式的定义1.3.2可加入这四个联结词可加入这四个联结词.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)1.6.5 最最 小小 联联 结结 词词 组组 (The minimal set ofconnectives)n至此至此,我们一共定义了我们一共定义了9个联结词个联结词,为了直接表达为了直接表达命题之间的联系命题之间的联系,是否还需要定义其它联结词呢是否还需要定义其它联结词呢?回答是否定的回答是否定的.即含即含n个命题变元的所有个命题变元的

108、所有个互不个互不等价的命题公式等价的命题公式,均可由这均可由这9个联结词直接表达个联结词直接表达.下面我们以含两个命题变元下面我们以含两个命题变元P，Q的所有互等价的的所有互等价的命题公式为例，来说明这一问题。命题公式为例，来说明这一问题。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives) 由两个命题变元由两个命题变元P，Q所构成的互不等价的所构成的互不等价的 个命题公式如下个命题公式如下: :PQFPQPQ P QPQPQ PQ0 0000000000 1000011111

109、0001100111 1010101012024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)由上表可知由上表可知,9 9个联结词足以直接表达命题之间的各个联结词足以直接表达命题之间的各种联系种联系. .二元运算中，二元运算中，9 9个联结词并不都是必要的。个联结词并不都是必要的。PQPQ PQ QQPPPQPQT0 0111111110 1000011111 0001100111 1010101012024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（Proposi

110、tionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)定义定义1.6.5：在一个联结词的集合中在一个联结词的集合中,如果一个联如果一个联结词可由该集合中的其它联结词定义结词可由该集合中的其它联结词定义,则则称此称此联联结词为冗余联结词结词为冗余联结词,否则称为独立联结词否则称为独立联结词.不含冗不含冗余联结词的联结词组称为余联结词的联结词组称为最小联结词组最小联结词组. .说明说明: :最小联结词组中的联结词构成的式子足以最小联结词组中的联结词构成的式子足以把一切命题公式等价的表达出来。把一切命题公式等价的表达出来。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第

111、一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives) 对于对于9个联结词的集合个联结词的集合, , ,由于由于(1)PQ(PQ) (QP)(2)PQP Q(3)P Q(P Q)(4)P Q(P Q)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives) (5)(PQ)(PQ)(6)PQ(PQ)(7)PQ(PQ)(8)PQ(PQ)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（Propositi

112、onalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)故任意命题公式都可由仅包含故任意命题公式都可由仅包含, 或或, 的的命题公式等价代换命题公式等价代换.即即9 9个联结词的集合中至少有个联结词的集合中至少有七个七个冗余联结词冗余联结词.又注意到联结词又注意到联结词, 和和, 不再有冗余联结词不再有冗余联结词,故故, 或或, 为最小联为最小联结词组结词组.但实际中为了使用方便但实际中为了使用方便,命题公式常常同命题公式常常同时包含时包含, , , .2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它

113、联结词其它联结词(OtherConnectives)例例1:试证试证是最小联结词组是最小联结词组.证：证：P(P P)PPP Q(P Q)(PQ)(PQ)(PQ)P Q(P Q)(PP) (QQ)(PP)(QQ)例例2.试证试证，是最小联结词组是最小联结词组证：证：P Q(P Q)(PQ)P Q(P) QPQ2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.6其它联结词其它联结词(Other Connectives)(Other Connectives)小结小结:本节主要介绍了四种新的联结词

114、本节主要介绍了四种新的联结词及最小联结词组及最小联结词组.作业作业:1.P19:2 2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.6其它联结词其它联结词(OtherConnectives)2.预习预习1.7思考题思考题:1.何谓命题公式的何谓命题公式的(主主)析析(合合)取范式取范式?2.命题公式的命题公式的(主主)析析(合合)取范式唯一吗取范式唯一吗?3.为何要将命题公式化为与之等价的主析为何要将命题公式化为与之等价的主析(合合)取范式取范式?4.如何将命题公式化为与之等价的主析如何将命题公式化为与之等价的主析(合合)取范式取范

115、式?5.两个等价的命题公式其两个等价的命题公式其(主主)析析(合合)取范式有何关系取范式有何关系?2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)1.7.1对偶式与对偶原理对偶式与对偶原理(DualisticFormula&DualityPrinciPle)1.7.2命题公式的析命题公式的析(合合)取范式取范式(TheDisjunctive&ConjunctiveNormalFormsofaProPositionalFormula) )1.7.3命题公式的主析命题公式的主析(

116、合合)取范式取范式(ThePrinciPalDisjunctive&ConjunctiveNormalFormofaProPositionalFormula) )2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)1.7.1对偶式与对偶原理对偶式与对偶原理(DualisticFormula&DualityPrinciPle)在第四节在第四节(1.4)中我们给出了命题定律中我们给出了命题定律(本

117、课本课件件P84-86),其中多数等价公式都是成对出现的其中多数等价公式都是成对出现的,每一对公式的不同之处是将每一对公式的不同之处是将 与与 互换互换,我们把我们把这样的公式称为是对偶的这样的公式称为是对偶的. 2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)定义定义1.7.1:设命题公式设命题公式A仅含有联结词仅含有联结词, , ,在在A中将中将 , ，F，T分别换以分别换以 ， ，T，F得出公式得出公式A*，则，则A*称为称为A的对偶公式。的对偶公式。说明说明:(A*)

118、*=A例例1.(P (Q R)*=P (Q R)(P Q) 1)*=(P Q) 0)由由PQ(PQ)和和PQ(PQ)可知可知(PQ)*=PQ2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)关于对偶式我们有如下两个定理关于对偶式我们有如下两个定理:定理定理1.7.1:设设A，A*是对偶式，是对偶式，P1,P2,Pn是出现于是出现于A和和A*中的所有原子变元中的所有原子变元,则则(1)A(P1,P2,Pn)A*（P1,P2,Pn）(2)A(P1,P2,Pn)A*（P1,P2,Pn

119、）证明证明:因为因为(P Q)(P Q)(P Q)P Q所以所以A(P1,P2,Pn)A*（P1,P2,Pn）同理同理A*(P1,P2,Pn)A（P1,P2,Pn）2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)定定理理1.7.2(对对偶偶原原理理) ):设设A,B为为两两个个仅仅含含有有联联结结词词, , 的的命题公式命题公式,若若AB，则，则A*B*.证：证：设设P1,P2,Pn是出现

120、于是出现于A和和B中的所有原子变元中的所有原子变元.因为因为A(P1,P2,Pn)B(P1,P2,Pn)则则A(P1,P2,Pn)B(P1,P2,Pn)永真永真.故故A(P1,P2,Pn)B(P1,P2,Pn)永真永真.由定理由定理1.7.1得得A*(P1,P2,Pn) )BB* *( (P1,P2,Pn ) )因此因此A A* *B B* *.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)定定理理1.7.2(对对偶偶原原理理) ):设设A,B为为两两个个仅仅含含有有联联结

121、结词词, , , , 的的命题公式命题公式,若若A AB B，则，则A A* *B B* *.证：证：设设P1,P2,Pn是出现于是出现于A A和和B B中的所有原子变元中的所有原子变元. . 因为因为 A(A(P1,P2,Pn) )B(B(P1,P2,Pn) ) 则则 A(A(P1,P2,Pn) )B(B(P1,P2,Pn) )永真永真. . 故故 A(A(P1,P2,Pn) )B(B(P1,P2,Pn) ) 永真永真. . 由定理由定理1.7.1得得 A A* *( (P1,P2,Pn) )BB* *( (P1,P2,Pn ) )因此因此A A* *B B* *.2024/9/20计算机科

122、学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)例例1 1：因为：因为： P (P Q)P由对偶原理由对偶原理:P (P Q)P例例2:若若A1则则A*(1)*即即A*0.例例3:设设A为为(P Q) (P (P Q),B为为P Q,且且AB,则则A*B*P Q. 2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)定理定理1.7.3:设设A,B为两个仅含有联结词为两个仅含有联结词, ,

123、 的的命题命题公式公式,若若AB，则，则B*A*。证：证：设设P1,P2,Pn是出现于是出现于A和和B中的所有原子变元中的所有原子变元.因为因为A(P1,P2,Pn)B(P1,P2,Pn)则则A(P1,P2,Pn)B(P1,P2,Pn)永真永真.故故B(P1,P2,Pn)A(P1,P2,Pn)永真永真.即即B*(P1,P2,Pn)A*(P1,P2,Pn)永真永真.以以Pi代代Pi，i=1，2n得得B*(P1,P2,Pn)A*(P1,P2,Pn)永真永真.所以所以B*A*.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式

124、对偶与范式(Dual&NormalForm)1.7.2命题公式的析命题公式的析(合合)取范式取范式(TheDisjunctive&ConjunctiveNormalFormsofaProPositionalFormula) ) 从前面的讨论可知从前面的讨论可知, ,存在大量互不相同的命题公存在大量互不相同的命题公式，实际上互为等价式，实际上互为等价, ,因此因此, ,有必要引入命题公式的标有必要引入命题公式的标准形式准形式, ,使得相互等价的命题公式具有相同的标准形使得相互等价的命题公式具有相同的标准形式。这无疑对判别两个命题公式是否等价以及判定命式。这无疑对判别两个命题公式是否等价以及判定命

125、题公式的类型是一种好方法题公式的类型是一种好方法, ,同时对命题公式的简化和同时对命题公式的简化和推证也是十分有益的推证也是十分有益的. .2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)定义定义1.7.2:(1)文字文字：命题变元及其否定统称为文字：命题变元及其否定统称为文字(如如P,P).(2)简单析取式简单析取式：仅有有限个文字组成的析取式。：仅有有限个文字组成的析取式。如如:P，P Q，P P，Q P P，P Q R S.(3)简单合取式简单合取式：仅有有限个文字组成

126、的合取式。：仅有有限个文字组成的合取式。如如:P,Q,Q P，P P，Q P P,P Q R.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)从定义不难看出从定义不难看出:（1）一一个个简简单单析析取取式式是是重重言言式式当当且且仅仅当当它它同同时含有某个命题变元及其否定式。时含有某个命题变元及其否定式。（2）一一个个简简单单合合取取式式是是矛矛盾盾式式当当且且仅仅当当它它同同时含有某个命题变元及其否定式。时含有某个命题变元及其否定式。2024/9/20计算机科学与技术学院第

127、一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)定义定义1.7.3:(1)析取范式析取范式：一个命题公式称为：一个命题公式称为析取范式析取范式,当且当且仅当它具有形式仅当它具有形式:A1A2An(n大于等于1)其中其中Ai(i=1,2,3,n)为简单合取式为简单合取式.如：如：PQ，(PQ)(PQR),QP.(2)合取范式合取范式：一个命题公式称为：一个命题公式称为合取范式合取范式,当且当且仅当它具有形式仅当它具有形式:A1A2

128、An(n大于等于1)其中其中Ai(i=1,2,3,n)为简单析取式为简单析取式.如：如：PQ，(PQ)(PQR),QP.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)(3)范式范式：析取范式与合取范式统称为：析取范式与合取范式统称为范式范式。显然显然,任何合任何合(析析)取范式的对偶式是析取范式的对偶式是析(合合)取范式取范式.析取范式与合取范式的性质析取范式与合取范式的性质: :(1)

129、 (1) 一个析取范式是矛盾式一个析取范式是矛盾式, ,当且仅当它的每当且仅当它的每 一个简单合取式都是矛盾式一个简单合取式都是矛盾式; ;(2)(2)一个合取范式是重言式一个合取范式是重言式, ,当且仅当它的每当且仅当它的每 一个简单析取式都是重言式一个简单析取式都是重言式. .2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)定理定理1.7.4(范式存在定理范式存在定理)任一个命题公式都存在着与之等价的析取范式与任一个命题公式都存在着与之等价的析取范式与合取范式。合取范式。

130、求命题公式的范式的基本步骤求命题公式的范式的基本步骤：（1）将公式中的联结词化归成将公式中的联结词化归成, 及及 .（2）将否定联结词消去或内移到各命题变元之前。将否定联结词消去或内移到各命题变元之前。利用下列等价式：利用下列等价式：AA(AB)AB(AB)AB2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)（3）利利用用分分配配律律、结结合合律律将将公公式式转转化化为为合合取取范范式或析取范式式或析取范式.C(AB)(CA)(CB)C(AB)(CA)(CB)例例1:求求(P

131、 Q)R)P的析取范式与合取范式的析取范式与合取范式.例例2:求求(PQ)R的析取范式与合取范式的析取范式与合取范式.例例3:求求(P Q)(P Q)的析取范式与合取范式的析取范式与合取范式.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)注意注意：（1）单单个个命命题题变变元元既既是是简简单单合合取取式式，又又是是简简单单析析取取式式；公公式式PQR既既可可以以看看成成是是合取范式，也可

132、以看成是析取范式。合取范式，也可以看成是析取范式。（2）一一个个命命题题公公式式的的析析(合合)取取范范式式不不是是唯唯一一的。的。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)例例1：求：求(P Q)R)P的析取范式与合取范式的析取范式与合取范式。解解:原式原式(PQ)R)P(PQ)R)P(PR)(QR)P(析取范式析取范式)P(PR)(QR)P(QR)(析取范式析取范式)(PQP)(RP)(合取范式合取范式)(PQ)(RP)(合取范式合取范式)2024/9/20计算机科

133、学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)例例2：求：求(PQ)R的析取范式与合取范式的析取范式与合取范式。解解:原式原式(PQ)R)(R(PQ)(PQ)R)(R(PQ)(PQ)R)(RPQ)(PQ)R)(RPQ)(PR)(QR)(RPQ)(合取范式合取范式)(PQ)(RPQ)(R(RPQ)(PQR)(RP)(RQ)(析取范式析取范式)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与

134、范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)例例3：求：求(P Q)(P Q)的析取范式与合取范式的析取范式与合取范式。解解:(P Q)(P Q)(P Q) (P Q) (P Q) (P Q)(P Q) P Q) (P Q) (P Q)（P Q） （Q P）(析取范式析取范式)(PQ)(PQ)(合取范式合取范式)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)1.7.3命题公式的主析命题公式的主析(合合)取范式取范式(TheP

135、rinciPalDisjunctive&ConjunctiveNormalFormofaProPositionalFormula)由于一个命题公式的析由于一个命题公式的析(合合)取范式不是唯一取范式不是唯一,因而它们不能作为命题公式的规范形式因而它们不能作为命题公式的规范形式(标准形标准形式式),为了使任意命题公式化为唯一的标准形式为了使任意命题公式化为唯一的标准形式,下下面引入主范式的概念面引入主范式的概念.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)1.命题公式的主析

136、取范式命题公式的主析取范式定义定义1.7.4：在含有在含有n个命题变元的个命题变元的简单合取简单合取式中式中,若每个命题变元和它的否定不同时出现，而二者若每个命题变元和它的否定不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，称这样的之一必出现且仅出现一次，称这样的简单合取简单合取式式为为小项小项.例如例如,三个命题变元三个命题变元P,Q,R,其小项共有其小项共有8个个:2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)小项小项编码编码真值指派真值指派小项的真值小项的真值P Q Rm0

137、00/m00001P Q R m001/m10011P Q Rm010/m2010 1P Q Rm011/m30111P Q Rm100/m41001P Q Rm101/m51011 P Q Rm110/m61101 P Q R m111/m7 11112024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)考虑：考虑：n个命题变元可产生多少个小（个命题变元可产生多少个小（大大）项？）项？(2n)n个变元的小项个变元的小项:m0P1 P2 . Pnm1P1 P2 . Pnm2n-1P

138、1 P2 . Pn小项的真值表：小项的真值表：P33表表1-7.1,表表1-7.22024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)小项的性质小项的性质:(1)没有两个小项是等价的没有两个小项是等价的,且每个小项有且仅有且每个小项有且仅有一个成真赋值，若成真赋值所对应的二进制数一个成真赋值，若成真赋值所对应的二进制数转化为十进制数为转化为十进制数为i，就将所对应的小项记作，就将所对应的小项记

139、作mi。(2)任意两个不同的小项的合取为矛盾式任意两个不同的小项的合取为矛盾式.(3)全体小项的析取为永真式全体小项的析取为永真式.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)定义定义1.7.5：设命题公式设命题公式A中含有中含有n个命题变元个命题变元,如果如果A的的析析取范式中，所有的取范式中，所有的简单合取简单合取式都是式都是小项小项，则称该，则称该析取析取范式范式为为A的主析取的

140、主析取范式范式。定理定理1.7.5:任何命题公式都存在着与之等价的主任何命题公式都存在着与之等价的主析取范式，并且是唯一的。析取范式，并且是唯一的。n主析取范式的求法主析取范式的求法2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)定理定理1.7.6:在命题公式在命题公式A的真值表中的真值表中,真值为真值为1的指的指派对应的小项的析取派对应的小项的析取,即为即为A的主析取范式。的主析取范式。例例1:P34例题例题6例例2:P35例题例题7一个命题公式一个命题公式A的主析取范式的

141、主析取范式,还可以通过等值演还可以通过等值演算的方法求出算的方法求出,其推演步骤其推演步骤:(1)将将A化为析取范式化为析取范式;(2)除去除去中所有永假的析取项中所有永假的析取项;2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)(3)将将中重复出现的简单合取式和相同变元都消去中重复出现的简单合取式和相同变元都消去;(4)若若中某简单合取式中某简单合取式B中不含命题变元中不含命题变元Pi,添加添加(Pi Pi),然后应用分配律展开然后应用分配律展开.即即BB 1B (Pi P

142、i)(B Pi) (B Pi).例例1：求：求(P Q)R)P的主析取范式的主析取范式。例例2:求求(PQ)R的主析取范式的主析取范式.例例3:求求(P Q)(P Q)的主析取范式的主析取范式.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)例例1：求：求(P Q)R)P的主析取范式的主析取范式。解解:原式原式(PQ)R)PP(QR)(析取范式析取范式)(P(QQ)(RR)(PP)(QR)

143、(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式主析取范式)m7m6m5m4m2m2m4m5m6m72024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)例例2：求：求(PQ)R的主析取范式的主析取范式。解解:原式原式(PQR)(RP)(RQ)(析取范式析取范式)(PQR)(RP)(QQ)(PP)(RQ)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式主析

144、取范式) m1 m3 m4 m72024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)例例3：求：求(P Q)(P Q)的主析取范式的主析取范式。解解:(P Q)(P Q)（P Q） （Q P）(主析取范式主析取范式) m1m22024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)2

145、.命题公式的主合取范式命题公式的主合取范式定义定义1.7.6：在含有在含有n个命题变元的个命题变元的简单析取简单析取式中式中,若每个命题变元和它的否定不同时出现，而二者若每个命题变元和它的否定不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，称这样的之一必出现且仅出现一次，称这样的简单析取简单析取式式为为大项大项.例如例如,三个命题变元三个命题变元P,Q,R,其大项共有其大项共有8个个:2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)大项大项编码编码真值指派真值指派大项的真值大项的真

146、值P Q R M000/M00000P Q RM001/M10010P Q RM010/M20100P Q R M011/M30110P Q R M100/M41000P Q RM101/M51010P Q RM110/M61100P Q RM111/M711102024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm) n个变元的大项个变元的大项:M0P1 P2 PnM1P1 P2 PnM2n-1P1 P2 Pn2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（P

147、ropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)大项的性质大项的性质:(1)没有两个大项是等价的没有两个大项是等价的,且每个大项有且仅有且每个大项有且仅有一个成假赋值，若成假赋值所对应的二进制数一个成假赋值，若成假赋值所对应的二进制数转化为十进制数为转化为十进制数为i，就将所对应的大项记作，就将所对应的大项记作Mi。(2)任意两个不同的大项的析取为永真式任意两个不同的大项的析取为永真式.(3)全体大项的合取为矛盾式全体大项的合取为矛盾式.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1

148、.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)n主合取范式的求法主合取范式的求法定义定义1.7.7：设命题公式设命题公式A中含有中含有n个命题变元个命题变元,如如果果A的的合取范式合取范式中，所有的中，所有的简单析取简单析取式都是式都是大大项项，则称该，则称该合取合取范式范式为为A的主合取范式的主合取范式。定理定理1.7.6:任何命题公式都存在着与之等价的主任何命题公式都存在着与之等价的主合取范式，并且是唯一的。合取范式，并且是唯一的。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&N

149、ormalForm)定理定理1.7.7:在命题公式在命题公式A的真值表中的真值表中,真值为真值为0的指的指派对应的大项的合取派对应的大项的合取,即为即为A的主合取范式。的主合取范式。例例1:P34例题例题6例例2:P35例题例题7一个命题公式一个命题公式A的主合取范式的主合取范式,还可以通过等值演还可以通过等值演算的方法求出算的方法求出,其推演步骤其推演步骤:(1)将将A化为合取范式化为合取范式;(2)除去除去中所有永真的合取项中所有永真的合取项;2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&N

150、ormalForm)(3)将将中重复出现的简单析取式和相同变元都消去中重复出现的简单析取式和相同变元都消去;(4)若若中某简单析取式中某简单析取式B中不含命题变元中不含命题变元Pi,添加添加(Pi Pi),然后应用分配律展开然后应用分配律展开.即即BB 0B (Pi Pi)(B Pi) (B Pi).例例1：求：求(P Q)R)P的主合取范式的主合取范式。例例2:求求(PQ)R的主合取范式的主合取范式.例例3:求求(P Q)(P Q)的主合取范式的主合取范式.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional

151、Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)注：注：1.1.命题公式的主析命题公式的主析( (合合) )取范式唯一。取范式唯一。 2.2.两命题公式若有相同的主析两命题公式若有相同的主析( (合合) )取范取范 式，则二命题公式等价式，则二命题公式等价. .2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)例例1：求：求(P Q)R)P的主合取范式的主合取范式。解解:原式原式(PQ)R)P(PQ)(RP

152、)(合取范式合取范式)(PQ)(RR)(RP)(QQ)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式主合取范式)M0M1M32024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)例例2：求：求(PQ)R的析取范式与合取范式的析取范式与合取范式。解解:原式原式(PR)(QR)(RPQ)(合取范式合取范式)(PR)(QQ)(PP)(QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式主

153、合取范式)M0M2M5M62024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)例例3：求：求(P Q)(P Q)的主合取范式的主合取范式。解解:(P(P Q)Q)(P(P Q)Q)(PQ)(PQ)(主合取范式主合取范式)M M0 0M M3 32024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)3.3.主析取范式和主合取范式关系主析取范式和主合取范式关系设设Z为命题

154、公式为命题公式A的主析取范式中所有小项的足标集的主析取范式中所有小项的足标集合，合，R为命题公式为命题公式A的主合取范式中所有大项的足标的主合取范式中所有大项的足标集合集合,则则R=0,1，2.2n-1-Z或或Z=0,1，2.2n-1-R。故已知命题公式故已知命题公式A的主析取范式，可求得其主合取的主析取范式，可求得其主合取范式；反之亦然。范式；反之亦然。注意到小项与大项之间具有关系：注意到小项与大项之间具有关系：miMi，Mimi（例：（例：m5：P Q RM5：P Q R）2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶

155、与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)设命题公式设命题公式A中含中含n个命题变元，且设个命题变元，且设A的主析取的主析取范式中含范式中含k个小项个小项，则，则A的的主析取范式中必含主析取范式中必含个小项个小项,且且,所以所以2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)4.主析主析(合合)取范式的应用取范式的应用(1)求公式的成真求公式的成真/成假赋值：成假赋值：若若公公式式A中中含含有有n个个命命题题变变元元，且且A的的主主析析取取范范式式含含s个个小小项项，

156、则则A有有s个个成成真真赋赋值值，有有2n-s个个成成假假赋赋值值。（即即主主析析取取范范式式中中的的小小项项对对应应的的编编码码是是公公式式A的的成成真真赋赋值值；反反之之主主合合取取范范式式中中的的大大项对应的编码是公式项对应的编码是公式A的成假赋值）的成假赋值）.例如例如,设命题公式设命题公式Am0 m1 m5 m7，则，则AM2 M3 M4 M62024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal

157、 Form)(2)判断公式的类型判断公式的类型：设公式设公式A中含有中含有n个命题变元，则：个命题变元，则：（1）A为重言式为重言式A的的主析取范式主析取范式含全部含全部2n个个小小项。项。（2）A为矛盾式为矛盾式 A的的主析取范式主析取范式不含任何小项，不含任何小项，记记A的主析取范式为的主析取范式为0。（3）A为可满足式为可满足式 A的的主析取范式主析取范式至少含一个小项。至少含一个小项。（4）A为矛盾式为矛盾式 A的的主合取范式主合取范式含全部含全部2n个大项。个大项。（5）A为重言式为重言式 A的的主合取范式主合取范式不含任何大项，不含任何大项，记记A的主合取范式为的主合取范式为1。（

158、6）A为可满足式为可满足式 A的的主合取范式主合取范式中大项的个数中大项的个数一定小于一定小于2n。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(Dual & Normal Form)例例:判断下列命题公式的类型判断下列命题公式的类型.(1)(PQ)R(2)(PQ) Q Q(3)(PQ) Q QQ Q解解:(1)(PQ)Rm m1 1m m3 3m m4 4m m7 7为可满足式为可满足式.(2)(PQ) Q Q0 0为矛盾

159、式为矛盾式.(3)(PQ) Q QQ Q1 1为重言式为重言式.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)(3)判断两个命题是否等价：判断两个命题是否等价：设公式设公式A、B中共含有中共含有n个命题变元，按个命题变元，按n个命题变个命题变元求出元求出A、B的主析的主析(合合)取范式取范式、。若。若=，则则AB，否则，否则A、B不等价不等价.例例:试判断下列各组命题是否等价试判断下列各组命题是否等价.(1)( (PQ)(PR)与与 P( (QR)(2)P( (QR)与与P

160、(QR)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)解解:(1)(PQ)(PR)(PQ)(PR)(PQ(RR)(PR(QQ)(PQR)(PQR)(PRQ)(PRQ)M4M5M6P(QR)P(QR)(PQ)(PR)M4M5M6所以所以(PQ)(PR)P(QR)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.7对偶与范式对偶与范式(Dual & Normal Form)(

161、Dual & Normal Form)解解(2)P(QR)P(QR)(PQ)(PR)M4M5M6m0m1m2m3m7P(QR)PQRM2m0m1m3m4m5m6m7所以所以P( (QR)与与P(QR)不等价不等价.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)5.解决实际问题：解决实际问题：某科研所有三名青年高级工程师某科研所有三名青年高级工程师A，B，C。所里。所里要选派他们中的要选派他们中的1到到2人出国进修，由于所里工作人出国进修，由于所里工作的需要，选派时必须满足以

162、下条件：的需要，选派时必须满足以下条件：若若A去，则去，则C也去也去若若B去，则去，则C不能去不能去若若C不去，则不去，则A或或B去去问所里应如何选派他们？问所里应如何选派他们？2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)解解:设设P:派派A去。去。Q:派派B去。去。R:派派C去。去。根据所要满足的条件，得命题公式为：根据所要满足的条件，得命题公式为：(PR)(QR)(R(PQ)求此公式的主析取范式求此公式的主析取范式:原式原式(PQR)(PQR)(PQR)因此有三种选派

163、方案：去，而、都不去；因此有三种选派方案：去，而、都不去；去，而、都不去；、都去，而不去去，而、都不去；、都去，而不去.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.7对偶与范式对偶与范式(Dual&NormalForm)小结小结:本节主要介绍了对偶式、对偶原理、本节主要介绍了对偶式、对偶原理、析析(合合)取范式、取范式、(主主)析析(合合)取范式。重点掌握取范式。重点掌握(主主)析析(合合)取范式的求法。取范式的求法。作业作业:1.P30:2,5,6(3),8 2.预习预习1.82024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一

164、章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)1.8.1常用的证明方法常用的证明方法1.8.2真值表法真值表法(TruthTable)1.8.3直接证法直接证法 (DirectProof)1.8.4间接证法间接证法(IndirectProof)2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)1.8.1常用的证明方法常用的证明方法n定义定义1.8.1：设和是两个命题公式：设和是两个命题公式,当且仅当当且仅当为一重言式

165、，即为一重言式，即,称是的有效结论称是的有效结论;或称可或称可由逻辑推出由逻辑推出.一般地一般地,如果有如果有n个前提个前提H1,H2,H3,.,Hn,若若H1 H2 H3 . HnC,则称则称C是一组前提是一组前提H1,H2,Hn的的有效结论。有效结论。n注意注意:在形式逻辑中在形式逻辑中,我们并不关心结论是否真实我们并不关心结论是否真实,而主要而主要关心结论是否可以由给定的前提推出来关心结论是否可以由给定的前提推出来,我们只注意推理我们只注意推理的形式是否正确的形式是否正确.因此因此,有效结论并不一定是正确的有效结论并不一定是正确的,只有只有正确的前提经过正确的推理得到的逻辑结论才是正确的

166、正确的前提经过正确的推理得到的逻辑结论才是正确的.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)n证明证明C是是A的有效结论的方法就是判别重言蕴含的方的有效结论的方法就是判别重言蕴含的方法法.前面我们介绍的论证方法有真值表法、等值演算前面我们介绍的论证方法有真值表法、等值演算法、主析（合）取范式法。论证方法千变万化，但法、主析（合）取范式法。论证方法千变万化，但最基本、最常用的方法有三最基本、最常用的方法有三种：种： 推理证明的方法推理证明的方法2024/9/20计算机科学与技术

167、学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)1.8.2真值表法真值表法(TruthTable)构造命题公式构造命题公式H1 H2 Hn C的真值表，若为永的真值表，若为永真，真，H1 H2 Hn C 推理正确。推理正确。例：例：证明证明( (PQ)Q)PP QPQQ( (PQ)Q ( (PQ)Q)P0001010110011011111110012024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)由上面

168、真值表可知由上面真值表可知( (PQ)Q)P。n1.8.3直接证法直接证法 (DirectProof) )n直接证法：直接证法：由一组前提，利用一些公认的由一组前提，利用一些公认的推理规则推理规则，根，根据已知的等价或蕴含公式推演得到有效结论。据已知的等价或蕴含公式推演得到有效结论。n常用的推理规则常用的推理规则P规则规则:（也称前提引入规则）前提在推导过程中的任何（也称前提引入规则）前提在推导过程中的任何 时候都可以引用。时候都可以引用。T规则规则:在推导过程中，所证明的结论、已知的等价或蕴在推导过程中，所证明的结论、已知的等价或蕴 含公式都可以作为后续证明的前提，命题公式中含公式都可以作为

169、后续证明的前提，命题公式中 的任何子公式都可以用与之等价的命题公式置换。的任何子公式都可以用与之等价的命题公式置换。2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.8推理理论推理理论(Inference Theory)(Inference Theory)常用的蕴含式和等价式见课本常用的蕴含式和等价式见课本P43表表1-8.3、1-8.4例例1.如果考试及格，那我高兴。若我高兴，那么如果考试及格，那我高兴。若我高兴，那么我饭量增加。我的饭量没增加，所以我考试没有我饭量增加。我的饭量没增加，所

170、以我考试没有及格。试对上述论证构造证明。及格。试对上述论证构造证明。解：设解：设P：我考试及格：我考试及格.Q：我高兴。：我高兴。R：我饭量：我饭量增加。则此论证可表为增加。则此论证可表为(PQ) (QR) RP证证:2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory) (PQ) (QR) RP证证:1PQP2QRP3RP4QT，2，3I115PT，1，4I112024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理

171、论(InferenceTheory)例例2.证明证明R S是是前提前提C D,CR,DS的的有效结论有效结论。证：证：1.C DP2.CRP 3.DSP4.CDT，1E5.RCT，2E6.RST，5，4，3I137.R ST，6E2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.8推理理论推理理论(Inference Theory)(Inference Theory)例例3：PQ,QR,PS,SR(QP)证明：证明：1.PSP(前提引入前提引入)2.SP(前提引入前提引入)3.PT1,2I

172、I11114.PQP(前提引入前提引入)5.QT3,4I I11116.QRP(前提引入前提引入)7.RT5,6I I11118.R(QP)T4,7I I9 92024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章 命题逻辑命题逻辑（ProPositional LogicProPositional Logic） 1.8推理理论推理理论(Inference Theory)(Inference Theory)例例4：证明：证明(P(QR)(SQ)(PS)R.证证：（：（1）PSP（2）PT（1）I I1 1（3）ST（1）I I1 1（4）P（QR)P（5）QRT(2)，(4)I I1111（6）SQ

173、P（7）QT(3)，(6)I I1111（8）RT(5)，(7)I I11112024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)1.8.4间接证法间接证法(IndirectProof)1. 1.附加前提证明法附加前提证明法适用于如下类型蕴含式的证明适用于如下类型蕴含式的证明:(A1A2Ak)(AB)(*)欲证明欲证明(*)式，只需证明式，只需证明(A1A2AkA)B即可，因为即可，因为2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLog

174、ic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)(A1A2Ak)(AB)(A1A2Ak)(AB)(A1A2Ak)(AB) (A1A2Ak)(AB) A1A2AkAB (A1A2AkA)B (A1A2AkA)B(A1A2AkA)B这样一来这样一来,原来结论中的前件原来结论中的前件A就变成了前提就变成了前提,称称A为为附加前提附加前提.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)由证由证(A1A2AkA)B永真而证得永真而证得(A1A2Ak)(AB)永真的证明方法永真

175、的证明方法,称为称为附加前提证明法或附加前提证明法或CP规则规则.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)例例1:证明证明:(AB C) (BA) (DC)(AD)证：证：1.AB CP2.BAP3.DCP4.AP(附加前提附加前提)5.B CT1，4I I11116.ABT2,E7.CDT3，E8.BT4，6I I11119.CT5，8I I111110.DT7，9I I111111.AD，10CP2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（Pro

176、positionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)例例2：前提：前提：P(QR),SP,Q结论：结论：SR.证明：证明：1.SPP2.SP（附加（附加前提引入）前提引入）3.PT（1,2）I I11114.P(QR)P5.QRT（3,4）I I11116.QP7.RT（5,6）I I11 11 8.SRT（2,7）CPCP2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)2.归谬法归谬法定义定义1.8.21.8.2：设命题公式集合为设命题公式集合

177、为HH1 1, ,H H2 2, ,H H3 3, ,. ., ,H Hn n ，若，若H H1 1 H H2 2 H H3 3 . H Hn n为永假式，则称为永假式，则称HH1 1, ,H H2 2, ,H H3 3, ,. ., ,H Hn n 是不是不相容的，否则称为相容的。相容的，否则称为相容的。由于由于(A1A2Ak)B (A1A2Ak)B (A1A2AkB)故要证故要证(A1A2Ak)B永真永真,只需证只需证A1A2AkB永假永假.这种将这种将B作为附加前提作为附加前提推出矛盾的证明方法称为推出矛盾的证明方法称为归谬法归谬法.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题

178、逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)n例例1:证明证明(PQ)Q)(RQ)(RS)S)PP证证：1.PP(附加前提附加前提)2.PQQP3.QQT(1,2)I I11114.RQP5.RT(3,4)I I11116.RSSP7.RT(6)I I1 18.RR(矛盾）矛盾）T(5,7)由由8得出了矛盾得出了矛盾,根据归谬法说明原推理正确根据归谬法说明原推理正确.2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)n例

179、例2:从从P P QRQR S,(TQ)S,(TQ) (SU),R,(WP)(SU),R,(WP) (TU), (TU), 推推出出 WTWT证：证： 1. P1. P QRQR S P S P 2.(TQ) 2.(TQ) (SU) (SU) P P 3.(WP) 3.(WP) (TU) (TU) P P 4. R 4. R P P 5. W 5. W P(P(附加前提附加前提) )6. (R6. (R S) S) T 4 IT 4 I3 3 7. (P 7. (P Q) Q) T 1T 1，6 I6 I11118. P 8. P T 5T 5，3 I3 I1111 9. Q 9. Q T 7

180、T 7，8 I8 I1111 10. T 10. T T 9T 9，2 I2 I1111 11. WT 11. WT ,10 CP,10 CP2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)小结小结:本节将推理证明命题公式序列化本节将推理证明命题公式序列化.主要介绍主要介绍了推理证明重言蕴含式的直接证法和间接证法。了推理证明重言蕴含式的直接证法和间接证法。作业作业:1.P35:1,2,5,9 2.预习第二章预习第二章2.1,2.22024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命

181、题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)补充补充:分分情情况况证证明明欲证：欲证：(P1 P2 Pn)Q只需证明只需证明 ,1in,有有PiQ因为：因为：(P1 P2 Pn)Q(P1 P2 Pn) Q（P1 P2 Pn) Q(P1 Q) (P2 Q) (Pn Q)(P1Q) (P2Q) . (PnQ) 2024/9/20计算机科学与技术学院第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）1.8推理理论推理理论(InferenceTheory)例：证明（例：证明（(PQ) P) (P Q) P）)Q永永真真

182、证：情况证：情况11.PQP2.PP3.QT1，2I11情况情况21.P QP2.PP3.QT1，2I112024/9/20计算机科学与技术学院结结 束束谢 谢 !第一章第一章命题逻辑命题逻辑（PropositionalLogic）2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(Predicateanditsexpression)Predicateanditsexpression)2.2谓词公式与翻译谓词公式与翻译(Predicateformulae) )2.3变元的约束变元的约束(Boundofva

183、riable) )2.4谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences&implicationsofpredicatecalculus)2.5前束范式前束范式(Prenexnormalform) )2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论(Inferencetheoryofpredicatecalculus)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)n命题逻

184、辑的局限性命题逻辑的局限性：在命题逻辑中，命题是命题演算的基本在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不再对原子命题进行分解，因而无法单位，不再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内部结构、成分及命题之间的内研究命题的内部结构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法处理一些简单而又常见的在联系，甚至无法处理一些简单而又常见的推理过程。推理过程。2024/9/20计算机科学与技术学院n例如，下列推理：例如，下列推理：所有的人都是要死的。所有的人都是要死的。苏格拉底是人。苏格拉底是人。苏格拉底是要死的。苏格拉底是要死的。众所周知众所周知,这是真命题。但在命题逻辑中这是真命题。但在命题逻辑中,如如果用

185、果用P,Q,R表示以上三个命题，则上述推理过表示以上三个命题，则上述推理过程为：（程为：（PQ）R。借助命题演算的推理理。借助命题演算的推理理论不能论不能证明其为重言式证明其为重言式。第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)P

186、redicateandItsExpression)原因：原因：命题逻辑不能将命题之间的内在联系命题逻辑不能将命题之间的内在联系和数量关系反映出来。和数量关系反映出来。解决办法：解决办法：将命题进行分解。将命题进行分解。2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)2.1谓谓 词词 的的 概概 念念 与与 表表 示示 (Predicate and itsexpression)2.1.1客体客体

187、和和谓词谓词 在谓词逻辑中，可将在谓词逻辑中，可将原子命题原子命题划分为划分为客体客体和和谓词谓词两部分。两部分。客体客体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概：可以独立存在的具体事物的或抽象的概念。念。例例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑板、实数、中国、思想、唯物主义等，客体也板、实数、中国、思想、唯物主义等，客体也可称之为主语。可称之为主语。2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)Predicatean

188、dItsExpression)谓词：谓词：用来刻划客体的性质或客体之间的相互关系的词。用来刻划客体的性质或客体之间的相互关系的词。例如在下面命题中：例如在下面命题中：（1）张明是个劳动模范。）张明是个劳动模范。（2）李华是个劳动模范。）李华是个劳动模范。刻划客体的性质刻划客体的性质（3）王红王红是个大学生。是个大学生。（4）小李比小赵高小李比小赵高2cm。（5）点）点a在在b与与c之间。之间。刻划客体之间的相互关系刻划客体之间的相互关系（6）阿杜与阿寺同岁。阿杜与阿寺同岁。“是是个个劳劳动动模模范范”、“是是个个大大学学生生”、“比比高高2cm”、 “ 在在与与之间之间”都是都是谓词。谓词。2

189、024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)n刻刻划划一一个个客客体体性性质质的的词词称称之之为为一一元元谓谓词词,刻刻划划n个个客客体体之之间关系间关系的词称之为的词称之为n元谓词元谓词.n一般我们用大写英文字母表示一般我们用大写英文字母表示谓词，谓词，用小写英文字母用小写英文字母表示客体名称，例如，表示客体名称，例如，将上述谓词分别记作大写字母将上述谓词分别记作大写字母F、G、H、R，S

190、则上述命题可表示为：则上述命题可表示为：(1)F(a)a：张明张明(2)F(b)b：李华李华(3)G(c)c：王红王红(4)H(s,t)s：小李小李 t：小赵：小赵(5)R(a,b,c)(6)S(a,b)a:阿杜。阿杜。b:阿寺。阿寺。其中其中(1)、(2)、(3)为一元谓词，为一元谓词，(4)、(6)为二元谓词，为二元谓词，(5)为三元谓词。为三元谓词。2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpres

191、sion)n注注:n(1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填上客体所得到的式子称之为谓词填式。后填上客体所得到的式子称之为谓词填式。n(2)在谓词填式中，若客体确定，则在谓词填式中，若客体确定，则A(a1，a2.an)就变成了命题就变成了命题 n(3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的在多元谓词表达式中，客体字母出现的先后次序与事先约定有关先后次序与事先约定有关,一般不可以随意交一般不可以随意交换位置换位置(如如,上例中上例中H(s,t)与与H(t,s)代表两个不代表两个不同的命题同的命题)。2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词

192、逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)n设谓词设谓词H表示表示“是劳动模范是劳动模范”,a表示客体名称表示客体名称张明张明,b表示客体名称表示客体名称李华李华,c表示客体名称这只老表示客体名称这只老虎，虎，那么那么H(a)、H(b)、H(c)表示三个不同的命表示三个不同的命题题,但它们有一个共同的形式但它们有一个共同的形式,即即H(x).一般地，一般地，H(x)表示客体表示客体x具有性质具有性质H。这里。这里x表示抽象的或表示抽象的或泛指的客体，

193、称为泛指的客体，称为客体变元客体变元，常用小写英文字母，常用小写英文字母x,y,z,表示。相应地，表示具体或特定的客体表示。相应地，表示具体或特定的客体的词称为的词称为客体常项客体常项，常用小写英文字母，常用小写英文字母a,b,c,表表示。示。2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)同理，客体变元同理，客体变元x，y具有关系具有关系L，记作，记作L(x,y);客体变元客体变元x,y,z

194、具有关系具有关系A，记作，记作A(x,y,z).nH(x)、L(x,y)、A(x,y,z)本身并不是一个命题本身并不是一个命题.只只有用特定的客体取代客体变元有用特定的客体取代客体变元x,y,z后，它们才成为后，它们才成为命题。我们称命题。我们称H(x)、L(x,y)、A(x,y,z)为为命题函数。命题函数。一般地我们有一般地我们有2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)n定义定义2.

195、1.1:由一个谓词由一个谓词H和和n个客体变元组成的表个客体变元组成的表达式达式H(x1,x2,xn)称为称为n元元简单命题函数简单命题函数.n由定义可知由定义可知,n元谓词就是有元谓词就是有n个客体变元的个客体变元的命题命题函数函数.当当n=0时时,称为称为0元谓词元谓词.因此因此,一般情况下一般情况下,命题命题函数不是命题函数不是命题;特殊情况特殊情况0元谓词就变成一个命题元谓词就变成一个命题.n复合命题函数复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及由一个或几个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式逻辑联结词组合而成的表达式.2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑

196、谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)例例1:若若x的学习好的学习好,则则x的工作好的工作好设设S(x):x学习好；学习好；W(x):x工作好工作好则有则有S(x)W(x)例例2:将下列命题用将下列命题用0元谓词符号化元谓词符号化.(1)2是素数且是偶数是素数且是偶数.(2)如果如果2大于大于3,则则2大于大于4.(3)如果如果张明比李民高张明比李民高,李民比赵亮高李民比赵亮高,则张明比赵亮则张明比赵亮高高.2024/9/20计算机科学与技术

197、学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)n解解:(1)设设F(x):x是素数是素数.G(x):x是偶数是偶数.则则命题符号化为：命题符号化为：F(2)G(2)(2)设设L(x,y)：x大于大于y.则则命题符号化为：命题符号化为：L(2,3)L(2,4)(3)设设H(x,y):x比比y高高.a:张明张明b:李民李民c：赵亮：赵亮则则命题符号化为：命题符号化为：H(a,b)H(b,c)H(a,c)注注意意:命命题题函函数数

198、中中,客客体体变变元元在在哪哪些些范范围围内内取取特特定定的的值值,对命题的真值极有影响对命题的真值极有影响.2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)例如例如:H(x,y)H(y,z)H(x,z)n若若H(x,y)解释为解释为:x大于大于y,当当x,y,z都在实数中取值时都在实数中取值时,则这个式子表示则这个式子表示“若若x大于大于y且且y大于大于z，则，则x大于大于z”。这是一个永真

199、式。这是一个永真式。如果如果H(x,y)解释为解释为:“x是是y的儿子的儿子”,当当x,y,z都指人时都指人时，则这个式子表示，则这个式子表示“若若x为为y的儿子的儿子且且y是是z的儿子，的儿子，则则x是是z的儿子的儿子”。这是一个永假式。这是一个永假式。如果如果H(x,y)解释为解释为:“x距距y10米米”,当当x,y,z为平面上的为平面上的点，则这个式子表示点，则这个式子表示“若若x距距y10米且米且y距距z10米，则米，则x距距z10米米”。这个命题的真值将由。这个命题的真值将由x,y,z的具体位置的具体位置而定，它可能是而定，它可能是1，也可能是，也可能是0。2024/9/20计算机科

200、学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)n在命题函数中，客体变元的取值范围称为在命题函数中，客体变元的取值范围称为个体个体域域，又称之为论域。个体域可以是有限事物的，又称之为论域。个体域可以是有限事物的集合，也可以是无限事物的集合。集合，也可以是无限事物的集合。n全总个体域：全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体域称宇宙间一切事物组成的个体域称为为全总个体域。全总个体域。2024/9/20计算机科学与技术学院第二

201、章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)n2.1.2量词量词(Quantifiers)n量词量词：分为全称量词：分为全称量词( ( ) )和存在量词和存在量词( ( ) )1.全称量词全称量词(TheUniversalQuantifiers)对日常语言中的对日常语言中的“一切一切”、“所有所有”、“凡凡”、“每一每一个个”、“任意任意”等词，等词，用符号用符号“ ” 表示表示， 表示表示对个体域里的所有个体，对个体域里的所有个

202、体， ( () )表示个体域表示个体域里的所有个体具有性质里的所有个体具有性质F.符号符号“ ”称为称为全称量全称量词词.2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)例例3：在谓词逻辑中将下列命题符号化在谓词逻辑中将下列命题符号化.（1）凡是人都呼吸。）凡是人都呼吸。（2）每个学生都要参加考试。）每个学生都要参加考试。(3)任何整数或是正的或是负的。任何整数或是正的或是负的。解解:(1)当

203、个体域为当个体域为人类集合人类集合时：时：令令F(x):x呼吸。则（呼吸。则（1）符号化为）符号化为 xF(x)xF(x) 当个体域为当个体域为全总个体域全总个体域时：时：令令M(x):x是人。则（是人。则（1）符号化为）符号化为 x(M(x)x(M(x)F(x). F(x). 2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)(2)当个体域为当个体域为全体学生的集合全体学生的集合时：时：令令P

204、(x):x要参加考试。则（要参加考试。则（2）符号化为）符号化为 xP(x)xP(x) 当个体域为当个体域为全总个体域全总个体域时：时：令令S(x):x是学生。则（是学生。则（2）符号化为）符号化为 x(S(x)x(S(x)P(x). P(x). 2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)(3)当个体域为当个体域为全体整数的集合全体整数的集合时：时：令令P(x):x是是正正的的。N(x)

205、:x是是负负的的。则则（3）符符号化为号化为 x(P(x)x(P(x)N(x) 当个体域为当个体域为全总个体域全总个体域时：时：令令I(x):x是是整数整数。则（。则（3）符号化为）符号化为 x(I(x)x(I(x)(P(x)(P(x)N(x).). 2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)2.存在量词存在量词(TheExistentialQuantifiers)对日常语言中的对日常语

206、言中的“有一个有一个”、“有的有的”、“存在存在着着”、“至少有一个至少有一个”、 “存在一些存在一些”等等词，词，用符号用符号“ ” 表示表示， 表示存在个体域里的个体，表示存在个体域里的个体， ( () )表示存在个体域里的个体具有性质表示存在个体域里的个体具有性质F.符号符号“ ”称为称为存在存在量词量词.例例4：在谓词逻辑中将下列命题符号化在谓词逻辑中将下列命题符号化.（1）一些数是有理数。）一些数是有理数。（2）有些人活百岁以上。）有些人活百岁以上。2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的

207、概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)解解:(1)令令Q(x):x是有理数。则（是有理数。则（1）符号化为）符号化为 Q(x)（2）当个体域为）当个体域为人类集合人类集合时：时：令令G(x):x活百岁以上。则（活百岁以上。则（2）符号化为）符号化为 xG(x)当个体域为当个体域为全总个体域全总个体域时：时：令令M(x):x是人。则（是人。则（2）符号化为）符号化为 x(M(x)G(x) 2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓

208、词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)有时需要同时使用多个量词。有时需要同时使用多个量词。例例5.命命题题“对对任任意意的的x,存存在在y,使使得得x+y=5”,取取个个体域为实数体域为实数集合集合,则该命题则该命题符号化为符号化为: x yH(x,y).其中其中H(x,y):x+y=5.这是个真命题这是个真命题.2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)P

209、redicateandItsExpression)3.使用使用量词时应注意的问题量词时应注意的问题（1）在在不不同同的的个个体体域域，同同一一命命题题的的符符号号化化形形式式可能相同也可能不同。可能相同也可能不同。（2）在在不不同同的的个个体体域域，同同一一命命题题的的真真值值可可能能相相同同也也可可能能不不同同。(如如,R（x）表表示示x为为大大学学生生。如如果个体域为大学里的某个班级的学生，则果个体域为大学里的某个班级的学生，则 xR（x）为为真真；若若个个体体域域为为中中学学里里的的某某个个班班级的学生，则级的学生，则 xR（x）为假）为假.).2024/9/20计算机科学与技术学院第二

210、章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)（3）约约定定以以后后如如不不指指定定个个体体域域，默默认认为为全全总总个个体体域域。对对每每个个客客体体变变元元的的变变化化范范围围,用用特特性性谓谓词词加加以限制以限制.特特性性谓谓词词:限限定定客客体体变变元元变变化化范范围围的的谓谓词词(如如例例3中中的的M（x）).一般而言，对全称量词，特性谓词常作蕴含的前一般而言，对全称量词，特性谓词常作蕴含的前件，如（件，如（ x）(M(x

211、)F(x)；对存在量词，特性；对存在量词，特性谓词常作合取项，如（谓词常作合取项，如（ x）(M(x)G(x).2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)(4)一一般般来来说说，当当多多个个量量词词同同时时出出现现时时，它它们们的的顺顺序不能随意调换。如：序不能随意调换。如：在在实实数数域域上上用用H(x,y)表表示示x+y=5,则则命命题题“对对于于任任意意 的的 x,都都 存存 在在

212、 y使使 得得 x+y=5”可可 符符 号号 化化 为为 ： x yH(x,y),其其真真值值为为1.若若调调换换量量词词顺顺序序后后为为： y xH(x,y),其真值为其真值为0。(5)当个体域为有限集合时当个体域为有限集合时,如如D=a1,a2,an,对任对任意谓词意谓词A(x),有有2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression) ( x)A(x)A(a1)A(a2)A(an)（ x）A

213、(x)A(a1)A(a2)A(an)例例6：在谓词逻辑中将下列命题符号化：在谓词逻辑中将下列命题符号化.（1）所有的人都长头发。）所有的人都长头发。（2）有的人吸烟。）有的人吸烟。（3）没有人登上过木星。）没有人登上过木星。（4）清华大学的学生未必都是高素质的。）清华大学的学生未必都是高素质的。解：令解：令M(x):x是人。（特性谓词）是人。（特性谓词）（1）令令F(x):x长头发。则符号化为：长头发。则符号化为：（ x）(M(x)F(x)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(Pred

214、icateandItsExpression)PredicateandItsExpression)（2）令令S(x):x吸烟。则符号化为：吸烟。则符号化为： （ x x）(M(x)(M(x)S(x)(x)（3）令令D(x):x登上过木星。则符号化为：登上过木星。则符号化为： ( ( x)(M(x)D(x)x)(M(x)D(x)（4）令令Q(x):x是是清清华华大大学学的的学学生生。H(x):x是是高高素素质的。则符号化为：质的。则符号化为： ( ( x)(Q(x)x)(Q(x)H(x)(x)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.

215、12.1谓词的概念与表示谓词的概念与表示(PredicateandItsExpression)PredicateandItsExpression)小结小结:本节将原子命题进行分解本节将原子命题进行分解,分为客体和谓词分为客体和谓词两部分两部分.进而介绍了客体和谓词、一元谓词和进而介绍了客体和谓词、一元谓词和n元元谓词谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握重点掌握一元谓词和一元谓词和n元谓词的概念、元谓词的概念、全称量词全称量词和存在量词及量化命题的符号化。和存在量词及量化命题的符号化。作业作业:1.预习第二章预习第二章2.2,2.32.习题习题

216、2.12024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.2谓词公式与翻译谓词公式与翻译(Predicateformulae) )n2.2谓词公式与翻译谓词公式与翻译(Predicateformulae) nn元元谓词谓词A(x1，x2.xn)称为谓词演算的称为谓词演算的原子公式。原子公式。定义定义2.2.1谓词演算的谓词演算的合式公式合式公式,可由下述各条组成可由下述各条组成:（1）原子公式是合式公式。）原子公式是合式公式。（2）若）若A是合式公式，则是合式公式，则(A)也是合式公式。也是合式公式。（3）若）若A，B是合式公式，则是合式公

217、式，则(AB)，(AB)，(AB)，(AB)也是合式公式。也是合式公式。（4）若若A是是合合式式公公式式，x是是A中中出出现现的的任任何何变变元元,则则( x)x)A,( x)x)A，也是合式公式。，也是合式公式。(5)只有有限次应用只有有限次应用(1)(4)得到的公式是得到的公式是合式公式合式公式.2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.2谓词公式与翻译谓词公式与翻译(Predicateformulae) )例例1：在谓词逻辑中将下列命题符号化在谓词逻辑中将下列命题符号化.（1）凡正数都大于零。）凡正数都大于零。（2）存在小于

218、）存在小于2的素数。的素数。（3）没有不能表示成分数的有理数。）没有不能表示成分数的有理数。（4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。解：（解：（1）令令F(x):x是正数。是正数。M(x):x大于零。则大于零。则符号化为：（符号化为：（ x）(F(x)M(x)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.2谓词公式与翻译谓词公式与翻译(Predicateformulae) )（2）令令E(x):x小于小于2。S(x):x是素数。是素数。则符号化为：则符号化为：（ x)(E(x)S(x)真值为

219、真值为0。（3）令令D(x):x是是有有理理数数。F(x):x能能表表示示成成分分数数。则符号化为：则符号化为：( x)(D(x)F(x)或或( x)(D(x)F(x)真值为。真值为。（4）令令M(x)：x是是人人.Q(x):x参参加加考考试试。H(x):x取取得得好成绩。则符号化为：好成绩。则符号化为：( x)(M(x)Q(x)H(x)或或( x)(M(x)Q(x)H(x)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.2谓词公式与翻译谓词公式与翻译(Predicateformulae) )n例例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化在谓词

220、逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练）所有运动员都钦佩某些教练.（2）有些运动员不钦佩教练）有些运动员不钦佩教练.设：设：L(x):x是运动员是运动员 J(y):y是教练是教练 A(x,y):x钦佩钦佩y(1) (1) ( x)x)( (L(x)L(x)（ y)y)( (J(y)(y)A(x,y)(x,y) ) )(2)(2)（ x)x)( (L(x)L(x)( y)y)( (J(y)(y)A(x,y)(x,y) ) )2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.2谓词公式与翻译谓词公式与翻译(Predicate

221、formulae) )n例例3：在谓词逻辑中将下列命题符号化在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚的巨著）那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚的巨著.（2）P63 (7) 解解: (1)设：设：S(x):x是大学生是大学生. A(x):x戴眼镜戴眼镜. B(x):x用功用功. D(x):x是巨著是巨著. F(x,y):x看看y. E(y):y是大的是大的. G(y):y是厚的是厚的. a:那位那位 b:这本这本(1)(1)符号化为符号化为: A(a)B(a)S(a)D(b)E(b)G(b)F(a,b)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓

222、词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.2谓词公式与翻译谓词公式与翻译(Predicateformulae) )（2）设：）设：P(x,y):x在在y连续连续.Q(x,y):x大于大于y.(2)符号化为符号化为:P(f,a)( )(Q(,0)( )Q(,0)( x)(Q(,)Q(,)P(f,a)( )( )( x)(Q(,0)(Q(,0)(Q(,)Q(,). 2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.2谓词公式与翻译谓词公式与翻译(Predicateformulae) )n小结：小结：本节介绍了本节介绍了谓词合式谓词合

223、式公式的概念，公式的概念，重点掌握重点掌握谓词公式的翻译谓词公式的翻译. . 作业作业: P41 1: P41 1，2 22024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.3变元的约束变元的约束(Boundofvariable) )2.3变元的约束变元的约束(Boundofvariable)2.3.1变元的约束变元的约束2.3.2约束变元的约束变元的换名与换名与自由变元的自由变元的代入代入2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.3变元的约束变元的约束(Boundofvari

224、able) )2.3.1变元的约束变元的约束(Boundofvariable)定定 义义 2.3.1:在在 谓谓 词词 公公 式式 中中 ,形形 如如 ( x)P(x)和和( x)P(x)的部分的部分,称为谓词称为谓词公式的公式的x约束部分约束部分.( x)P(x)或或( x)P(x)中的中的x叫做叫做量词的量词的指导变元指导变元或或作用变作用变元元，P(x)称为称为相应量词的相应量词的作用域作用域或或辖域辖域。2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.3变元的约束变元的约束(Boundofvariable) )在在 x和和 x的

225、辖域中，的辖域中，x的所有出现都称为的所有出现都称为约束出约束出现现，相应的，相应的x称为称为约束变元约束变元;P(x)中除约束变元以中除约束变元以外出现的变元称为是外出现的变元称为是自由变元自由变元。例例1：1、 x(H(x,y)y(W(y)L(x,y,z)2、 x(H(x)W(y) y(F(x)L(x,y,z)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.3变元的约束变元的约束(Boundofvariable) )n说明说明:(1)n元谓词公式元谓词公式A(x1，x2.xn)中有中有n个自由变元个自由变元,若若对其中的对其中的k(

226、kn)个进行约束个进行约束,则构成了则构成了n-k元谓词元谓词;如果一个公式中没有自由变元出现如果一个公式中没有自由变元出现,则该公式就则该公式就变成了一个命题变成了一个命题(2)一个公式的约束变元所使用的名称符号是无关一个公式的约束变元所使用的名称符号是无关紧要的紧要的,如如( x)M(x)与与( y)M(y)意义相同意义相同.2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.3变元的约束变元的约束(Boundofvariable) )n2.3.2约束变元的约束变元的换名与换名与自由变元的自由变元的代入规则代入规则在例在例1中中,一个变

227、元在同一个公式中既是自由一个变元在同一个公式中既是自由出现又是约束出现出现又是约束出现,这样在理解上容易发生混淆这样在理解上容易发生混淆.为为了避免这种混乱了避免这种混乱,可对可对约束变元进行换名约束变元进行换名.换名规则换名规则:(对约束变元而言）对约束变元而言）对约束变元进行换名对约束变元进行换名,使得一个变元在一个公式中使得一个变元在一个公式中只呈一种形式出现只呈一种形式出现.2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.3变元的约束变元的约束(Boundofvariable) )(1)约束变元可以换名约束变元可以换名,其更改的

228、变元名称范围是量其更改的变元名称范围是量词中的指导变元以及该量词作用域中所出现的该词中的指导变元以及该量词作用域中所出现的该变元变元,公式的其余部分不变公式的其余部分不变.(2)换名时一定要更改为作用域中没有出现的变元换名时一定要更改为作用域中没有出现的变元名称名称.2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.3变元的约束变元的约束(Boundofvariable) )n例例1: x(P(x)R(x,y)L(x,y)换名为换名为 t(P(t)R(t,y)L(x,y)n x(H(x,y)y(W(y)L(x,y,z)换名为换名为 x(H

229、(x,y)s(W(s)L(x,s,z)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.3变元的约束变元的约束(Boundofvariable) )n代入规则代入规则（对自由变元而言）（对自由变元而言）对公式中自由变元的更改称为代入对公式中自由变元的更改称为代入(1)对于谓词公式中的自由变元可以作代入对于谓词公式中的自由变元可以作代入,代入时代入时需要对公式中出现该自由变元的需要对公式中出现该自由变元的每一处每一处进行进行;(2)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不能相同能相同.例如对例例如对例

230、1中的公式中的公式 x(P(x)R(x,y)L(x,y)自由变元自由变元y用用z来代入来代入,得得 x(P(x)R(x,z)L(x,z)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.3变元的约束变元的约束(Boundofvariable) )n小小结结：本本节节介介绍绍了了约约束束变变元元、自自由由变变元元的的概概念念，重点掌握重点掌握约束变元的约束变元的换名与换名与自由变元的自由变元的代入代入. . 作业作业: : P43:2，32024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2

231、.4谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式2.4谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences&implicationsofpredicatecalculus)2.4.1谓词的等价和永真的概念谓词的等价和永真的概念2.4.2谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.4谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式2.4.1谓词的等价和永真的概念谓词的等价和永真的概念定定义义2.4.1:给给定定任任意意的的谓谓词词公公式式A,其其个个体体域域为为

232、E,对对于于A的的所所有有赋赋值值,公公式式A都都为为真真,则则称称A在在E上上是是永永真真的的(或或有有效效的的);若若对对于于A的的所所有有赋赋值值,公公式式A都都为为假假,则则称称A在在E上上是是永永假假的的(或或不不可可满满足足的的);若若至至少少存存在在着着一一种种赋赋值值使使得得公公式式A为真为真,则称则称A在在E上是上是可满足的可满足的.n定义定义2.4.2:给定任何两个谓词公式给定任何两个谓词公式A、B，设它们有共，设它们有共同的个体域同的个体域E，若对，若对A和和B的任一组变元进行赋值，所的任一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称得命题的真值相同，则称谓词公式谓词公式A和

233、和B在在E上等价上等价，并记为并记为A B2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.4谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式n1、命题公式的推广、命题公式的推广在命题公式中成立的式子，用谓词公式去代换其在命题公式中成立的式子，用谓词公式去代换其中相应的命题变元，得到的公式依然成立中相应的命题变元，得到的公式依然成立如：如： x x(P(x)P(x)Q(x)Q(x) x x(P(x) P(x) Q(x) Q(x) P(x)P(x)Q(x)Q(x)（P(x) P(x) Q(x)Q(x)）等等n2、量词与、量词与之间的关系之间

234、的关系 ( ( x)P(x)x)P(x)( ( x)x)P(x)P(x) ( x)P(x)x)P(x)( ( x)x)P(x) P(x) 2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.4谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式n3 3、量词辖域的扩张与收缩、量词辖域的扩张与收缩量词辖域中如果有合取或析取项，且其中有一个量词辖域中如果有合取或析取项，且其中有一个是命题，则可将该命题移至量词辖域之外。如：是命题，则可将该命题移至量词辖域之外。如：（ x）（A(x)B）（ x）A(x)B（ x）（A(x)B）（ x）A(x)B（ x

235、）（A(x)B）（ x）A(x)B（ x）（A(x)B）（ x）A(x)B2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.4谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式n量词辖域的扩张量词辖域的扩张（ xA(x)B）（ x)(A(x)B）(（ x)A(x)B)( x)(A(x)B）(B( x)A(x)）（ x)(BA(x)）(B( x)A(x)( x)(BA(x)另有多个公式见课本另有多个公式见课本70页页2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.4谓词演算的等价式与蕴

236、含式谓词演算的等价式与蕴含式n4、量词分配等值式、量词分配等值式设设A(x)、B(x)是任意的含自由出现个体变元是任意的含自由出现个体变元x的的公式，则公式，则(1) x(A(x)B(x)xA(x) xB(x)(2) x(A(x)B(x)xA(x) xB(x)(3) x(A(x)B(x) xA(x) xB(x)(4) x(A(x)B(x)xA(x) xB(x)2024/9/20计算机科学与技术学院n5.谓词演算蕴含式谓词演算蕴含式n xA(x)xA(x) xB(x)xB(x) x(A(x)B(x)x(A(x)B(x) x(A(x)B(x) x(A(x)B(x) x A(x) x A(x) x

237、B(x)x B(x) 6.6.多个量词的使用多个量词的使用 多个量词同时出现时多个量词同时出现时, ,其顺序是至关重要的其顺序是至关重要的. .第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.4谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.4谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式n 2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.4谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的等价式与蕴含式n小小结结：本本节节介

238、介绍绍了了谓谓词词公公式式的的概概念念及及谓谓词词演演算算的的等等价价式式与与蕴蕴涵涵式式，重重点点掌掌握握谓谓词词演演算算的的等等价价式式与与蕴涵式蕴涵式n作业作业:P50:1(1),(3)；2,3(1)；42024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) )2.5前束范式前束范式(Prenexnormalform)2.5.1前束范式前束范式(Prenexnormalform)2.5.2前束析取范式和前束合取范式前束析取范式和前束合取范式(Prenexdisjunctivenorm

239、alform&Prenexconjunctivenormalform)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) )2.5.1前束范式前束范式(Prenexnormalform) )n定义定义2.5.1:任何一个谓词公式任何一个谓词公式A，如果具有如下形式：，如果具有如下形式：(x1)(x2)(xn)B其中其中可能是量词可能是量词 或量词或量词 ，xi（i=1，n）是客体变是客体变元，元，B是不含量词的是不含量词的谓词公式，则称谓词公式，则称A是前束范式。是前束范式。n说说明明

240、:前前束束范范式式的的量量词词均均在在全全式式的的开开头头,它它们们的的作作用用域域延延伸到整个公式的末尾。伸到整个公式的末尾。n例例1: x y（F(x)G(y)）H(x,y)） x y(F(x,y)G(y,z) xH(x,y,z)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) )n定理定理2.5.1:任何一个谓词公式任何一个谓词公式,均和一个前束范均和一个前束范式等价。式等价。前束范式的求法：前束范式的求法：第一步：否定深入。即利用量词转化公式，把否定联结第一步：否定深入。即利

241、用量词转化公式，把否定联结词深入到命题变元和词深入到命题变元和谓词填式的谓词填式的前面。前面。第第二二步步：改改名名。即即利利用用换换名名规规则则、代代入入规规则则更更换换一一些些变变元的名称，以便消除混乱。元的名称，以便消除混乱。第第三三步步：量量词词前前移移。即即利利用用量量词词辖辖域域的的收收缩缩与与扩扩张张把把量量词移到前面。这样便可求出与公式等价的前束范式。词移到前面。这样便可求出与公式等价的前束范式。2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) )例例2:2:求下列公

242、式的前束范式。求下列公式的前束范式。2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) )n解解:2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) ) 2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) )n 2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻

243、辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) ) 2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) )2.5.2前束析取范式和前束合取范式前束析取范式和前束合取范式(Prenexdisjunctivenormalform&Prenexconjunctivenormalform) )n在前束范式的基础上在前束范式的基础上,可以定义前束析可以定义前束析(合合)取范式取范式.n定定义义2.6.2:任任何何一一个个谓谓词词公公式式A，

244、如如果果具具有有如如下下形形式式则则称为前束合取范式：称为前束合取范式：(x1)(x2)(xn)(A11A12A1k1)(A21A22A2k2)(Am1Am2Amkm) 其其中中n大大于于等等于于1,Aij(j=1,ki,i=1,2,3,m)为为原原子子谓谓词词公公式式或或其其否否定定,为为量量词词 或或量量词词 ，xi（i=1，n）为为客客体变元体变元.2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) )n任任何何一一个个谓谓词词公公式式A，如如果果具具有有如如下下形形式式则则称称

245、为为前束析取范式：前束析取范式：(x1)(x2)(xn)(A11A12A1k1)(A21A22A2k2)(Am1Am2Amkm)其中其中n大于等于大于等于1,Aij(j=1,ki,i=1,2,3,m)为原子为原子谓词公式或其否定谓词公式或其否定,为为量词量词 或量词或量词 ，xi（i=1，n）为）为客体变元客体变元.n定理定理2.6.2:每一个谓词公式都可以转化为与其等每一个谓词公式都可以转化为与其等价的前束析价的前束析(合合)取范式取范式.2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalFo

246、rm) )例例2:2:求下列公式的前束求下列公式的前束析取析取范式和前束范式和前束合取合取范式范式. .解解: :2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic） 2.5前束范式前束范式(PrenexNormalForm) )小结：小结：本节介绍了本节介绍了谓词公式的谓词公式的前束范式、前束前束范式、前束析取析取范式和前束范式和前束合取合取范式范式. .重点掌握重点掌握前束前束析取析取范式和前束范式和前束合取合取范式求法。范式求法。作业作业: P53 (2),(4): P53 (2),(4)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章谓

247、词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论(Inferencetheoryofpredicatecalculus)2.6.1推理规则推理规则(Rulesofinference)2.6.2证明举例证明举例 (Examplesofproof)2024/9/20计算机科学与技术学院2.6.1推理规则推理规则(Rulesofinference)在谓词演算中，推理的形式结构仍为在谓词演算中，推理的形式结构仍为H1 H2 H3 . HnC若若H1 H2 H3 . HnC是永真式，则称由前提是永真式，则称由前提H1,H2

248、,H3,.,Hn逻辑的推出结论逻辑的推出结论C，但在，但在谓词逻谓词逻辑中辑中,H1,H2,H3,.,Hn,C均为谓词公式。均为谓词公式。命题演算中的推理规则，可在谓词推理理论中应用。命题演算中的推理规则，可在谓词推理理论中应用。第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论2024/9/20计算机科学与技术学院与量词有关的与量词有关的四条重要四条重要推理规则推理规则：1、全称指定规则（、全称指定规则（US规则）规则）2、全称推广规则（、全称推广规则（UG规则）规则）3、存在指定规则（、存在指定规则（ES规则）规则）4、存在推广规则（、存

249、在推广规则（EG规则）规则）注意：只能对前束范式适用上述规则。注意：只能对前束范式适用上述规则。第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论2024/9/20计算机科学与技术学院n1. 全称指定规则（全称指定规则（ US ）：）： x P(x)x P(x) P(c)使用此规则时要注意：使用此规则时要注意：（1）x是是P(x)中的自由变元；中的自由变元；（2）c是论域中的某个任意的客体是论域中的某个任意的客体.第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论2024/9/20计算机科学

250、与技术学院n2.全称推广规则（全称推广规则（UG）：）： P(y)P(y) x Px P(x)使用此规则时注意使用此规则时注意:(1)y在在P(y)中自由出现，且中自由出现，且y取任何值时取任何值时P均为真。均为真。(2)x不在不在P(y)中约束出现中约束出现. 第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论n3.存在指定规则存在指定规则(ES): x x P(x)P(c) P(c) 注注:c:c是论

251、域中的某些客体是论域中的某些客体,c,c并不是任意的并不是任意的使用此规则时应注意：使用此规则时应注意：c是使是使P为真的特定客体；为真的特定客体；2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论(4)(4)存在推广规则存在推广规则(EG):(EG): P(c)P(c) x x P(x)使用此规则时注意使用此规则时注意:(1)C是个体域中某个确定的个体。是个体域中某个确定的个体。(2)代替代替C的的x不能已在不能已在P(c)中出现。中出现。2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章谓词逻辑谓词逻

252、辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论例例1证证明明苏苏格格拉拉底底三三段段论论:凡凡是是人人都都是是要要死死的的。苏苏格格拉底是人。苏格拉底是要死的。拉底是人。苏格拉底是要死的。设：设：M(x):x是人。是人。D(x):x是要死的。是要死的。a:苏格拉底。苏格拉底。则则前提前提： x(M(x)D(x)，M(a）.结论结论：D(a).证明证明： x(M(x)D(x)PM(a)D(a)USM(a)PD(a)TI11(直接证法直接证法)2.6.2证明举例证明举例(Examplesofproof)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑

253、（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论 例例2:前提：前提： x(F(x)G(x)， xG(x).结论：结论： xF(x).证明：证明： xG(x)P xG(x)T置换规则置换规则G(a)US x(F(x)G(x)PF(a)G(a)USF(a)T xF(x)EG2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论例例3:前提：前提： x(A(x)B(x)， xA(x)结论：结论： xB(x)证明证明： xA(x)P前提引入前提引入A(c)ES x(A(x)B(x)P前提引

254、入前提引入A(c)B(c)USB(c)T xB(x)EG注意：注意：引入的顺序不可更改！引入的顺序不可更改！2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论例例4:4:前前提提： x(F(x)G(x), x(F(x)G(x), x(x(R(x)R(x)G(x), G(x), x R(x).x R(x). 结论：结论： x F(x)x F(x) .(.(归谬法归谬法) )证明证明： x F(x)x F(x) P P结论否定引入结论否定引入 x x F(x) TF(x) T F(a) ES F(a) ES

255、x(F(x)G(x) Px(F(x)G(x) PF(a)G(a) US F(a)G(a) US G(a) T(a) T2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论 x(R(x)G(x)PR(a)G(a)USR(a)T xR(x)P(11)R(a)US(12)R(a)R(a)矛盾式矛盾式2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论n例例5:证明证明: x(P(x)Q(x)=( x)P(x)( x)Q(x)(

256、附加前提法附加前提法)n证明：证明：(1)( x)P(x)P(附加前提附加前提)(2)( x)P(x)T(1)(3)P(c)ES(2)(4) x(P(x)Q(x)P(5)P(c)Q(c)US(4)2024/9/20计算机科学与技术学院第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2.6谓词演算的推理理论谓词演算的推理理论n(6)Q(c)T(3)(5)n(7)( x)Q(x)EG(6)n(8) ( x)P(x)( x)Q(x)CP小结：小结：本节介绍了谓词演算的推理规则本节介绍了谓词演算的推理规则,并举例说并举例说明了它们的应用明了它们的应用.重点重点:深刻理解四个推理规则深刻理解

257、四个推理规则,会应用它们推理证明会应用它们推理证明.作业作业:P582(1),(4)；32024/9/20计算机科学与技术学院结结 束束谢 谢 !第二章第二章谓词逻辑谓词逻辑（PredicateLogic）2024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系（SetsandRelations) 本章首先采用朴素集合论的方法，介绍有关集合的一些本章首先采用朴素集合论的方法，介绍有关集合的一些基本知识，内容显得较为直观，学起来易于接受。但集合及基本知识，内容显得较为直观，学起来易于接受。但集合及其相关的概念是本门课程后面各章内容的基础，同学们务必其相关的概念是本门课程后面各章内

258、容的基础，同学们务必熟练的掌握。熟练的掌握。本本章重点讨论关系（主要是二元关系），它仍章重点讨论关系（主要是二元关系），它仍然是一种集合，但它是一种更为复杂的集合。它的元素是有然是一种集合，但它是一种更为复杂的集合。它的元素是有序二元组的形式，这些有序二元组中的两个元素来自于两个序二元组的形式，这些有序二元组中的两个元素来自于两个不同或者相同的集合。因此，关系是建立在其它集合基础之不同或者相同的集合。因此，关系是建立在其它集合基础之上的集合。关系中的有序二元组反映了不同集合中元素与元上的集合。关系中的有序二元组反映了不同集合中元素与元素之间的关系，或者同一集合中元素之间的关系。本章讨论素之间的

259、关系，或者同一集合中元素之间的关系。本章讨论这些关系的表示方法、关系的运算以及关系的性质，最后讨这些关系的表示方法、关系的运算以及关系的性质，最后讨论集合论集合A上几类特殊的关系。上几类特殊的关系。2024/9/20计算机科学与技术学院 3.6复合关系与逆关系复合关系与逆关系(CompoundRelations&InverseRelations)3.7关系的闭包运算关系的闭包运算(ClosureOperations)3.8等价关系与相容关系等价关系与相容关系(EquivalentRelations&CompatibilityRelations)3.9序关系序关系(OrderedRelation

260、s)3.1集合的基本概念集合的基本概念(TheBasicConceptsofSets)3.2集合的运算集合的运算(OperationsWithSets)3.3序偶与笛卡尔积序偶与笛卡尔积(OrderedPairs&CartesianProduct)3.4关系及其表示关系及其表示(Relations&TheirsPresentations)3.5关系的性质及其判定关系的性质及其判定(ThePropetiesofRelations)第三章第三章 集合与关系集合与关系（SetsandRelations)2024/9/20计算机科学与技术学院3.1集合的基本概念集合的基本概念(TheBasicConc

261、eptsofSets)3.1.1集合和元素集合和元素(Sets&Elements)3.1.2集合间的关系集合间的关系(Relationsbetweensets)3.1.3幂集幂集(Powerset)第三章第三章 集合与关系集合与关系（SetsandRelations)2024/9/20计算机科学与技术学院例如例如 全体中国人可组成一个集合，每一个中国全体中国人可组成一个集合，每一个中国人均是这个集合的元素人均是这个集合的元素. . 3.1.1集合和元素集合和元素(Sets&Elements)1. 1. 集合和元素集合和元素 v 定义定义3.1.13.1.1 把一些确定的、彼此不同的事把一些确定

262、的、彼此不同的事物作为一个整体来看待时，这个整体便称为物作为一个整体来看待时，这个整体便称为是一个是一个集合集合。v 组成集合的那些个体称为集合的组成集合的那些个体称为集合的元素元素。第三章第三章 集合与关系集合与关系（SetsandRelations)2024/9/20计算机科学与技术学院又例如又例如所有的正整数组成一个集合，每一个所有的正整数组成一个集合，每一个正整数均是这个集合的元素。正整数均是这个集合的元素。通通常常用用大大写写英英文文字字母母来来标标记记集集合合，用用小小写写英英文字母标记组成集合的个体文字母标记组成集合的个体.若个体若个体a是集合是集合A的元素，则记作的元素，则记作

263、“aA”若若a不是集合不是集合A的元素，则记作的元素，则记作“aA”第三章第三章 集合与关系集合与关系（SetsandRelations)2024/9/20计算机科学与技术学院2.几个常用集合的表示符号：N：所有自然数的集合。：所有自然数的集合。Q：所有有理数的集合。：所有有理数的集合。I(或或Z)：所有整数的集合。：所有整数的集合。P：所有素数的集合。：所有素数的集合。R：所有实数的集合。：所有实数的集合。Nm：从：从1到到m，这，这m个正整数的集合。个正整数的集合。C:所有复数的集合。所有复数的集合。Zm：从：从0到到m-1，这，这m个非负整数的集合。个非负整数的集合。R+：所有正实数的集

264、合。：所有正实数的集合。R-：所有负实数的集合。：所有负实数的集合。于是于是2N，2.5N，-3N，但，但2.5Q，-3I。第三章第三章 集合与关系集合与关系（SetsandRelations)2024/9/20计算机科学与技术学院3.集合的表示方法集合的表示方法(1)列列举举法法：按按任任意意顺顺序序逐逐一一列列举举集集合合中中的的元元素于花括号内，元素之间用逗号隔开。素于花括号内，元素之间用逗号隔开。例如例如：A=2,a,b,9,B=4,5,6,7,8(2)描描述述法法：给给定定一一个个条条件件P(x)，当当且且仅仅当当个个体体a使使P(a)成立时，成立时，aA。其一般形式为。其一般形式为

265、A=a P(a) 例如例如上述集合上述集合B=a aN且且4a8又如又如C=2i iZ+,即即C=20,21,22,23,D=2x xZ+且且x50,即即D=0,2,4,6,98,1002024/9/20计算机科学与技术学院4.集合的基数集合的基数集集合合A中中不不同同元元素素的的个个数数称称为为集集合合A的的基基数数，记作记作 。例如例如 N,Z+,I,R等均为无限集等均为无限集。例例如如 上上页页中中的的集集合合， =4=4， =5=5， =51=51，集集合合C有有无无穷穷多多个个元元素素，因因此此C的的基基数数是是无无穷大。穷大。若若 是是有有限限数数，则则称称A为为有有限限集集，否否

266、则则称称A为为无限集。无限集。2024/9/20计算机科学与技术学院5.5.空集空集定义定义3.1.2 不含有任何元素的集合，称为不含有任何元素的集合，称为空集空集， 记作记作。例如例如A=x|xR且且x2+8=0=第三章第三章 集合与关系集合与关系（SetsandRelations)2024/9/20计算机科学与技术学院练习练习3.1.11.用列举法表示下列集合用列举法表示下列集合（1）A=a|aP且且a2020（2）B=a|a|=例例3 Q=例例42024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)例例5 5 设设 。 由由 到到 的的关

267、关系系 定定义义为为：当当且且仅仅当当a a整整除除b b时时，有有 。 定定义义3.4.2 设设 是是由由A到到B的的一一个个关关系系， 的的定定义义域域或或前前域域记记作作dom dom ， 的的值值域域记记作作ran ran ，分分别别定定义为：义为：显然有显然有 于是于是 的定义域的定义域 ，值域，值域 . . 2024/9/20计算机科学与技术学院3.4.2几种特殊的关系几种特殊的关系(SeveralspecialRelations) 空关系空关系 对任意集合对任意集合 . . 所以所以 是由是由 到到 的关系，的关系， 也是也是 上的关系，称上的关系，称为空关系。为空关系。 全域关

268、系全域关系 因为因为 , , ,所以所以是一个由是一个由 到到 的关系的关系, ,称为由称为由 到到 的的全域关系全域关系。 是是 上的一个关系上的一个关系, ,称为称为 上的上的全域关系全域关系。 常将常将 记作记作 2024/9/20计算机科学与技术学院 是是 上的恒等关系。上的恒等关系。 恒等关系恒等关系定义集合定义集合 上的恒等关系上的恒等关系例例6 6 设设 则则 是是上的全域关系。上的全域关系。2024/9/20计算机科学与技术学院3.4.3关系的表示关系的表示(TheexpressionofRelations)第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets & Relations)

269、1.1.集合表示法集合表示法用用表示集合的列举法或描述法来表示关系表示集合的列举法或描述法来表示关系。 例例7 7 设设A=2,3,4,8,B=1,5,7,用描述法定用描述法定义由义由A到到B的关系的关系，试用列，试用列举法将举法将表示出来。表示出来。解解 2024/9/20计算机科学与技术学院 例例8有王、张、李、何是某校的老师，该校有三门有王、张、李、何是某校的老师，该校有三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文和数课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何可以学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何可以教英语，若记教英语，若记A=王，张，李，

270、何王，张，李，何，B=语文，数学，语文，数学，英语英语。那么这些老师与课程之间的对应关系就可以。那么这些老师与课程之间的对应关系就可以用由用由A到到B的一个关系的一个关系中的序偶来表示。中的序偶来表示。=王王,语文语文,王王,数学数学,张张,语文语文,张张,英语英语,李李,数数学学,何何,英语英语2024/9/20计算机科学与技术学院2.矩阵表示法矩阵表示法 例例7 7中中由由A到到B的的关关系系 可可以以用用一一个个 的的矩矩阵阵来来表表示示。 1 5 7 1 5 7 定义定义3.4.3 设设 A、B 都是有限集，都是有限集， , , ，由，由A到到B的关系的关系 可以用一个可以用一个 的矩

271、阵的矩阵 来表示，来表示， 的第的第i i行第行第j j列的元素列的元素 取值如取值如下：下：矩阵矩阵 称为称为 的关系矩阵。的关系矩阵。 2024/9/20计算机科学与技术学院1234例例9 9 设设 ，A上的关系上的关系解解则则 可以用一个可以用一个 的矩阵来表示。的矩阵来表示。 2024/9/20计算机科学与技术学院3.关系图表示法关系图表示法关系图由结点和边组成关系图由结点和边组成 例如，例如， 例例7 7中的中的 ， , ,AB则则 的关系图如下的关系图如下2024/9/20计算机科学与技术学院例如例如 例例9 9中的中的 ， 的关系图如下：的关系图如下： 2024/9/20计算机科

272、学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)小结小结: 本节介绍了本节介绍了关系的定义、几种特殊的关系的定义、几种特殊的关系及关系的表示。重点掌握关系的表示方关系及关系的表示。重点掌握关系的表示方法。法。作业：作业：P80:1,2，42024/9/20计算机科学与技术学院3.5关系的性质关系的性质(ThepropertiesofRelations)3.5.1集合集合A上上关系的关系的性质性质(ThepropertiesofRelationsonsetA)3.5.2由由关系图、关系矩阵判别关系的性质关系图、关系矩阵判别关系的性质第三章第三章 集合与关系集合与关系

273、(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations) 3.5.1集合集合A上关系的性质上关系的性质定义定义3.5.1 设设 是集合是集合A上的关系上的关系 （1 1）若对于所有的）若对于所有的 ，均有，均有 ，则称，则称 在在A上是自反的上是自反的(reflexive)(reflexive)。 （2 2）若对于所有的）若对于所有的 ，均有，均有 ，则称，则称 在在A上是反自反的上是反自反的(antireflexive) (antireflexive) 。 （3 3）对于所有的）对于所有的 ，若每当有，若每当有

274、就必有就必有 ，则称则称 在在 A上是对称的上是对称的(symmetric)(symmetric)。 （4 4）对于所有的）对于所有的 ，若每当有，若每当有 和和 就就必有必有 ，则称，则称 在在 A上是反对称的上是反对称的(antisymmetric). (antisymmetric). （5 5）对于所有的）对于所有的 ，若每当有，若每当有 和和 就必有就必有 ，则称，则称 在在 A上是可传递的上是可传递的(transitive)(transitive)。 2024/9/20计算机科学与技术学院 例例1 1 设设 ， （1 1）自反与反自反）自反与反自反 自反自反自反自反非自反非自反反自反

275、反自反2024/9/20计算机科学与技术学院 （2 2）对称与反对称）对称与反对称对称，非反对称对称，非反对称非对称，反对称非对称，反对称非对称，非反对称非对称，非反对称对称，反对称对称，反对称第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院（3 3）可传递与不可传递）可传递与不可传递可传递可传递不可传递不可传递可传递可传递U 自反自反反自反反自反U对称不对称不反对称反对称反对称反对称不对称不对称既对称又反对称既对称又反对称2024/9/20计算机科学与技术学院则则 例例2 2 设设 ，A A上的关系上的关系自反自反对称对称不是反对称不是

276、反对称对于任意的对于任意的 , , ， 则则 也是偶数。也是偶数。 因此因此 是可传递的。是可传递的。 2024/9/20计算机科学与技术学院则则是是自反的、反对称的、自反的、反对称的、可传递的。可传递的。 例例3 3 设设则则自反的、对称的、反对称的、自反的、对称的、反对称的、可传递的。可传递的。则则自反的、反对称的、自反的、反对称的、可传递的。可传递的。2024/9/20计算机科学与技术学院则则是是自反的、对称的、自反的、对称的、可传递的。可传递的。 例例3 3（续）（续）则则反自反的、反对称的、反自反的、反对称的、可传递的。可传递的。则则反自反的、反对称的反自反的、反对称的。例例4 4

277、是不是不自反、反自反的、对称的、反对称、自反、反自反的、对称的、反对称、可传递的。可传递的。例例5 5 全关系是全关系是自反的、对称的、自反的、对称的、可传递的。可传递的。2024/9/20计算机科学与技术学院3.5.2由由关系图、关系矩阵判别关系的性质关系图、关系矩阵判别关系的性质1. 1. 关系矩阵关系矩阵 1234若若 是自反的，则关系矩阵的主对角线上的所有元素是自反的，则关系矩阵的主对角线上的所有元素均为均为1 1。若若 是反自反的，则关系矩阵的主对角线上所有元素是反自反的，则关系矩阵的主对角线上所有元素均为均为0 0。 若若 是对称的，则关系矩阵关于主对角线对称。是对称的，则关系矩阵

278、关于主对角线对称。若若 是反对称的，则关系矩阵中，关于主对角线对称是反对称的，则关系矩阵中，关于主对角线对称的元素不同时为的元素不同时为1 1。 例如，例如，2024/9/20计算机科学与技术学院2. 2. 关系图关系图 若若 是对称的，则在关系图中，若两结点之间有边，则必是对称的，则在关系图中，若两结点之间有边，则必存在两条方向相反的边。存在两条方向相反的边。 若若 是反对称的，则在关系图中，任意两个不同的结点间是反对称的，则在关系图中，任意两个不同的结点间至多只有一条边。至多只有一条边。 若若 是自反的，则关系图中每一结点引出一个指向自身是自反的，则关系图中每一结点引出一个指向自身的单边环

279、的单边环( (自环）。自环）。 若若 是反自反的，则关系图中每一结点均没有自环。是反自反的，则关系图中每一结点均没有自环。 若若 是可传递的，则在关系图中，若每当有边由是可传递的，则在关系图中，若每当有边由 指向指向 ，且又有边由，且又有边由 指向指向 ，则必有一条边由，则必有一条边由 指向指向 。 2024/9/20计算机科学与技术学院 例例6 6 设设 ，下面分别给出集合，下面分别给出集合A上三个关系上三个关系的关系图，试判断它们的性质。的关系图，试判断它们的性质。 （2 2） 非自反，也不是反自反，非对称，反对称，非自反，也不是反自反，非对称，反对称， 可传递。可传递。 （3 3） 是自

280、反的，对称的，可传递的，不是反自反，是自反的，对称的，可传递的，不是反自反，也不是反对称。也不是反对称。 解解 （1 1） 是自反的，非对称，不是反对称，不可传递是自反的，非对称，不是反对称，不可传递 但但 2024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)小结小结: 本节介绍了本节介绍了关系的基本性质及其判别关系的基本性质及其判别方法。方法。作业：作业：P83:2，4,5,62024/9/20计算机科学与技术学院3.6复合关系与逆关系复合关系与逆关系(CompoundRelations&InverseRelations)3.6.1关系的并

281、、交、补及对称差运算关系的并、交、补及对称差运算3.6.2复合关系复合关系(CompoundRelations)3.6.3逆关系逆关系(InverseRelations)第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations) 3.6.1 关系的并、交、补及对称差运算关系的并、交、补及对称差运算例例1 1设设，则则定定理理3.6.1 若若R与与S都都是是集集合合A到到集集合合B的的关关系系，则则 RS, ,RS,R-S, , 均均为为A到到B的关系。的关系。2024/9/20计算机

282、科学与技术学院3.6.2复合关系复合关系(CompoundRelations)1.复合关系的定义复合关系的定义定定义义3.6.1设设是是由由A到到B的的关关系系，是是由由B到到C 的的关关系，则系，则和和的复合关系是一个由的复合关系是一个由A到到C 的关系，用的关系，用表表示示，定定义义为为：当当且且仅仅当当存存在在元元素素，使使得得，时，有时，有。这种由这种由和和求复合关系求复合关系的运算称为关系的的运算称为关系的复合运算。复合运算。由定义可知由定义可知:2024/9/20计算机科学与技术学院于是复合关系于是复合关系 例例2 2 设设 是由是由 到到 的关的关 系。系。 是由是由 B B 到

283、到 的关系。的关系。 分别定义为：分别定义为：2024/9/20计算机科学与技术学院 例例3 3 设设 是所有人的集合是所有人的集合 于是复合关系于是复合关系 第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets & Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院2. 2. 关系复合运算的性质关系复合运算的性质 定理定理3.6.2设设 是由集合是由集合A到到B的关系，则的关系，则 例例4 4 以例以例2 2中的关系中的关系 为例，为例， 从关系图，可得从关系图，可得,2024/9/20计算机科学与技术学院 定理定理3.6.3设设 是由是由A到到B的关系，的关系， 是由是由B到到C的关的关系

284、，则有系，则有 证证: (3): (3)反设反设则必存在则必存在 使使 ， 从而从而 使使 故故 且且 所以所以，这就与，这就与(1)(2)(3)矛盾。矛盾。2024/9/20计算机科学与技术学院 定理定理3.6.4 (1) (1) 设设 是由是由A到到B的关系，的关系， 是由是由B到到C的关系，的关系， 是由是由C到到D的关系，则有的关系，则有 (2) (2)设设 是由是由A到到B的关系，的关系， 是由是由B到到C的关系，的关系，则有则有 (3)(3)设设 是由是由A到到B的关系，的关系， 是由是由B B到到C的关系，的关系，则有则有 2024/9/20计算机科学与技术学院 例例5 5 设设

285、 ， ， , ., . A到到B的关系的关系 B到到C的关系的关系 C到到D的关系的关系 则则A到到C的关系的关系 因此因此因此因此所以所以第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院一般地，若一般地，若是一由是一由到到的关系，的关系，是由是由到到的关系，的关系，是一由是一由到到的关系，则不加括号的表的关系，则不加括号的表达式达式，唯一地表示一由唯一地表示一由到到的关的关系，在计算这一关系时，可以运用结合律将其中任意两系，在计算这一关系时，可以运用结合律将其中任意两个相邻的关系先结合。个相邻的关系先结合。特别特别,当当,时，时，复合关

286、系复合关系简记作简记作，它也是集，它也是集A 上的一上的一个关系。个关系。2024/9/20计算机科学与技术学院 3. 求复合关系的几种方法求复合关系的几种方法（1 1）根据复合关系的定义求复合关系）根据复合关系的定义求复合关系例例5 5中求复合关系采用的就是这种方法。中求复合关系采用的就是这种方法。 又例如又例如,下面的关系图给出了从集合下面的关系图给出了从集合A到到B的关系的关系 和从和从B到到C的关系的关系2024/9/20计算机科学与技术学院（2）运用关系矩阵的运算求复合关系）运用关系矩阵的运算求复合关系布尔运算布尔运算其加法和乘法运算定义如下其加法和乘法运算定义如下0+0=0,0+1

287、=1+0=1+1=1,例如例如2024/9/20计算机科学与技术学院 关系矩阵的乘积关系矩阵的乘积 对两个关系矩阵求其乘积时，其运算法则与一般对两个关系矩阵求其乘积时，其运算法则与一般矩阵的乘法是相同的，但其中的加法运算和乘法运矩阵的乘法是相同的，但其中的加法运算和乘法运算应改为布尔加和布尔乘。算应改为布尔加和布尔乘。 则则例例6 6 设设 和和 是两个关系矩阵是两个关系矩阵2024/9/20计算机科学与技术学院复合关系的关系矩阵复合关系的关系矩阵 定理定理3.6.5设设A、B、C均是有限集，均是有限集，是一由是一由A到到B的关系的关系,是一由是一由B到到C的关系，它们的关系的关系，它们的关系

288、矩阵分别为矩阵分别为和和，则复合关系，则复合关系的关的关系矩阵系矩阵2024/9/20计算机科学与技术学院234123123设有集合设有集合 ， ， A A到到B B的关系的关系 B B到到C C的关系的关系 则则与例与例6 6比较得比较得 例例72024/9/20计算机科学与技术学院 例例8 8设设 ，A上的关系上的关系 试求试求 和和 。因此因此 解解 作出的关系矩阵作出的关系矩阵 a b c d根据定理根据定理3.5.53.5.52024/9/20计算机科学与技术学院又又 ，所以，所以因此因此2024/9/20计算机科学与技术学院 设设 是有限集是有限集A上的关系，则复合关系上的关系，则

289、复合关系 也是也是A上的关上的关系，由复合关系的定义，对于任意的系，由复合关系的定义，对于任意的 ，当且仅，当且仅当当 存在，使得存在，使得 ， 时，有时，有 。 反映在关系图上，这意味着，当且仅当在反映在关系图上，这意味着，当且仅当在 的关系图的关系图中有某一结点中有某一结点 存在，使得有边由存在，使得有边由 指向指向 ，且有边，且有边由由 指向指向 时，在时，在 的关系图中有边从的关系图中有边从 指向指向 。 （3）利用关系图求复合关系）利用关系图求复合关系2024/9/20计算机科学与技术学院根据根据 的关系图构造出的关系图构造出 的关系图：的关系图： 对对于于 的的关关系系图图中中的的

290、每每一一结结点点 ，找找出出从从 经经过过长长为为n n的的路路能能够够到到达达的的结结点点，这这些些结结点点在在 的的关系图中，边必须由关系图中，边必须由 指向它们。指向它们。 类似地，对于任意正整数类似地，对于任意正整数n n，当且仅当在，当且仅当在 的的关系图中存在关系图中存在n-1n-1个结点个结点 , ,使得有边使得有边由由 指向指向 , ,由由 指向指向 ，由由 指向指向 时，在时，在 的关系图中，有边由结点的关系图中，有边由结点 指向指向 。第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets & Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院 例例9 9 试利用构造试利用构

291、造 和和 的关系图的方法求例的关系图的方法求例8 8 中的中的 和和 。例中。例中第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院解解（4 4）根据）根据 和和 的的关系图直接写出关系图直接写出 和和 中的序偶中的序偶. .（1 1）先）先作出作出 的关系的关系图图（2 2）构造）构造 的关系图。的关系图。在在 的关的关系图中寻系图中寻找长为找长为2 2的的路。路。 （3 3）构造）构造 的关系图。的关系图。在在 的关的关系图中寻系图中寻找长为找长为3 3的的路路. .2024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与集合与关系关

292、系(Sets&Relations)例例1010. . 下图给出了集合下图给出了集合 上的关上的关系系 的关系图，试画出关系的关系图，试画出关系 和和 的关系图。的关系图。 2024/9/20计算机科学与技术学院3.6.3逆关系逆关系(InverseRelations)定义定义3.6.2设设A、 B是任意集合，是任意集合，是由是由A到到B的的关系，定义由关系，定义由B到到A的关系的关系称称为关系为关系的逆关系。的逆关系。第三章第三章集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院于是于是 解解 由由 的定义知的定义知 例例1111 设设 ， ，定义由，定

293、义由A到到B的关的关系系 ：当且仅当：当且仅当 a整除整除 b 时，有时，有 ，试求，试求 的逆关系的逆关系 。 第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院 关于关于逆关系我们有如下定理：逆关系我们有如下定理：定理定理3.6.6 设设 A 、 B 是任意集合，是任意集合， 、 和和 都是都是由由 A 到到 B 的关系，则有的关系，则有（1）（2）（3）（4）（5）（6）2024/9/20计算机科学与技术学院 关于关于逆关系我们有如下定理：逆关系我们有如下定理：定理定理3.6.7 设设 A、B、C 是任意集合，是任意集合， 、 分别是

294、分别是 由由 A 到到 B 的关系和由的关系和由 B 到到 C 的关系，则有的关系，则有定理定理3.6.8 设设 是集合是集合A上的二元关系上的二元关系 ， 则则 （1 1） 对称当且仅当对称当且仅当 （2 2） 反对称当且仅当反对称当且仅当证：证：2024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)小结小结: 本节主要介绍了本节主要介绍了关系的关系的复合运算与逆复合运算与逆运算。运算。重点掌握关系的重点掌握关系的复合运算及其性质、复合运算及其性质、关系的关系的逆运算的性质逆运算的性质。作业：作业：P90:1，2,52024/9/20计算机科

295、学与技术学院3.7关系的闭包运算关系的闭包运算(ClosureOperations)3.7.1关系的闭包的概念关系的闭包的概念(Thedefinitionsofclosuresofrelations)3.7.2关系的闭包的求法关系的闭包的求法(Howtofindtheclosuresofrelations)第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations) 3.7关系的闭包运算关系的闭包运算(ClosureOperations)3.7.1关系的闭包的概念关系的闭包的概念(Th

296、edefinitionsofclosuresofrelations) 例例1.1.设设 是由是由 A上的关系，上的关系， A=1,2,3,=1,2,3,(1)(1)求求A上的关系上的关系 使得使得 且且 是自反的。是自反的。(2)(2)这样的关系共有多少个这样的关系共有多少个? ? 解解: :2024/9/20计算机科学与技术学院3.7关系的闭包运算关系的闭包运算(ClosureOperations)定义定义3.7.1 设设 、 是集合是集合A上的关系，如果上的关系，如果 满足满足: : (1) (1) 是自反的是自反的( (对称的对称的/ /可传递的可传递的) ) (2) (2) (3) (

297、3)对任何自反的对任何自反的( (对称的对称的/ /可传递的可传递的) )的关系的关系 , ,若若 则则 , ,称称 为为 的自反的自反( (对称对称/ /传递传递) )闭包闭包, ,记作记作 。 2024/9/20计算机科学与技术学院说明说明:(1)求求集合集合A上的关系上的关系 的自反、对称、传递闭的自反、对称、传递闭 包的运算，称为关系包的运算，称为关系 的闭包运算。的闭包运算。 (2) (2) 的自反的自反( (对称、传递对称、传递) )闭包是包含闭包是包含 的最小的最小 自反自反( (对称对称/ /可传递可传递) )关系。关系。 定理定理3.7.1 设设 是是集合集合A上的二元关系上

298、的二元关系, ,则则 (1) (1) 是自反的是自反的(2) (2) 是对称的是对称的(3) (3) 是可传递的是可传递的3.7关系的闭包运算关系的闭包运算(ClosureOperations)2024/9/20计算机科学与技术学院 3.7.2关系的闭包的求法关系的闭包的求法(Howtofindtheclosuresofrelations)1.1.由定义求由定义求 的闭包的闭包 定理定理3.7.2 设设 是是集合集合A上的二元关系上的二元关系, ,则则 (1) (1) (2) (2) (3)(3)证明证明:(3):(3)2024/9/20计算机科学与技术学院证明证明 （1 1）显然显然 。 故

299、故是可传递的是可传递的.（2）对对任任意意的的，则则必必存存在在正正整数整数h和和k，使得，使得，于是，于是2024/9/20计算机科学与技术学院（3 3）设）设 是是A A上的任意一个包含上的任意一个包含 的可传递关系。的可传递关系。 对任意对任意，则存在正整数，则存在正整数k k，使，使得得 ，因此必存在元素，因此必存在元素 ，使得，使得 。 因为因为，所以，所以。而而 是可传递的，因此是可传递的，因此 即即 ，故，故有有 。 2024/9/20计算机科学与技术学院 例例2 2. .下图给出了集合下图给出了集合 上的关上的关系系 的关系图，试画的关系图，试画 、 和和 。 解解: 由关系图

300、知由关系图知:2024/9/20计算机科学与技术学院则则2024/9/20计算机科学与技术学院定理定理3.7.3设设是集合是集合A上的二元关系上的二元关系,A为含有为含有n个个元素的集合元素的集合,则存在某个正整数则存在某个正整数,使得使得 因此因此,我们有我们有证明证明:第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院a b c d例例3 3 设设 ，A上的关系上的关系求求 。 2. 2. 利用关系矩阵求利用关系矩阵求 的闭包的闭包解（解（1）2024/9/20计算机科学与技术学院因为因为 所以所以于是于是 2024/9/20计算机科学

301、与技术学院(2) (2) 若若 ，则，则 ；若；若 ， 则则 ， 即为若即为若 中中 , ,则则 中中若若 中中 ，则，则 中中 。这说明。这说明 是是 的转置矩阵。的转置矩阵。 第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院于是于是根据根据的关系矩阵的关系矩阵第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院于是于是（3 3）因为）因为 ，所以，所以对任意对任意 ，只要，只要 属于属于 中任何一个关系，则中任何一个关系，则 ， 2024/9/20计算机科学与技术学院于是于是 202

302、4/9/20计算机科学与技术学院3.3.利用关系图求利用关系图求 的闭包的闭包例例4 4对例对例3 3中的关系中的关系 ，利用关系图求其闭包。，利用关系图求其闭包。的关系图的关系图r r() 的关系图的关系图t t()()的关系图的关系图S()S()的关系图的关系图2024/9/20计算机科学与技术学院B练习练习3.73.71. 1. 从从下下列列各各题题给给出出的的备备选选答答案案中中选选出出正正确确的的答答案案，并并将将其代号填入题后面的括号内。其代号填入题后面的括号内。(1)(1)设设A=0,1,2,3A=0,1,2,3，A上的关系上的关系 , ,则则是是A.A.自反的自反的 B. B.

303、 对称的对称的 C. C. 反对称的反对称的 D. D. 可传递的可传递的()（2) 2) 设设是整数集是整数集I I上的关系，定义为当且仅当上的关系，定义为当且仅当时时， ，则，则是是A.自反的自反的 B. B. 对称的对称的 C. C. 反对称的反对称的 D. D. 可传递的可传递的 ( )( )A、B2024/9/20计算机科学与技术学院ABAB A A E E2. 2. 下下图图给给出出了了1,2,31,2,3上上三三个个关关系系的的关关系系图图，试试对对每每一一个个图图所所表表示示的的关关系系的的性性质质作作出出判判别别，并并将将选选中中的的性性质质的的代号填入相应的括号内。代号填入

304、相应的括号内。 若若 A. A. 自反的自反的 B. B. 对称的对称的 C. C. 反对称的反对称的 D. D. 可传递可传递 E. E. 反自反反自反则则 是（是（ ）则则 是（是（ ）则则 是（是（ ） 2024/9/20计算机科学与技术学院 3. 3. 设设 ，A A上的关系上的关系对下列求出的闭包判断正确与否，分别将对下列求出的闭包判断正确与否，分别将“Y Y”或或“N N”填入后面的括号。填入后面的括号。 （ ） （ ） （ ） N NY YN N2024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)小结小结: 本节介绍了本节介绍了

305、关系的闭包的概念及其求关系的闭包的概念及其求法。重点掌握关系的传递闭包的求法。法。重点掌握关系的传递闭包的求法。作业：作业：P95:1(1),(2),(3)2024/9/20计算机科学与技术学院3.8等价关系与相容关系等价关系与相容关系(EquivalenceRelations&CompatibilityRelations)3.8.1集合的划分与覆盖集合的划分与覆盖(Partition&CoverofSets)3.8.2等价关系与等价关系与等价类等价类(EquivalenceRelations&Equivalenceclasses)3.8.3相容关系相容关系(CompatibilityRela

306、tions)第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院 3.8.1集合的划分与覆盖集合的划分与覆盖(Partition&CoverofSets)（1），当，当ij时时(2)则称则称S是集合是集合A的一个划分，每一个的一个划分，每一个称为这个划分称为这个划分的一个分块。的一个分块。1.集合的划分集合的划分(PartitionofSets)定义定义3.8.1设有非空集合设有非空集合A，S=A1, ,A2, , ,Am，其中，其中 ，且，且 （i=1，2，m），若），若2024/9/20计算机科学与技术学院 3.8.1 3.8.1 集合的

307、划分与覆盖集合的划分与覆盖例例 1 1 设设A=1，2，3，4则则S1=1，2，3，4,S2=2，3，1，4,S3=1，2，3，4都是都是A的划分的划分. .(Partition&CoverofSets)2024/9/20计算机科学与技术学院 例例 2 2 设设A=2，3，4，8，9，10，15 定义定义A的如下子集：的如下子集： 试问试问 是否是否A的一个划分。的一个划分。解解根据题意根据题意2，4，8，103，9，1510，15 不是不是A的划分，的划分， 可成为可成为A的一个划分。的一个划分。2024/9/20计算机科学与技术学院2.集合的覆盖集合的覆盖(CoverofSets) 定义定

308、义3.8.2 设有非空集合设有非空集合A， ,其中其中 且且 （i=1，2，m），若），若 ，则称则称S是集合是集合A的一个覆盖。的一个覆盖。例如例如 例例2中中是是A的划分，也是的划分，也是A的覆盖。的覆盖。是是A的覆盖，但不是的覆盖，但不是A的划分。的划分。2024/9/20计算机科学与技术学院例例3设设A=a，b，c，d，e，f，指指出出下下列列哪哪些些是是A的的划划分分（在在相相应应括括号号内内填填入入“1”），哪哪些些是是A的的覆覆盖盖（在在相相应应括括号号内内填填入入“2”），哪哪些些既既不不是是划划分分，也也不是覆盖（在相应括号内填入不是覆盖（在相应括号内填入“0”）S1=a，b

309、，c，d，a，e，f（）S2=c，e，c，d，f ，b（）S3=a，b，c，d，e,f（）S4=a, ,c，e，b，c（）201,20S5=a, , b, , c, , d, , e, , f , ,（）S6=a, ,b，c，d, , e，f（）1,21,22024/9/20计算机科学与技术学院说明说明:(1)若若S是是A的的划分划分,则则S也一定是也一定是A的覆盖的覆盖.(2)任意给定集合任意给定集合A的划分或覆盖不是唯一的的划分或覆盖不是唯一的.(3)给定了集合给定了集合A的划分或覆盖的划分或覆盖,则则A便唯一确定便唯一确定.(4)覆盖中各子集可重叠覆盖中各子集可重叠,划分则不然划分则不然

310、.(5)以非空集以非空集A为元素的集合为元素的集合S=A称为称为A的最小划分的最小划分.(6)称为称为A的最大划分的最大划分.2024/9/20计算机科学与技术学院例例4n个元素的集合个元素的集合A，有多少种不同的方法，有多少种不同的方法划分成为两块？划分成为两块？解解 A有有 个不同的子集，且这个不同的子集，且这 个不同个不同的子集中，两两互补，除的子集中，两两互补，除 和和U互补，但互补，但不能构成不能构成A的分划外，其余的每对集合均构的分划外，其余的每对集合均构成将成将A分成两块的一个划分，因此分成两块的一个划分，因此A有有 种方法分成两块。种方法分成两块。第三章第三章 集合与关系集合与

311、关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院3.全集的划分全集的划分(ThePartitionoftheUniversalSetU) 设设A,B,C是全集是全集U的子集的子集,则则及及都是都是A的划分的划分.一般地一般地,设设是全集是全集U的的m个子集个子集,则则为为U的一个划分的一个划分.2024/9/20计算机科学与技术学院其中其中第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院3.8.2等价关系与等价类等价关系与等价类(EquivalenceRelations&Equivalenceclasses)1.

312、等价关系的定义等价关系的定义(TheDefinitionofEquivalenceRelation)2.等价类等价类(EquivalenceClasses)3.等价关系与划分等价关系与划分(EquivalenceRelations&Partitions)第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院1.等价关系的定义等价关系的定义(TheDefinitionofEquivalenceRelation) 定义定义3.8.3集合集合A上的关系上的关系，如果它是自反的，对，如果它是自反的，对称的，且可传递的，则称称的，且可传递的，则称是是A上

313、的等价关系。上的等价关系。 例如例如 数的相等关系是任何数集上的等价关系。数的相等关系是任何数集上的等价关系。 又又例例如如 一一群群人人的的集集合合中中姓姓氏氏相相同同的的关关系系也也是是等等价关系。价关系。但父子关系不是等价关系，因为它不可传递。但父子关系不是等价关系，因为它不可传递。 2024/9/20计算机科学与技术学院 例例5 5设设A是是任任意意集集合合，则则A上上的的恒恒等等关关系系和和全全域关系域关系UA均是均是A上的等价关系。上的等价关系。 例例6 6设设 ，A上的关系上的关系是是A上的等价关系。上的等价关系。 例例7 7设设m m为为大大于于等等于于2 2的的正正整整数数，

314、整整数数集集Z Z上上的的同同余余关系关系则则是集合是集合Z Z上的等价关系，称为上的等价关系，称为Z Z上的模上的模m m同余关同余关系。有时写成系。有时写成 2024/9/20计算机科学与技术学院 或或 设设是集合是集合A上的等价关系，若元素上的等价关系，若元素ab ，则称，则称a与与b等价，或称等价，或称b与与a等价。等价。 2.等价类等价类(EquivalenceClasses)定义定义3.8.4设设是集合是集合A上的等价关系，则上的等价关系，则 A 中等价于中等价于元素元素 a 的所有元素组成的集合称为的所有元素组成的集合称为a 生成的等价类，生成的等价类，用用 表示，即表示，即 a

315、称为称为等价类等价类 的代表元素。的代表元素。第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院 显然有显然有例例8 8 对于例对于例6 6中的中的来说来说例例9 9整数集整数集Z Z关于模关于模3 3同余关系同余关系的等价类共有三个：的等价类共有三个：而而 恰好为恰好为 Z 的一个划分。的一个划分。2024/9/20计算机科学与技术学院等价类的性质等价类的性质(ThePropertiesofEquivalenceclass)因为对于任意的因为对于任意的aA, ,有有aa，所以，所以 。 ( (2). 2). 对任意的对任意的a, ,bA,

316、有有ab当且仅当当且仅当 。由由的对称性有的对称性有xa ， 证明证明 “ ” 若若 ，则，则ax ，又由又由ab 及及的传递性有的传递性有xb ，因此，因此 (1). (1). 对任意对任意,.故故 。 类似地可以证明类似地可以证明由上得由上得2024/9/20计算机科学与技术学院( (2). 2). 对任意的对任意的 , ,有有 当且仅当当且仅当 。证明证明( (续续) ) “ ” 由由 ，知，知 因此有因此有 . . 等价类的性质等价类的性质(ThePropertiesofEquivalenceclass)2024/9/20计算机科学与技术学院与与 相矛盾。相矛盾。(3).(3).对任意

317、对任意 ，若，若 ，则，则 . . 证明证明（用反证法）（用反证法）假设假设 , , 则则A A中至少有一元素中至少有一元素 因此因此 且且 ，即即 ，且，且 , , 于是由于是由 , , ，得，得 ，故故 等价类的性质等价类的性质(ThePropertiesofEquivalenceclass)2024/9/20计算机科学与技术学院例例1010 设设A=a,b,c,d，A上的关系上的关系是是A上的等价关系上的等价关系 同一个等价类中元素均相互等价。不同等价类同一个等价类中元素均相互等价。不同等价类中的元素互不等价。中的元素互不等价。 2024/9/20计算机科学与技术学院3.等价关系与划分等

318、价关系与划分(EquivalenceRelations&Partitions) 集合集合A上的等价关系与集合上的等价关系与集合A上的划分具有一一上的划分具有一一对应关系对应关系. .定定理理3.8.1设设是是集集合合A上上的的一一个个等等价价关关系系，则则集集合合A中所有元素产生的等价类的集合中所有元素产生的等价类的集合是是A的一个划分。的一个划分。 证明证明 （1 1）对每一元素）对每一元素aA， 是是A的非空子集。的非空子集。 （2 2）对任意）对任意a,bA，或者，或者 与与 是是A的同一子的同一子 集或者集或者 。2024/9/20计算机科学与技术学院3.8.3等价关系与划分等价关系与

319、划分(EquivalenceRelations&Partitions) （3 3）对所有的元素的等价类求并集，显然有）对所有的元素的等价类求并集，显然有 . .另一方面，对任一另一方面，对任一 ，而，而 所以所以 ，因此，因此 ，故，故。2024/9/20计算机科学与技术学院定义定义3.8.5 设设是集合是集合A上的等价关系上的等价关系, ,其所有不同其所有不同等价类的全体所组成的等价类的全体所组成的A的划分称为的划分称为A关于关于的商的商集，记作集，记作 。 例如例如 在集合在集合A=a,b,c,d上，例上，例6中中A关于等价关关于等价关系系的商集为的商集为例例9 9中中Z关于关于模模3 3

320、同余关系同余关系的商集为的商集为例例1010中中A关于等价关系关于等价关系的商集为的商集为2024/9/20计算机科学与技术学院定理定理3.8.2设设 是集合是集合A的一的一个划分，则存在个划分，则存在A上的一个等价关系上的一个等价关系，使得，使得S是是A关于关于的商集。的商集。 证明：证明：在集合在集合A上定义一个关系上定义一个关系，对于任意的，对于任意的a,bA，当且仅当，当且仅当a与与b在同一分划块中时，有在同一分划块中时，有ab。 对对任任意意aA，a与与a在在同同一一分分划划块块中中，所所以以有有aa，即，即自反。自反。第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations

321、)2024/9/20计算机科学与技术学院又对任意的又对任意的a,bA,若若a与与b在同一分划块中，在同一分划块中，则则b与与a在同一分划块中在同一分划块中.即即,若若ab,对于任意对于任意a,b,cA，若，若a与与b在同一分划块中，在同一分划块中，b与与c在同一分划块中，因为在同一分划块中，因为所以所以a与与c也在同一分划块中，此即也在同一分划块中，此即,若若ab，bc，则必有，则必有ac，因此，因此是可传递的。是可传递的。则则ba,因此因此是对称的是对称的.第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院由定理由定理3.8.2可知可知:

322、 : 由由集合集合A的划分的划分 所确定的所确定的A 上的等价关系上的等价关系为为 第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院 例例11设设A=a,b,c,d，A上的划分上的划分试求出等价关系试求出等价关系 和和 ，使得，使得 和和 的等价类的等价类分别是分别是 和和 的分划块。的分划块。 解解定义定义A上等价关系上等价关系则则定义定义A上的等价关系上的等价关系则则2024/9/20计算机科学与技术学院例例1212 设设A=a,b,c，求出，求出A上所有的等价关系。上所有的等价关系。解解 先求出先求出A上有多少个不同的分划。上有多少

323、个不同的分划。分成一个分划块的分划分成一个分划块的分划 分成两个分划块的分划分成两个分划块的分划 分成三个分划块的分划分成三个分划块的分划 2024/9/20计算机科学与技术学院c ca ab b 因此，因此，A上有上有5 5个不同的分划，如下图所示个不同的分划，如下图所示记与分划记与分划 相对应的等价关系为相对应的等价关系为a ab bc ca ab bc cb ba ac ca ac cb b2024/9/20计算机科学与技术学院3.8.3相容关系相容关系(CompatibilityRelations)1.相容关系的定义相容关系的定义(ThedefinitionofCompatibilit

324、yrelations)2.相容关系与覆盖相容关系与覆盖(CompatibilityRelations&covers)第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院 1.相容关系的定义相容关系的定义(ThedefinitionofCompatibilityrelations) 定定义义3.8.7 集集合合A上上的的关关系系 ，如如果果它它是是自自反反的的，对称的，则称对称的，则称 是是A上的相容关系。上的相容关系。 例例1313 设设集合集合A=216=216，243243，357357，648.648.定义定义A上的关系上的关系 =x,

325、y|x,yA，且，且x与与y中至少有一个相同数字中至少有一个相同数字 ， 则则 是是A上的一个相容关系。但上的一个相容关系。但 不是等价关系。不是等价关系。令令 =216=216， =243=243， = 357= 357， = 648= 648，则，则 可表示为可表示为2024/9/20计算机科学与技术学院 可以看出相容关系的可以看出相容关系的关系图有以下特点关系图有以下特点:(1)每个结点都有自环每个结点都有自环;(2)(2)任意两个任意两个结点之间结点之间,若有弧线若有弧线,则必为双向的则必为双向的,否则没有弧线否则没有弧线.的关系图为的关系图为:的关系矩阵为的关系矩阵为:2024/9/

326、20计算机科学与技术学院 我们也可以省去我们也可以省去 中阶梯折线以上的部分，只用下边的梯中阶梯折线以上的部分，只用下边的梯形表示相容关系形表示相容关系 。因此我们可以将例因此我们可以将例13中中 的关系图简化为的关系图简化为:ab 1c 0 1d 1 1 02024/9/20计算机科学与技术学院 例例1414 设设 是某台微机上是某台微机上6 6项任务项任务的集合，有五个子程序的集合，有五个子程序 ， ， ， 和和 供它们选供它们选择调用，下表列出了它们调用子程序的情况。择调用，下表列出了它们调用子程序的情况。T5T4T3T2T1调用的子程序任务名称T6第三章第三章 集合与关系集合与关系(S

327、ets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院是一个相容关系是一个相容关系.T5T4T3T2T1调用的子程序任务名称定定义义A上上的的关关系系=(x,y)|x,yA且且x与与y调调用用了了相相同同的的子子程序程序,同时也是一个等价关系同时也是一个等价关系.T62024/9/20计算机科学与技术学院定义定义3.8.8 设设是有限集是有限集A上的相容关系，上的相容关系， ，如果，如果 (1). (1). 对任意对任意a,bC，均有，均有ab (2). (2). 对任意对任意xA-C，在，在C中至少存在一个元素中至少存在一个元素c，使，使得得，则称，则称C是相容关系是相容关系的最

328、大相容类（的最大相容类（GreatestConsistentClasses） 。 例如例如 例例1313中相容关系中相容关系的最大相容类是的最大相容类是例例1414中相容关系中相容关系的最大相容类是的最大相容类是 第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院 2.相容关系与覆盖相容关系与覆盖(CompatibilityRelations&covers) 定理定理3.8.3 设设是有限集合是有限集合A上的一个相容关系，上的一个相容关系， =n=n，则则对对于于任任意意aA，必必存存在在一一个个最最大大相相容容类类C，使使得得aC。证明证

329、明 设设aA ，若对于任意，若对于任意bA ，ab均有均有 , , 则则 a 就是一个最大相容类。就是一个最大相容类。 第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院若存在若存在 ，使得，使得 ，则令则令 由于由于A中元素个数有限，所以至多经过中元素个数有限，所以至多经过n-1n-1步，这个过程步，这个过程就会终止，而最后得到的就会终止，而最后得到的 ，就是最大相容类且，就是最大相容类且 。 对于对于 来说，若存在元素来说，若存在元素 ，使得，使得 与与 中各元素都有相容关系，则又得中各元素都有相容关系，则又得 ， 第三章第三章 集合与

330、关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院 根据最大相容类的定义，它可以从相容关系根据最大相容类的定义，它可以从相容关系 的的 简化关系图求得，具体方法是：简化关系图求得，具体方法是：（1 1） 的简化关系图中，每一个最大完全多边形的的简化关系图中，每一个最大完全多边形的结点集合，是一个最大相容类。结点集合，是一个最大相容类。（2 2） 的简化关系图中，不在完全多边形中的边的的简化关系图中，不在完全多边形中的边的两个端点的集合，也是一个最大相容类。两个端点的集合，也是一个最大相容类。 （3 3） 的简化关系图中，每一个孤立结点的单点集的简化关系图中，每

331、一个孤立结点的单点集合，是一个最大相容类。合，是一个最大相容类。最大完全多边形最大完全多边形: :其每个顶点都与其它顶点连接的多边形其每个顶点都与其它顶点连接的多边形. .2024/9/20计算机科学与技术学院 例例1515 设给定相容关系设给定相容关系 的简化关系图如下：的简化关系图如下：求出它求出它 的最大相容类。的最大相容类。解：解： 的最大相容类为：的最大相容类为： a,b,d,f ,c,d,f ,d,e,g第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院定理定理3.8.4设设是有限集合是有限集合A上的一个相容关系，则上的一个相容

332、关系，则的所有最大相容类的集合是的所有最大相容类的集合是A的一个覆盖。的一个覆盖。故故，S是是A的一个覆盖。的一个覆盖。证明证明设设是是的所有最大相容类构成的所有最大相容类构成的集合，显然的集合，显然。由定理由定理3.8.3，对任意，对任意aA，必存在某个最大相容类，必存在某个最大相容类，使得使得， 因此因此,于是于是,第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院 集合集合A上相容关系上相容关系的最大相容类所构成的的最大相容类所构成的A的的覆盖常记作覆盖常记作 , ,称为称为A的完全覆盖的完全覆盖. . 当当相容关系相容关系确定时确定

333、时, ,由它产生的最大相容类集合是唯一由它产生的最大相容类集合是唯一的的, ,因此因此确定集合确定集合A的唯一的完全覆盖的唯一的完全覆盖 . . 第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)2024/9/20计算机科学与技术学院定理定理3.8.5 设设 是是A的一个覆盖，的一个覆盖，根据根据S定义的关系定义的关系 是是A上的相容关系。上的相容关系。 证明证明 因为因为 ，所以对于任意，所以对于任意aA，必然存在某，必然存在某个个 使得使得 ，因此，因此 ，于是于是 ，故，故是自反的。是自反的。 对于任意对于任意a,bA ，若，若 ，则必存在某个，则必存在某个 使得使得 因

334、而因而 ，于是，于是 ，故，故是对称的。是对称的。 由上证明由上证明是是A上的相容关系。上的相容关系。 2024/9/20计算机科学与技术学院 例例1616 设设A=a,b,c,d,集合集合 和和 是是A的的两两个个不不同同的的覆覆盖盖，但但根根据据它它们们构构造造出出的的相相容容关系均是关系均是注意注意: :由定理由定理3.8.5可知可知, ,给定集合给定集合A的任意一个覆的任意一个覆盖盖, ,必可在必可在A上构造一个对应于此覆盖的一个相容上构造一个对应于此覆盖的一个相容关系关系, ,但是两个不同的覆盖却能构造出的相同的相但是两个不同的覆盖却能构造出的相同的相容关系容关系. .2024/9/

335、20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Relations)定理定理3.8.6集合集合A上的一个相容关系上的一个相容关系与完全覆盖与完全覆盖 是是1-11-1对应的。对应的。2024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets & Relations)作业：作业：P104:1，2，4；P105:6小结小结: 本节介绍了集合本节介绍了集合的划分与覆盖、全集的划分与覆盖、全集的划分、等价关系、等价类、商集、的划分、等价关系、等价类、商集、相容关相容关系、最大相容类、完全覆盖的概念。重点掌系、最大相容类、完全覆盖的概念。重点掌握等价关系、等

336、价类、商集、完全覆盖等概握等价关系、等价类、商集、完全覆盖等概念及等价关系与划分、相容关系与覆盖、完念及等价关系与划分、相容关系与覆盖、完全覆盖之间的联系。全覆盖之间的联系。2024/9/20计算机科学与技术学院3.9偏序关系偏序关系(OrderedRelations)3.9.1偏序关系的定义偏序关系的定义(PartiallyOrderedRelations)3.9.2偏序关系的哈斯图偏序关系的哈斯图(TheHasseDiagramofPosets)3.9.3偏序集中特殊位置的元素偏序集中特殊位置的元素3.9.4几种特殊的偏序集几种特殊的偏序集第三章第三章 集合与关系集合与关系(Sets&Re

337、lations)2024/9/20计算机科学与技术学院3.9偏序关系偏序关系(OrderedRelations)例例1 1 实数集实数集R上的上的“”关系显然是一个偏关系显然是一个偏序关系。序关系。 3.9.1偏序关系的定义偏序关系的定义(PartiallyOrderedRelations)定定义义3.9.1集集合合A上上的的关关系系,如如果果它它是是自自反反的的,反反对对称称的的且且可可传传递递的的,则则称称是是A上上的的偏偏序序关关系系.记记作作“”,序序偶偶称称为为偏偏序序集集(partiallyorderedsetorposetforshort).2024/9/20计算机科学与技术学院

338、 证明证明 对于任意对于任意 ，有，有 ，所以，所以“ ”是自反的。是自反的。 对任意对任意 ，若，若 且且 ，则，则 所以所以“ ” 是反对称的。是反对称的。 例例2 2 全集合全集合U的幂集的幂集2 2U上的上的“ ”关系也是一个偏序关系。关系也是一个偏序关系。 对任意对任意 ，若，若 ， ，则，则 所以所以“ ”是可传递的。是可传递的。 3.9偏序关系偏序关系(OrderedRelations)2024/9/20计算机科学与技术学院 例例3 3 设设 A=1,2,3,4,6,8,12=1,2,3,4,6,8,12， 定定 义义 A上上 的的 整整 除除 关关 系系 如下：如下：则则是是A

339、上的偏序关系。上的偏序关系。 例例4 4 正整数集上的整除关系是偏序关系。正整数集上的整除关系是偏序关系。 实数集实数集R上的上的“”关系不是偏序关系。关系不是偏序关系。 2 2U上的真包含关系上的真包含关系“ ”也不是偏序关系。也不是偏序关系。 2024/9/20计算机科学与技术学院3.9.2偏序关系的哈斯图偏序关系的哈斯图(TheHasseDiagramofPosets)称称 为偏序集为偏序集 中的盖住关系。显中的盖住关系。显 然然 。 定义定义3.9.2 在偏序集中在偏序集中 ，若元素，若元素 ， ，且在集，且在集A中不存在任何其它元素中不存在任何其它元素c，使得使得 ，则称元素则称元素

340、b盖住元素盖住元素a，并且记，并且记2024/9/20计算机科学与技术学院3.9.2偏序关系的哈斯图偏序关系的哈斯图(TheHasseDiagramofPosets)哈斯哈斯( (Hasse) )根据盖住的概念给出了偏序关根据盖住的概念给出了偏序关系图的一种画法系图的一种画法, ,这种画法画出的图称为哈这种画法画出的图称为哈斯图斯图, ,作图规则如下：作图规则如下： 2024/9/20计算机科学与技术学院3.9.2偏序关系的哈斯图偏序关系的哈斯图(TheHasseDiagramofPosets)(1)用小圆圈代表元素用小圆圈代表元素;(2)若元素若元素ab且且ab时，则结点时，则结点a画在结点

341、画在结点b的下方。的下方。(3)若若b盖盖住住a，则则在在a与与b之之间间用用直直线线连连接接.由由于于所所有有边边的的箭箭头头向向上上,故省去箭头。例故省去箭头。例3中的关系中的关系的哈斯图如右图的哈斯图如右图.2024/9/20计算机科学与技术学院 例例5 5 设设U=a,b,c，则，则“”关系是关系是2U上上 的偏序关系，的偏序关系， 偏序关系偏序关系“ ”的哈斯图如下：的哈斯图如下： 2024/9/20计算机科学与技术学院 例例6 6 设设A= =2,3,6,12,24,362,3,6,12,24,36，A上的整除关系上的整除关系“ ” 是一偏序关系，其是一偏序关系，其哈斯图如下：哈斯

342、图如下： 2024/9/20计算机科学与技术学院 3.9.3偏序集中特殊位置的元素偏序集中特殊位置的元素既然偏序集的元素之间既然偏序集的元素之间具有分明的层次关系，具有分明的层次关系，则其中必有一些处于特殊位置的元素。则其中必有一些处于特殊位置的元素。定义定义3.9.3（极大元，极小元，最大元，最小元）（极大元，极小元，最大元，最小元）B，设设是一个偏序集，且是一个偏序集，且BA，如果存在元素，如果存在元素b使得使得（1）不存在）不存在xB满足满足x b且且bx，则称，则称b为为B的极大元；的极大元；B满足满足xb且且x（2）不存在）不存在xb，则称，则称b为为B的极小元；的极小元；（3）对）

343、对B中任意元素中任意元素x，均有，均有xb，则称，则称b为为B的最大元；的最大元；（4）对）对B中任意元素中任意元素x，均有，均有bx，则称，则称b为为B的最小元。的最小元。2024/9/20计算机科学与技术学院 例例7 7.设设Aa,b,c，对于偏序集，对于偏序集，集合集合极大元极大元极小元极小元最大元最大元最小元最小元a,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,c无无a,a,ba,baa,ba 3.9.3偏序集中特殊位置的元素偏序集中特殊位置的元素2024/9/20计算机科学与技术学院例例8 8在在例例6 6中取中取B=6B=6，1212，C=2C=2，3 3，66，则，则集合集合极大

344、元极大元极小元极小元最大元最大元 最小元最小元A24,362,3无无无无6,121261262,3,662,36无无 3.9.3偏序集中特殊位置的元素偏序集中特殊位置的元素2024/9/20计算机科学与技术学院 最大（小）元和极大（小）元的性质：最大（小）元和极大（小）元的性质：（1）最大（小）元必是极大（小）元，反之不然。）最大（小）元必是极大（小）元，反之不然。（2）最大（小）元不一定存在，若存在，则是唯一的。）最大（小）元不一定存在，若存在，则是唯一的。（3）极大（小）元不唯一，当）极大（小）元不唯一，当BA时，偏序集时，偏序集 的的极大元即是其哈斯图中最顶层元素，其极小元是哈斯图中最极

345、大元即是其哈斯图中最顶层元素，其极小元是哈斯图中最底层元素，不同的极大（小）元之间不可比，它们处在哈斯底层元素，不同的极大（小）元之间不可比，它们处在哈斯图中的同一个层次。图中的同一个层次。证：证： 3.9.3偏序集中特殊位置的元素偏序集中特殊位置的元素2024/9/20计算机科学与技术学院 定义定义3.9.4（上界，下界，上确界，下确界（上界，下界，上确界，下确界) A，如果存在元素，如果存在元素a设设 为一偏序集，为一偏序集，且且BA，B中任意元素中任意元素x，都满足，都满足（1） xa，则称，则称a为为B的上界；的上界；x，则称则称a为为B的下界；的下界；（2）a（3）若）若a是是B的上

346、界，且对的上界，且对B的任意上界的任意上界，均有均有 a则称则称a为为B的最小上界（上确界），记作的最小上界（上确界），记作LUB(B)；（4）若）若a是是B的下界，且对的下界，且对B的任意下界的任意下界，均有，均有a,则称则称a为为B的最大下界（下确界），记作的最大下界（下确界），记作GLB(B)。 2024/9/20计算机科学与技术学院例例9 9.设设Aa,b,c，对于偏序集对于偏序集，集合集合上界上界下界下界上确界上确界下确界下确界a,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,a,ba,b,a,b,ca,a,ba 3.9.3偏序集中特殊位置的元素偏序集中特殊位置的元素2024/9

347、/20计算机科学与技术学院例例10在例在例6中取中取B=12,24,36，C=2，3，6，则，则集合集合上界上界下界下界上确界上确界下确界下确界Anonenonenonenone12,24,36none2,3,6,12none122,3,66,12,24,36none6none6,1212,24,362,3,612624,36none2,3,6,12none12 3.9.3偏序集中特殊位置的元素偏序集中特殊位置的元素2024/9/20计算机科学与技术学院 通过以上例子可以看出界有以下性质：通过以上例子可以看出界有以下性质：（1）一个集合可能没有上界或下界，若有，则不一）一个集合可能没有上界或下

348、界，若有，则不一定唯一，并且它们可能在定唯一，并且它们可能在B中，也可能在中，也可能在B外；外；（2）一个集合若有上下确界，必定是唯一的，并且）一个集合若有上下确界，必定是唯一的，并且若是若是B的最大（小）元素，则它必是的最大（小）元素，则它必是B的上（下）确界。的上（下）确界。 3.9.3偏序集中特殊位置的元素偏序集中特殊位置的元素2024/9/20计算机科学与技术学院 3.9.4两种特殊的偏序集两种特殊的偏序集 1.1.全序全序设设“”是是集集合合A上上的的一一个个偏偏序序关关系系，对对于于任任意意a,bA，当当ab时时，ab和和ba至至多多一一个个成成立立，这这意意味味着允许着允许ab和

349、和ba可以都不成立。可以都不成立。 例如例如在例在例3的整除关系中，的整除关系中，34，43均不成立均不成立。 在例在例4 4的包含关系中的包含关系中 定义定义3.9.5 设设是集合是集合A上的一个偏序，若对于任意元素上的一个偏序，若对于任意元素a,bA，必有，必有ab或或ba，则称它为，则称它为A上的一个全序。上的一个全序。 2024/9/20计算机科学与技术学院 例如例如 实数集实数集R上的数之间的小于或等于关系上的数之间的小于或等于关系“”就是就是R上的一个全序，上的一个全序， 正整数集正整数集N上的小于或等于关上的小于或等于关系系“”也是也是N上的一个全序。上的一个全序。 N上的整除关

350、系就仅是一个偏上的整除关系就仅是一个偏序而不是全序。序而不是全序。 例例1111 设设A=1,2,8,24,48=1,2,8,24,48，则，则A上上的整除关系是的整除关系是A上的偏序，并且也是上的偏序，并且也是一个全序一个全序. . 2024/9/20计算机科学与技术学院 3.9.4 两种特殊的偏序集两种特殊的偏序集 2.2.良序良序定定义义3.9.6 设设“”是是集集合合A上上的的一一个个偏偏序序关关系系，若若A的任意子集的任意子集B均有最小元素均有最小元素, ,则称则称为为A上的一个良序。上的一个良序。 称为良序集。称为良序集。 例如例如 (1)(1)正整数集正整数集N上的小于等于关系上

351、的小于等于关系“”是良序关系。是良序关系。 (2)(2)In n =1,2,=1,2,n,n上的小于等于关系上的小于等于关系“”是良序关系。是良序关系。(3)(3)整数集整数集Z和实数集和实数集R上的小于等于关系上的小于等于关系“”不是不是良良序关系序关系 ( (因为因为Z或或R本身无最小元本身无最小元) ) 。2024/9/20计算机科学与技术学院定理定理3.9.1 每一个良序集一定是全序集每一个良序集一定是全序集. .注意注意: : 定理定理3.9.1的逆不成立的逆不成立 。 例如例如: : 整数集整数集Z和实数集和实数集R上的小于等于关系上的小于等于关系“”是是全序关系全序关系, ,但但

352、不是不是良序关系良序关系 。证证: 设设 为为良序集良序集, ,则对任意的则对任意的a ,bA,a,b构构成成A的子集的子集, ,因此它必有最小元素因此它必有最小元素, ,最小元素非最小元素非a则则b, ,故故一定有一定有ab或或ba. .所以所以 是一个全序集是一个全序集. .但是但是, ,对于有限的全序集对于有限的全序集, ,定理定理3.9.13.9.1的逆也成立的逆也成立. .即有即有定理定理3.9.2 每一个有限的全序集一定是良序集每一个有限的全序集一定是良序集. .3.9.4两种特殊的偏序集两种特殊的偏序集2024/9/20计算机科学与技术学院第三章第三章 集合与关系集合与关系(Se

353、ts&Relations)小结：本书介绍了偏序关系及几种特殊的偏小结：本书介绍了偏序关系及几种特殊的偏序。重点掌握偏序的概念，哈斯图的画法及序。重点掌握偏序的概念，哈斯图的画法及偏序关系中特异位置元素。偏序关系中特异位置元素。作业作业：Pg110:1,4,3.9.4两种特殊的偏序集两种特殊的偏序集2024/9/20计算机科学与技术学院综合练习综合练习1.1.对对下下述述论论断断判判断断正正确确与与否否，在在相相应应括括号号中中键键入入“Y Y”或或“N N”。（1 1）设设A=2,3,6,12,24,36=2,3,6,12,24,36，A上上的的整整除除关关系系是是一一偏偏序序关系，用关系，用

354、“”表示。表示。(b)(b)“”=2,22,2, ,2,62,6, ,3,33,3, ,3,63,6, ,6,66,6, ,6,126,12, ,12,1212,12, ,12,2412,24, ,24,2424,24, ,36,3636,36 （ ） N NY Y（2 2）集合）集合A=3,9,27,54=3,9,27,54上的整除关系是上的整除关系是A上的全序上的全序 （ ） Y Y（a a）该偏序关系的哈斯图是）该偏序关系的哈斯图是 （ ） 2024/9/20计算机科学与技术学院 解解 满足上述条件的最小基数的关系满足上述条件的最小基数的关系 2 2 =2,32,3，2,42,4，4,3

355、4,3 一一般般说说，给给定定1和和12，不不能能唯唯一一的的确确定定2 。 例例如如2=2,3，2,4，4,3，0,0，3,3也也可可以以.2 2给给定定1=0,1,1,2,3,4,12=1,3，1,4，3,3,求求满满足足上上述述条条件件的的一一个个基基数数最最小小的的关关系系2.一一般般地地说说,若若给给定定1和和12，2能能被被唯唯一一地地确确定定吗吗?基数最小的基数最小的2能被唯一确定吗能被唯一确定吗？2024/9/20计算机科学与技术学院给定给定1 1和和1 12 2，也不能唯一的确定出最，也不能唯一的确定出最小基数的小基数的2 2。则则2 2= =2,32,3，2,42,4，4,

356、34,3或或2 2= =2,32,3，2,42,4，3,33,3都可以。都可以。例例 如如 1 1= = 0,10,1 ， 1,21,2 ， 3,33,3 ， 3,43,4 ， 1 12 2= =1,31,3，1,41,4，3,33,3，2024/9/20计算机科学与技术学院3 .3 .有人说，集合有人说，集合A上的关系上的关系 ，如果是对称的且可，如果是对称的且可传递，则它也是自反的。其理由是，从传递，则它也是自反的。其理由是，从对称性对称性传递性传递性例例 设设 A1,21,2，3 31,21,2, ,2,12,1, ,1,11,1, ,2,22,2 2024/9/20计算机科学与技术学院

357、结结 束束谢 谢 !2024/9/20计算机科学与技术学院n4.1 函数的基本概念函数的基本概念(The concept of function) n4.2 特殊映射特殊映射 (Special mappings)n4.3 复合函数与逆函数复合函数与逆函数(Compositions of functions and Inverse functions )n4.4 置换置换(Permutation)n*4.5 基数基数(Cardinal Number)2024/9/20计算机科学与技术学院n4.1 函数的基本概念函数的基本概念(The concept of function) n 4.1.1函数的

358、基本概念函数的基本概念n 4.1.2 特殊函数类特殊函数类(Special functions)2024/9/20计算机科学与技术学院 4.1.1 函数的基本概念n 函数概念是最基本的数学概念函数概念是最基本的数学概念之一，也是最重要的数学工具。初中数之一，也是最重要的数学工具。初中数学中函数定义为学中函数定义为对自变量每一确定值对自变量每一确定值都有一确定的值与之对应都有一确定的值与之对应的因变量；的因变量；高中数学中函数又被定义为两集合元素高中数学中函数又被定义为两集合元素之间的映射。之间的映射。 2024/9/20计算机科学与技术学院n 现在，我们要把后一个定义作进一现在，我们要把后一个

359、定义作进一步的深化，用一个特殊关系来具体规定这步的深化，用一个特殊关系来具体规定这一映射，称这个特殊关系为函数，因为关一映射，称这个特殊关系为函数，因为关系是一个集合，从而又将函数作为集合来系是一个集合，从而又将函数作为集合来研究。离散结构之间的函数关系在计算机研究。离散结构之间的函数关系在计算机科学研究中也已显示出极其重要的意义。科学研究中也已显示出极其重要的意义。我们在讨论函数的一般特征时，总把注意我们在讨论函数的一般特征时，总把注意力集中在离散结构之间的函数关系上，但力集中在离散结构之间的函数关系上，但这并不意味着这些讨论不适用于其它函数这并不意味着这些讨论不适用于其它函数关系。关系。2

360、024/9/20计算机科学与技术学院n 考考虑虑下下面面几几个个由由图图示示表表示示的的集集合合A到到集合集合B的关系（见图的关系（见图 4.1.1）。）。 n 在在这这个个关关系系中中， 后后个个关关系系3， 4， 5， 6与与1， 2不不同同， 它它们都有下面两个特点：们都有下面两个特点： n （1） 其定义域为其定义域为A；n （2） A中中任任一一元元素素a对对应应唯唯一一一个一个B中的元素中的元素b。 2024/9/20计算机科学与技术学院图图4.1.1几个关系的示图几个关系的示图2024/9/20计算机科学与技术学院图图4.1.1几个关系的示图几个关系的示图2024/9/20计算机

361、科学与技术学院图图4.1.1几个关系的示图几个关系的示图计算机科学与技术学院n 定义定义4.1.1 设设X，Y为集合，如果为集合，如果f为为X到到Y的关系的关系 （f XY），且对每一），且对每一x X，都有唯一的，都有唯一的 y Y，使，使x,y f，称称 f 为为X到到Y的函数（的函数（functions），记为），记为 f：XY。当。当X=X1X2Xn时，称时，称f为为n元函数。函数也称映射元函数。函数也称映射（mapping）。）。计算机科学与技术学院换言之，函数是特殊的关系，它满足换言之，函数是特殊的关系，它满足（1）函数的定义域是）函数的定义域是X，而不能是，而不能是X的某个真子集

362、的某个真子集(即即dom(f)=X)。（2）若）若x,yf，x,yf，则，则yy（单值（单值性）。性）。2024/9/20计算机科学与技术学院图图4.1.22024/9/20计算机科学与技术学院n 由于函数的第二个特性，人们常把由于函数的第二个特性，人们常把x,y f 或或 xfy 这两种关系表示形式，这两种关系表示形式，在在 f 为函数时改为为函数时改为y =f(x)。这时称。这时称x为为自变量，自变量，y为函数在为函数在x处的值；也称处的值；也称y为为x在在 f 作用下的像作用下的像(image of x under f ) ，x为为y的原像。一个自变量只能有唯一的原像。一个自变量只能有唯

363、一的像，但不同的自变量允许有共同的像。的像，但不同的自变量允许有共同的像。注意，函数的上述表示形式不适用于一注意，函数的上述表示形式不适用于一般关系。（因为一般关系不具有单值性。）般关系。（因为一般关系不具有单值性。）2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例1】 设设A=a,b,B=1,2,3，判断下列集合是否是，判断下列集合是否是A到到B的函数。的函数。n F1=a,1,b,2, F2=a,1,b,1， n F3=a,1,a,2, F4=a,3n 解解 n F1,F2是函数，是函数，F3,F4不是函数，但不是函数，但若不强调是若不强调是A到到B的函数，则的函数，则F4是函数，其是函数

364、，其定义域为定义域为a。2024/9/20计算机科学与技术学院n【例例2】 下列关系中哪些能构成函下列关系中哪些能构成函数？数？n（1）x,y|x,y N, x+y10n（2）x,y|x,y N, x+y=10n（3）x,y|x,y R, |x|=yn（4）x,y|x,y R, x=|y|n（5）x,y|x,y R, |x|=|y|解解:只有（只有（3）能构成函数。）能构成函数。计算机科学与技术学院n 对于函数对于函数 f：XY, f 的前域的前域dom(f )=X就是函数就是函数 y= f(x)的定义域的定义域, 有时也记有时也记为为 D f , f 的值域的值域ran(f ) Y , 有时

365、也记为有时也记为R f , 即即n R f = nY称为称为 f 的共域的共域, ran(f )= R f 也称为也称为 f 的的像集合像集合, dom(f )=X= D f 也称为也称为 f 的原像的原像集。对于集。对于计算机科学与技术学院AX，称，称f(A)为为A的像（的像（image of A），定义为），定义为 f(A)=显然显然,f()=, f(x)=f(x)(xA)。2024/9/20计算机科学与技术学院n定理定理4.1.1 设设 f : X Y ，对任意，对任意AX，BX，有，有n（1）f(A B)=f(A) f(B)n（2）f(AB) f(A)f(B)n（3）f(A)-f(B)

366、 f(A-B)在这里请注意区别函数值和像两个不同的概念。在这里请注意区别函数值和像两个不同的概念。函数值函数值f(x)Y,而像而像f(A)Y。关于像有下列。关于像有下列性质。性质。2024/9/20计算机科学与技术学院n 证明证明 （1）对任一）对任一y Yn y f(A B) x(x A B y=f(x)n x(x A y=f(x) (x B y=f(x)n x(x A y=f(x) x(x B y=f(x)n y f(A) y f(B)n y f(A) f(B)n 因此因此f(A B)=f(A) f(B)。n （2）、（）、（3）的证明请读者完成。）的证明请读者完成。注意，（注意，（2）、

367、（）、（3）中的包含符号不能用）中的包含符号不能用等号代替。我们举例说明。等号代替。我们举例说明。 2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例3】 设设X=a,b,c,d，Y=1,2,3,4,5，f : XY,如图如图4.1.3所所示。那么，示。那么，n f (a)=2,n f (b)=2,n f (a)f(b)=2n f (a)-f(b)=n 2024/9/20计算机科学与技术学院n f (ab)=f( )=n f (a-b)=f(a)=2n f (ab) f(a)f(b)n f (a)-f(b) f(a-b)2024/9/20计算机科学与技术学院图图4.1.32024/9/20计算机

368、科学与技术学院n n n 由于函数归结为关系，因而由于函数归结为关系，因而函数的表示及运算可归结为集合的函数的表示及运算可归结为集合的表示及运算，函数的相等的概念、表示及运算，函数的相等的概念、包含概念，也便归结为关系相等的包含概念，也便归结为关系相等的概念及包含概念。概念及包含概念。n2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义4.1.2 设设 f : AB，g : CD，如果，如果A=C，BD，且对每一，且对每一x A，有，有n f(x)g(x)，称函数，称函数 f 等于等于g,记为记为 f = g。如果。如果n A C，BD，且对每一，且对每一x A，有，有n f(x)g(x)，称

369、函数，称函数 f 包含于包含于g，记，记为为f g。n 2024/9/20计算机科学与技术学院n 事实上，当不强调函数是定义在哪事实上，当不强调函数是定义在哪个集合上的时候，由于函数是序偶的个集合上的时候，由于函数是序偶的集合（特殊的关系），所以集合（特殊的关系），所以f = g的充的充分必要条件是分必要条件是f g且且n g f。2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例4】 设设A=a,b, B=1,2,3。由。由AB能生成多少个能生成多少个不同的函数？由不同的函数？由BA能生成多少个能生成多少个不同的函数？不同的函数？n 解解: 设设 fi : AB (i=1,2,，9), n g

370、i : BA (i=1,2,，8)2024/9/20计算机科学与技术学院n f1=a,1,b,1 g1=1,a,2,a,3,an f2=a,1,b,2 g2=1,a,2,a,3,bn f3=a,1,b,3 g3=1,a,2,b,3,an f4=a,2,b,1 g4=1,a,2,b,3,bn f5=a,2,b,2 g5=1,b,2,a,3,an f6=a,2,b,3 g6=1,a,2,a,3,bn f7=a,3,b,1 g7=1,b,2,a,3,bn f8=a,3,b,2 g8=1,b,2,b,3,bn f9=a,3,b,32024/9/20计算机科学与技术学院n 定理定理4.1.2 设设|A|

371、=m，|B|=n，那么那么f | f:AB的基数为的基数为 nm，即共有，即共有nm个个A到到B的函数。的函数。n 证明证明 设设A=a1,a2,am,B=b1,b2,bn，那，那么每一个么每一个f:AB由一张如下的表来规定由一张如下的表来规定:aa1a2amf(a)bi1bi2bim2024/9/20计算机科学与技术学院n 其中其中b i1，b i2，b im为取自为取自b1，b2，bn的允许元素重复的排列，的允许元素重复的排列，这种排列总数为这种排列总数为n m个。因此，上述形个。因此，上述形式的表恰有式的表恰有n m张，恰对应全部张，恰对应全部n m个个A到到B的函数。的函数。n 202

372、4/9/20计算机科学与技术学院n 由于上述缘故，当由于上述缘故，当A,B是有穷集是有穷集合时，我们以合时，我们以B A记所有记所有A到到B的全体函的全体函数的集合：数的集合：n B A=f | f: ABn 则则|B A|=|B|A|。n 特别地特别地AA表示表示A上函数的全体。上函数的全体。目前在计算机科学中，也用目前在计算机科学中，也用AB替代替代B A。2024/9/20计算机科学与技术学院n 例例4中，中，B A=f1,f2,f9，|B A|=9，n A B=g1,g2,g8，|A B|=8。n 该定理当该定理当X或或Y中至少有一个集中至少有一个集合是空集时，可分成下面两种情况：合是

373、空集时，可分成下面两种情况：n (1)当当X 时，时，X到到Y的空关系的空关系为一函数，称为空函数，即为一函数，称为空函数，即YX= 。n (2)当当X且且Y= 时，时，X到到Y的空关系不是一个函数，即的空关系不是一个函数，即YX=X= 。 2024/9/20计算机科学与技术学院小结:本结介绍了函数的概念。重点掌握本节定义的函数与以往函数及一般关系的不同之处。作业: P114：1，3，4n 2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义4.2.1 给定函数给定函数 f : XY，n (1)如果函数如果函数 f 的值域的值域 Ran f= Y ，即，即Y的每一个元素都有原像的每一个元素都有原

374、像,则称则称 f : XY为为满射函数满射函数（ surjection ）, 满射函满射函数也称映上的函数。数也称映上的函数。 n (2)对于任意对于任意 x1, x2 X,若若 x1x2则有则有f(x1)f(x2), 或者当或者当 f(x1)=f(x2)时必有时必有x1=x2, 则称则称 f 为为单射函数单射函数（ injection ）,单射函数也称一对一的函数。单射函数也称一对一的函数。4.2特殊映射特殊映射(SpecialMappings)2024/9/20计算机科学与技术学院n (3) f : XY。如果它既是满射，。如果它既是满射，又是单射，则称又是单射，则称 f 为双射函数（为双

375、射函数（ bijection ）,双射函数也称一一对应。双射函数也称一一对应。n 由定义不难看出，如果由定义不难看出，如果 f : XY是满射，则对于任意的是满射，则对于任意的y Y,都存在都存在x X,使得使得y=f(x);n 如果如果 f : XY是单射的，则对于是单射的，则对于任意的任意的y Ran f,都存在唯一的都存在唯一的 x X,使得使得y=f(x)。n 图图4.2.1说明了这三类函数之间的说明了这三类函数之间的关系。注意，既非单射又非满射的函数是关系。注意，既非单射又非满射的函数是大量存在的。大量存在的。 2024/9/20计算机科学与技术学院图图4.2.12024/9/20计

376、算机科学与技术学院n 【例例1】 对于给定的对于给定的 f 和集合和集合A，请，请判断判断 f 性质性质n (类型类型)；并求；并求A在在 f 下的像下的像f(A)。n (1) f : R R ，f(x)=x，A=8n (2) f : NNN，f(x)=x, x+1，A=2,5n (3) f : ZN，f(x)=|x|，A=-1,2n (4) f : S R ， ,S=0,+)，A=0,7)n (5) f : 0,1a,b, a b, f (x)=(b-a) x +a, n A=0,1/2)2024/9/20计算机科学与技术学院n 解解: n（1）f是双射，是双射，f (A)=f(8)=8n

377、(2) f是单射，是单射，f (A)=f(2,5)=2,3, 5,6n (3) f是满射，是满射，f (A)=f(-1，2)=1，2n (4) f是单射，是单射，f (A)=f(0,7)=（1/8，1n (5) f是双射，是双射，f (A)=f(0,1/2)=a,(a+b)/2)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定理定理4.2.1 设设A,B是有穷集合，是有穷集合，|A|=|B|，则，则f:AB是单射的充分必是单射的充分必要条件是要条件是 f 是满射。是满射。n 证明证明 先证必要性。先证必要性。设设f是单射，则是单射，则|A|=|f(A)|=|B|。因为。因为 f(A)B，而，而B是

378、有穷集合，所以是有穷集合，所以f(A)=B，故，故f是满射。是满射。2024/9/20计算机科学与技术学院再证充分性。再证充分性。设设f是满射，则是满射，则f(A)=B,从而从而|f(A)|=|B|。反设。反设f 不是单射，则必存在不是单射，则必存在x1,x2X,x1x2且且f(x1)=f(x2).又因为又因为A是有穷集合，于是是有穷集合，于是|f(A)|A|-11,反反设设G，*中中有有零零元元,则则对对 x G， x*=*x= e(见定理见定理5.1.3) .n 故故无逆元无逆元,与与 G，*是群矛盾是群矛盾.n （注意，注意，G=e时时,e既是幺元，又是零元。既是幺元，又是零元。）5.4

379、.2群的基本性质群的基本性质(Thepropertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n定定理理5.4.3 对对群群G，*的的任任意意元元素素a,b，及任何整数，及任何整数m， n,有有n （1）am*an=am+nn （2）(am）n=amnn 证明留给读者。证明留给读者。n 群的下列性质是明显的。群的下列性质是明显的。5.4.2群的基本性质群的基本性质(Thepropertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n定定理理5.4.4 设设G，*为为群群，则则对对任任意意的的a,b G ，n方程方程a*xb，y*ab都有解且有唯一解。都有解且有

380、唯一解。5.4.2群的基本性质群的基本性质(Thepropertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 证明证明: n先先证证a-1*b是是方方程程a*xb的的解解。将将a-1*b代入方程左边的代入方程左边的x，得，得n a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=bn 所所以以a-1*b是是该该方方程程的的解解。下下面面证证明明唯唯一性。一性。n 假假 设设c是是 方方 程程a*xb的的 解解 ， 必必 有有a*c=b,从而有从而有n c=e*c=(a-1*a)*c=a-1*(a*c)=a-1*bn 唯唯一一性性得得证证。同同理理可可证证b*a-1是是方方程程y

381、*ab的唯一解。的唯一解。n 2024/9/20计算机科学与技术学院n定定理理5.4.5 设设G，*为为群群，则则G的的所所有元素都有元素都n是是可可约约的的。因因此此，群群G，*满满足足消消去去律，律，n即对任意即对任意a,x,y Sn a*x=a*y x=yn x*a=y*a x=yn注注:上述蕴涵式等价于对任意上述蕴涵式等价于对任意a,x,y S,若若 x yn则有则有 a*x a*y n x*a y*a 5.4.2群的基本性质群的基本性质(Thepropertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义5.4.2 设设G,*是一个群是一个群,n (1) 若

382、若G是是一一个个有有限限集集合合,则则称称G,*为为一一个个有有限限群群（finite group）,且且称称 为群为群G,*的阶（的阶（order） 。n (2) 若若G是是一一个无限集合个无限集合,则称则称G,*为一个无限群（为一个无限群（infinite group） 。n 例如例如, Z,+,R,+ 是无限群是无限群, klein四元群是四元群是n 有限群。有限群。 5.4.2群的基本性质群的基本性质(Thepropertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 由定理由定理5.4.5可知，特别地，当可知，特别地，当G为有限群时，为有限群时，*运算的运算表的每一

383、行（列）运算的运算表的每一行（列）都是都是G中元素的一个全排列。中元素的一个全排列。对于有限群，对于有限群，运算可用表给出运算可用表给出,称为群表。从而有限群称为群表。从而有限群G，*的运算表中没有一行（列）上有的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的。因此，当两个元素是相同的。因此，当G分别为分别为1，2，3阶群时阶群时,*运算都只有一个定义方式运算都只有一个定义方式(即不计元素记号的不同即不计元素记号的不同,只有一张定义只有一张定义*运运算的运算表算的运算表,分别如表分别如表5.4.3、5.4.4和和5.4.5所示所示),于是可以说于是可以说,1,2,3阶的群都只阶的群都只有一个。有一

384、个。5.4.2群的基本性质群的基本性质(Thepropertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院*eee表表5.4.3表表5.4.4* e aea e a a e表表5.4.52024/9/20计算机科学与技术学院【例例5.4.4】在下表的空白处填入适当的元素在下表的空白处填入适当的元素,使使a,b,c,*构成群。构成群。* a b c a b c a a c c2024/9/20计算机科学与技术学院【例例5.4.4】在下表的空白处填入适当的元素在下表的空白处填入适当的元素,使使a,b,c,*构成群。构成群。* a b c a b c c a b a b c b c

385、a 2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例5.4.5】设设G,*为为有有限限独独异异点点,适适合消去律合消去律,证明证明G,*为群。为群。n 证证明明 设设e是是G,*中中的的幺幺元元。由由G,*适合消去律，即适合消去律，即a，b，c G均有均有n a*b=a*cb=cn b*a=c*ab=cn 又又由由于于G,*为为有有限限独独异异点点，所所以以a G，正整数正整数n使得使得n an=e,a*an-1=e=an-1*an 故故 a G， an-1 G是是a的的 逆逆 元元 ， 故故G,*为群。为群。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理5.4.6 设设G，*为为群群，则

386、则幺元是幺元是G的唯一的等幂元素。的唯一的等幂元素。n 证明证明: 设设G中有等幂元中有等幂元x，那么，那么x*x=x，又，又x=x*e，所以，所以x*x=x*e。n 由定理由定理5.4.5得得x=e。故得证。故得证。n 设设G，*为为群群,如如果果我我们们用用aG和和Ga分别表示下列集合分别表示下列集合n aG=a*g|g G Ga=g*a|g Gn 那么我们有以下定理。那么我们有以下定理。5.4.2群的基本性质群的基本性质(Thepropertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理5.4.7 设设G，*为为一一群群,a为为G中中任任意元素，意元素，n 那

387、么那么aG=G=Ga。n 特特别别地地，当当G为为有有限限群群时时，*运运算算的的运算表运算表n 的的每每一一行行（列列）都都是是G中中元元素素的的一一个个全全排排列。列。n 证明证明: aGG是显然的。是显然的。n 设设g G，那那么么a-1*g G，从从而而a*(a-1*g) aG，n 即即g aG。因此。因此GaG。aG=G得证。得证。n Ga=G同理可证。同理可证。 5.4.2群的基本性质群的基本性质(Thepropertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 对群还可以引入元素的阶的概念。对群还可以引入元素的阶的概念。n 定义定义5.4.3 设设G，*为群，

388、为群，a G，满足等式满足等式n an=e的最小正整数的最小正整数n称为称为a的阶的阶(order)，记作记作|a|=n。n 若不存在这样的正整数若不存在这样的正整数n,称称a是无限阶。是无限阶。n 【例例5.4.7】n (1)任任何何群群G的的幺幺元元e的的阶阶为为1,且且只只有有幺幺元元e的的阶为阶为1。n (2)Z,+中中幺幺元元0的的阶阶为为1，而而整整数数a=10时时,a有无限阶。有无限阶。n (3)Z4,+4中中1的的阶阶是是4,2的的阶阶是是2,3的阶的阶n 是是4。5.4.2群的基本性质群的基本性质(Thepropertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术

389、学院n关于元素的阶有以下性质关于元素的阶有以下性质:n定定理理5.4.8 有有限限群群G的的每每个个元元素素都都有有有有限阶限阶,且且n其阶数不超过群其阶数不超过群G的阶数的阶数|G|。n证证 明明 : 设设a为为G的的 任任 一一 元元 素素 ,考考 虑虑e=a0,a1,a2,a|G|这这|G|+1个个nG中中元元素素，由由于于G中中只只有有|G|个个元元素素, 它它们们中中至少有两个至少有两个n是相同的是相同的,不妨设不妨设n as=at 0st|G|n于于是是at-s=e,因因此此a有有有有限限阶阶,且且其其阶阶数数至至多多是是t-s,不超过群不超过群nG的阶数的阶数|G|。2024/9

390、/20计算机科学与技术学院n 定定理理5.4.9 设设G，*为为群群,G中中元元素素a的阶为的阶为r,那么那么,an=e当且仅当当且仅当r整除整除n。n 证明证明 先证充分性。先证充分性。n 设设are，r整整除除n，那那么么设设n=kr（k为为整整数数），因因为为are，所所以以an=akr=(ar)k=ek=e。再证必要性。再证必要性。n 设设ane，n=mrk，其其中中m为为n除除以以r的商，的商，k为余数，因此为余数，因此0kr。于是。于是n eanamr+kamr*akakn 因此因此,由由r的最小性得的最小性得k=0，r整除整除n。 5.4.2群的基本性质群的基本性质(Thepro

391、pertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理5.4.10 设设G，*为为群群，a为为G中任一元素，那么中任一元素，那么|a|=|a-1|。n 证明证明 设设a的阶为的阶为n,由由(a-1)n=(an)-1=e-1=e,可知可知a-1的阶是存在的。只要证的阶是存在的。只要证a具具有阶有阶n当且仅当当且仅当a-1具有阶具有阶n。由于逆元是相。由于逆元是相互的，即互的，即(a-1)-1a，因此只需证：当，因此只需证：当a具有具有阶阶n时，时，a-1也具有阶也具有阶n。n 设设a的阶是的阶是n，a-1的阶是的阶是t。由于。由于n (a-1)n(an)-1e-1e，

392、故故tn。又又因因为为n at(a-1)t)-1e-1e，故，故nt。因此，。因此，n nt,即即|a|=|a-1|。 2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例5.4.8】设设G是是n阶阶有有限限群群，证明：证明：n （1）G中中阶阶大大于于2的的元元素素个个数数一一定定是是偶数；偶数；n （2）若若n是是偶偶数数，则则G中中阶阶等等于于2的的元素个数一定是奇数。元素个数一定是奇数。n 证明证明n （1）设）设A=x|x G，x的阶大于的阶大于2，则，则a A，n a-1a，否则，否则a2=e与与a A矛盾。矛盾。n 因因为为a与与a-1的的阶阶相相同同，且且a-1相相对对于于a是是唯

393、唯一一的的，所所以以a A，a-1与与a成成对对出出现现，故故G中阶大于中阶大于2的元素个数一定是偶数。的元素个数一定是偶数。2024/9/20计算机科学与技术学院n （2）当）当n是偶数时，因为是偶数时，因为G中阶中阶大于大于2的元素个数一定是偶数，所以的元素个数一定是偶数，所以G中中阶小于等于阶小于等于2的元素个数是偶数，由于的元素个数是偶数，由于阶为阶为1的元素是唯一的幺元的元素是唯一的幺元e，因此，因此G中中阶等于阶等于2的元素一定有奇数个。的元素一定有奇数个。5.4.2群的基本性质群的基本性质(Thepropertiesofgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院5.4.

394、3 子群(Subgroups)n 定义定义5.4.4 设设G，*为群，为群，H , H是是G的子集的子集,(1)如果如果H，*也构成群，则称也构成群，则称H，*为为(2)G，* 的子群的子群(subgroups)，记作，记作HG。(3)(2) 若若H是是G的非空真子集的非空真子集, 且且H，*也也构成群，则称构成群，则称H，*为为G，* 的真子的真子群。群。2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例5.4.9】 Z,+是是Q,+的的子子群群；Q,+n 是是R,+的的子子群群；R,+是是C,+的子群。的子群。 n 【例例5.4.10】 E Z,E为偶数集。那么为偶数集。那么E,+为为Z,+

395、的子群；的子群；M Z, M为奇数为奇数集集,但但M,+不是不是Z,+的子群。的子群。n 显显然然,对对任任何何群群G,e，*及及G，*均为其子群均为其子群,n 它它们们被被称称为为平平凡凡子子群群,其其它它子子群群则则称称为为非非平平凡子群。凡子群。5.4.3 子群(Subgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 子群有下列特性子群有下列特性:n 定定理理5.4.11 设设G，*为为群群，那么那么nH，*为为G，*的的子子群群的的充充分分必必要条件是要条件是n （1）G的幺元的幺元e H。n （2）若）若a，b H，则，则a*b H。n （3）若）若a H，则，则a-1 H。5

396、.4.3 子群(Subgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 证明证明: 先证必要性。设先证必要性。设H为子群。为子群。n（1）设）设H，*的幺元为的幺元为e,对于任意对于任意x H G,那么那么e*x=x=e*x。由于在。由于在G中满足消去律中满足消去律,故故e=e,e H得证。得证。n （2）是显然的（因）是显然的（因H为子代数）。为子代数）。n（3）设设H，*中中任任一一元元素素a在在H中中逆逆元元为为b,那那么么a*b=b*a=e,因因为为H G,所所以以a,b G由由逆逆元元的的唯唯一一性性,b就就是是a在在G中中的逆元的逆元,即即b=a-1 H。5.4.3 子群(S

397、ubgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 充充分分性性是是明明显显的的。事事实实上上只只要要条条件件（2）、（3）便便可可使使H，*为为G，*的的子子群群,因因为为H不不空空时时条条件件（2）、（3）蕴蕴涵涵条条件件（1），因因此此，可可用用（2）、（3）来来判判别别非空子集非空子集H是否构成是否构成G的子群的子群H，*。n 对于有限群对于有限群,子群的判别更为简单。子群的判别更为简单。5.4.3 子群(Subgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定理定理5.4.12 设设G，*为群为群,H为为G的非空有限子集，且的非空有限子集，且H对对*运算封闭运算封闭,

398、那么那么H，*为为G，*的子群。的子群。n 证证明明: 由由于于H为为有有限限集集,设设|H|=k,a H。考虑考虑n a1,a2,ak+1,n 它它们们都都在在H中中(H对对*运运算算封封闭闭), 因因此此 必必 定定 有有ai=aj(0ijk+1),从从 而而aj-i=e,故故e H。2024/9/20计算机科学与技术学院n 若若H=e,H，*为为G的的子子群群得证。得证。n 若若He,设设a为为H中中任任意意一一个个不不同同于于e的的元元素素。同同上上可可证证,有有r2使使ar=e,从而有从而有n ar=a*ar-1=ar-1*a=en 因此因此,a-1=ar-1 H。n 据定理据定理5

399、.4.11,H，*为为G的子群的子群得证。得证。 5.4.3 子群(Subgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定理定理5.4.13 设设G，*为群，为群，H是是G的非空子集，那么的非空子集，那么H，*为为G，*的子群的充分必要条件是的子群的充分必要条件是a，b H有有a*b-1 H。n 证明证明: 先证必要性。先证必要性。n 任任取取a,b H,由由于于H是是G的的子子群群，必有必有b-1 H,所以所以a*b-1 H。 5.4.3 子群(Subgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 再证充分性。再证充分性。n 因因为为H非非空空，必必存存在在a H(取取b=

400、a)，由已知条件由已知条件n 有有a*a-1 H，即，即e H。n 任任 取取a H,由由e,a H有有e*a-1 H,即即a-1 H。n 任任取取a,b H,则则b-1 H,由由已已知知条条件件有有a*(b-1)-1 H，n 即即a*b H。n 据据定定理理5.4.11,H，*为为G的的子子群群得证。得证。 5.4.3 子群(Subgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 【 例例 5.4.11】 Klein四四 元元 群群 ，e,*,e,a,*,e,b,*,e,c,*均是其子群。均是其子群。n 【例例5.4.12】设设G为群，为群，a G,令令H=ak|k Z,即即a的所有的

401、幂构成的集合，则的所有的幂构成的集合，则H是是G的子群，称为由的子群，称为由a生成的子群，记作生成的子群，记作a。a称为生成元称为生成元(generator)。n 证明证明: 因为因为a a，所以，所以a 。任取。任取n am,al a,有有 n am(al)-1=ama-l=am-l an 由定理由定理5.4.13可知可知aG。5.4.3 子群(Subgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例5.4.13】Z,+除除0=0外外，子群都是子群都是n 无限阶。无限阶。n 1=0,1,-1,2,-2,=Z,称称1是是 Z的的生生成成元。元。n 2=0,2,-2,4,-4,=2k

402、|k Z=2Z n 【例例5.4.14】设设G,*是是群群，对对任任一一个个a G，令令C是是G中中所所有有与与a可可交交换换的的元元素素构构成成的的集集合，即合，即n C=y|y*a=a*y，y Gn 则则C,*是是G的子群，称为的子群，称为G的中心。的中心。2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证明明: 由由e与与G中中所所有有元元素素可可交交换换可可知知e C。C是是G的非空子集。的非空子集。n 由由y*a=a*y可可得得y=a*y*a-1，因因此此x，y C，因为，因为n x*y-1=（a*x*a-1）*（a*y-1*a-1）=a*x*y-1*a-1n 因此因此 x*y-1*a=

403、a*x*y-1n 所以所以x*y-1 H，故，故C,*是是G的子群。的子群。5.4.3 子群(Subgroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 小小结结: 本本节节介介绍绍了了群群与与子子群群的的概概念念及及其其性性质质。重重点点掌掌握握群群的的性性质质和和判判别别子子群群的充分必要条件。的充分必要条件。n 作业作业: P158: 1,2,3,8,92024/9/20计算机科学与技术学院5.5 阿贝尔群和循环群(Abelian (Commutative) Groups and Cyclic Groups) n5.5.1 阿阿 贝贝 尔尔 群群 (Abelian (Commutati

404、ve) Groups)n5.5.2 循环群循环群(Cyclic Groups)n5.5.3 置换群置换群(Permutation Groups)n 在在这这一一节节里里我我们们将将要要介介绍绍两两种种重重要的群要的群 阿贝尔群阿贝尔群和和循环群循环群。n 2024/9/20计算机科学与技术学院定定义义5.5.1设设G ,*是是一一个个群群,如如果果*是是一一个个可可交交换换运运算算,那那么么群群G ,*就就称称为为可可换换群群,或或称称阿阿贝贝尔尔群群。否则称为不可交换群。否则称为不可交换群。5.5.1阿贝尔群阿贝尔群(Abelian(Commutative)Groups)【例例5.5.1】(

405、a)Z,+,Q, +,R,+均为阿贝均为阿贝尔群。尔群。(b)设设A是任一集合是任一集合,P表示表示A上的双射函数集合上的双射函数集合,结构结构P,。是一个群是一个群,这里。表示函数合成这里。表示函数合成,f -1是是f的逆的逆函数函数,通常这个群不是阿贝尔群。通常这个群不是阿贝尔群。(c)设设G=所有所有n阶可逆方阵阶可逆方阵,“”是是G上的矩阵乘法运上的矩阵乘法运算算,则则G,是一个群是一个群,但它不是阿贝尔群。但它不是阿贝尔群。2024/9/20计算机科学与技术学院【例例5.5.2】设设G ,*,e 是一个独异点是一个独异点,并且对于并且对于G中的每一个元素中的每一个元素a都有都有a*a

406、= e,则则G ,*是一个阿是一个阿贝尔群。贝尔群。证明证明:对对aG,由于由于a*a= e,则则a-1=a,即即G中的每一中的每一个元素个元素a都有逆元素都有逆元素,故故G ,*是一个群。是一个群。又对又对a,bG,a*b= a-1*b-1=(b*a)-1 = b*a ,所以所以G ,*是一个阿贝尔群。是一个阿贝尔群。2024/9/20计算机科学与技术学院定定义义5.5.2设设G ,*是是一一个个群群,若G中中存存在在元元素素a,使使G中中的的任任意意元元素素都都可可表表示示为为a的的幂幂（约约定定e=a0）,即即G以以a为为生成元，则称生成元，则称G，*为循环群为循环群(cyclicgro

407、up)。5.5.2循环群循环群(CyclicGroups)【例例5.5.3】P191例题例题1的群的群R ,就是一个循环群就是一个循环群,600是生成元是生成元(3000也是生成元也是生成元)。2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例5.5.4】n （1）Z,+为为循循环环群群，1或或（l）为为其生成元。其生成元。n （2）令令A=2i|i Z，那那么么A,(为为普普通通的的数数乘乘)是是循循环环群群，2是是生生成成元元(2-1也也是生成元是生成元)。n （3）Z8,+8为为循循环环群群，1,3,5,7都都可以是生成元。可以是生成元。n 5.5.2循环群循环群(CyclicGroups

408、)2024/9/20计算机科学与技术学院5.5.2循环群循环群(CyclicGroups) 0 1 2 3 4 5 6 7 012345670 1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7 02 3 4 5 6 7 0 13 4 5 6 7 0 1 24 5 6 7 0 1 2 35 6 7 0 1 2 3 46 7 0 1 2 3 4 57 0 1 2 3 4 5 62024/9/20计算机科学与技术学院n（4） (为矩阵乘法为矩阵乘法)，幺元为，幺元为因为因为,所以逆元为所以逆元为，生成元为，生成元为5.5.2循环群循环群(CyclicGroups)2024/9/20计算机科学与技

409、术学院n 定定理理5.5.1 设设G，*为为循循环环群群，a为为生成元，则生成元，则G为阿贝尔群。为阿贝尔群。n 证证明明 对对于于任任意意的的x,y G,必必有有s,t Z使使得得x=as, y=at，所以，所以n x*y=as*at=as+t=at+s=at*as=y*xn 所以，所以，G，*为阿贝尔群。为阿贝尔群。n 定定理理5.5.2 G为为由由a生生成成的的有有限限循循环环群群，如果如果 n=|G|则有则有a的阶为的阶为n(an = e), 且且n G=a，a2,，an-1 ，an.5.5.2循环群循环群(CyclicGroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证明明:

410、 首首先先证证明明对对任任意意正正整整数数m, mn, 都都有有 ame.n 若若不不然然, am=e, 则则对对 ( k Z) G, 且且 k=mq+r (0rm),n 从而从而 nak=amq+r=amq*ar=ar.n 这样这样G中至多有中至多有m个不同的元素个不同的元素,与与|G|=n矛盾矛盾.n 所以所以 ame (mn).n 下下面面证证明明a，a2,，an互互不不相相同同.若若不不然然,存存在在 i,j Z, 1ijn,使使得得 ai=aj , 则则有有aj-i=e, 由由于于1j-in,这是不可能的这是不可能的,所以所以n a，a2,，an互不相同互不相同. 因此因此n G=a

411、，a2,，an-1 ，an 并且并且 an=e.2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理5.5.3 设设G，*为为无无限限循循环环群且群且n G=a，则则G只只有有两两个个生生成成元元a和和a-1。n 证证明明: 首首先先证证明明a-1是是其其生生成成元元，因因为为n a-1 G,须须 证证Ga-1 ， 设设ak G,因为因为n ak=（a-1）-k，ak a-1 , 从从而而G=a-1。5.5.2循环群循环群(CyclicGroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 再再证证明明G只只有有两两个个生生成成元元a和和a-1。假假设设b是是G的的生生成成元元，则则G=b,由由

412、a G可可知知存存在在整整数数s使使得得a=bs,又又由由b G可可知知存存在在整数整数t使得使得b=at,有有n a=bs=(at)s=atsn 由消去律得由消去律得n a ts-1=en 因因为为G，*为为无无限限循循环环群群，所所以以ts-1=0,从从而而有有t=s=1或或t=s=-1。因因此此b=a或或b=a-1。5.5.2循环群循环群(CyclicGroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定理定理5.5.4 循环群的子群都是循环群。循环群的子群都是循环群。n 证证明明 设设G，*为为a生生成成的的循循环环群群，H，*为为其其子子群群。当当然然，H中中元元素素均均可可表示

413、为表示为ar的形式。的形式。n （1）若若He=e,显显然然H为为循循环环群。群。n （2）若若He，那那么么H中中有有ak(k0)。由由于于H为为子子群群，H中中必必还还有有a-k，因因此此，不不失失一一般般性性，可可设设k为为正正整整数数，并并且且它它是是H中中元元素素的的最最小小正正整整数数指指数数。现现证证H为为ak生生成的循环群。成的循环群。5.5.2循环群循环群(CyclicGroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 设设am为为H中中任任一一元元素素令令mpk+q，其其中中p为为k除除m的的商商，q为为余余数数，0qk。于是。于是n am=apk+qapk*aqn a

414、q=a-pk*am n 由由于于am,a-pk H（因因apk H），故故aq H，根根据据k的的最最小小性性，q0，从从而而am=apk=(ak)p，H为为循循环环群群得得证证。根根据据上述定理，立即可以推得以下定理。上述定理，立即可以推得以下定理。5.5.2循环群循环群(CyclicGroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理5.5.5 设设G，*为为a生生成成的的循环群。循环群。n （1）若若G为为无无限限群群，则则G有有无无限限多多个个子子群群，它它们们分分别别由由a0,a1,a2,a3,生生成。成。n （2）若）若G为有限群，为有限群，|G|n，且且n有因子有因子

415、k1,k2,k3,kr，那么，那么G有有r个个循环子群，它们分别由循环子群，它们分别由ak1,ak2,ak3,akr生成。生成。 【例例5.5.5】Z，有循环子群：有循环子群：0,，2Z,，3Z,，4Z,，Z，5.5.2循环群循环群(CyclicGroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n【例例5.5.6】设设A=1,2,3,A上有上有6个置换：个置换： 一般地，一般地，A=a1，a2，an时，时，A上有上有n!个置换。个置换。置换置换p满足满足p(ai)aji时，可表示为时，可表示为5.5.3置换群置换群(PermutationGroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n

416、 置置换换的的合合成成运运算算通通常常用用记记号号。表表示示之之，对对置置换换的的独独特特表表示示形形式式计计算算它它们们的的合合成成时时，可可像像计计算算两两个个函函的的合合成成那那样来进行。例如：样来进行。例如：因此因此,应当注意应当注意(pj。pi)(x)=pj(pi(x)5.5.3置换群置换群(PermutationGroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n 对对于于置置换换的的复复合合运运算算而而言言，A上上的的全全体体置置换换中中有有幺幺元元恒恒等等函函数数,又又称称幺幺置置换换，且且每每一一置置换换都都有有逆逆置置换换，因因此此置置换换全全体构成一个群。体构成一个群。

417、n定定义义5.5.3 将将n个个元元素素的的集集合合A上上的的置置换换全全体体记记为为Sn，那那么么称称群群Sn,。为为n次次对对称称群群（symmetric group），它它的的子子群群又又称为称为n次置换群（次置换群（permutation group）。）。 5.5.3置换群置换群(PermutationGroups)2024/9/20计算机科学与技术学院n小小结结: 本本节节介介绍绍了了阿阿贝贝尔尔群群与与循循环环群群的的概概念念及及其其性性质质，同同时时还还介介绍绍了了置置换换群群的的概念。概念。n 作业作业: P162: 2,3,62024/9/20计算机科学与技术学院5.6 代

418、数系统的同态与同构 n 定定义义5.6.1 设设S,*及及T,。均均为为代代数数系统，如果函数系统，如果函数 f : ST 对对S中任何元素中任何元素a，b，有，有n f（a*b）f（a）。f（b） （5.6.1）n 称称函函数数f为为（代代数数系系统统S,*到到T,。的的）同同态态映映射射(或或同同态态)（homomorphism），当当同同态态f 为单射时，又称为单射时，又称f为单一同态；为单一同态；n 当当 f 为为满满射射时时，又又称称 f 为为满满同同态态；当当 f 为为双双射射时时，又又称称 f 为为同同构构映映射射(或或同同构构)（isomorphism）。当当两两个个代代数数系

419、系统统间间存存在在同同构构映映射射时时，也也称称这这两两个个代代数数系系统统同同构构，记记为为S T。当当 f 为为S,*到到S,*的的同同态态（同同构构）时时,称称f为为S的的自自同同态态（自自同同构构）。式式（5.6.1）称为同态）称为同态 f 的同态方程。的同态方程。n 2024/9/20计算机科学与技术学院n 先先运运算算后后取取象象等等同同于于先先取取象象后后运运算算. . n 【例例5.6.1】 n（1）设设f : RR 为为 f（x）=ex（ R 为为实实数数集集），那那么么,f 为为R,+到到R,的的同同态态。因因为为对对任任意意实实数数x，y，有，有n f（x+y）e x+y

420、 =exey=f（x）f（y）n 由由 f 的定义还可知的定义还可知 f 为单一同态。为单一同态。n xyf(x)f(y)2024/9/20计算机科学与技术学院n 但是当但是当 f：RR+ 为为f（x）ex（ R+ 为正为正实数集），那么实数集），那么 f 为为 R,+到到R+, 的同的同构映射，换言之构映射，换言之R,+与与R+, 同构。同构。n （2）设）设h: RR 为为h(x)=2x，那么，那么h为为 R,+到到R,+的自同态，因为对任何实的自同态，因为对任何实数数x，y，有，有n h（x+y）=2（x+y）2x+2y=h（x）+h（y）n 并且并且h为自同构。为自同构。n 识识别别和

421、和证证明明两两个个代代数数系系统统是是否否同同构构是是十十分重要的代数学基本技能。分重要的代数学基本技能。5.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例5.6.2】 有代数系统有代数系统Z,和和代数系统代数系统B, ,其中其中是普通乘法，是普通乘法， 定义见表定义见表5.6.1，B=1,0,-1。定义映射。定义映射f:ZB,n Z,n0n=0n05.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院表表5.6.1 1 0 -110-11 0 -10 0 0-1 0 12024/9/20计算机科学与技术学院则则a,bZ,有有a,b同正或同负同正或同负

422、a,b至少有一个为至少有一个为0a,b异号异号f(a)=f(b)0f(a),f(b)至少有一个为至少有一个为0f(a)f(b)且非且非0a,b同正或同负同正或同负a,b至少有一为至少有一为0a,b异号异号2024/9/20计算机科学与技术学院n 所所 以以f(ab)=f(a) f(b)。f是是Z,到到B, 的同态，且的同态，且f(Z)=B。n 需需要要指指出出的的是是，同同态态映映射射并并不不是是唯唯一一的的。如如例例5.6.1中中的的（1）的的同同态态映映射射可可取取不不同的底数。同的底数。5.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例5.6.3】 设设A=a

423、,b,c,d,B=0,1,2,3,*,+4定定义义见见表表5.6.2和和5.6.3。证证明明：A,*和和B, +4 是同构的。是同构的。 表表5.6.2* abcdaabcdbbcdaccdabddabc5.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院表表5.6.3+4 01230 01231 12302 23013 30125.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院n证证明明 设设f:AB,f(a)=0,f(b)=1,f(c)=2,f(d)=3n显显然然f是是双双射射，又又*，+4均均是是可可交交换的。换的。n f(a*b)=f(b)=1 f(a

424、)+4f(b)=0+41=1n f(a*c)=f(c)=2 f(a)+4f(c)=0+42=2n f(a*d)=f(d)=3 f(a)+4f(d)=0+43=3n f(a*a)=f(a)=0 f(a)+4f(a)=0+40=0n f(b*b)=f(c)=2 f(b)+4f(b)=1+41=25.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院n f(b*c)=f(d)=3 f(b)+4f(c)=1+42=3n f(b*d)=f(a)=0 f(b)+4f(d)=1+43=0n f(c*c)=f(a)=0 f(c)+4f(c)=2+42=0n f(c*d)=f(b)=1 f(c)+

425、4f(d)=2+43=1n f(d*d)=f(c)=2 f(d)+4f(d)=3+43=2n故故f是是A,*到到B,+4的同构。的同构。注意到例注意到例5.6.3中，中，A对于对于*运算，运算，a是幺元，是幺元，b、d互互逆，逆，a、c均以自身为逆元；均以自身为逆元；B对于对于+4运算，运算，0(=f(a)是幺元，是幺元，1(=f(b)、3(=f(d)互逆，互逆，0(=f(a)、2(=f(c)均以自身为逆元。均以自身为逆元。5.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院定理定理5.6.1设设G，*是一个循环群，是一个循环群，a是其生成元。是其生成元。(1)若若G是无限集，

426、是无限集，则则G，*与整数加群与整数加群Z,+同构。同构。(2)若若|G|n，则则G，*与与Zn,+n同构。同构。 证明证明: 请读者自证。请读者自证。该定理说明循环群本质上只有两种，一种同构于该定理说明循环群本质上只有两种，一种同构于Z,+，另一种同构于另一种同构于Zn,+n，如果掌握了两种群，如果掌握了两种群Z,+与与Zn ,+n，也就可以说掌握了所有无限的和有限的循环群。，也就可以说掌握了所有无限的和有限的循环群。5.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院n 同同构构是是一一个个重重要要的的概概念念，由由上上例例可可以以说说明明不不同同形形式式的的代代数数系系统

427、统，如如果果它它们们之之间间存存在在同同构构，可可以以抽抽象象地地将将它它们们看看为为本本质质上上是是一一样样的的代代数数系系统统，不不同同之之处处只是所使用的符号不一样。只是所使用的符号不一样。 5.6 代数系统的同态与同构 定义定义5.6.2设设f为代数系统为代数系统S,*到到T,。的同的同态映射，那么称态映射，那么称f(S)为为f 的同态象（的同态象（imageunderhomomorphism）。）。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定理定理5.6.2 设设 f 为代数系统为代数系统S,*到到T,。的同态，那么同态象的同态，那么同态象 f(S), 。构成构成T,。的一个子代数。

428、的一个子代数。n 证证明明 只只要要证证f(S)对对运运算算。封封闭闭即即可可。为为此此设设a，b为为f(S)中中任任意意两两个个元元素素，且且f(a) =a, n f(b) =b，那么，那么n a。b=f(a) 。f(b)=f(a*b) f(S) n 故故f(S)对对运运算算。封封闭闭， f(S) ,。为为T,。的的n 子代数。子代数。5.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理5.6.3 设设f是是代代数数系系统统S,*到到T,。的的满满同同态态（这这里里*,。均均为为二二元元运运算算），那么，那么n （1）当当运运算算*满满足足结结合合律律、交交换换律

429、律时时，T中运算。也满足结合律、交换律。中运算。也满足结合律、交换律。n （2）如如果果S,*关关于于*有有幺幺元元e，那那么么f(e)是是T,。中关于。的幺元。中关于。的幺元。n （3）如如果果x -1 是是S,*中中元元素素x关关于于*的逆元，那么的逆元，那么n f(x-1 ) =(f(x) -1 是是T,。中中元元素素f(x)关于。的逆元。关于。的逆元。n （4）如如果果S,*关关于于*有有零零元元，那那么么f()是是T,。中关于。的零元。中关于。的零元。2024/9/20计算机科学与技术学院n 证明证明 仅证（仅证（2）、（）、（3）。）。n （2）设设S,*有有关关于于*的的幺幺元元

430、e。考考虑虑T中中任任一一元元素素b,因因为为f是是满满射射，所所以以必必存存在一个元素在一个元素a S使使b=f(a)，那么，那么 n b。f(e) =f(a) 。f(e) = f(a*e) = f(a) =bn f(e) 。b=f(e) 。f(a) = f(e*a) = f(a) =bn 因此因此f(e) 为为T中关于。的幺元。中关于。的幺元。5.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院n （3）设）设S,*中元素中元素x有关于有关于*的逆元的逆元x -1 ，考虑，考虑n f(x) 与与f(x -1 ) ，那么，那么n f(x) 。f(x -1 ) = f(x*x

431、-1 ) = f(e)n f(x -1 ) 。f(x) = f(x -1*x) = f(e) n 这这就就是是说说, T 中中f(x)有有关关于于。的的逆逆元元f(x -1 ) ,即即n (f(x) -1 f(x -1 ) n 这表明，同态也是保持一元求逆运算的。这表明，同态也是保持一元求逆运算的。n （4）关关于于零零元元的的证证明明可可仿仿上上进进行行，留留给给读者完成。读者完成。5.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理5.6.4 设设 f 是是代代数数系系统统S,*到到T,。的同态（这里的同态（这里*,。均为二元运算），那么。均为二元运算），那么n

432、 （1）如如果果S,*是是半半群群,则则同同态态象象f(S)，。也是半群。也是半群。n （2）如如果果S,*为为独独异异点点,则则同同态态象象f(S)，。，。也为一独异点。也为一独异点。n （3）如如果果S,*是是群群,则则同同态态象象f(S)，。也是群。也是群。需要强调指出，对于具有多个代数运算的两个同类型代数系需要强调指出，对于具有多个代数运算的两个同类型代数系统，同态是指相应的统，同态是指相应的n个同态方程均成立。个同态方程均成立。5.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院n下面我们要讨论同态核的概念。下面我们要讨论同态核的概念。n 定义定义5.6.3 如果如果

433、 f 为代数系统为代数系统S,*到到T,。的同态，并且的同态，并且T中有幺元中有幺元e，那么称下，那么称下列集合为同态列集合为同态 f 的核（的核（kernel of homomorphism），记为），记为Ker( f )。n Ker ( f ) =x|x S f (x ) en 关于同态核我们有定理关于同态核我们有定理5.6.3。n 定定理理5.6.5 设设 f 为为代代数数系系统统S,*到到T,。的的同同态态，如如果果Ker ( f ) ，那那么么 Ker ( f ),* 为为S,*的子代数。的子代数。5.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院n 证明证明 只要

434、证只要证Ker ( f )对对*运算封闭即可。设运算封闭即可。设Ker ( f )中任意元素中任意元素x,y，于是，于是f（x）= f（y）=e。 考虑考虑n f（x*y） =f（x） 。f（y） =e。e=en 因因此此x*y Ker ( f ) ，故故 Ker ( f ),*为为S,*的子代数。的子代数。n 至至此此我我们们看看到到，一一个个同同态态映映射射 f 可可导导致致两两 个个 子子 代代 数数 ， 一一 个个 是是 T,。 的的 子子 代代 数数f（S）,。, 另另一一个个是是S,*的的子子代代数数 Ker ( f ), *。2024/9/20计算机科学与技术学院n小小结结: 本

435、本节节介介绍绍了了代代数数系系统统的的同同态态与与同同构构的的概念及其概念及其n性性质质，重重点点掌掌握握代代数数系系统统同同构构的的概概念念及及两两个代数系个代数系n统同构的证明方法。统同构的证明方法。n 作业作业: P166: 1,9,11,135.6 代数系统的同态与同构 2024/9/20计算机科学与技术学院5.7 环 和 域 n5.7.1 环环(rings) n5.7.2 域域(fields)2024/9/20计算机科学与技术学院n 从这一节起我们要讨论含有两个二元运算的从这一节起我们要讨论含有两个二元运算的代数系统，代数系统，n首先讨论环。首先讨论环。n 5.7.1 环环(ring

436、s) n定定义义5.7.1 R,+,是是代代数数系系统统，+，是是二二元元运运算，如果满足算，如果满足n （1）R,+是阿贝尔群（或加群）是阿贝尔群（或加群）;n （2）R,是半群是半群;n （3）乘乘运运算算对对加加运运算算可可分分配配，即即对对任任意意元元素素a,b,c R，有，有n a（bc） ab+ac, （bc)a=ba+can 则称则称R,+,为一个环（为一个环（ring）。）。n 5.7 环 和 域 2024/9/20计算机科学与技术学院n 约约定定，文文中中符符号号，表表示示一一般般二二元元运运算算，分分别别称称为为环环中中的的加加法法、乘乘法法运运算算（未未必必是是数数加加和

437、和数数乘乘），并并对对它它们们沿沿用用数数加加、数数乘乘的的术术语语及及运运算算，例例如如,a，b的的积积表表示示为为ab，n个个a的的和和a+a表表示示为为na, n个个a的的积积表表示为示为an等。等。 5.7 环 和 域 2024/9/20计算机科学与技术学院n【例例5.7.1】 n （1） Z,+,Q,+,R,+,C,+,均为环均为环(其中其中Z为整数集，为整数集，Q为有理数集，为有理数集，R为实数集，为实数集，C为复数集，为复数集，+,为数加与数为数加与数乘运算乘运算)。n （2）Mn(R) 表示所有实数分量的表示所有实数分量的nn方方阵集合与矩阵加运算阵集合与矩阵加运算“+”及矩阵

438、乘运算及矩阵乘运算“”构成一环，即构成一环，即 Mn(R) ，+, 为为环。环。5.7 环 和 域 2024/9/20计算机科学与技术学院n （3）2A, ,是环。其中是环。其中2A是集合是集合A上的幂集合，上的幂集合， 为集合上的对称差运算为集合上的对称差运算,为集合上的交运算。为集合上的交运算。n （4）Zk,+k, k 为环，因为我们为环，因为我们已知已知Zk,+k为加群，为加群，,Zk,k为半为半群，群， a,b Zk,有有 a+kb=(a+b)modk，n akb=(ab)modkn （，（，是数加和数乘）。面用是数加和数乘）。面用x（modk）表示）表示xn 除以除以k的余数。的余

439、数。 5.7 环 和 域 2024/9/20计算机科学与技术学院n此外，此外，n ak(b+kc) =ak(b+c)modk)n =(a(b+c) (modk)(modk)n =(a(b+c) (modk)n =(ab+ac) (modk) n =ab (modk) +kac (modk) n = (akb)+k (a kc )n 同理有同理有(b+kc) ka=(bka)+k (c ka)。 5.7 环 和 域 2024/9/20计算机科学与技术学院n （5）Rx表示所有实系数多项式（以表示所有实系数多项式（以x为变元）的集合与多项式加、乘运算构成为变元）的集合与多项式加、乘运算构成环，即环

440、，即n Rx,+,为环。为环。n （6）0,+，(其其中中0为为加加法法幺幺元元、乘乘法法零零元元)为为环环，称称为为零零环环。（其其它它环环至至少少有两个元素。）有两个元素。）n （7）0,e,+，(其其中中0为为加加法法幺幺元元、乘法零元，乘法零元，e为乘法幺元为乘法幺元)为环。为环。n 环环R中中，将将用用-b表表示示b的的加加法法逆逆元元，a+(-b)记为记为a-b。环有下列基本性质。环有下列基本性质。5.7 环 和 域 2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理5.7.1 设设R,+,为为环环，0为为加加法幺元法幺元,那么对任意那么对任意a,b, c R，有，有n （1）0a

441、=a0=0(加加法法幺幺元元必必为为乘乘法法零元零元)n （2）(-a)b=a(-b) =-(ab) n （-a表示表示a的加法逆元的加法逆元,下同）下同）n （3） (-a) (-b) =abn （4）(a-b) cac-bc, c(a-b)ca-cb5.7 环 和 域 2024/9/20计算机科学与技术学院n 证明证明: n （1）a0a（0+0）=a0+a0因为因为R,+是阿贝尔群，所以满足消去律。因此是阿贝尔群，所以满足消去律。因此a00。n 同理可证同理可证0a=0。n （2）ab+(-a)b=(a+(-a)b=0b=0,因因为为R,+是阿贝是阿贝n 尔群，由逆元的唯一性，有尔群，由

442、逆元的唯一性，有(-a)b=-(ab) 。 n 同理可证同理可证a（-b）=-ab。n （ 3）(-a) (-b) =-(a(-b)=-(-(ab)=ab。n （4）(a-b)c(a+(-b)c=ac+(-b)cn ac+(-bc)=ac-bc。 n 同理可证同理可证c(a-b)ca-cb。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义5.7.2 设设R,+,是环，若是环，若运算可交换，称运算可交换，称R为交换环为交换环（commutative ring），当），当运算有运算有么元时，称么元时，称R为含么环（为含么环（ring with unity）。）。n 例例 5.7.1中中 （ 1）

443、 、 （ 3） 、（4）、（5）是是含含幺幺交交换换环环，（2）是是含幺环，因为矩阵乘法不可交换。含幺环，因为矩阵乘法不可交换。2024/9/20计算机科学与技术学院n 5.7.2 域域(fields)n 定义定义5.7.2 如果如果F,+,是环是环,且令且令F*=F-0,nF*,为阿贝尔群，则称为阿贝尔群，则称F,+,为域为域(fields）。）。n 【例例5.7.2】 Q，R，n C，均为域，并分别称为有理数域、均为域，并分别称为有理数域、实数域和复数域。但实数域和复数域。但Z， 不是域，不是域，因为在整数集中整数没有乘法逆元。因为在整数集中整数没有乘法逆元。n Z7,+7,7为为域域，1

444、和和6的的逆逆元元是是1和和6,2和和4互为逆元互为逆元,3和和5互为逆元。互为逆元。n 2024/9/20计算机科学与技术学院n小小结结: 本本节节介介绍绍了了两两类类具具有有两两个个二二元元代代数运算的数运算的n代代数数系系统统环环和和域域，重重点点掌掌握握证证明明代代数数系系统为环或统为环或n域的方法。域的方法。n 作业作业: P178: 4,62024/9/20计算机科学与技术学院 例 题 选 解n 【例例1】 设设*和和+是是集集合合S上上的的两两个个二二元元运运算算，并并满满足足吸吸收收律律。证证明明：*和和+均均满满足幂等律。足幂等律。n 证证明明 x，y S，因因为为吸吸收收律

445、律成成立立，所以所以n x*x=x*（x+（x*y）=xn x+x=x+（x*（x+y）=xn 因此，因此，*和和+均满足幂等律。均满足幂等律。2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例2】 设设*和和+是是集集合合S上上的的两两个个二二元元运运算，算，n x，y S，均均有有x+y=x。证证明明：*对对于于+是可分配的。是可分配的。n 证明证明 x，y，z S，因为，因为x+y=x，所以，所以n x*（y+z）=x*yn 而而 （x*y）+（x*z）=x*y n 故故 x*（y+z）=（x*y）+（x*z） n 即左分配律成立。即左分配律成立。 例 题 选 解2024/9/20计算机科

446、学与技术学院n又又因因为为 （y+z）*x=y*x n而而 （y*x）+（z*x）=y*x n故故 （y+z）*x=（y*x）+（z*x） n即右分配律成立。即右分配律成立。n因此，因此，*对于对于+是可分配的。是可分配的。 例 题 选 解2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例3】n （ 1） 设设 N4= 0， 1， 2,3 ，f：N4N4定义如下定义如下:当当x+14当当x+1=4令令F=f 0,f 1,f 2,f 3，其中，其中f 0为为N4上的恒等函数。易证上的恒等函数。易证F,。为一代数系统，且为一代数系统，且f i。f j=fi+4j，试证试证F,。与与N4,+4同构。同

447、构。（2）证明代数系统）证明代数系统N,+与与N,不同构。不同构。 例 题 选 解2024/9/20计算机科学与技术学院n解解 (1)证明：建立双射证明：建立双射h:FN4，使，使n h（f i）i（i=0，l，2，3）n由于对任何由于对任何f i,f j F，n n故故h为为一一同同构构映映射射,F,。与与N4,+4同构得证。同构得证。 例 题 选 解2024/9/20计算机科学与技术学院n (2)证证 明明 ： (用用 反反 证证 法法 )设设 N,+ 与与N,同构，同构，n f为为任任一一同同构构映映射射。不不失失一一般般性性，设设有有n，n2，n f(n)为一质数为一质数p。于是。于是

448、n p=f(n) =f(n+0)=f(n)f(0) （5.1）n p=f(n) =f(n-1+1)=f(n-1)f(1) （5.2）n 由由f(n)为质数，据式（为质数，据式（5.1）, f(n) =1或或f(0) =1；据式（；据式（5.2），）， f(n-1)=1或或 f(1) =1。 例 题 选 解2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例4】 代数系统代数系统0，1，是是否是代数系统否是代数系统N，+的同态象？的同态象？（说明理由）（说明理由）n 解解 是。理由如下：是。理由如下：n 作作映映射射f：N0，1，n N，令令f(0)=0，n f(n)=1（n0），则），则 n，m

449、N 例 题 选 解2024/9/20计算机科学与技术学院n 当当n，m0时时，f(n+m) =1=1 1= f(n) f(m) n 当当n=0，m0时时，f(n+m) =1=0 1=f(n) f(m) n 当当n0，m=0时时，f(n+m)=1=1 0=f(n) f(m) n 当当n=0，m=0时时，f(n+m)=0=0 0=f(n) f(m)n 即即n，m N，均均有有f(n+m)=f(n) f(m)，n 故故f是是N，+到到0，1，的的同态，同态，n 因因为为f是是满满射射，所所以以0，1，是是N，+n 的同态象。的同态象。 例 题 选 解2024/9/20计算机科学与技术学院n 1.设设

450、集集合合S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,问问下下面面定定义义的的二元运算二元运算*关于集合关于集合S是否封闭？是否封闭？n （1）x*y=x-yn （2）x*y=x+y-xyn （3） 综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n（4）x*y=2xyn（5）x*y=min(x,y)n（6）x*y=max(x,y)n（7）x*y=xn(8)x*y=GCD(x,y),GCD(x,y)是是x与与y的的最最大公约数大公约数n(9)x*y=LCM（x,y），LCM（x,y）是是x与与y的最小公倍数的最小公倍数n(10)x*y=质数质数p的个数，其中的个数，其中xpy综合练习2024/9

451、/20计算机科学与技术学院n 2设设*是是集集合合S上上的的可可结结合合的的二二元元运运算算。x，y S，若若x*y=y*x，则则x=y。证证明：明：*满足幂等律（对一切满足幂等律（对一切x S有有x*x=x）。）。n 3S及及其其S上上的的运运算算*如如下下定定义义，问问各各种种定定义义下下*运运算算是是否否满满足足结结合合律律、交交换换律律,S,*中中是是否否有有幺幺元元、零零元元，S中中哪哪些些元元素有逆元，哪些元素没有逆元素有逆元，哪些元素没有逆元?综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n（1）S为为I（整数集）（整数集）,x*y=x-yn（2）S为为I（整数集）（整数集）,x

452、*y=x+y-xyn（3）S为为Q（有理数集），（有理数集）， n（4）S为为N（自然数集），（自然数集），x*y=2xyn（ 5）S为为N（ 自自 然然 数数 集集 ） ，x*y=max(x,y)(min(x,y)n（6）S为为N （自然数集），（自然数集），x*y=x综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n 4下列说法正确吗？为什么？下列说法正确吗？为什么？n（1）代数系统中的幺元与零元总不相等。）代数系统中的幺元与零元总不相等。n（2）一一代代数数系系统统中中可可能能有有三三个个右右幺幺元元，而而只只有有一个左幺元。一个左幺元。n（3）代代数数系系统统中中可可能能有有一一个个元元

453、素素，它它既既是是左左零零元，又是右幺元。元，又是右幺元。n（4）幺元总有逆元。）幺元总有逆元。综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n 5 设设A 0， 1 ，S为为AA,即即S=f1,f2,f3,f4,诸诸 f 由表由表1给出。给出。n （1）给给出出S上上函函数数复复合合运运算算。的的运运算算表。表。n （2）S,。是否有幺元、零元？是否有幺元、零元？n （3）S,。中中哪哪些些元元素素有有逆逆元元?逆逆元是什么？元是什么？表表1综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n 6下下面面各各集集合合都都是是N的的子子集集，它它们们能否构成代数系统能否构成代数系统N,+的子代数的

454、子代数?n （1）x|x N x的的某某次次幂幂可可以以被被16整除整除n （2）x|x N x与与5互质互质n （3）x|x N x是是30的因子的因子n （4）x|x N x是是30的倍数的倍数综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n 7证证明明：f:R+R,f(x)=log2x为为代代数数系系统统R+，到到R，的的同同态态（这这里里R+为为正正实实数数集集，R为为实实数数集集，为为数数乘乘运运算）。它是否为一同构映射？为什么？算）。它是否为一同构映射？为什么？n 8设设f:N0，l定义如下定义如下:当当n=2k(k是自然数是自然数)否则否则证明：证明：f为代数系统为代数系统N,到

455、到0,1,的同态。的同态。它是单一同态、满同态吗？它是单一同态、满同态吗？综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n 9假假定定f是是S,*到到T,。的的同同态，试举例说明：态，试举例说明：n （1）f（S）,。的的幺幺元元（零零元元），可能不是可能不是T,。的幺元（零元）。的幺元（零元）。n （2）f（S）,。的的成成员员的的逆逆元元，可能不是它在可能不是它在T,。中的逆元。中的逆元。综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n 10设设f，g都都是是S,*到到T,。的的同同态态，并并且且*与与。运运算算均均满满足足交交换换律律和和结合律。证明结合律。证明:如下定义的函数如下定义的

456、函数N:STn N(x)=f(x)。g(x)n 是是S,*到到T,。的同态。的同态。n 11设设f，g分分别别是是S,*到到T,。的的同同态态和和T,。到到H, 的的同同态态。证明：证明：f。g是是S,*到到H, 的同态。的同态。综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院结结 束束谢 谢 ! 第5章 代数结构（Algebraic Structure ）2024/9/20计算机科学与技术学院第六章 格与布尔代数 n6.1 格的概念及性质格的概念及性质(Lattices & Theirs Properties ) n6.2 分配格（分配格（distributive lattices） n6.3

457、 有补格有补格(complemented Lattices) n6.4 布尔代数布尔代数(Boolean algebra )n6.5 布尔表达式布尔表达式(Boolean representative )2024/9/20计算机科学与技术学院 6.1 格的概念及性质（Lattices & theirs properties ）n 6.1.1格的概念（格的概念（Lattices）6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院 6.1 格的概念及性质(Lattices & theirs properties) n 本本章章将将讨

458、讨论论另另外外两两种种代代数数系系统统格格与与布布尔尔代代数数，它它们们与与群群、环环、域域的的基基本本不不同同之之处处是是：格格与与布布尔尔代代数数的的基基集集都都是是一一个个偏偏序序集集。这这一一序序关关系系的的建建立立及及其其与与代代数数运运算算之之间间的的关关系系是是介介绍绍的的要要点点。格格是是具具有有两两个个二二元元运运算算的的代代数数系系统统，它它是是一一个个特特殊殊的的偏偏序序集集，而而布布尔尔代代数数则则是一个特殊的格。是一个特殊的格。2024/9/20计算机科学与技术学院n 在在第第三三章章，对对偏偏序序集集的的任任一一子子集集可可引引入入上上确确界界（最最小小上上界界）和

459、和下下确确界界（最最大大下下界界）的的概概念念，但但并并非非每每个个子子集集都都有有上上确确界界或或下下确确界界，例例如如在在图图6.1.1中中哈哈斯斯图图所所示示的的偏偏序序集集里里，24，36没没有有上上确确界界，2，3没没有有下下确确界界。然然而而有有一一些些偏偏序序集集却却有有这这样样一一个个共共同同特特征征,即即任任意意两两个个元元素素都都有有上上、下下确确界界(不不妨妨把把a，b的的上上(下下)确确界界称称为为元元素素a，b的的上上(下下)确确界界)。例例如如图图6.1.2中中哈斯图所示的偏序集。哈斯图所示的偏序集。6.1.1格的概念（格的概念（lattices）1.格的概念（格的

460、概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院图图6.1.16.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院图图6.1.2我们把具有这种性质的偏序集称为格。我们把具有这种性质的偏序集称为格。6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义6.1.1 如果偏序集如果偏序集L，中的任何两个中的任何两个元素都元素都n有上确界和下确界有上确界和下确界,则称偏序集则称偏序集 L，为格为格（lattice）。）。n【例例6.1.1】设设n是是一一正正整整数数,Sn是是n的的所所有有正正因因子子的集合。例

461、的集合。例n如如S6=1,2,3,6,S8=1,2,4,8, “|”是是整整除除关系关系,则则Sn, |是是n格格,因为因为 x,y Sn, n LUBx,y= x与与y的的最最小小公公倍倍数数=LCMx,y,n GLBx,y= x与与y的的最最大大公公约约数数=GCDx,y。n例例如如S8, |,S6, |,S30, |的的哈哈斯斯图图如如图图6.1.2(a),(b),(c)所所n示。示。 6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院图图6.1.3【例例6.1.2】图图6.1.3中的偏序集都不是格中的偏序集都不是格,因为图中因为图中a,b无上无上确界

462、。确界。6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 虽然偏序集合的任何子集的上确界、下虽然偏序集合的任何子集的上确界、下确界并不一定都存在，但存在，则必唯一，确界并不一定都存在，但存在，则必唯一，而格的定义保证了任意两个元素的上确界、而格的定义保证了任意两个元素的上确界、下确界的存在性。因此我们通常用下确界的存在性。因此我们通常用a b表表示示a，b的上确界，用的上确界，用a b表示表示a，b的的下确界，即下确界，即n a b=LUBa,b（Least upper bound）,n a b=GLBa,b(Greatest lower bound),

463、 6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 和和分别称为并（分别称为并（join）和交）和交（meet）运算。）运算。n 由于对任何由于对任何a，b，a b及及a b都是都是L中中确定的成员，因此确定的成员，因此, 均为均为L上的二元运上的二元运算。这样我们便有如下定义算。这样我们便有如下定义:n 定义定义6.1.2 设设L，是一个格是一个格, 和和分别为分别为L上的并和交运算上的并和交运算,则称代数系统则称代数系统L, , 为由格为由格L， 所诱导的代所诱导的代数系统。数系统。 6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20

464、计算机科学与技术学院n 【例例6.1.3】 n （1）对对任任意意集集合合S，偏偏序序集集 ，为格，为格，n 其中并、交运算即为集合的并、交运算，即其中并、交运算即为集合的并、交运算，即 n B CB C B CBCn 和和在在 上上封封闭闭,这这里里B,C , ，所所诱诱导导的的代代数数系系统统为为 ， , 。n 6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例6.1.3】 n（2）设设L为为命命题题公公式式集集合合，逻逻辑辑蕴蕴涵涵关关系系“”为为L上上的的偏偏序序关关系系（指指定定逻逻辑辑等等价价关关系系“ ”为为相相等等关关系系），那那么

465、么，L,为为格格，对对任任何何命命题题公公式式A，B，A B=A B，A B=A B（等等式式右右边边的的，为析取与合取逻辑运算符）为析取与合取逻辑运算符）,因此由因此由nL,所所诱诱导导的的代代数数系系统统为为 L ， ， 。6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n （3）设）设Z+表示正整数集，表示正整数集，“|”表示表示Z+上整上整除关系，那么除关系，那么 Z+ ，|为格，其中并、交运算为格，其中并、交运算即为求两正整数最小公倍数和最大公约数的运算，即为求两正整数最小公倍数和最大公约数的运算，即即 n m nLCM（m,n） m nGCD(

466、m,n）,n 由由 Z+ ，|所诱导的代数系统为所诱导的代数系统为 Z+ ， ， 。 n （4）任任一一全全序序集集A， 是是一一个个格格。因因为为 a,b A，n n 由由A,所所诱诱导导的的代代数数系系统统为为 A ， 。 6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 2.子格子格n 若偏序集若偏序集L，是格是格,非空集合非空集合B L,显然显然B, 也是一个偏序集也是一个偏序集,我们自然会问我们自然会问, B, 是否是格是否是格? 若若B, 是格是格,是否对任意的是否对任意的a,b B,有有n n n 为此我们考察下面的例子。为此我们考察下面的

467、例子。n 【例例6.1.4】设设A，是一个格是一个格(如图如图6.1.4), 取取n Bi, 的哈斯图如图的哈斯图如图6.1.4, n 2024/9/20计算机科学与技术学院图图6.1.42024/9/20计算机科学与技术学院显然偏序集显然偏序集B1,不是格不是格,而而B2,B5,都构成格，但是在都构成格，但是在B2,中中 B2关于关于“”不封闭。在不封闭。在B5,中中 B5关于关于“”也不封闭。也不封闭。6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院而在而在B3,和和B4,中中,显然对任意的显然对任意的a,bB3或或B4,均有均有即即B3,B4关于关于

468、A中的代数运算中的代数运算“”和和“”是封闭的。是封闭的。我们称我们称B3,和和B4,为为A,的子格。的子格。6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院定义定义6.1.3设设L,是一个格，是一个格，L,诱导的诱导的代数系统为代数系统为L,B为为L的非空集合的非空集合,若若B关于关于L,中的运算中的运算和和封闭封闭,则称则称B,是是L,的子格。的子格。【例例6.1.5】Z+，|是一个格是一个格,其并、交运算即为求两其并、交运算即为求两正整数最小公倍数和最大公约数的运算，即正整数最小公倍数和最大公约数的运算，即abLCM（a,b）abGCD(a,b）,Z

469、2=2n|nZ+,则则Z2 ，|也是偏序集，且也是偏序集，且Z2关于关于Z+中的中的和和封闭，故封闭，故Z2 ，|是是Z+，|的子格。的子格。6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院图图6.1.5【例例6.1.6】设设L,是一个格，其中是一个格，其中L=a,b,c,d,e,其哈斯图如图其哈斯图如图6.1.5所示。所示。S1=a,b,c,d，S2=a,b,c,e,则则S1,是是L,的一个子格，的一个子格，S2,不是不是L,的一个子格，因为的一个子格，因为bc=dS2，S2,不是格。不是格。注意：子格必是格。而格的某个注意：子格必是格。而格的某个子集构

470、成格，却不一定是子格。子集构成格，却不一定是子格。6.1.1格的概念（格的概念（lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）1.格对偶原理格对偶原理给定一个偏序集合给定一个偏序集合L,若将若将L,中的小于等于关中的小于等于关系换成大于等于关系系换成大于等于关系，即对于，即对于L中任何两个元素中任何两个元素a,b, 定义定义ab的充分必要条件是的充分必要条件是ba(恰是恰是的逆关系的逆关系),则则L,也是偏也是偏序集。我们把偏序集序集。我们把偏序集L,和和L,称为是相互对偶的。并称为是相互对偶的。并且它们所

471、对应的哈斯图是互为颠倒的。可以证明，且它们所对应的哈斯图是互为颠倒的。可以证明，若若L，是格，是格，则则L，也是一个格，也是一个格，我们说这两个格互为对偶。我们说这两个格互为对偶。且且L，的并、交运算的并、交运算r,r对任意对任意a,bL满足满足arb=abarb=ab2024/9/20计算机科学与技术学院n 若若将将格格(L，)中中一一个个命命题题P中中的的符符号号、 、 分分别别用用、 代代替替，则则得得到到一一个个新新的的命命题题P*，我我们们将将这这个个新新的的命命题题P*称称为为原原命命题题P的的对对偶偶命命题题。显显然然这这两两个个命命题题互互为为对对偶偶。于于是是，我我们们有有下

472、下列列对对偶偶原理。原理。n 定定理理6.1.1 如如果果命命题题P对对任任意意格格都都为为真真，则其对偶命题则其对偶命题P*对任意格也为真。对任意格也为真。6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 2. 格的性质格的性质n 现在我们深入地讨论格的性质。现在我们深入地讨论格的性质。n 定定理理6.1.2 设设L,是是一一个个格格，那那么么对对L中中任何元素任何元素a,b,c,d, 有有n （1） aa b，ba b n a ba，a bbn （ 2） 若若ab，cd， 则则a cb d，a cb d。n 特别地特别地

473、, 若若ca, cb, 则则ca b, n 若若ac , bc , 则则a bc 。 n （3）若）若ab，则，则a cb c，a cb c。n 性质（性质（2），（），（3）称为格的保序性。）称为格的保序性。2024/9/20计算机科学与技术学院n（4）a a=a，a aa (幂幂等律等律)n（5）a b=b a, a b=b a （交交换律）换律）n（6）a (b c)=(a b) c,n a (b c)=(a b) c (结结合律合律)n（7）a (a b)=a, n a (a b)=a (吸收律吸收律)n（8）ab当且仅当当且仅当a b=a当且仅当当且仅当a b=b。6.1.2格的性质

474、（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 证明证明: n （1）因因为为a b是是a的的一一个个上上界界，所所以以aa b；同同理理有有ba b。由由对对偶偶原原理理可可得得a ba，a bb。n （2）由题设知）由题设知ab，cd，由（，由（1）n 有有bb d，db d，于是由，于是由的传递性的传递性有有n ab d，cb d。n 这这说说明明b d是是a和和c的的一一个个上上界界，而而a c是是a和和c的最小上界，所以，必有的最小上界，所以，必有n a cb dn 同理可证同理可证a cb d。n （3）将（）将（2）中的）中的

475、d换成换成c即可得证。即可得证。2024/9/20计算机科学与技术学院n n （4）由由自自反反性性可可得得aa，所所以以a是是a的的一一个个上上界界，因因为为a a是是a与与a的的最最小小上上界界，因此因此a aa。n 由（由（1）可知）可知aa a。n 由由的的反反对对称称性性，所所以以a a=a。利利用对偶原理可得用对偶原理可得a aa。n （5）由（）由（1）可知）可知aa b , ba b ,即即a b 是是b和和a的上界的上界,所以所以 b aa b，同，同理可证理可证a bb a，故，故 a b=b a。n 同理可证同理可证 a b=b a 。 2024/9/20计算机科学与技术

476、学院n （6）由下确界定义知）由下确界定义知na （b c）b cb (6.1.1)n a （b c）a (6.1.2)n a （b c）b cc (6.1.3)n由式由式(6.1.1)、(6.1.2)得得na （b c）a b (6.1.4)n 由式由式(6.1.3)、(6.1.4)得得n a （b c）(a b) c (6.1.5)n 6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 同理可证同理可证 n (a b) ca (b c) （6.1.6）n 由由的的反反对对称称性性和和式式(6.1.5)、(6.1.6)，所以

477、，所以n a (b c)=(a b) c。利利用用对对偶偶原原理理可可得得n a (b c)=(a b) c。n（7）由定理）由定理6.1.2的（的（1）可知）可知a (a b)a；另一方面，由于；另一方面，由于aa，aa b，所以，所以aa (a b)，因此有，因此有a (a b)=a。n 同理可证同理可证 a (a b)=a。6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n （ 8） 首首 先先 设设ab， 因因 为为aa,所所 以以aa b，而由定理，而由定理6.1.2的（的（1）可知）可知n a ba。因此有。因此有

478、a b=a。n 再再设设a=a b，则则a b=(a b) b=b（ 由由 吸吸 收收 律律 ） ， 即即a b=b。n 最最后后，设设ba b，则则由由aa b可可得得ab。n 因此，（因此，（8）中）中3个命题的等价性得证。个命题的等价性得证。n 6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例6.1.7】（1）对对任任意意非非空空集集合合S，格格 ，所所诱诱导导的的代代数数系系统统为为 , , ，其其中中 , 都都是是可可交交换换的的、可可结结合合的的、幂等的、吸收的幂等的、吸收的 。n 由由定定理理6.1.2

479、可可知知，格格是是带带有有两两个个二二元元运运算算的的代代数数系系统统，它它的的两两个个运运算算有有上上述述(4)-(7)四四个个性性质质，那那么么具具有有上上述述四四条条性性质质的的代代数数系系统统L, , 是是否否是是格格？回回答答是是肯肯定定的的。为了解决这个问题，我们先给出下述引理。为了解决这个问题，我们先给出下述引理。 6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 引引理理6.1.1 设设L, , 是是一一个个代代数数系系统统,其中其中, n 都都是是二二元元运运算算,且且满满足足吸吸收收律律,则则和和都都满满

480、足幂等律。足幂等律。n 证明证明: 对任意的对任意的a, b L，由吸收律知，由吸收律知:n a (a b)= a (6.1.7)n a (a b)= a (6.1.8)n 将式将式6.1.7 中的中的b取为取为a b , 则有则有n a (a (a b)= an 再由式再由式6.1.8得得 a a=a .n 同理可证同理可证 a a= a 。 2024/9/20计算机科学与技术学院n 3.作为代数系统的格作为代数系统的格n 定理定理6.1.3 设设L, , 为一代数系统为一代数系统, 其中其中, 都满足交换律、结合律和吸收律都满足交换律、结合律和吸收律(幂等律幂等律)的二元运算，则的二元运算

481、，则L上存在一种偏上存在一种偏序关系序关系, 使使L，为格为格, 且且L， 诱导的代数系统就诱导的代数系统就L, , 。即对任。即对任意意a,b L, n a b=GLBa,b, a b=LUBa,b。n 证证明明: 首首先先定定义义L上上的的二二元元关关系系: 对对任任意意的的 a,b L,n ab 当且仅当当且仅当 a b=b 。2024/9/20计算机科学与技术学院n 对对任任意意的的a,b,c L,若若ab，bc，则则a b=b，b c=c，于是，于是 n a c=a (b c) (a b ) c (b c) =cn 故故ac。传递性得证。传递性得证。n 综综合合、 、 知知： “”为

482、为L上上偏偏序关系。序关系。（1）先证）先证“”为为L上偏序关系。上偏序关系。对任意的对任意的aL,aaa，故，故aa。自反性得证。自反性得证。对任意的对任意的a,bL,若若ab且且ba，则，则ab=b，且，且ba=a。由于。由于ab=ba，故，故a=b。反对称性得证。反对称性得证。2024/9/20计算机科学与技术学院n （2）证证明明对对任任意意的的a,b L, ab当当且且仅仅当当a b=a 。n 若若ab，那那么么a bb，从从而而a (a b)a b,由由 吸吸 收收 律律 即即 得得 a b=a。 反反 之之 ，a b=a，那么，那么(a b) ba b,n 由吸收律可知由吸收律可

483、知a bb，即，即ab。n （3）下证在这个关系下，对任意）下证在这个关系下，对任意a,b L，a b为为n a,b的上确界，即的上确界，即a b=LUBa,b。6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 事实上事实上,由吸收律由吸收律a (a b)a，所以，所以aa b。又因为。又因为b (a b)b，所以，所以ba b,故故a b为为a,b的一个上界。的一个上界。n 设设c为为a，b任任一一上上界界，即即ac，bc，那么，那么，n a cc, b cc,于是于是n (a b) c a (b c)= a c=cn 即

484、即a bc。这这表表明明a b为为a，b的的上上确界确界,即即n a b=LUBa,b 。6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n （4）下下证证在在这这个个关关系系下下，对对任任意意a,b L，a b为为 a,b的的 下下 确确 界界 ， 即即a b=GLBa,b。n 由由交交换换律律、结结合合律律和和幂幂等等律律(a b) aa a b=a b，所以，所以a ba。n 又又因因为为(a b) ba (b b)=a b，所所以以a bb,故故a b为为a,b的一个下界。的一个下界。n 6.1.2格的性质（格的性质（

485、Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n设设c为为a，b任任一一下下界界，即即ca且且cb，则，则n a cc, b cc, 于于是是n c (a b)(c a) b=c b=cn所所以以ca b，即即a b为为a，b的的下下确界确界,即即n a b=GLBa,b 。n 因此因此L, 是格。是格。6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定义义6.1.4 设设L, , 为为一一代代数数系系统统， , 是是L上上的的二二元元运运算算，如如果果, 满满足足交交换换律律、结

486、结合合律律和和吸吸收收律律，则则称称L, , 为一个格。为一个格。n 【例例6.1.8】 , , 是是一一个个代代数系统，数系统，n 是是集集合合S的的幂幂集集，因因为为, 满满足足可可交交换换、可可结结合合并并满满足足吸吸收收律律，所所以以 , , 是是格格。事事实实上上该该格格对对应应的的偏偏序序关关系系就就是是S的子集之间的包含关系的子集之间的包含关系 。6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 4. 格的同态与同构格的同态与同构n 类似群的同态与同构，也可以定义格的同类似群的同态与同构，也可以定义格的同态与同

487、构。态与同构。n 定义定义6.1.5 设设L, 1,S, 2是两个格是两个格,由它们诱导的由它们诱导的n 代数系统分别为代数系统分别为L, 1, 1,S, 2, 2,如如果存在映射果存在映射n f : LS,使得对任意的使得对任意的a,b L满足满足n f(a 1b)=f(a) 2f(b), f(a 1b)=f(a) 2f(b),n 则称则称f是从是从L, 1, 1到到S, 2, 2的格同的格同态态,亦称亦称n f(L), 2 是是L, 1的格同态像的格同态像; 若若f是双是双射，则称射，则称f为为L, 1, 1到到S, 2, 2的格同的格同构构,亦称亦称L, 1到到nS, 2是同构的。是同构

488、的。n 2024/9/20计算机科学与技术学院n 下面介绍格同态的定理。下面介绍格同态的定理。n 定定理理6.1.4 设设 f 是是格格L,1到到格格S,2的格的格n 同同态态，则则对对任任意意的的a,b L , 如如果果a1b , 则则n f(a)2 f(b) 。称称该该性性质质为为格格同同态态的的保保序序性。性。n 证明证明: 因为因为a1b，所以，所以 a 1b=a , 从而从而 f(a 1b)=f(a)n另一方面另一方面, f(a 1b) =f(a) 2f(b), 故故f(a) 2f(b) =f(a)。n 因此，因此，f(a)2 f(b)。n 注意注意:定理定理6.1.4 说明格同态是

489、保序的说明格同态是保序的,但定理但定理6.1.4 的逆的逆n 不一定成立。下面举一个反例。不一定成立。下面举一个反例。2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例6.1.9】 设设L, 1, 1,S, 2, 2是两个格，其中是两个格，其中L=a,b,c,d,S=e,g,h，如图，如图6.1.6(a)、(b)所示。作映射所示。作映射 f: LS，f(b)=f(c)=g，f(a)=e，f(d)=h,显然显然f是保序的是保序的,但但f(b 1c)=f(a)，而，而f(b) 2f(c)=gf(a)，因此，因此f不是格同态。不是格同态。图图6.1.62024/9/20计算机科学与技术学院n 定理定理

490、6.1.5 设设L,1,S,2为两个为两个格格, f是是L到到S的双射的双射,则则f是是L,1到到S,2的格同构的格同构 的充分必要条件是对任意的的充分必要条件是对任意的a,b L，有，有a1b f(a)2f(b)。n 证证明明: 设设映映射射f是是格格L,1到到格格S,2的的格格同同构构。由由定定理理6.1.4可可知知a,b L，有有a1b f(a)2f(b)。反之，。反之， f(a)2f(b)f(a)2f(b)=f(a)f(a1b)=f(a)a1b =a（f是双射）是双射）a1b6.1.2格的性质（格的性质（Thepropertiesoflattices）2024/9/20计算机科学与技术

491、学院n 设设a,b L，有有a1b f(a)2f(b)。设设a 1b=c(需证需证n f(c)= f(a) 2f(b), 则有则有n c1a f(c)2f(a)n c1b f(c)2f(b)n 所所以以f(c)是是f(a)、f(b)的的一一个个下下界界。再再设设x是是f(a),f(b)的的任任意意下下界界，因因为为f是是满满射射，所所以以有有d L,使使x=f(d)且且n f(d)2f(a)d1a, f(d)2f(b)d1bn 所以所以d1 a 1b,即即d1c f(d)2f(c)。因此。因此f(c)是是f(a),f(b)的最大下界，即的最大下界，即 f(c)=f(a 1b)=f(a) 2f(

492、b)。同理可证同理可证n f(a 1b)=f(a) 2f(b)。所以。所以f是是L,1到到S,2的格同的格同 n 构。构。2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例6.1.9】 在在同同构构意意义义下下，具具有有1个个、2个个、3个个元元素素的的格格分分别别同同构构于于元元素素个个数数相同的链。相同的链。n 4个个元元素素的的格格必必同同构构于于图图6.1.7中中给给出出的的含含4个个元元素素的的格格之之一一；5个个元元素素的的格格必必同同构构于于图图6.1.7中中的的含含5个个元元素素的的格格之之一一。其其中中图图6.1.7(g)称称作作五五角角格格，图图6.1.7(h)称称作作钻钻石

493、石格格，这这两两个个格格在在讨讨论论特殊格时会很有用。特殊格时会很有用。2024/9/20计算机科学与技术学院图图6.1.72024/9/20计算机科学与技术学院n 小结小结:本节重点介绍了格、子格、格所诱导的本节重点介绍了格、子格、格所诱导的代数系统的概念及格的性质。代数系统的概念及格的性质。重点：理解格所诱导的代数系统的概念及格重点：理解格所诱导的代数系统的概念及格的性质。的性质。难点：子格的概念的理解。难点：子格的概念的理解。作业作业:Pg194:1,3,4 6.1 格的概念及性质(Lattices & theirs properties) 2024/9/20计算机科学与技术学院6.2

494、分配格（distributive lattices） n 6.2.1 分配格（分配格（distributive lattices）n 6.2.2 模格（模格（moduler lattices）2024/9/20计算机科学与技术学院6.2.1分配格（分配格（distributivelattices）在上一节中在上一节中,我们证明了格中的运算我们证明了格中的运算,满足交换律、满足交换律、结合律、吸收律和幂等律，没有提到它是否满足分配结合律、吸收律和幂等律，没有提到它是否满足分配律，一般来说，格中的运算律，一般来说，格中的运算,不满足分配律，但不满足分配律，但我们有下面的定理。我们有下面的定理。定定

495、理理6.2.1设设L,是是一一个个格格。那那么么对对L中中任任意意元元素素a,b,c，有，有（1）a(bc)(ab)(ac)。（2）(ab)(ac)a(bc)。2024/9/20计算机科学与技术学院n 证明证明: (1) 因为因为aa b，aa c,故故n a（a b）（a c） (6.2.1)n 又因为又因为nb cba b， b cca cn所以有所以有nb c（a b）（a c） (6.2.2)n由式（由式（ 6.2.1 ）和（）和（ 6.2.2 ）可得）可得n a （b c）（a b）（a c）6.2.1分配格（分配格（distributivelattices）2024/9/20计算机

496、科学与技术学院n 证明证明: (2) 因为因为(a b)a， (a b)bb c,故故n (a b)a (b c) (6.2.3)n 同理同理 (a c)a (b c) (6.2.4)n所以由式（所以由式（ 6.2.3 ）和（）和（ 6.2.4 ）可得）可得n (a b) (a c)a (b c) 。6.2.1分配格（分配格（distributivelattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n当当定定理理6.2.1中中的的两两个个不不等等式式中中的的 “” 换成换成 “=” 后后n仍成立仍成立,我们就得到一种特殊的格我们就得到一种特殊的格分配格。分配格。n定定义义6.2.1 格格

497、L, , 如如果果满满足足分分配配律律，即对任意即对任意a,b,c L，有，有n a (b c)=(a b) (a c) （6.2.5）n a (b c)=(a b) (a c) （6.2.6）n则则称称L, , 为为分分配配格格（distributive lattice）。）。6.2.1分配格（分配格（distributivelattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 注注意意到到，上上述述两两个个分分配配等等式式中中有有一一个个成成立立，则则另另一一个个必必成成立立。如如式式（6.2.5）成立，则）成立，则n (a b) (a c)=(a b) a) (a b) c) n

498、吸收律吸收律n =a (a b) c)n =a (a c) (b c)n =(a (a c) (b c）n =a (b c)n 同理可证若式（同理可证若式（6.2.6）成立，则式）成立，则式（6.2.5）也）也n 成立。成立。2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例6.2.1】 设设S是一个集合，则是一个集合，则 , 构成格，构成格，n 而集合中求并而集合中求并与求交与求交这两种运算满足分配这两种运算满足分配律，所以律，所以 , 是分配格。是分配格。n 【例例6.2.2】图图6.2.1所示的格是分配格。所示的格是分配格。n 一般地一般地,我们有我们有n 定理定理6.2.2 若若L, 是

499、全序集，则是全序集，则L，是分配格。是分配格。n 图图6.2.16.2.1分配格（分配格（distributivelattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证明明: 设设L,是是全全序序集集，对对于于该该集集合合中中任任意意的的三三个个元元素素a,b,c ，分分情情况况讨论：讨论：n (1) ba, ca，此此时时a (b c)=b c，n 同时同时(a b) (a c)=b cn (2) ab, ac，此此时时a (b c)=a，同时同时n (a b) (a c)=an 6.2.1分配格（分配格（distributivelattices）2024/9/20计算机科学与技术

500、学院n (3) bac，此此时时a (b c)=a c=a，同时，同时n (a b) (a c)=b a=an 因此无论任何情况，皆有因此无论任何情况，皆有n a (b c)=(a b) (a c)。n 所以所以L，是分配格。是分配格。6.2.1分配格（分配格（distributivelattices）注意注意:并不是所有的格都是分配格。并不是所有的格都是分配格。2024/9/20计算机科学与技术学院n【例例6.2.3】 如图如图6.2.2所示的所示的Hasse图中图中的格均不是分配格。在图的格均不是分配格。在图6.2.2的的(a)中，有中，有 n c (b d)=c a=c, (c b) (

501、c d)=e d=dn所以所以(a)不是分配格。不是分配格。n在图在图6.2.2的的(a)中中,有有n b (c d)=b a=b, n(b c) (b d)=e e=en所以所以(b)不是分配格。不是分配格。图图6.2.26.2.1分配格（分配格（distributivelattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n 例例6.2.3中中 的两个五元格在格的理论的两个五元格在格的理论中占有十分重要的地位中占有十分重要的地位.下述定理说明了下述定理说明了这一点。这一点。n 定理定理6.2.3 一个格是分配格的充分必一个格是分配格的充分必要条件是在该格中没有任何子格与两个要条件是在该格

502、中没有任何子格与两个五元格中的任何一个同构。五元格中的任何一个同构。n 此定理给出了非分配格的判别方法。此定理给出了非分配格的判别方法。n 6.2.1分配格（分配格（distributivelattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n【例例6.2.4】 在图在图6.2.3所示的格所示的格L,中中,因为因为 a,b,c,d,g,是格是格L,的子格的子格,而这个子格是与例而这个子格是与例6.2.3中中 的图的图(a)同构。同构。n 所以此格不是分配格。所以此格不是分配格。图图6.2.36.2.1分配格（分配格（distributivelattices）2024/9/20计算机科学与技

503、术学院n 分配格有以下性质：分配格有以下性质：n 定理定理6.2.4 设设L，, 为分配格，那为分配格，那么对么对L中任意元素中任意元素a，b，c，若，若c a=c b并且并且c a=c b，则，则a=b。n 证明：证明： 因为因为n （c a）b（c b）b=b (因因c a=c b）n （c a）b=（c b）（a b）n =（c a） （a b） (因因c a=c b)n =a （c b）n =a （c a）（因因c a=c b）n =an 所以所以 a=b。 6.2.1分配格（分配格（distributivelattices）2024/9/20计算机科学与技术学院6.2.2模格（模格（

504、modulerlattices）分配格中，要求交和并两种运算有较强的联系，这使分配格中，要求交和并两种运算有较强的联系，这使得许多重要的格，不是分配格。为此提出一类条件较得许多重要的格，不是分配格。为此提出一类条件较弱的格，使其概括一些常见的格。弱的格，使其概括一些常见的格。定义定义6.2.2设设L,是一个格，由它诱导的代数系统是一个格，由它诱导的代数系统为为L,，如果对任意，如果对任意a,b,cL，当，当ba时，有时，有(bc)a=b(ca) 则称则称L,为模格（为模格（modulerlattice）。）。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理6.2.5 设设L，, 为为分分配配

505、格格，则则n L，, 是模格。是模格。n 证证明明： 对对于于任任意意的的a,b,c L，若若ba,则则a b=b,并有并有n (b c) a =(b a) (c a)=b (c a)n 因此，因此，L，, 是模格。是模格。n 注注意意：定定理理6.2.5的的逆逆不不成成立立。例例如如，两两个个五五元元格格之之一一的的图图6.2.2的的(b)所所示示的的格格是是模格模格,但不是分配格。但不是分配格。n n 6.2.2模格（模格（modulerlattices）2024/9/20计算机科学与技术学院n【例例6.2.4】 如如图图6.2.2(a)所所示示的的五五角角格格，不是模格。不是模格。n 因

506、因为为edca,而而d (b c)=d, (d b) c=c。n 定定理理6.2.6 格格L，, 是是模模格格的的充充分分必要条件是它不含有同必要条件是它不含有同n 构于五角格构于五角格n 的子格。的子格。n 6.2.2模格（模格（modulerlattices）图图6.2.22024/9/20计算机科学与技术学院 n小结小结:本节介绍了两种特殊的格本节介绍了两种特殊的格分配格和分配格和模格模格n 及其性质。及其性质。n重点：掌握分配格的判别方法。重点：掌握分配格的判别方法。n作业作业: Pg198: 1,2,46.2.2模格（模格（modulerlattices）2024/9/20计算机科学

507、与技术学院6.3 有补格(complemented Lattices) n 6.3.1 有界格（有界格（bounded lattice）n 6.3.2 有有 补补 格格 (complemented Lattices) 2024/9/20计算机科学与技术学院6.3.1 有界格（bounded lattice）n 本节讨论几个特殊的格。本节讨论几个特殊的格。n 定定义义6.3.1 设设L,是是一一个个格格，如如果果存存在一个元素在一个元素a L,使得对任意使得对任意x L均有均有n a x (或或x a)n 则则 称称a为为 格格 L, 的的 全全 下下 界界(universal lower bo

508、und )（或或全全上上界界(universal upper bound）（相相应应于于偏偏序序集集中中的的最最小小元元、最最大大元元），且且记记全全下下界界为为0，全上界为，全上界为1。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理6.3.1 全全下下（上上）界界如如果果存存在在，则则必唯一。必唯一。n 证证明明: 设设1与与1均均是是全全上上界界，则则因因为为1是是全全上上界界，所所以以11；又又因因为为1是是全全上上界界，所所以以11。由由的的反反对对称称性性，所所以以1=1。类似可证全下界是唯一。类似可证全下界是唯一。n 定定义义6.3.2 如如果果格格L，, 中中既既有有全全上上

509、界界1，又又有有全全下下界界0, 则则称称格格L，, 为为有有界界格格（bounded lattice）,记记作作L，, ,0,1 。全下界（全上界）有如下性质全下界（全上界）有如下性质:6.3.1 有界格（bounded lattice）2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例6.3.1】 在在格格 , 中中，S是是全上界，全上界，n 是全下界。是全下界。 n 【例例6.3.2】图图6.3.1所示的格均为有界格所示的格均为有界格.n 不不难难看看出出，任任何何有有限限格格必必是是有有界界格格。而而对于无限格，有的是有界格，对于无限格，有的是有界格，n 有的不是有界格。有的不是有界格。

510、n 有界格有如下性质有界格有如下性质:图图6.3.16.3.1 有界格（bounded lattice）2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理6.3.2 设设L,是是有有界界格格，则则 a L,有有n a 0=0, a 1=a，a 0=a, a 1=1。n 证明留作练习。证明留作练习。n 定定理理6.3.2说说明明:0是是关关于于运运算算的的幺幺元元,是是关关于于运运算算的的零零元元;1是是关关于于运运算算的的零零元元,是关于运算是关于运算的幺元的幺元.6.3.1 有界格（bounded lattice）2024/9/20计算机科学与技术学院n定定义义6.3.3 设设L，, 为为有

511、有界界格格，a为为L中任意中任意n元元素素，如如果果存存在在元元素素b L,使使a b=1，a b=0，则，则n称称b是是a的补元（的补元（complement of b ）。）。n 6.3.2有补格有补格(complementedLattices)补元有下列性质：补元有下列性质：2024/9/20计算机科学与技术学院n（1）补补元元是是相相互互的的，即即若若b是是a的的补补，那那么么a也是也是b的补。的补。n（2）并并非非有有界界格格中中每每个个元元素素都都有有补补元元，而而有有补元也不一定唯一。补元也不一定唯一。n 例如例如, 在在图图6.3.2所示的格中所示的格中c 没有补元没有补元,

512、n d 有两个补元有两个补元b和和e, e有两个补元有两个补元a 和和d. n（3）全下界）全下界0与全上界与全上界1互为唯一的补元。互为唯一的补元。图图6.3.26.3.2有补格有补格(complementedLattices)2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例6.3.3】 考考察察图图6.3.3中中Hasse图图所所示示的格中其元素的补元。的格中其元素的补元。n 图图6.3.3（a）中中除除0，1之之外外a,b,c均均没没有有补元。补元。n 图图6.3.3（b）中）中a的补元是的补元是b,b的补元是的补元是a。n 图图6.3.3（c）中元素）中元素a,b,c两两互为补元。两两

513、互为补元。n 图图6.3.3（d）中中除除0，1之之外外没没有有元元素素有有补元。补元。n 事事实实上上，多多于于两两个个元元素素的的全全序序集集除除0，1之外没有元素有补元。之外没有元素有补元。 6.3.2有补格有补格(complementedLattices)2024/9/20计算机科学与技术学院图图6.3.36.3.2有补格有补格(complementedLattices)2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例6.3.4】 设设S=a,b,c, 则则 , 为一个有界格。为一个有界格。 A , 是是A的补元的补元,比如比如a与与b,c互补互补, a,b与与c互补互补, 与与S互补

514、。互补。 n 定定义义6.3.4 如如果果有有界界格格L，, 中中每每个个元元素素都都至至少少有有一一个个补补元元，则则称称L，, 为为 有有 补补 格格 （ complemented lattice）。）。n 例例6.3.3中中（b）、（c）均均是是有有补补格格，（a）、（d）不不是是有有补补格格。多多于于两两个个元元素素的的全序集都不是有补格。全序集都不是有补格。6.3.2有补格有补格(complementedLattices)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理6.3.3 若若L, , 是是有有补补分分配配格格，则则任任意意a L,其其补补元元是是唯唯一一的的。因因此此,可

515、用可用 来表示来表示a的补元。的补元。n 证证明明: 采采用用反反证证法法：若若存存在在a为为L中中一一元素，有两补元元素，有两补元b，c，且，且bc,则则n a ba c1， a ba c0n由定理由定理6.2.4有，有，bc，与，与bc矛盾。矛盾。因此因此a只有唯一补元只有唯一补元 。 6.3.2有补格有补格(complementedLattices)2024/9/20计算机科学与技术学院 n小结小结:本节介绍了两种特殊的格本节介绍了两种特殊的格有界格和有界格和有补格及有补格及n 其性质。其性质。n重点：掌握有补格的性质及其判别方法。重点：掌握有补格的性质及其判别方法。n作业作业: Pg2

516、01:2,3,86.3.2有补格有补格(complementedLattices)2024/9/20计算机科学与技术学院6.4 布尔代数(Boolean algebra )n 6.4.1 布布尔尔代代数数的的概概念念(Boolean algebra )n 6.4.2 布布尔尔代代数数的的性性质质(The properties of Booleann algebra )2024/9/20计算机科学与技术学院n定定义义6.4.1 一一个个至至少少有有两两个个元元素素的的有有补补分分配配格称为格称为n布尔格。布尔格。n 例例如如,对对任任意意非非空空集集合合S, , 就就是一个布尔格。是一个布尔格。

517、n 设设B,是是一一个个布布尔尔格格,因因为为布布尔尔格格中中的的每每一个元素一个元素an都都有有唯唯一一的的补补元元 ,所所以以求求补补运运算算也也可可看看成成是是B中的一元运算中的一元运算,记为记为“ ”。n 6.4.1布尔代数的概念布尔代数的概念(Booleanalgebra)2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例6.4.1】 开开关关代代数数0,1, , , 是一个布尔代数。是一个布尔代数。 n 【例例6.4.2】 S ,则则 , , , 是是一一个个布布尔尔代代数数。其其中中表表示示集集合合的的交交运运算算, 表表示示集集合合的的并并运运算算,“ ”表表示示集集合合的的求求

518、余集的运算（这里的全集是余集的运算（这里的全集是S）。）。 定义定义6.4.2由布尔格由布尔格B,所诱导的代数系统所诱导的代数系统B,，称为布尔代数（，称为布尔代数（Booleanalgebra）。）。具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。6.4.1布尔代数的概念布尔代数的概念(Booleanalgebra)2024/9/20计算机科学与技术学院2024/9/20计算机科学与技术学院n 6.4.2 布布尔尔代代数数的的性性质质(The properties of Booleann algebra )n 定定理理6.4.1 在在布布尔尔代代数数L,

519、, , 中中,对对任意任意n a ,b L，有，有n (1) (2) 。n 证证明明: (1) ,由由补元唯一性可得补元唯一性可得 n n 2024/9/20计算机科学与技术学院n (2)由于由于nn n 因因此此 为为a b的的补补元元。由由补补元元的唯一性得知：的唯一性得知：nn 同同样样可可证证 ，其其证证明留作练习。明留作练习。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义6.4.3 设设B, , , ,0,1和和B*, , ,0,1n 是两个布尔代数，若存在映射是两个布尔代数，若存在映射f：BB*满满足，对任何元素足，对任何元素a，b B，有，有n f（a b） =f(a) f(

520、b) （6.4.1）n f（a b）f(a)f(b) （6.4.2） n f（ ）= (f(a) （6.4.3）n 则称则称f是是B, , , ,0,1到到B*, , ,0,1的布尔同态。若的布尔同态。若f是双射，是双射，则称则称f是是B, , , ,0,1到到B*, , ,0,1的布尔同构。的布尔同构。2024/9/20计算机科学与技术学院 n小结小结:本节重点介绍了布尔代数的概念及其本节重点介绍了布尔代数的概念及其性质。性质。n作业作业: Pg212: 1,5,72024/9/20计算机科学与技术学院6.5 布尔表达式(Boolean representative )n 6.5.1 布布尔

521、尔表表达达式式(Boolean representative )n 6.5.2 布尔函数布尔函数 (Boolean functions )2024/9/20计算机科学与技术学院6.5.1 布尔表达式(Boolean representative )n 我我们们知知道道在在布布尔尔代代数数B, , , 上上, “ ”关于关于n“”是可分配的是可分配的,所以所以n a (b c)=(a b) (a c) n是是B, , , 上上的的一一个个恒恒等等式式. 那那么么,如如何判定何判定nB, , , 上的两个表达式是恒等式上的两个表达式是恒等式?nB, , , 上上有有多多少少种种互互不不恒恒等等的的

522、表表达达式式? 为了回为了回n答答这这个个问问题题,我我们们先先引引入入布布尔尔表表达达式式的的概概念念,然后通过然后通过n把把表表达达式式化化为为规规范范形形式式的的方方法法来来判判定定两两个个表达式是否表达式是否n恒等恒等.2024/9/20计算机科学与技术学院n 设设B, , , 是是一一个个布布尔尔代代数数,现在考虑一个从现在考虑一个从Bn到到B的函数。的函数。n 【例例6.5.1】设设B=0,1,表表6.5.1给出了一个从给出了一个从B3到到B的函数的函数f。n 设设B=0,a,b,1,表表6.5.2给出给出了一个从了一个从B2到到B的函数。的函数。 2024/9/20计算机科学与技

523、术学院表表6.5.12024/9/20计算机科学与技术学院表表6.5.22024/9/20计算机科学与技术学院n 下下面面我我们们试试图图用用别别的的方方法法来来描描述述函函数数,使之具有紧使之具有紧n凑的形式凑的形式.为此先引入布尔表达式的概念为此先引入布尔表达式的概念.n 定定义义6.5.1 设设B, , , 是是一一个个布布尔代数尔代数,取取n值值于于B中中元元素素的的变变元元称称为为布布尔尔变变元元;B中中的的元元素称为布素称为布n尔常元。尔常元。n 定定义义6.5. 2 设设B, , , 是是一一个个布布尔代数尔代数,这个这个n布尔代数上的布尔表达式定义如下布尔代数上的布尔表达式定义

524、如下:n (1)单个布尔常元是一个布尔表达式单个布尔常元是一个布尔表达式;n (2)单个布尔变元是一个布尔表达式。单个布尔变元是一个布尔表达式。 2024/9/20计算机科学与技术学院n (3)如果如果e1和和e2是布尔表达式是布尔表达式,则则n ( ),(e1 e2),(e1 e2)也是布尔表达式。也是布尔表达式。n (4) 有有限限次次应应用用规规则则1-3形形成成的的字字符符串串是是布尔表达式。布尔表达式。n 定义定义6.5.3 一个含有一个含有n个相异变元的布尔个相异变元的布尔表达式表达式,称为称为n元布尔表达式元布尔表达式,记为记为E(x1,x2,xn)或或f (x1,x2,xn)

525、,其中其中 x1,x2,xn是式中可能含有的布尔变元。是式中可能含有的布尔变元。n 今后今后,我们约定运算我们约定运算“”、“”和和“ ”的的n 优先级依次为优先级依次为“ ”、 “” 、 “”.这样一来这样一来,n 布尔表达式中的某些圆括号可以省略布尔表达式中的某些圆括号可以省略,约定约定类似于命类似于命n 题公式。题公式。2024/9/20计算机科学与技术学院n 【 例例 6.5.2】设设 0,a,b,1 , , , ,0,1是布尔代数是布尔代数,则则n f1=a n f 2=0 x n f 3=(1 x1) x2 n f 4=n f 5=n f 6=n都是这个布尔代数上的布尔表达式。都是

526、这个布尔代数上的布尔表达式。 2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义6.5.4 布尔代数布尔代数B, , , 上上的布尔表达式的布尔表达式 E(x1,x2,xn)的值指的是的值指的是:将将B的元素作为变元的元素作为变元xi(i=1,2,n)的值而的值而代入表达式以后代入表达式以后(即对变元赋值即对变元赋值),计算出来计算出来的表达式的值。的表达式的值。n 【 例例 6.5.3】 (a) 取取x1=a,x2=b,则则 例例6.5.2中的中的f3的值是的值是n f3=(1 a) b=a b=1n (b)设设布布尔尔代代数数0,1, , , ,0,1上的表达式上的表达式n f(x1,x2

527、,x3)= , 则则n f (1,0,1)=(0 1) (0 1) =0 1 0=02024/9/20计算机科学与技术学院n 定定义义6.5.5 布布尔尔代代数数B, , , ,0,1 上上 两两 个个n元元 布布 尔尔 表表 达达 式式f1(x1,x2,xn)和和f2(x1,x2,xn),如如 果果对对n个个变变元元的的任任意意指指派派,f1和和f2的的值值均均相相等等,则则称称这这两两个个布布尔尔表表达达式式是是等等价价的的或或相相等的。等的。n 记记作作 f1(x1,x2,xn)=f2(x1,x2,xn)。n 在在实实践践上上,如如果果能能有有限限次次应应用用布布尔尔代代数数公公式式,将

528、将一一个个布布尔尔表表达达式式化化成成另另一一个个表表达达式式,就就可可以以判判定定这这两两个个布布尔尔表表达达式式是是等等价的。价的。n 【例例6.5.3】在布尔代数在布尔代数0,1, , , 上的两个布尔表上的两个布尔表达式达式f1(x1,x2,x3)=(x1 x2) (x1 x3) 和和f2(x1,x2,x3)= x1 (x2 x3)是等价的。是等价的。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定义义6.5.5给给出出的的等等价价(或或相相等等)关关系系将将n元元布布尔尔代代数数表表达达式式集集合合划划分分成成等等价价类类,处处于于同同一一个个等等价价类类中中的的表表达达式式都都相相互

529、互等等价价(或或相相等等) 。可可以以证证明明当当|B|有有限限时时,等等价价类类数数目目是是有有限限的的。为为此此,我我们们考考察以下定义。察以下定义。n 定定 义义 6.5.6 给给 定定n个个 布布 尔尔 变变 元元x1,x2,xn,表达式表达式n 称称为为小小项项。这这里里 表表示示xi或或 两两者者之一。之一。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义6.5.7 n 形式的布尔表达式称为主析取范式。形式的布尔表达式称为主析取范式。n 这这 里里mi是是 极极 小小 项项 ,i是是 布布 尔尔 常常 元元 。(i=0,1,2,2n-1)。n 因因为为i有有|B|种种取取法法,故

530、故不不同同的的主主析析取取范式有范式有 个。特别个。特别,B=0,1时有时有 个。个。n 任任何何一一个个n元元布布尔尔表表达达式式都都唯唯一一地地等等价价于于一一个个主主析析取取范范式式。把把一一个个n元元布布尔尔表表达达式式化化成成等等价价的的主主析析取取范范式式,主主要要应应用用德德摩摩根根定定律律等等,其其方方法法与与“数数理理逻逻辑辑” 中中化化成成主主析析取取范范式式的的方法完全一致。方法完全一致。 2024/9/20计算机科学与技术学院n平行地可讨论极大项和主合取范式。平行地可讨论极大项和主合取范式。n 定定 义义 6.5.8 给给 定定n个个 布布 尔尔 变变 元元x1,x2,

531、xn。表达式。表达式称为极大项。这里称为极大项。这里 表示表示xi或或两者之一。两者之一。2024/9/20计算机科学与技术学院n 显显然然,有有2n个个不不同同的的极极大大项项。分分别别记记为为M0, M1, M2 , .n 定义定义6.5.8n 形形式式的的布布尔尔表表达达式式称称为为主主合合取取范范式式。这这里里Mi是是 极极 大大 项项 ,i是是 布布 尔尔 常常 元元,(i=0,1,2,2n-1)。n 任任何何一一个个n元元布布尔尔表表达达式式都都唯唯一一地地等等价价于于一一个个主主合合取取范范式式。2n个个极极大大项项最最多多只只能能造造出出 个个不不同同的的主主合合取取范范式式。

532、所所以以,一一个个n元布尔表达式必等价于这元布尔表达式必等价于这n 个主合取范式之一。个主合取范式之一。2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例6.5.3】(a)将将布布尔尔代代数数0,a,b,1, , , ,0,1n 上的布尔表达式上的布尔表达式n n化成主析取范式。化成主析取范式。 2024/9/20计算机科学与技术学院n (b)将将布布尔尔代代数数0,1, , , ,0,1上上的的布布尔尔表表达达式式 化成主合取范式。化成主合取范式。2024/9/20计算机科学与技术学院n 6.5.2 布尔函数布尔函数 (Boolean functions )n 布布尔尔代代数数B, , , ,

533、0,1上上的的任任一一n元元布布尔尔表表达达式式f(x1,x2,xn),对对n个个变变元元的的每每一一指指派派,都都可可得得到到相相应应的的表表达达式式的的值值,这这值值属属于于B。所所以以, f(x1,x2,xn)可可视视为为Bn到到B的的函函数数。但但n个个变变元元的主析取范式的主析取范式(或主合取范式或主合取范式)最多只有最多只有n 个个,所所以以,至至多多只只能能代代表表 个个不不同同的的函函数数。从从Bn到到B的的函函数数共共有有 个个。现现分情况讨论分情况讨论:n (1) B=0,1时时,从从Bn到到B的的函函数数共共有有 个个,主主析析取取范范式式也也有有 个个,恰恰好好每每一一

534、主主范范式式代代表表一一个个函函数数。所所以以,在在B=0,1时时,每每一一函函数数均均可用布尔表达式表示。可用布尔表达式表示。n 2024/9/20计算机科学与技术学院n 例例如如,表表 6.5.1所所表表示示的的函函数数可可表表示为示为(2)B0,1时时,例如例如B=0,a,b,1时时,从从Bn到到B的函数共有的函数共有个个,但主析取范式仍只有但主析取范式仍只有个个,所所以以,不是每一函数都可用布尔表达式表示。不是每一函数都可用布尔表达式表示。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定义义6.5.9 设设B, , , ,0,1是是一一个个布布尔尔代代数数,一一个个从从Bn到到B的的函函

535、数数,如如果果能能够够用用该该布布尔尔代代数数上上的的n元元布布尔尔表表达达式式表表示示,那那么这个函数就称为布尔函数。么这个函数就称为布尔函数。n 例例如如,表表6.5.2所所示示的的函函数数不不是是布布尔尔函函数数。若不然若不然,不妨设不妨设 这里这里Ci取值于取值于0,a,b,1,根据表的第一行根据表的第一行f(0,0)=C111=C1=12024/9/20计算机科学与技术学院n 根据表的第二行根据表的第二行 不管不管C2取什么值取什么值,上式都不可能成立。所以上式都不可能成立。所以,布尔布尔表达式表示不了这个函数表达式表示不了这个函数,它不是布尔函数。它不是布尔函数。2024/9/20

536、计算机科学与技术学院 n小结小结: 本节重点介绍了布尔表达式、布尔本节重点介绍了布尔表达式、布尔表达式的主表达式的主n 析取范式、主合取范式及布尔函数析取范式、主合取范式及布尔函数的概念。的概念。n重点：掌握布尔表达式的主析取范式、主重点：掌握布尔表达式的主析取范式、主合取范式合取范式n 的求法。的求法。n作业作业: Pg220: 1 (6)，(8);3,42024/9/20计算机科学与技术学院例题选解 n【例例1】 设设L，是格，是格，a,b,c L，ab，n证明：证明：n (a b c) c=(b (a c) cn证明证明 因为因为ab，且，且aa c，所以，所以ab (a c)，故，故a

537、 c（b (a c)）c。由格的吸收律、结合律知由格的吸收律、结合律知（a b c)）c=a c，所以，所以n （a (b c)） c（b (a c)） c 2024/9/20计算机科学与技术学院n 又又 由由 格格 的的 分分 配配 不不 等等 式式 知知（b (a c)）c（b c）(a c)，而，而n （b c）(a c)a c=（a (b c)）cn 故故n（a (b c)）c=(b (a c) c例题选解例题选解2024/9/20计算机科学与技术学院n【例例2】 设设L，是是格格，a、b、c、d L，证明：，证明：n(a b) (c d)（a c） (b d）n 证证明明 a、b、c

538、、d L，因因为为a ba，a bb，c dc，c dd，所以，所以n (a b) (c d)a c，n (a b) (c d)b dn 因此因此 n (a b) (c d)（a c）（b d） 例题选解例题选解2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例3】一一个个格格A，是是分分配配格格iffa,b,c A有有(a b) ca (b c)。n 证证明明 先先证证必必要要性性：设设A，是是分分配配格格。a,b,c A,由由a ca, b cb c，可得，可得n （a c）（b c）a （b c）n 而而 （a b）c=（a c）（b c） n 所以所以 （a b）ca (b c) 例题选

539、解例题选解2024/9/20计算机科学与技术学院n 再证充分性：假设再证充分性：假设a,b,c A有有 n (a b) ca (b c)，则有，则有n (a b) c =(a b) c）c（a (b c)）cn =(b c) a）c（b c）（a c）n 而任意格中均成立分配不等式而任意格中均成立分配不等式n （b c）（a c）(a b) c，因此有，因此有n (a b) c=（b c）（a c）n 即即A，是分配格。是分配格。 例题选解例题选解2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例4】设设G是是30的的因因子子集集合合，G上上关关系系“|”是整除关系。是整除关系。n (1)画出画

540、出G，|的的Hasse图。图。n (2)画画出出G，|的的所所有有元元素素个个数数大大于等于于等于4的不同构的子格的的不同构的子格的Hasse图。图。n (3)上上面面各各子子格格都都是是什什么么格格？（分分配配格，模格，有补格）。格，模格，有补格）。n (4)上上面面各各子子格格中中有有布布尔尔代代数数吗吗？若若有，指出并给出原子集合。有，指出并给出原子集合。例题选解例题选解2024/9/20计算机科学与技术学院图图6.6.1例题选解例题选解2024/9/20计算机科学与技术学院n 解解 n （1）G=1，2，3，5，6，10，15，30,其哈斯图见图其哈斯图见图6.6.1。n (2)G，|

541、的的所所有有元元素素个个数数大大于于等于等于4的不同构的子格的的不同构的子格的Hasse图见图图见图6.6.2。n （3）所所有有的的子子格格均均是是分分配配格格、模模格格。图图6.6.2（b）、（）、（f）所示的格还是有补格。）所示的格还是有补格。n （4）图）图6.6.2（b）、（）、（f）所示的）所示的格是布尔代数。其中，图（格是布尔代数。其中，图（b）的原子集合）的原子集合为为15，6，图（，图（f）的原子集合为）的原子集合为2，3，5。例题选解例题选解2024/9/20计算机科学与技术学院图图6.6.2例题选解例题选解2024/9/20计算机科学与技术学院综合练习n 1. 图图6.1

542、所示的偏序集，哪一个是格？并说所示的偏序集，哪一个是格？并说明理由。明理由。 图图6.12024/9/20计算机科学与技术学院n2对格对格L中任意元素中任意元素a，b，c，d，证明：，证明：n（1）ab,ac当且仅当当且仅当ab c。n（2）ac,bc当且仅当当且仅当a bc。n（3）a (a b)=a。n（4）若）若abc,d ca，则，则d ba。n（5）若）若abc,d ac，则，则d bc。n（6）（）（a b）（a c）a （b c）。）。n（7）（a b）（a c）（a b）n （b c）=a b。综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n （8）（）（a b）（b C）（c

543、 a）（a bn （b C）（c a）。）。n (9)若若ab，则则有有(a (b c) c=(b (a c) c。n (10)a ba且且a bb当当且且仅仅当当a与与b是是不不可比较的，可比较的，n 即即ab,ba都不能成立。都不能成立。综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n 3证证明明：格格L的的两两个个子子格格的的交交仍仍为为L的子格。的子格。n 4.设设a，b为格为格L中的两个元素中的两个元素,证明：证明：n S=x|x L且且axb可可构构成成L的的一一个个子子格格。n 5.设设f为为格格L1到到格格L2的的同同态态映映射射，证证明明f的同态像是的同态像是L2的子格。的子

544、格。n 6设设L，, 为为格格，a L，令令La=x|x L且且xa,Ma=x|x L且且ax，则则La，, ,Ma，, 都是都是L的子格。的子格。n 7判判断断图图6.1所所示示的的Hasse图图中中的的格格各各是是什什么么格格。（分分配配格格，模模格格，有有补补格格，布布尔尔格）格） 综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n n8证证明明：在在有有界界分分配配格格中中,有有补补元元的的所所有有元元素可以构成一个子格。素可以构成一个子格。n 9. 设设L，, 为为有有补补分分配配格格，a,b为为L中中任任意意元元素素，证证明明： 当当且且仅仅当当a =0当且仅当当且仅当 b=1。n

545、10设设a，b为为布布尔尔代代数数B中中任任意意元元素素，求求证证：ab当当且且仅仅当当（a ）（ b）0。 综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n11.设设f为为布布尔尔代代数数A， ，0，1到到布布尔尔代代数数B，0，1的布尔同态，则的布尔同态，则n f（0）=0，f（1）=1。n12.设设B， ，0，1为为布布尔尔代代数数，定义定义B上环和运算上环和运算：对任意：对任意a，b B，n a b=（a ）（ b）n a*b=a bn 证明证明B, ，*为一含幺交换环。为一含幺交换环。综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n13G是是12的的因因子子集集合合，|是是G上上的的

546、整整除除关系。关系。n(1)画出画出G，|的的Hasse图。图。n(2)画画出出G，|的的所所有有元元素素个个数数大大于于等等于于4的子格的的子格的Hasse图。图。n(3)上上述述各各子子格格都都是是什什么么格格？（分分配配格格，模模格，有补格）格，有补格）n(4)上上述述各各子子格格中中有有布布尔尔代代数数吗吗？若若有有，指指出并给出原子集合。出并给出原子集合。综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n14设设G是是24的的因因子子集集合合，|是是G上上的的整整除关系。除关系。n(1)画出画出G，|的的Hasse图。图。n(2)画画 出出 G， | 的的 所所 有有 5元元 素素 子

547、子 格格 的的Hasse图。图。n(3)上上述述子子格格各各是是什什么么格格？（分分配配格格，模模格格，有补格）有补格）n(4)G，|是是布布尔尔代代数数吗吗？若若是是，请请给给出出原子集合。原子集合。综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院结结 束束谢 谢 !第六章 格与布尔代数2024/9/20计算机科学与技术学院第七章 图论(Graph Theory) n7.1 图的基本概念图的基本概念(Graph) n7.2 路与图的连通性路与图的连通性(Walks & Connectivity of Graphs) n7.3 图的矩阵表示图的矩阵表示(Matrix Notation of Gr

548、aph) n7.4 欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图(Eulerian Graph & Hamilton-ian Graph ) n7.5 平面图平面图(Planar Graph)n7.6 树与生成树树与生成树(Trees and Spanning Trees) n7.7 根树及其应用根树及其应用(Rooted Trees and Its Applications) 2024/9/20计算机科学与技术学院7.1 图的基本概念 n 7.1.1 图的基本概念图的基本概念n 7.1.2 图的结点的度数及其计算图的结点的度数及其计算n 7.1.3 子图和图的同构子图和图的同构2024/9/20计算

549、机科学与技术学院图图7.1.1哥尼斯堡七桥问题 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.1.2 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院7.1.1 图 n 现现实实世世界界中中许许多多现现象象能能用用某某种种图图形形表表示示,这这种种图图形形是是由由一一些些点点和和一一些些连连接接两两点点间间的连线所组成。的连线所组成。n 【例例7.1.1】a， b， c， d 4个个篮篮球球队队进进行行友友谊谊比比赛赛。 为为了了表表示示个个队队之之间间比比赛赛的的情情况况， 我我们们作作出出图图 7.1.1的的图图形形。 在在图图中中个个小小圆圆圈圈分分别别

550、表表示示这这个个篮篮球球队队， 称称之之为为结结点点。 如如果果两两队队进进行行过过比比赛赛， 则则在在表表示示该该队队的的两两个个结结点点之之间间用用一一条条线线连连接接起起来来， 称称之之为为边边。 这这样样利利用用一一个个图形使各队之间的比赛情况一目了然。图形使各队之间的比赛情况一目了然。1.图的定义图的定义 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.1.1如果图如果图7.1.1中的个中的个结点结点a，b，c，d分别分别表示个人，表示个人，当某两当某两个人互相认识时，个人互相认识时，则则将其对应点之间用边连将其对应点之间用边连接起来。接起来。这时的图又这时的图又

551、反映了这个人之间的反映了这个人之间的认识关系。认识关系。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 我我们们也也可可以以点点代代表表工工厂厂,以以连连接接两两点点的的连连线线表表示示这这两两工工厂厂间间有有业业务务往往来来关关系系。这这样样便便可可用用图图形形表表示示某某一一城城市市中中各各工工厂厂间间的的业业务务往往来来关关系系。这这种种用用图图形形来来表表示示事事物物之之间间的的某某种种关关系系的的方方法法我我们们也也曾曾经经在在第第 三三 章章中中使使用用过过。 对对于于这这种种图图形形,我我们们的的兴兴趣趣在在于于有有多多少少个个点点和和哪哪些些点点对对间间有有线

552、线连连接接,至至于于连连线线的的长长短短曲曲直直和和点点的的位位置置都都无无关关紧紧要要。对对它它们们进进行行数数学学抽抽象象我我们们就就得得到到以以下下作为数学概念的图的定义。作为数学概念的图的定义。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定义义7.1.1一一个个图图G是是一一个个序序偶偶V(G), E(G)， 记记为为GV(G), E(G)。 其其中中V(G)是是非非空空结结点点集集合合， E(G)是是边边集集合合， 对对E(G)中中的的每每条条边边， 有有V(G)中中的的结结点点的的有有序偶或无序偶与之对应。序偶或无序偶与之对应。 n 若若边边e所所对对应应的

553、的结结点点对对是是有有序序偶偶a,b,则则称称e是是有有向向边边。a叫叫边边e的的始始点点,b叫叫边边e的的终终点点,统统称称为为e的的端端点点。若若边边e所所对对应应的的结结点点对对是是无无序序偶偶(a,b) ,则则称称e是是无无向向边边。这时统称这时统称e与两个结点与两个结点a和和b互相关联。互相关联。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n【例例7.1.2】 设设G=V(G),E(G),其中其中n V(G)=a,b,c,d,E(G)=e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e1=(a,b),n e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c

554、),e6=(a,d),e7=(b,b)。则图则图G可用图可用图7.1.2(a)或或(b)表示。表示。我们将结点我们将结点a、b的无序结点对记为的无序结点对记为(a，b），），有序有序结点对记为结点对记为a，b。一个图一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯可用一个图形来表示且表示是不唯一的。一的。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.1.2 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院图7.1.2 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n2. 图图G的结点与边之间的关系的结点与边之间的关系n邻接点邻接点: 同一条边的两个端点。

555、同一条边的两个端点。n孤立点孤立点: 没有边与之关联的结点。没有边与之关联的结点。n邻接边邻接边: 关联同一个结点的两条边。关联同一个结点的两条边。n孤立边孤立边: 不与任何边相邻接的边。不与任何边相邻接的边。n自自回回路路（环环）：关关联联同同一一个个结结点点的的一一条条边（边（v，v）或）或v，v）。）。n平平行行边边(多多重重边边):关关联联同同一一对对结结点点的的多多条条边。边。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 如如例例7.1.1中中的的图图，结结点点集集Va，b，c，d， 边边集集 Ee1， e2， e3， e4， e5， 其中其中n e1（a，b），

556、e2（a, c），e3（a，d）， e4（b, c）， e5（c, d）。 d与与a、 d与与c是是邻邻接接的的， 但但d与与b不邻接，不邻接， 边边e3与与e5是邻接的。是邻接的。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.1.3】设设图图GV ,E 如如图图7.1. 3所示。所示。n 这里这里Vv1，v2，v3，n Ee1，e2，e3，e4，e5， n 其中其中e1 =(v1, v2) ，e2=(v1，v3) ， n e3 =(v3, v3), e4 =(v2, v3), e5=(v2，v3)。 n 在在这这个个图图中中， e3是是关关联联同同一一个个结结点

557、点的的一一条条边边,即即自自回回路路； 边边e4和和e5都都与与结结点点v2、 v3关联，关联， 即它们是多重边。即它们是多重边。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.1.3 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 3. 图图G的分类的分类(1)按按G的的结结点点个个数数和和边边数数分分为为(n,m)图图,即即n个结点个结点, m条边的图条边的图;(2) 特特别别地地, (n,0)称称为为零零图图, (1,0) 图图称称为为平凡图平凡图 。n(2) 按按G中中关关联联于于同同一一对对结结点点的的边边数数分分为为多重图和简单图多重图和简单图

558、;n 多多重重图图:含含有有平平行行边边的的图图（如如图图 7 .1. 3） 。n 简单图简单图:不含平行边和自环的图。不含平行边和自环的图。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n (3)按按G的的边边有有序序、无无序序分分为为有有向向图图、无无向向图和混合图图和混合图;n 有有向向图图：每每条条边边都都是是有有向向边边的的图图称称为为有有向图向图n （图（图 7 .1.4 (b)； n 无无向向图图：每每条条边边都都是是无无向向边边的的图图称称为为无无向图；向图； n 混混合合图图：既既有有无无向向边边, 又又有有有有向向边边的的图图称称为混合图。为混合图。 n 本

559、书主要研究无向图和有向图。本书主要研究无向图和有向图。n(4)按按G的边旁有无数量特征分为的边旁有无数量特征分为边权图边权图(如如图图 7.1.4 (a) 、无权图、无权图; 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.1.4(5)按按G的任意两个结点间是否有边分为的任意两个结点间是否有边分为完全图完全图Kn(如图如图7.1.5)和和不完全图不完全图(如图如图7.1.6)。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 图图7.1.6完全图完全图：任意两个不同的结点都邻接的简单图称为完：任意两个不同的结点都邻接的简单图称为完全图。全图。n个结点的无向完

560、全图记为个结点的无向完全图记为Kn。图图7.1.5给给出出了了K3和和K4。从从图图中中可可以以看看出出K3有有条条边，边，K4有条边。有条边。容易证明容易证明Kn有有条边。条边。图图7.1.5K3与与K4示意图示意图 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n给给定定任任意意一一个个含含有有n个个结结点点的的图图G,总总可可以以把把它补成一个它补成一个n具具有有同同样样结结点点的的完完全全图图,方方法法是是把把那那些些缺缺少少的的边添上。边添上。 n定定义义7.1.2 设设GV, E是是一一个个具具有有n个个结结点的简单点的简单n图图。以以V为为结结点点集集，以以从从完完

561、全全图图Kn中中删删去去G的所有边后的所有边后n得得到到的的图图（或或由由G中中所所有有结结点点和和所所有有能能使使G成为完全图成为完全图n的的添添加加边边组组成成的的图图）称称为为G的的补补图图，记记为为 。 n 例如，零图和完全图互为补图。例如，零图和完全图互为补图。n 图图 7 .1. 6给出了一个图给出了一个图G和和G的补的补图图 。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.1.4】（拉拉姆姆齐齐问问题题）试试证证在在任任何何一一个个有有个个人人的的组组里里， 存存在在个个人人互互相相认认识识， 或者存在个人互相不认识。或者存在个人互相不认识。 n 我

562、我们们用用个个结结点点来来代代表表人人， 并并用用邻邻接接性性来来代代表表认认识识关关系系。 这这样样一一来来， 该该例例就就是是要要证证明明： 任任意意一一个个有有个个结结点点的的图图G中中， 或或者者有有个个互互相相邻邻接接的的点点， 或或者者有有个个互互相相不不邻邻接接的的点点。 即即， 对对任任何何一一个个有有个个结结点点的的图图G， G或或 中中含含有有一一个个三三角角形形（即即K3）。）。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证明明: 设设GV ,E， |V|6， v是是G中中一一结结点点。 因因为为v 与与G的的其其余余个个结结点点或或者者在在 中中

563、邻邻接接， 或或者者在在G中中邻邻接接。 故故不不失失一一般般性性可可假假定定， 有有个个结结点点v1， v2， v3在在G中与中与v邻接。邻接。 n 如如果果这这个个结结点点中中有有两两个个结结点点（如如v1， v2）邻邻接接， 则则它它们们与与v 就就是是G中中一一个个三三角角形形的的个个顶顶点点。 如如果果这这3个个结结点点中中任任意意两两个个在在G中中均均不不邻邻接接， 则则v1， v2， v3就就是是 中一个三角形的个顶点。中一个三角形的个顶点。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 7.1.2 图的结点的度数及其计算图的结点的度数及其计算n 我我们们常常常

564、常需需要要关关心心图图中中有有多多少少条条边边与与某某一结点一结点n关关联联，这这就就引引出出了了图图的的一一个个重重要要概概念念结结点点的度数。的度数。 n定定义义7.1.3 图图中中结结点点v所所关关联联的的边边数数(有有自自回回路时计算两路时计算两n次次)称为结点称为结点v 的度数，记为的度数，记为deg(v)。 n 如如图图7.1.3中中的的deg（v1）2，deg（v2）3， deg（v3）5。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理 7.1.1 图图GV ,E中中结结点点度度数数的总和等于边数的两倍，的总和等于边数的两倍， 即即n证明证明: 因为每

565、条边都与两个结点关联，因为每条边都与两个结点关联， 所所以加上一条边就使得各结点度数的和增加以加上一条边就使得各结点度数的和增加 2， 由此结论成立。由此结论成立。 n 推论推论: 图图G中度数为奇数的结点必为偶数个。中度数为奇数的结点必为偶数个。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证明明: 设设V1和和V2分分别别是是G中中奇奇数数度度数数和和偶数度数的结点集。偶数度数的结点集。 n 由定理由定理7.1.1知知n 由于由于 是偶数之和，是偶数之和， 必必为偶数，为偶数， n 而而2|E|也为偶数，也为偶数， 故故 是偶是偶数。数。 由此由此|V1|必为偶数。必

566、为偶数。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n n 定定义义7.1.4 在在有有向向图图中中,射射入入结结点点v的的边边数数称称为为结结点点v 的的入入度度， 记记为为 ;由由结结点点v射射出出的的边边数数称称为为结结点点v 的的出出度度， 记记为为 。结结点点v的的入入度度与与出出度度之之和和就就是是结点结点v的度数。的度数。n 如如图图7.1.4中中 1， 2。 n 定定理理 7.1.2 在在任任何何有有向向图图GV ,E中中， 有有 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.1.4 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技

567、术学院n 7.1.3 子图和图的同构子图和图的同构n 1.子图子图n 在在研研究究和和描描述述图图的的性性质质时时，子子图图的概念占有重要地位。的概念占有重要地位。 n 定义定义7.1.5 设有图设有图G=V , E和图和图n G= V, E 。 n 1) 若若VV， EE， 则则称称G是是G的的子图。子图。 n 2) 若若G是是G的的子子图图，且且EE，则则称称G是是Gn 的真子图。的真子图。 n 2024/9/20计算机科学与技术学院n 3) 若若V=V， EE，则则称称G是是G的的生生成成子图。子图。n图图7.1.7给给出出了了图图G以以及及它它的的真真子子图图G1和和生生成子图成子图G

568、2。 图图7.1.7图图G以及其真子图以及其真子图G1和生成子图和生成子图G2 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 2. 图的同构图的同构n 从从图图的的定定义义可可以以看看出出，图图的的最最本本质质的的内内容容是是结结点点与与结结点点的的邻邻接接关关系系。例例如如例例7.1.1也也可可以以用用图图7.1.8中中几几种种不不同同形形状状的的图图形形表表示示。它它们们与与图图7.1.1一一样样，都都同同样样表表示示例例7.1.1中中个个队队之之间间的的比比赛赛情情况况。从从这这个个意意义义上上讲讲，我我们们说说它它们们是是同同一一个个图图，并并称称图图7.1.1与与图

569、图7.1.8的的(a)和和(b)是同构的。是同构的。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.1.8同构的图同构的图图图7.1.9 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义7.1.6 设有图设有图 G=V , E和图和图G=n V, E。 如果存在双射如果存在双射：VV，使得使得n e=(u, v) E iff e=(u),(v) E， 且且n (u， v)与与(u),(v)有相同的重数，有相同的重数，则称则称G与与Gn 同构。记作同构。记作G G。 n【例例7.1.5】考考察察图图7.1.9中中的的两两个个图图GV , E和和n G

570、= V, E 。 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 显显然然，定定义义：VV, (vi)v i , 可可以以验验证证是是满满足足定定义义7.1.6的的双双射射，所所以以G G。 n 对对于于同同构构，形形象象地地说说，若若图图的的结结点点可可以以任任意意挪挪动动位位置置，而而边边是是完完全全弹弹性性的的，只只要要在在不不拉拉断断的的条条件件下下，这这个个图图可可以以变变形形为为另另一一个个图图，那那么么这这两两个个图图是是同同构构的的。故故同同构构的的两两个个图图从从外外形形上上看看可可能能不一样，但它们的拓扑结构是一样的。不一样，但它们的拓扑结构是一样的。 7.

571、1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院n 小小结结: 本本结结介介绍绍了了图图的的基基本本概概念念、图图的的结点的度数结点的度数n 及及其其性性质质以以及及子子图图、生生成成子子图图与与图的同构等图的同构等n 概念。概念。n 重重点点：图图的的结结点点的的度度数数及及其其性性质质以以及及生生成子图的成子图的n 概念。概念。 n 作业：作业：P231: 4, 5, 7 7.1 图的基本概念 2024/9/20计算机科学与技术学院7.2 路与图的连通性(Walks & The Connectivity of Graphs)n 7.2.1 路路与与回回路路(Wlaks and Ci

572、rcuits)n 7.2.2 图图 的的 连连 通通 性性 (The Connectivity of Graphs)n 2024/9/20计算机科学与技术学院7.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)n 定定义义 7.2.1 给给定定图图GV ,E, 设设v0, v1, , vk V，n e1，e2，ek E， 其其中中ei是是关关联联于于结结点点vi-1和和vi的的边边， 称称交交替替序序列列v0e1v1e2ekvk为为连连接接v0到到vk的的路路， v0和和vk分分别别称称为为路路的的起起点点与与终点。路中边的数目终点。路中边的数目k称作路的长度。称作路的长度。 n 当当

573、v0=vk时时,这条路称为回路。这条路称为回路。n 在简单图中一条路在简单图中一条路v0e1v1e2ekvk由它由它的结点序列的结点序列v0v1vk确定确定,所以简单图的路所以简单图的路,可可表示为表示为v0v1vk 。如图。如图7.1.1表示的简单图中，表示的简单图中， 路路ae1be4ce5d可写成可写成abcd。 n 2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定义义 7.2.2 设设=v0e1v1e2ekvk是是图图G中连接中连接v0到到vk的路。的路。 n 1)若若e1， e2， ， ek都都不不相相同同， 则则称称路路为迹；为迹；n 2)若若v0， v1， ， vk都不相都不相n

574、同，则称路同，则称路为通路；为通路；n 3)长度大于的闭的通路长度大于的闭的通路n（即除（即除v0vk外，外， 其余结其余结 n 点均不相同的路）点均不相同的路）称作圈。称作圈。 图图7.1.17.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院结点重复情况结点重复情况边重复情况边重复情况路路 (Wlaks)允许允许 允许允许迹迹 (Trails)允许允许不允许不允许 通路通路 (Paths)不允许不允许 不允许不允许 回路回路(Circuits)允许允许允许允许圈圈(cycle)不允许不允许 （除（除始点和终点外）始点和终点外）不允许不允许 7.

575、2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n 例如在图例如在图 7.2.1中，中， 有连接有连接v5到到v3的路的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3， n 这也是一条迹；路这也是一条迹；路n v1e1v2 e3v3是一条通路；是一条通路；n 路路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是一是一n 条回路，条回路， 但不是圈；但不是圈； n 路路v1e1v2e3v3e2v1是一条是一条n 回路，回路， 也是圈。也是圈。 n 图图7.2.17.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例

576、7.2.1】（渡渡河河问问题题） 一一个个摆摆渡渡人人， 要要把把一一只只狼狼、 一一只只羊羊和和一一捆捆干干草草运运过过河河去去， 河河上上有有一一只只木木船船， 每每次次除除了了人人以以外外， 只只能能带带一一样样东东西西。 另另外外， 如如果果人人不不在在旁旁时时， 狼狼就就要要吃吃羊羊， 羊羊就就要要吃吃干干草草。 问问这这人人怎怎样样才才能把它们运过河去？能把它们运过河去？下面我们利用通路的概念解决一个古老的下面我们利用通路的概念解决一个古老的著名问题。著名问题。7.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n 解解: 用用F表表示

577、示摆摆渡渡人人， W表表示示狼，狼， S表示羊，表示羊， H表示干草。表示干草。 n 若若用用FWSH表表示示人人和和其其它它样样东东西西在在河河的的左左岸岸的的状状态态。 这这样样在在左左岸岸全全部部可可能能出出现现的的状状态态为为以以下下16种：种： 7.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n FWSH FWS FWH FSHn WSH FW FS FHn WS WH SH Fn W S H n 这这里里表表示示左左岸岸是是空空集集， 即即人人、 狼狼、 羊羊、 干干草草都都已已运运到到右右岸岸去去了。了。 7.2.1 路与回路(W

578、laks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n 根根据据题题意意检检查查一一下下就就可可以以知知道道， 这这16种种情情况况中中有有种种情情况况是是不不允允许许出出现现的的。 它它们们是是： WSH、 FW、 FH、 WS、 SH、 F。 如如FH表表示示人人和和干干草草在在左左岸岸， 而而狼狼和和羊羊在在右右岸岸， 这这当当然然是是不不行行的的。 因因此此， 允许出现的情况只有允许出现的情况只有10种。种。 7.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n 我我们们构构造造一一个个图图， 它它的的结结点点就就是

579、是这这10种种状状态态。 若若一一种种状状态态可可以以转转移移到到另另一一种种状状态态， 就就在在表表示示它它们们的的两两结结点点间间连连一一条条边边， 这这样样就就画画出出图图7.2.2 。 本本题题就就转转化化为为找找结结点点FWSH 到到结结点点的的通通路路。 从从图图中中得得到到两两条条这这样样的的通通路路， 即即有有两两种渡河方案。种渡河方案。 7.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院图7.2.27.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义 7.2.3 在图在图

580、G中，中， 若结点若结点vi到到vj有路连接（这时称有路连接（这时称vi和和vj是连通的），是连通的）， 其中长度最短的路的长度称为其中长度最短的路的长度称为vi到到vj 的的距离，距离， 用符号用符号d(vi,vj)表示。若从表示。若从vi到到vj不存在路径不存在路径,则则d(vi,vj)=。n 例如在图例如在图7.2.1中，中， （v1， v4）。 7.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n 注意注意:在有向图中在有向图中,d(vi,vj)不一定等于不一定等于d(vj,vi),n 但一般地满足以下性质但一般地满足以下性质:n (1)

581、 d(vi,vj)0;n (2) d(vi,vi)=0;n (3) d(vi,vj)+d(vj,vk)d(vi,vk)。n n 图图7.2.17.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理 7.2.1 设设G是是具具有有n个个结结点点的的图图， 如如果果从从结结点点v1到到另另一一结结点点v2存存在在一一条条路路， 则则从从结结点点v1到到v2必必存存在在一条路长度不大于一条路长度不大于n1的通路。的通路。 n 7.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证 明明 :假假

582、 定定 从从v1到到v2存存 在在 一一 条条 路路 径径,(v1,vi,v2)是是所所经的结点经的结点,如果其中有相同的结点如果其中有相同的结点vk,例例n (v1,vi,vk,vk,v2),则删去从则删去从vk到到vk的这些边的这些边,它仍是从它仍是从v1到到v2的路径的路径,如此反如此反复地进行直至复地进行直至(v1,vi,v2)中没有重复结中没有重复结点为止。此时点为止。此时,所得的就是通路。通路的长度所得的就是通路。通路的长度比所经结点数少比所经结点数少1,图中共图中共n个结点个结点,故通路长故通路长度不超过度不超过n-1。n 推推论论 设设图图GV ,E ， |V|n， 则则G中任

583、一圈长中任一圈长n 度不大于度不大于n。7.2.1 路与回路(Wlaks and Circuits)2024/9/20计算机科学与技术学院n 1. 无向图的连通性无向图的连通性n 定定义义 7.2.4 在在无无向向图图如如果果一一个个图图的的任任何何两两个个结结点点之之间间都都有有一一条条路路，那那么么我我们们称称这个图是连通的，否则是不连通的。这个图是连通的，否则是不连通的。 n 定定义义 7.2.5 图图G的的一一个个连连通通的的子子图图G（称称为为 连连通通子子图图）若若不不包包含含在在G的的任任何何更更大大的的连连通通子子图图中中， 它它就就被被称称作作G的的连连通通分分支。支。 我们

584、把图我们把图G的连通分支数记作的连通分支数记作W（G）。）。7.2.2图的连通性图的连通性(TheConnectivityofGraphs)2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.2.3图图G与与G在图在图7.2.3中，中，G是不连通的，是不连通的，W（G），），而而G是是连通的，连通的，W（G）。）。 任何一个图都可划分为若干个连通分支。任何一个图都可划分为若干个连通分支。显然，显然，仅当图仅当图G的连通分支数的连通分支数W（G）时，）时，图图G是连通的。是连通的。7.2.2图的连通性图的连通性(TheConnectivityofGraphs)2024/9/20计算机科学与技术学院n

585、2. 有向图的连通性有向图的连通性n 定定义义7.2.6 在在有有向向图图中中,若若从从结结点点u到到v有一条路，则称有一条路，则称u可达可达v。n 定义定义7.2.7 设有有向图设有有向图G，n 1)若若G的的任任意意两两个个结结点点中中,至至少少从从一一个个结结点点可可达达另另一一个个结结点点,则则称称图图G是是单单向连通的向连通的; 7.2.2图的连通性图的连通性(TheConnectivityofGraphs)2024/9/20计算机科学与技术学院n 2)如如果果G的的任任意意两两个个结结点点都都是是相相互互可可达的达的,则称图则称图G是强连通的是强连通的;n 3)如如果果略略去去边边

586、的的方方向向后后， G成成为为连连通的无向图，则称图通的无向图，则称图G是弱连通的。是弱连通的。n 2024/9/20计算机科学与技术学院n 从从定定义义可可知知： 若若图图G是是单单向向连连通通的的， 则则必必是是弱弱连连通通的的；若若图图G是是强强连连通通的的， 则则必必是是单单向向连连通通的的， 且且也是弱连通的。也是弱连通的。 但反之不真。但反之不真。 n 在图在图7.2.4中中,(a)是强连通的是强连通的,(b)是单向连通的是单向连通的,(c)是弱是弱连通的。通的。2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.2.42024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理 7.2.2一一个

587、个有有向向图图G是是强强连连通通的的， 当当且且仅仅当当G中中有有一一个个（有有向向）回路，回路， 它至少包含每个结点一次。它至少包含每个结点一次。 n 2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证明明: 必必要要性性： 如如果果有有向向图图G是是强强连连通通的的， 则则任任意意两两个个结结点点都都是是相相互互可可达达的的。 故故必必可可作作一一回回路路经经过过图图中中所所有有各各结结点点。 否否则则必必有有一一回回路路不不包包含含某某一一结结点点v。 这这样样， v与与回回路路上上各各结结点点就就不不能能相相互互可可达，达， 这与这与G是强连通矛盾。是强连通矛盾。 n 充充分分性性： 如如

588、果果G中中有有一一个个回回路路， 它它至至少少包包含含每每个个结结点点一一次次， 则则G中中任任意意两两个个结结点点是是相相互互可可达达的的， 故故G是是强强连连通通的。的。n 例例 如如 ， 图图 7.2.4(a)中中 有有 一一 回回 路路v1v3v2v1，它包含图中所有结点。，它包含图中所有结点。 n 7.2.2图的连通性图的连通性(TheConnectivityofGraphs)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义 7.2.8 在有向图在有向图G=V,E中中,G是是G的子的子图图,若若G是强连通的是强连通的(单向连通的单向连通的,弱连通弱连通的的),没有包含没有包含G的更

589、大子图的更大子图G是强连通是强连通的的(单向连通的单向连通的,弱连通的弱连通的),则称则称G是是G的强分图的强分图(单向分图单向分图,弱分图弱分图)。n 在图在图7.2.5中中,强分图集合是强分图集合是:n 1,2,3,e1,e2,e3,4,5,6,7,8,e7,e87.2.2图的连通性图的连通性(TheConnectivityofGraphs)2024/9/20计算机科学与技术学院n 单向分图集合是单向分图集合是:n 1,2,3,4,5,e1,e2,e3,e4,e5,6,5,e6,n 7,8,e7,e8n 弱分图集合是弱分图集合是:n 1,2,3,4,5,6,e1,e2,e3,e4,e5,e

590、6,n 7,8,e7,e87.2.2图的连通性图的连通性(TheConnectivityofGraphs)2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.2.57.2.2图的连通性图的连通性(TheConnectivityofGraphs)2024/9/20计算机科学与技术学院n 小小结结: 本本结结介介绍绍了了路路、迹迹、通通路路、回回路、圈及图的连通性。路、圈及图的连通性。n n 作业：作业：P238: 2, 47.2路与图的连通性路与图的连通性2024/9/20计算机科学与技术学院7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) n 7.3.1 邻接矩阵邻接矩阵 (

591、Adjacency Matrices) n 7.3.2 可可 达达 性性 矩矩 阵阵 (Reachability Matrices )2024/9/20计算机科学与技术学院7.3.1邻接矩阵 (Adjacency Matrices)n 上上面面我我们们介介绍绍了了图图的的一一种种表表示示方方法法， 即即用用图图形形表表示示图图。 它它的的优优点点是是形形象象直直观观， 但但是是这这种种表表示示在在结结点点与与边边的的数数目目很很多多时时是是不不方方便便的的。 下下面面我我们们提提供供另另一一种种用用矩矩阵阵表表示示图图的的方方法法。 利利用用这这种种方方法法， 我我们们能能把把图图用用矩矩阵阵

592、存存储储在在计计算算机机中中， 利利用用矩矩阵阵的的运运算算还还可可以以了解到它的一些有关性质。了解到它的一些有关性质。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定义义 7.3.1 设设GV ,E是是有有n个个结结点点的的简简单单图图， 则则n阶阶方方阵阵（aij）称称为为G的的邻接矩阵。邻接矩阵。 其中其中否则否则如图如图7.3.1所示的图所示的图G，其邻接矩阵其邻接矩阵A为为7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院如图如图7.3.1所示的图所示的图G，其邻接矩阵其邻接矩阵A为为显然无向图的邻接矩阵必是对称的。显然无向

593、图的邻接矩阵必是对称的。 下下面面的的定定理理说说明明，在在邻邻接接矩矩阵阵A的的幂幂A2，A3，等矩阵中，等矩阵中，每个元素有特定的含义。每个元素有特定的含义。图图7.3.1G7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.3.1图图G7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理 7.3.1 设设G是是具具有有n个个结结点点v1, v2, ,vn 的的图图， 其其邻邻接接矩矩阵阵为为A， 则则Ak（k1， 2， ）的的（i， j）项项元元素素

594、a(k)ij是是从从vi到到vj的长度等于的长度等于k的路的总数。的路的总数。 n 证明证明: 施归纳于施归纳于k。 n 当当k1时时， A1A， 由由A的的定定义义， 定定理显然成立。理显然成立。 n 若若kl时定理成立，时定理成立， n 则当则当kl1时，时， A l+1Al A， 所以所以7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院n 根根据据邻邻接接矩矩阵阵定定义义arj是是联联结结vr和和vj的的长长度度为为1的的路路数数目目,a(l)ir是是联联结结vi和和vr的的长长度度为为l的的路路数数目目,故故上上式式右右边

595、边的的每每一一项项表表示示由由vi经经过过l条条边边到到vr,再再由由vr 经经过过1条条边边到到vj的的总总长长度度为为l+1的的路路的的数数目目 。对对所所有有r求求和和,即即得得a(l+1)ij是是所所有有从从vi到到vj的的长长度度等等于于l+1的的路路的的总总数数,故故命命题题对对l+1成立。成立。 n 7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院n 由由定定理理7.3.1可可得得出出以以下下结结论：论： n 1) 如如果果对对l1， 2， ， n-1， Al的的n（i， j）项项元元素素（ij）都都为为零零， 那那

596、么么vi和和vj之之间间无无任任何何路路相相连连接接， 即即vi和和vj不不连连通通。 因因此此， vi和和vj必必属属于于G的不同的连通分支。的不同的连通分支。 7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院n 2) 结结点点vi 到到vj （ij）间间的的距距离离d（vi， vj）n 是是使使Al（l1， 2， ， n-1 ）的的（i， j）项元素不为零的最小整数）项元素不为零的最小整数l。 n 3)Al的（的（i，i）项元素）项元素a(l)ii表示开始并结束于表示开始并结束于vi长度为长度为l的回路的数目。的回路的数目。7

597、.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.3.1】图图GV ,E的的图图形形如如图图7.3.2， 求求邻邻接接矩矩阵阵A和和A2， A3， A4， 并分析其元素的图论意义。并分析其元素的图论意义。n 7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院n 解解: 7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.3.27.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Grap

598、h) 2024/9/20计算机科学与技术学院n 1) 由由A中中a(1)121知，知， v1和和v2是邻接的；是邻接的； 由由A3中中a(3)122知，知， v1到到v2长度为长度为3的路有两条，的路有两条， 从图中可看出是从图中可看出是v1v2v1v2和和v1v2v3v2。 n 2) 由由A2的的主主对对角角线线上上元元素素知知， 每每个个结结点点都都有有长长度度为为的的回回路路， 其其中中结结点点v2有有两两条条： v2v1v2和和v2v3v2， 其其余余结结点只有一条。点只有一条。 n 3) 由由于于A3的的主主对对角角线线上上元元素素全全为零，为零， 所以所以G中没有长度为的回路。中没

599、有长度为的回路。7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院n 4) 由于由于 所以结点所以结点v3和和v4间无路，间无路， 它们属于不同它们属于不同的连通分支。的连通分支。 n 5) d（v1， v3）。）。 n 对对其其他他元元素素读读者者自自己己可可以以找找出出它它的的意义。意义。 7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 2024/9/20计算机科学与技术学院7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )n下面用矩阵来研究有向图的可达性。下面用矩阵来研究有向图的可

600、达性。 n 与与无无向向图图一一样样， 有有向向图图也也能能用用相相应的邻接矩阵应的邻接矩阵 A（aij）表示，）表示， 其中其中但注意这里但注意这里A不一定是对称的。不一定是对称的。2024/9/20计算机科学与技术学院n 定义定义 7.3.2 设设GV ,E是一是一个有个有n个结点的有向图，个结点的有向图， 则则n阶方阶方阵阵（pij）称为图）称为图G的可达性矩的可达性矩阵。阵。 其中其中 (vi到到vj可达可达)(否则否则)7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )2024/9/20计算机科学与技术学院根根据据可可达达性性矩矩阵阵，可可知知图图中中任任意意两两

601、个个结结点点之之间间是是否否至至少少存存在在一一条条路路以以及及是是否否存存在回路。在回路。 由由7.2节节定定理理7.2.1可可知知，利利用用有有向向图图的的邻邻接接矩矩阵阵A，分分以以下下两两步步可可得得到到可可达达性性矩矩阵。阵。7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )2024/9/20计算机科学与技术学院n 1) 令令BnAA2An,n 2) 将将矩矩阵阵n中中不不为为零零的的元元素素均均改改为为， 为为零零的的元元素素不不变变， 所所得得的的矩阵矩阵P就是可达性矩阵。就是可达性矩阵。 n 当当n很很大大时时， 这这种种求求可可达达性性矩矩阵阵的的方方法法

602、就就很很复复杂杂。 下下面面再再介介绍绍一一种种更更简便的求可达性矩阵的方法。简便的求可达性矩阵的方法。 7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )2024/9/20计算机科学与技术学院n 因因可可达达性性矩矩阵阵是是一一个个元元素素仅仅为为或或的的矩矩阵阵（称称为为布布尔尔矩矩阵阵）， 而而在在研研究究可可达达性性问问题题时时， 我我们们对对于于两两个个结结点点间间具具有有路路的的数数目目并并不不感感兴兴趣趣， 所所关关心心的的只只是是两两结结点点间间是是否否有有路路存存在在。 因因此此， 我我们们可可将将矩矩阵阵A，A2, An,分分别别改改为为布布尔尔矩阵矩阵

603、A(1)， A(2)， ， A(n)。 7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )2024/9/20计算机科学与技术学院n由此有由此有n A(2)A(1) A(1)A An A(3)A(2) A(1)n n A(n)A(n-1) A(1)n PA(1) A(2) A(n) n 相应的矩阵加法和乘法称为矩阵相应的矩阵加法和乘法称为矩阵的布尔加的布尔加和布尔乘和布尔乘。7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.3.37.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )2024/9

604、/20计算机科学与技术学院n 【例例7.3.2】求求出出图图7.3.3所所示示图图的的可可达性矩阵。达性矩阵。 n 解解: 该图的邻接矩阵为该图的邻接矩阵为7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )2024/9/20计算机科学与技术学院7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )2024/9/20计算机科学与技术学院故故7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理 7.3.2 有有向向图图G是是强强连连通通的的当当且且仅当其可达性矩阵仅当其可达性矩阵P的元素均为。的

605、元素均为。 n 7.3.2可达性矩阵 (Reachability Matrices )2024/9/20计算机科学与技术学院n 小小结结：本本节节介介绍绍了了图图的的邻邻接接矩矩阵阵、可可达达性矩阵性矩阵n 的概念。的概念。n 重重点点: 掌掌握握邻邻接接矩矩阵阵、可可达达性性矩矩阵阵及及由由vi到到vj长长n 度为度为k的路径的条数的求法。的路径的条数的求法。n 作业作业: Pg244: 1, 2 n 7.3图的矩阵表示图的矩阵表示(MatrixNotationofGraph)2024/9/20计算机科学与技术学院7.4 欧拉图与哈密尔顿图(Eulerian Graph and Hamilt

606、on-ian Graph) n 7.4.1 欧拉图欧拉图(Eulerian Graph)n 7.4.2哈哈密密尔尔顿顿图图(Hamilton-ian Graph)n n 2024/9/20计算机科学与技术学院7.4.1 欧拉图n 历历史史上上的的哥哥尼尼斯斯堡堡七七桥桥问问题题是是著著名名的的图图论问题。论问题。 n 问问题题是是这这样样的的： 18世世纪纪的的东东普普鲁鲁士士有有个个哥哥尼尼斯斯堡堡城城， 在在横横贯贯全全城城的的普普雷雷格格尔尔河河两两岸岸和和两两个个岛岛之之间间架架设设了了7座座桥桥， 它它们们把把河河的的两岸和两个岛连接起来（如图两岸和两个岛连接起来（如图7.4.1）。

607、）。2024/9/20计算机科学与技术学院n 每每逢逢假假日日， 城城中中居居民民进进行行环环城城游游玩玩， 人人们们对对此此提提出出了了一一个个“遍遍游游”问问题题， 即即能能否否有有这这样样一一种种走走法法， 使使得得从从某某地地出出发发通通过过且且只只通通过过每每座座桥桥一一次后又回到原地呢？次后又回到原地呢？n 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 我我们们将将图图7.4.1中中的的哥哥尼尼斯斯堡堡城城的的4块块陆陆地地部部分分分分别别标标以以A， B， ， D， 将将陆陆地地设设想想为为图图的的结结点点， 而而把把桥桥画画成成相相应应的的

608、连连接接边边， 这这样样图图7.4.1可可简简化化成成图图7.4.2。 于于是是七七桥桥“遍遍游游”问问题题等等价价于于在在图图7.4.2中中， 从从某某一一结结点点出出发发找找到到一一条条回回路路， 通通过过它它的的每每条条边边一一次次且且仅仅一一次次， 并并回回到原来的结点。到原来的结点。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图7.4.1哥尼斯堡七桥问题示图7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.4.2哥尼斯保七桥问题简化图哥尼斯保七桥问题简化图7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9

609、/20计算机科学与技术学院n 定定义义 7.4.1 给给定定无无孤孤立立结结点点的的图图G， 若若存存在在一一条条经经过过G中中每每边边一一次次且且仅仅一一次次的的回回路路， 则则该该回回路路为为欧欧拉拉回回路路。 具具有有欧拉回路的图称为欧拉图。欧拉回路的图称为欧拉图。n 例例如如， 给给出出如如图图7.4.3所所示示的的两两个个图图， 容容易易看看出出， (a)是是欧欧拉拉图图， 而而(b)不是欧拉图。不是欧拉图。 n 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.4.37.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学

610、院n 定定理理 7.4.1 连连通通图图G是是欧欧拉拉图图的的充要条件是充要条件是G的所有结点的度数都是偶数。的所有结点的度数都是偶数。 n 证证明明: 必必要要性性： 设设G是是一一欧欧拉拉图图， 是是G中中的的一一条条欧欧拉拉回回路路。 当当通通过过G的的任任一一结结点点时时， 必必通通过过关关联联于于该该点点的的两两条条边边。 又又因因为为G中中的的每每条条边边仅仅出出现现一一次次， 所所以以所通过的每个结点的度数必定是偶数。所通过的每个结点的度数必定是偶数。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.4.4图图G7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉

611、图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 充分性：充分性： 我们可以这样来作一个我们可以这样来作一个闭迹闭迹， 假设它从某结点假设它从某结点A开始，开始， 沿着一沿着一条边到另一结点，条边到另一结点， 接着再从这个结点，接着再从这个结点， 沿没有走过的边前进，沿没有走过的边前进， 如此继续下去。如此继续下去。 因为我们总是沿着先前没有走过的新边走，因为我们总是沿着先前没有走过的新边走， 又由于图又由于图G的边数有限，的边数有限， 所以这个过程一所以这个过程一定会停止。定会停止。 但是，但是， 因为每一个结点都与因为每一个结点都与偶数条边关联，偶数条边关联， 而当沿而当沿前进到达结

612、点前进到达结点v 时，时， 若若vA， 走过了与走过了与v关联的奇数条关联的奇数条边，边， 这样在这样在v上总还有一条没有走过的边。上总还有一条没有走过的边。 因此，因此， 必定返回停止在必定返回停止在A（见图（见图7.4.4）。）。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 如如果果走走遍遍了了G的的所所有有边边， 那那么么我我们们就就得得到到所所希希望望的的一一条条欧欧拉拉回回路路。 如如果果不不是是这这样样， 那那么么在在上上将将有有某某一一结结点点B， 与与它它关关联联的的一一些些边边尚尚未未被被走走过过（因因G连连通通）。 但但是是， 实实际

613、际上上， 因因为为走走过过了了与与B关关联联的的偶偶数数条条边边， 因因此此不不属属于于的的与与B关关联联的的边边也也是是偶偶数数条条。 对对于于其其他他有有未未走走过过边边所所关关联联的的所所有有结结点点来来说说， 上上面面的的讨讨论论同同样样正正确确。 于于是是若若设设G1是是G的的包包含含点点B的的一一个个连连通通分分支支， 则则G1的结点全是偶数度结点。的结点全是偶数度结点。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 运运用用上上面面的的讨讨论论， 我我们们在在G1中中得得到到一一个个从从B点点出出发发的的一一条条闭闭迹迹1。 这这样样我我们们

614、就就得得到到了了一一条条更更大大的的闭闭迹迹， 它它是是从从A点点出出发发沿沿前前进进到到达达B， 然然后后沿沿闭闭迹迹1回回到到B， 最最后后再再沿沿由由B走走到到A。 如如果果我我们们仍仍然然没没有有走走遍遍整整个个图图， 那那么么我我们们再再次次把把闭闭迹迹扩扩大大， 以以此此类类推推， 直直到到最最后后得得到到一一个个欧欧拉拉回路。回路。 n 由由于于在在七七桥桥问问题题的的图图7.4.2中中， 有有个个点点是是奇奇数数度度结结点点， 故故不不存存在在欧欧拉拉回回路路， 七桥问题无解。七桥问题无解。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 在

615、在图图7.2.3中中， (a)图图的的每每个个结结点点的的度度数数都都为为， 所所以以它它是是欧欧拉拉图图；(b)图图不不是是欧欧拉拉图图。 但但我我们们继继续续考考察察(b)图图可可以以发发现现， 该该图图中中有有一一条条路路v2v3v4v5v2v1v5， 它它经经过过(b)图图中中的的每每条条边边一一次次且且仅仅一一次次， 我们把这样的路称为欧拉路。我们把这样的路称为欧拉路。 n 定定义义7.4.2 通通过过图图G的的每每条条边边一一次次且且仅仅一一次次的的路路称称为为图图G的的欧欧拉拉路路。 对对于于欧欧拉路有下面的判定方法。拉路有下面的判定方法。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔

616、顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理7.4.2 连连通通图图G具具有有一一条条连连接接结结点点vi和和vj的的欧欧拉拉路路当当且且仅仅当当vi和和vj是是G中仅有的奇数度结点。中仅有的奇数度结点。 n 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证明明: 将将边边(vi， vj)加加于于图图G上上， 令其所得的图为令其所得的图为G（可能是多重图）。（可能是多重图）。 n 由定理由定理7.4 .1知：知： n G有连接结点有连接结点vi和和vj的欧拉路，的欧拉路，n iff G有一条欧拉回路，有一条欧拉回路，n iff G的所有结点均为

617、偶度结点，的所有结点均为偶度结点， n iff G的的所所有有结结点点除除vi和和vj外外均均为为偶度结点，偶度结点，n iff vi和和vj是是G中仅有的奇度结点。中仅有的奇度结点。7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 我我国国民民间间很很早早就就流流传传一一种种“一一笔笔画画”游游戏戏。 由由定定理理7.4 .1和和定定理理7.4.2知知， 有有两两种情况可以一笔画。种情况可以一笔画。 n 1) 如如果果图图中中所所有有结结点点是是偶偶数数度度结结点点， 则可以任选一点作为始点一笔画完；则可以任选一点作为始点一笔画完；n 2) 如如果果图图中中

618、只只有有两两个个奇奇度度结结点点， 则则可可以以选选择择其其中中一一个个奇奇度度结结点点作作为为始始点点也也可可一一笔画完。笔画完。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.4.1】图图7.4.5(a)是是一一幢幢房房子子的的平平面面图图形形， 前前门门进进入入一一个个客客厅厅， 由由客客厅厅通通向向4个个房房间间。 如如果果要要求求每每扇扇门门只只能能进进出出一一次次， 现现在在你你由由前前门门进进去去， 能能否否通通过过所所有有的的门门走走遍遍所所有有的的房房间间和和客客厅厅， 然后从后门走出。然后从后门走出。 7.4欧拉图与哈密尔顿图

619、欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.4.57.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 解解: 将将4个个房房间间和和一一个个客客厅厅及及前前门门外外和和后后门门外外作作为为结结点点， 若若两两结结点点有有边边相相连连就就表表示示该该两两结结点点所所表表示示的的位位置置有有一一扇扇门门相相通通。 由由此此得得图图7.4.5(b)。 由由于于图图中中有有4个个结结点点是是奇奇度度结结点点， 故故由由定定理理7.4.2知知本本题无解。题无解。 n 类似于无向图的结论，类似于无向图的结论， 对有向图对有向图有以下结果。有以下结果。 7

620、.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理7.4.3 一一个个连连通通有有向向图图具具有有（有有向向）欧欧拉拉回回路路的的充充要要条条件件是是图图中中每每个个结结点点的的入入度度等等于于出出度度。 一一个个连连通通有有向向图图具具有有有有向向欧欧拉拉路路的的充充要要条条件件是是最最多多除除两两个个结结点点外外的的每每个个结结点点的的入入度度等等于于出出度度， 但但在在这这两两个个结结点点中中， 一一个个结结点点的的入入度度比比出出度度大大1， 另另一一个个结结点点的的入度比出度少入度比出度少1。 n 下下面面举举一一个个有有趣趣的的例例子子是是计

621、计算算机机鼓鼓轮轮的设计。的设计。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.4.2】设设一一个个旋旋转转鼓鼓的的表表面面被被分分成成16个个部部分分，如如图图7.4.6所所示示。其其中中每每一一部部分分分分别别由由导导体体或或绝绝缘缘体体构构成成，图图中中阴阴影影部部分分表表示示导导体体，空空白白部部分分表表示示绝绝缘缘体体，绝绝缘缘体体部部分分给给出出信信号号0，导导体体部部分分给给出出信信号号1。根根据据鼓鼓轮轮转转动动后后所所处处的的位位置置，4个个触触头头a，b，c，d将将获获得得一一定定的的信信息息。图图中所中所7.4欧拉图与哈密

622、尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 示示的的信信息息为为1101，若若将将鼓鼓轮轮沿沿顺顺时时针针方方向向旋旋转转一一格格，则则4个个触触头头a，b，c，d获获得得1010 。试试问问鼓鼓轮轮上上16个个部部分分怎怎样样安安排排导导体体及及绝绝缘缘体体，才才能能使使鼓鼓轮轮每每旋旋转转一一格格后后，4 个个触触头头得得到到的的每每组组信信息息（共共16组组）均均不不相相同同？这这个个问问题题也也即即为为：把把16个个二二进进制制数数字字排排成成一一个个环环形形，使使得得4个个依依次次相相连连的的数数字字所组成的所组成的16个个4位二进制数均不相同。位二进制数均不相

623、同。7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 解解: 问问题题的的答答案案是是肯肯定定的的。下下面面谈谈一一下解决这个问题的思路。下解决这个问题的思路。 n 设设i 0， 1 （i 16）。）。 每旋转一格，信号从每旋转一格，信号从1234转到转到2345，前者的右，前者的右 3 位决定了后者的位决定了后者的左左 3 位。于是，我们的想法是将这位。于是，我们的想法是将这16个个二进制数字的环形二进制数字的环形1216对应一个欧对应一个欧拉有向路，使其边依次为拉有向路，使其边依次为1234，2345，3456， （图（图7.4.7）。）。7.4欧拉图与哈

624、密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 我我们们把把234对对应应一一个个结结点点，它它是是 弧弧1234的的 终终 点点 也也 是是 弧弧2345的的始始点点。 这这样样我我们们的的问问题题就就转转化化为为以以位位二二进进制制数数为为结结点点作作一一个个有有向向图图， 再再在在图图中中找找出出欧欧拉拉回回路。路。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.4.67.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.4.7欧拉有向路示图欧拉有向路示图7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔

625、顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 构构造造一一个个有有个个结结点点的的有有向向图图G（图图7.4.8）。 其其结结点点分分别别记记为为位位二二进进制制数数000、001、010、 011、100、101、110、111。从从结结点点123出出发发可可引引出出两两条条有有向向边边，其其终终点点分分别别是是23和和23，记记这这两两条条有有向向边边为为123和和123。 这这样样图图G就就有有16条条边边。 由由于于G中中每每点点的的入入度度等等于于出出度度都都等等于于，故故在在图图中中可可找找到到一一条欧拉回路。条欧拉回路。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/2

626、0计算机科学与技术学院n 例如（仅写出边的序列）例如（仅写出边的序列）e0e1e2e4e9e3e6e13e10e5e11e7e15e14e12e8。 根据邻接边的标号记法，根据邻接边的标号记法， 这这16个二进制数可写成对应的二进制序列个二进制数可写成对应的二进制序列0000100110101111， 把这个序列把这个序列排成环状，排成环状， 与所求的鼓轮相对应，与所求的鼓轮相对应， 如如图图7.4.6所示。所示。n 该例可推广到鼓轮有该例可推广到鼓轮有n个触点个触点的情况。的情况。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院 图图7.4.8具有具有8个结

627、点的有向图个结点的有向图G2024/9/20计算机科学与技术学院n 7.4.2 哈密尔顿图哈密尔顿图n 与与欧欧拉拉回回路路类类似似的的是是哈哈密密尔尔顿顿回回路路问问题题。 它它是是1859年年哈哈密密尔尔顿顿首首先先提提出出的的一一个个关关于于12面面体体的的数数学学游游戏戏： 能能否否在在图图7.4.9中中找找到到一一个个回回路路，使使它它含含有有图图中中所所有有结结点点一一次次且且仅仅一一次次？ 若若把把每每个个结结点点看看成成一一座座城城市市，连连接接两两个个结结点点的的边边看看成成是是交交通通线线，那那么么这这个个问问题题就就变变成成能能否否找找到到一一条条旅旅行行路路线线，使使得

628、得沿沿着着该该旅旅行行路路线线经经过过每每座座城城市市恰恰好好一一次次，再再回回到到原原来来的的出出发发地地呢呢？为为此此，这这个个问问题题也被称作周游世界问题。也被称作周游世界问题。 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.4.912面体游戏示图面体游戏示图7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 对对图图7.4.9 ， 图图中中粗粗线线给给出出了了这这样的回路。样的回路。 n 定定义义 7.4.3 给给定定图图G， 若若有有一一条条路路通通过过G中中每每个个结结点点恰恰好好一一次次， 则则这这样样的的路路称称为为哈哈密密尔尔顿顿路路；若若有有

629、一一个个圈圈， 通通过过G个个每每个个结结点点恰恰好好一一次次， 这这样样的的圈圈称称为为哈哈密密尔尔顿顿回回路路（或或哈哈密密尔尔顿顿圈圈）。 具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 尽尽管管哈哈密密尔尔顿顿回回路路与与欧欧拉拉回回路路问问题题在在形形式式上上极极为为相相似似，但但是是到到目目前前为为止止还还不不知知道道一一个个图图为为哈哈密密尔尔顿顿图图的的充充要要条条件件，寻寻找找该该充充要要条条件件仍仍是是图图论论中中尚尚未未解解决决的的主主要要问问题题之之一一。下下面

630、面先先给给出出一个简单而有用的必要条件。一个简单而有用的必要条件。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理7.4.4 设设图图GV ,E是是哈哈密密尔尔顿顿图图， 则则对对于于V的的每每个个非非空空子子集集S， 均有均有n W（GS）|S|n 成立，成立， 其中其中W（GS）是图）是图GS的连通分支数。的连通分支数。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证明明: 设设是是G的的哈哈密密尔尔顿顿回回路路， S是是V的的任任一一非非空空子子集集。 在在GS中中， 最最多多被分为被分为|S|段，段

631、， 所以所以 n W（GS）|S| n 利利用用本本定定理理可可判判别别某某些些图图不不为为哈哈密密尔尔顿顿图图。 如如在在图图7.4.10中中， 若若取取Sv1， v4， 则则GS有有 3 个个连连通通分分支支， 故该图不是哈密尔顿图。故该图不是哈密尔顿图。 n 判断哈密尔顿图的充分条件很多，判断哈密尔顿图的充分条件很多， 我们仅介绍其中一个。我们仅介绍其中一个。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.4.107.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理 7.4.5 设设GV ,E是是有有n个个

632、结结点点的简单图，的简单图，n 1） 如如果果任任两两结结点点u， v V， 均均有有n deg(u)deg(v) n1， n 则在则在G中存在一条哈密尔顿路；中存在一条哈密尔顿路；n 2） 如如果果对对任任两两结结点点u， v V， 均有均有n deg(u)deg(v) n， n 则则G是哈密尔顿图。是哈密尔顿图。 证明证明 略。略。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.4.3】某某地地有有个个风风景景点点。若若每每个个景景点点均均有有两两条条道道路路与与其其他他景景点点相相通通，问问是是否否可可经经过过每每个个景景点点恰恰好一次而游

633、完这处？好一次而游完这处？n 解解 将将景景点点作作为为结结点点，道道路路作作为为边边，则则得得到到一一个个有有个个结结点点的的无无向向图。图。n 由题意，对每个结点由题意，对每个结点vi，有，有n deg(vi)2（i 5）。）。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 则则对对任任两两点点vi， vj（i， j 5）均均有有 n deg(vi)deg(vj)22451n 可可知知此此图图一一定定有有一一条条哈哈密密尔尔顿顿路路，本题有解。本题有解。 n 我我们们再再通通过过一一个个例例子子，介介绍绍一一个个判判别别哈哈密密尔尔顿顿路路不不存存在在

634、的的标标号法。号法。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.4.4】证证明明图图7.4.11所所示示的的图图没没有哈密尔顿路。有哈密尔顿路。 n 证证明明: 任任取取一一结结点点如如v1，用用A标标记记，所所有有与与它它相相邻邻的的结结点点标标B。继继续续不不断断地地用用A标标记记所所有有邻邻接接于于B的的结结点点，用用B标标记记所所有有邻邻接接于于A的的结结点点，直直到到图图中中所所有有结结点点全全部部标记完毕。标记完毕。n 如如果果图图中中有有一一条条哈哈密密尔尔顿顿路路，则则必必交交替替通通过过结结点点A和和B。因因此此或或者者结结

635、点点A和和B数目一样，或者两者相差个。数目一样，或者两者相差个。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.4.117.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 而而本本题题有有个个结结点点标标记记A，个个结结点点标标记记B，它它们们相相差差个个，所所以以该该图图不存在哈密尔顿路。不存在哈密尔顿路。 n 作作为为哈哈密密尔尔顿顿回回路路的的自自然然推推广广是是著著名名的的货货郎郎担担问问题题。问问题题是是这这样样叙叙述述的的：设设有有一一个个货货郎郎，从从他他所所在在的的城城镇镇出出发发去去n个个城城镇镇。要要

636、求求经经过过每每个个城城镇镇恰恰好好一一次次，然然后后返返回回原原地地，问问他他的的旅旅行行路路线线怎怎样样安安排排才才最最经经济济？从从图图论论的的观观点点来来看看，该该问问题题就就是是： 在在一一个个有有权权完完全全图中找一条权最小的哈密尔顿回路。图中找一条权最小的哈密尔顿回路。7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 研研究究这这个个问问题题是是十十分分有有趣趣且且有有实实用用价价值值的的。但但很很可可惜惜，至至今今没没有有找找到到一个很有效的算法。一个很有效的算法。n 当当然然我我们们可可以以用用枚枚举举法法来来解解，但但是是当当完完全全图图的

637、的结结点点较较多多时时，枚枚举举法法的的运运算算量量在在计计算算机机上上也也很很难难实实现现。下下面面介介绍绍的的“最最邻邻近近方方法法”给给出出了了问问题题的的近近似似解。最邻近方法的步骤如下：解。最邻近方法的步骤如下： n 1) 由由任任意意选选择择的的结结点点开开始始， 找找与与该该点点最最靠靠近近（即即权权最最小小）的的点点， 形形成有一条边的初始成有一条边的初始n 路径。路径。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.4.127.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 2) 设设表表示示最最新新加

638、加到到这这条条路路上上的的结结点点， 从从不不在在路路上上的的所所有有结结点点中中选选一一个个与与最最靠靠近近的的结结点点， 把把连连接接与与这这一一结结点点的的边边加加到到这这条条路路上上。 重重复复这这一步，一步， 直到直到G中所有结点包含在路上。中所有结点包含在路上。 n 3) 将将连连接接起起始始点点与与最最后后加加入入的的结结点点之之间间的的边边加加到到这这条条路路上上， 就就得得到到一个圈，一个圈， 即为问题的近似解。即为问题的近似解。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.4.5】某某流流动动售售货货员员居居住住在在城城，为

639、为推推销销货货物物他他要要访访问问，d城城后后返返回回城城。若若该该城城间间的的距距离离如如图图7.4.12所所示示，试试用用最最邻邻近近方方法法找找出出完完成成该旅行的最短路线？该旅行的最短路线？n 解解 按按最最邻邻近近方方法法一一共共有有步步，见图见图7.4.13。 得到的总距离为得到的总距离为46。 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院图7.4.137.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院n n 小小结结：本本节节介介绍绍了了两两种种特特殊殊的的图图欧拉图欧拉图n 与与哈哈密密尔尔顿顿图图及及其其判判别

640、别方方法法 。n 重重点点: 掌掌握握欧欧拉拉图图及及一一笔笔画画图图的的判判别别n 方法方法 。n 作业作业: Pg252: 1, 2,5,7 n 7.4欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图2024/9/20计算机科学与技术学院7.5 平面图(Planar Graph)n 7.5.1 平平面面图图的的定定义义(The Definition of Planar Graph)n 7.5.2 欧拉公式欧拉公式(Eulerian Formula) 2024/9/20计算机科学与技术学院n 7.5.1 平平 面面 图图 的的 定定 义义 (The Definition of Planarn Graph

641、)n 先先从从一一个个简简单单的的例例子子谈谈起起。一一个个工工厂厂有有 3 个个车车间间和和 3 个个仓仓库库。为为了了工工作作需需要要，车车间间与与仓仓库库之之间间将将设设专专用用的的车车道道。为为避避免免发发生生车车祸祸，应应尽尽量量减减少少车车道道的的交交叉叉点点，最最好好是是没没有有交交叉叉点点， 这这是否可能？是否可能？7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 如如图图7.5.1(a)所所示示， A， B， 是是 3 个个车车间间，M， ， P是是 3 座座仓仓库库。 经经过过努努力力表表明明， 要要想想建建造造不不相相交交的的道道路路是是

642、不不可可能能的的， 但但可可以以使使交交叉叉点点最最少少（如如图图7.5.1(b)）。 这这些些实实际际问问题题涉涉及及到到平平面面图图的的研研究究。 近近年年来来， 由由于于大大规规模模集集成电路的发展，成电路的发展， 也促进了平面图的研究。也促进了平面图的研究。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.5.17.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定义义 7.5.1 设设无无向向图图G=(V，E)， 如如果果能能把把G的的所所有有结结点点和和边边画画在在平平面面上上，使使得得任任何何两两条条边边除

643、除公公共共结结点点外外没没有有其其 他他 的的 交交 点点 ， 则则 称称G是是 一一 个个 平平 面面 图图(Planar Graph)或或称称该该图图能能嵌嵌入入平平面面；否则，称是一个非平面图。否则，称是一个非平面图。 n 应应当当注注意意，有有些些图图从从表表面面上上看看，它它的的某某些些边边是是相相交交的的，但但是是不不能能就就此此肯肯定定它它不不是是平平面面图图。如如图图7.5.2(a)表表面面上上看看有有几几条条边边相相交交，但但是是把把它它画画成成图图7.5.2(b)，则可以看出它是一个平面图。，则可以看出它是一个平面图。7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/

644、20计算机科学与技术学院图图7.5.2平面图示例平面图示例7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 设设G是是平平面面图图， G的的以以无无交交边边的的方方式式画画在在平平面面上上的的图图称称为为平平面面图图G的的平平面面嵌嵌入入(Imbedding)。如如图图7.5.2(b)为为图图7.5.2(a)的平面嵌入。的平面嵌入。n 显显然然，当当且且仅仅当当一一个个图图的的每每个个连连通通分分支支都都是是平平面面图图时时，这这个个图图是是平平面面图图。所所以以，在在研研究究平平面面图图性性质质时时，只只要要研研究究连连通通的的平平面面图图就就可可以以了了。

645、 故故我我们们约约定定在在本本节节中所讨论的图均为连通图。中所讨论的图均为连通图。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 关于平面图，以下两个结论是显然的。关于平面图，以下两个结论是显然的。n 定理定理7.6.1 若若G是平面图，则是平面图，则G的任的任何子图是何子图是n平面图。平面图。n 定理定理7.6.2 若若G是非平面图，则是非平面图，则G的的任何母图任何母图n是非平面图。是非平面图。n 推论推论：无向完全图：无向完全图Kn (n5)和图和图7.5.1中的两中的两n个图都是非平面图。个图都是非平面图。7.5 平面图(Planar Graph)

646、2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定义义 7.5.2 设设G=V, E是是一一个个连连通通平平面面图图。将将G嵌嵌入入平平面面后后，由由G的的边边将将G所所在在的的平平面面划划分分为为若若干干个个区区域域，每每个个区区域域称称为为G的的一一个个面面(Face)。其其中中面面积积无无限限的的面面称称为为无无限限面面或或外外部部面面(Exterior Face)，面面积积有有限限的的面面称称为为有有限限面面或或内内部部面面(Interior Face)。包包围围每每个个面面的的所所有有边边组组成成的的回回路路称称为为该该面面的的边边界界(Bound)，边边界界长长度度称称为为该该面面 的

647、的 次次 数数 (Degree)， 面面R的的 次次 数数 记记 为为deg(R)。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 面面的的概概念念也也可可以以用用下下面面形形象象的的说说法法加加以以描描述述： 假假设设把把一一个个平平面面图图画画在在平平面面上上， 然然后后用用一一把把小小刀刀， 沿沿着着图图的的边边切切开开， 那那么么平平面面就就被被切切成成许许多多块块， 每每一一块块就就是是图图的的一一个个面面。 更更确确切切地地说说， 平平面面图图的的一一个个面面就就是是平平面面的的一一块块， 它它用用边边作作边边界线，界线， 且不能再分成更小的块

648、。且不能再分成更小的块。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.5.3有限面和无限面示例有限面和无限面示例7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 如如图图7.5.3的的图图有有7个个结结点点、8条条边边，它它把把平平面面分分成成三三个个面面：R1，R2，R3。其其中中R2由由回回路路v1v4v7v1 所所围围，R1由由回回路路v1v2v3v4v5v6v5v4v1所所围围，而而R3在在图图形形之之 外外 ， 称称 为为 无无 限限 面面 ， 它它 由由 回回 路路v1v2v3v4v7v1所围，所以所围，

649、所以deg(R1) =8 ，n deg(R2) =3 ，deg(R3) =5。n 一一般般地地说说， 如如果果一一个个面面的的面面积积是是有有限限的的， 称称该该面面为为有有限限面面； 否否则则， 称称为为无无限限面面。 显显然然， 平平面面图图恰恰有有一一个个无无限限面。面。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院7.5 平面图(Planar Graph)n 定定理理 7.5.3 一一个个有有限限平平面面图图，其其面的次数之和等于其边数的两倍，即面的次数之和等于其边数的两倍，即n其中，其中，r是是G的面数，的面数，m为边数。为边数。 n 证证明明 因

650、因任任何何一一条条边边，或或者者是是两两个个面面的的公公共共边边，或或者者是是在在一一个个面面中中作作为为边边界界被被重重复复计计算算两两次次。 故故面面的的次次数数之之和和等等于于其其边数的两倍。边数的两倍。 n 如如在在图图7.5.3中中， ， 这正好是边数的两倍。这正好是边数的两倍。 2024/9/20计算机科学与技术学院n 7.5.2 欧拉公式欧拉公式n 1750年年欧欧拉拉发发现现，任任何何一一个个凸凸多多面面体体的的顶顶点点数数n 、棱棱数数m和和面面数数r之之间间满满足关系式足关系式n nmr = 2 n 这这就就是是著著名名的的欧欧拉拉公公式式。这这个个结结论论也也可以推广到平

651、面图上来。可以推广到平面图上来。 n 定定理理 7.5.4 设设有有连连通通平平面面图图G， 它它共共有有n个个结结点点、 m条条边边和和r个个面面， 则则有有欧拉公式欧拉公式 n nmr2 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n证明证明 对对G的边数的边数m进行归纳。进行归纳。n 若若m0， 由由于于G是是连连通通图图， 故故必必有有n1。 这这时时只只有有一一个个无无限限面面， 即即r1。n 所以有所以有 nmr1012。 n 若若m1， 这时有两种情况：这时有两种情况： n 1) 该该边边是是自自回回路路， 则则有有n1， r2。 n 所以所以

652、 nmr1122。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 2) 该该边边不不是是自自回回路路， 则则有有n2， r1。 n 所以所以 nmr2112。 n 假假设设对对小小于于m条条边边的的所所有有图图， 欧欧拉拉公公式式成成立立。 现现考考虑虑m条条边边的的图图G， 设它有设它有n个结点。个结点。 n 分两种情况讨论：分两种情况讨论：7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 1) 若若G是是树树， 那那么么mn1， 这这时时r1。 所所以以 nmrn(n1)12 。n 2) 若若G不不是是树树， G中中必

653、必有有圈圈， 设设a是是某某圈圈的的一一条条边边， 则则图图Ga仍仍是是连连通通平平面面图图， 它它有有n个个结结点点、m1条条边边和和r1个面，个面， 按归纳假设知按归纳假设知n n(m1)(r1)2n 整理得整理得 nmr2.n 所所以以对对m条条边边的的连连通通平平面面图图， 欧欧拉拉公公式也成立。式也成立。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理 7.5.5 设设G是是一一个个有有n个个结结点点m条条边边的的简简单单连连通通平平面面图图， 若若n3， 则有则有 n m3n6 n 证证明明 设设G有有k个个面面， 因因为为每每个个面面

654、至至少少由由3条条边边围围成成， 所所以以G的的各各面面次次数数之和之和由定理由定理7.5.4知，知，2m3k，即，即7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院即即整理得整理得7.5 平面图(Planar Graph)代入欧拉公式有代入欧拉公式有2024/9/20计算机科学与技术学院n 推论推论 K5是非平面图。是非平面图。 n 证证明明 K5如如图图7.5.4，这这里里n5，m10， n 而而 3n6356910 n 所以所以K5不是平面图。不是平面图。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.5.4图图K

655、57.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理 7.5.6 若若G是是每每个个面面由由4条条或或4条以上的边围成的连通平面图，条以上的边围成的连通平面图， 则有则有n m2n4 n 其中其中m和和n分别是分别是G的边数和结点数。的边数和结点数。 n 证明证明 设设G有有k个面。个面。 由题设知，由题设知， 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院整理得整理得m2n4.7.5 平面图(Planar Graph)所以所以2m4k，即即 ，代入欧拉公式有代入欧拉公式有2024/9/20计算机科学与技术学院n 推推

656、论论 K3,3 (如如图图7.5.1(a)所所示示)不不是平面图。是平面图。 n 证证明明 因因在在K3,3中中任任取取3个个结结点点，至至少少有有 2 个个结结点点不不邻邻接接，故故每每个个面面的的次次数数不不小小于于4。而而在在K3,3中中， n=6， m=9， 于是于是n 2n426489n 故故K3,3不是平面图。不是平面图。 n 我我们们称称K3,3和和K5为为库库拉拉托托夫夫斯斯基基（Kuratowski）图。）图。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.5.17.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与

657、技术学院n 定定义义 7.5.3 如如果果两两个个图图G1和和G2是是同同构构的的，或或者者通通过过反反复复插插入入或或删删去去度度数数为为2的的结结点点后后是是同同构构的的，则则称称G1和和G2同胚的同胚的。 n 如如图图7.5.5中中(a)、 (b)中中的的两两个个图图都都是是同同胚胚的的。 若若G1是是平平面面图图， 而而G2与与G1同同胚胚，则则G2也也是是一一个个平平面面图图。 即即一一个个图图变变成成与与它它同同胚胚的的图图不不会会影影响响图图的的平平面性。面性。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.5.5同胚图同胚图7.5 平面

658、图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.5.6示例图示例图G7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理 7.5.7 （库库拉拉托托夫夫斯斯基基定定理理) 一一个个图图是是一一个个平平面面图图的的充充要要条条件件是是它它不不包含与包含与K3,3或或K5同胚的子图。同胚的子图。 n 例例如如图图7.5.6的的图图G不不是是平平面面图图，因因为为G包包含含与与K3,3同同胚胚的的子子图图。这这个个定定理理虽虽然然给给出出了了判判断断平平面面图图的的充充要要条条件件，结结果果是是漂漂亮亮的的，但但实实际际上上要要用用

659、于于判判断断比比较较复杂的图是否是平面图还是很困难。复杂的图是否是平面图还是很困难。 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院n 小小结结：本本节节介介绍绍了了平平面面的的图图概概念念及及其其性质。性质。 n 重重点点: 掌掌握握平平面面图图的的欧欧拉拉公公式式和和平平面面图图n 及非平面图的判别方法及非平面图的判别方法 。n 作业作业: Pg267: 1, 3,6 n 7.5 平面图(Planar Graph)2024/9/20计算机科学与技术学院7.6 树与生成树(Trees and Spanning Trees) n 7.6.1 无向树无向树(Un

660、directed Trees) n 7.6.2无无向向图图中中的的生生成成树树与与最最小小生生成成树树(Spanning Trees and Minimal Spanning Trees ) 2024/9/20计算机科学与技术学院7.6.1 无向树(Undirected Trees) n 树树是是图图论论中中的的一一个个重重要要概概念念。早早在在1847年年克克希希霍霍夫夫就就用用树树的的理理论论来来研研究究电电网网络络， 1857年年凯凯莱莱在在计计算算有有机机化化学学中中2H2n+2的的同同分分异异构构物物数数目目时时也也用用到到了了树树的的理理论论。 而而树树在在计计算算机机科科学学中中

661、应应用用更更为为广广泛泛。本本节节介介绍绍树树的的基基本本知知识，识， 其中谈到的图都假定是简单图。其中谈到的图都假定是简单图。 2024/9/20计算机科学与技术学院n n 定定义义7.6.1 一一个个连连通通无无圈圈无无向向图图称称为为无无向向树树(简简称称为为树树)。记记作作T。树树中中度度数数为为1的的结结点点称称为为树树叶叶（或或终终端端结结点点）， 度度数数大大于于的的结结点点称称为为分分枝枝点点（或或内内点点，或或非终端结点）。一个无圈图称为森林。非终端结点）。一个无圈图称为森林。 n 显显然然若若图图G是是森森林林，则则G的的每每个个连连通通分分支支是是树树。如如图图7.6.1

662、(a)所所示示的的是是一一棵棵树；树；(b)所示的是森林。所示的是森林。 7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.6.1树和森林示意图树和森林示意图7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n n【例例7.6.1】判判断断图图 7.6.2中中各各图图是是否否为树为树.图图7.6.27.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证：因因为为T是是一一棵棵n2的的（n， m）树，树，

663、所以由定理所以由定理7.4.1， 有有若若T中的无树叶，中的无树叶，则则T中每个顶点的度数中每个顶点的度数2,则则deg(vi)2n,（2）(1)定理定理7.6.1任一树任一树T中中,至少有两片树叶至少有两片树叶(n2时时)。7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院若若T中中只只有有一一片片树树叶叶，则则T中中只只有有一一个个结结点点度度数数为为1,其它结点度数其它结点度数2,所以所以(3)(2),(3)都与都与(1)矛盾。所以矛盾。所以T中至少有两片树叶。中至少有两片树叶。7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpa

664、nningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定理定理7.6.2一个无向图（一个无向图（n, m）图）图T是树是树,当当且仅当下列且仅当下列5条之一成立。条之一成立。(或者说或者说,这这5条的任条的任一条都可作为树的定义。一条都可作为树的定义。)n (1)无圈且无圈且m=n-1。n (2) 连通且连通且m=n-1。n (3)无无圈圈,但但增增加加任任一一新新边边,得得到到且且仅仅得得到到一一个圈。个圈。n (4)连通但删去任一边连通但删去任一边,图便不连通图便不连通(n2)。n (5)每每一一对对结结点点间间有有唯唯一一的的一一条条通通路路。(n2)。n 7.6树与生成树树与

665、生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n 证证:(1)证证明明由由树树的的定定义义可可知知T无无圈圈。下证下证m=n-1。n 对对n作归纳。作归纳。n n=1时时,m=0,显然显然m=n-1。n 假假设设n=k时时命命题题成成立立,现现证证明明n=k+1时也成立。时也成立。n 由于树是连通而无圈由于树是连通而无圈,所以至少有一所以至少有一个度数为个度数为1的结点的结点v,在在T中删去中删去v及其关联边及其关联边,便得到便得到k个结点的连通无圈图。由归纳假设个结点的连通无圈图。由归纳假设它有它有k-1条边。再将顶点条边。再将顶点v及其关联边加回

666、得及其关联边加回得到原图到原图T,所以所以T中含有中含有k+1个顶点和个顶点和k条边条边,符合公式符合公式m=n-1。n 所以树是无圈且所以树是无圈且m=n-1的图。的图。7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n (2)证明由第证明由第(1)条可推出第条可推出第(2)条。条。n 用反证法。若图不连通用反证法。若图不连通,设设T有有k个连通个连通分支分支(k2)T1,T2,Tk,其结点其结点数分数分别是是n1,n2,nk,边数分数分别为m1,m2,mk,于是于是得出矛盾。所以得出矛盾。所以T是连通且是连通且m=n-1的图。的

667、图。7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n (3)证明由第证明由第(2)条可推出第条可推出第(3)条。条。n 首先证明首先证明T无圈。对无圈。对n作归纳证明。作归纳证明。n n=1时时,m=n-1=0,显然无圈。显然无圈。n 假设结点数为假设结点数为n-1时无圈时无圈,今考察结点数今考察结点数是是n的情况。此时至少有一个结点的情况。此时至少有一个结点v其度数其度数deg(v)=1。我们删去。我们删去v及其关联边得到新图及其关联边得到新图T,根据归纳假设根据归纳假设T无圈无圈,再加回再加回v及其关联边又得到及其关联边又得到

668、图图T,则则T也无圈。也无圈。n 其次其次,若在连通图若在连通图T中增加一条新边中增加一条新边(vi, vj ),则则由于由于T中由中由vi到到vj存在一条通路存在一条通路,故必有一个圈通故必有一个圈通过过vi, vj 。若这样的圈有两个，则去掉。若这样的圈有两个，则去掉(vi, vj ), T中必存在通过中必存在通过vi, vj的圈，与的圈，与T无圈矛盾。故加上无圈矛盾。故加上边边(vi, vj )得到一个切仅一个圈。得到一个切仅一个圈。7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n (4)证明由第证明由第(3)条可推出第条可

669、推出第(4)条。条。n 若图不连通若图不连通,则存在两个结点则存在两个结点vi和和vj,在在vi和和vj之间没有路之间没有路,若加边若加边(vi,vj)不会产生简单回不会产生简单回路（圈）路（圈）,但这与假设矛盾。由于但这与假设矛盾。由于T无圈无圈,所以删所以删去任一边去任一边,图便不连通。图便不连通。n (5) 证明由第证明由第(4)条可推出第条可推出第(5)条。条。n 由连通性知由连通性知,任两点间有一条路径任两点间有一条路径,于是于是有一条通路。若此通路不唯一有一条通路。若此通路不唯一,则则T中含有简单中含有简单回路回路,删去此回路上任一边删去此回路上任一边,图仍连通图仍连通,这与假设这

670、与假设不符不符,所以通路是唯一的。所以通路是唯一的。7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n (6) 证明由第证明由第(5)条可推出树的定义。条可推出树的定义。n 显然连通。若有圈显然连通。若有圈,则圈上任意两点间则圈上任意两点间有两条通路有两条通路,此与通路的唯一性矛盾。证毕。此与通路的唯一性矛盾。证毕。n 由由定定理理7.5.2所所刻刻画画的的树树的的特特征征可可见见： 在在结结点点数数给给定定的的所所有有图图中中， 树树是是边边数数最最少少的的连连通通图图， 也也是是边边数数最最多多的的无无圈圈图图。 由由此此可可知

671、知， 在在一一个个（n， m）图图G中中， 若若mn1， 则则G是不连通的；是不连通的； 若若mn1， 则则G必定有圈。必定有圈。7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.6.2】T是是一一棵棵树树,有有两两个个2度度结结点点，一一个个3度结点，三个度结点，三个n 4度结点，度结点，T有几片树叶？有几片树叶？n 解：解： 设树设树T有有x片树叶，则片树叶，则T的结点数的结点数n n=2+1+3+xn T的边数的边数n m=n-1=5+xn 又由又由n 得得 2 （5+x）=22+31+43+xn 所以所以x=9，

672、即树，即树T有有9片树叶。片树叶。7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n 7.6.2无无向向图图中中的的生生成成树树与与最最小小生生成成树树(Spanning Trees and Minimal Spanning Trees )n 定定义义7.6.2 若若无无向向(连连通通图图)G的的生生成成子子图图是是一一棵棵树树，则则称称该该树树是是G的的生生成成树树，记记为为TG。生生成成树树TG中中的的边边称称为为树树枝枝。图图G中中其其它它边边称称为为TG的的弦弦。 所所有有这这些些弦弦的的集合称为集合称为TG的补。的补。 n

673、 如如图图7.6.3中中(b)、(c)所所示示的的树树T1、T2是是(a)图图的的生生成成树树，而而(d)所所示示的的树树T3不不是是(a)图图的的生生成成树树。一一般般的的，图图的生成树不唯一。的生成树不唯一。 2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.6.3考虑生成树考虑生成树T1，可知，可知e1，e2，e3，e4是是T1的树枝，的树枝，e5，e6，e7是是T1的弦，集合的弦，集合e5，e6，e7是是T1的的补。生成树有其一定的实际意义。补。生成树有其一定的实际意义。7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例

674、7.6.3】某某地地要要兴兴建建5个个工工厂厂，拟拟修修筑筑道道路路连连接接这这5处处。经经勘勘测测其其道道路路可可依依如如图图7.6.3(a)图图的的无无向向边边铺铺设设。为为使使这这5处处都有道路相通，问至少要铺几条路？都有道路相通，问至少要铺几条路？n 解解 这这实实际际上上是是求求G的的生生成成树树的的边边数数问题。问题。 n 一一般般情情况况下下，设设连连通通图图G有有n个个结结点点，m条条边边。由由树树的的性性质质知知，T有有n个个结结点点，n1条树枝，条树枝， mn1条弦。条弦。 n 在在图图7.6.3(a)中中，n5，则则n1514， 所以至少要修条路才行。所以至少要修条路才行

675、。 7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定义义7.6.3 设设G=V , E是是一一连连通通的的有有权权图图，则则G的的生生成成树树TG为为带带权权生生成成树树, TG的的树树枝枝所所带带权权之之和和称称为为。生生成成树树TG的的权权,记记为为C(TG ) 。G中中具具有有最最小小权权的的生生成成树树TG称称为为G的最小生成树。的最小生成树。 n 求最小生成树问题是有实际意义的。求最小生成树问题是有实际意义的。 n 如如要要建建造造一一个个连连接接若若干干城城市市的的铁铁路路网网络络，已已知知城城市市vi和和vj之

676、之间间直直达达铁铁路路的的造造价价，设设计计一一个个总总造造价价为为最最小小的的铁铁路路网网络络，就就是是求求最小生成树最小生成树TG。 n 下下 面面 介介 绍绍 求求TG的的 克克 鲁鲁 斯斯 克克 尔尔（Kruskal)算法。算法。 7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n 此此方方法法又又称称为为“避避圈圈法法”。 其其要要点点是是， 在在与与已已选选取取的的边边不不成成圈圈的的边边中中选选取取最小者。最小者。 具体步骤如下：具体步骤如下： n 1) 在在G中中选选取取最最小小权权边边， 置置边边数数i1。 n 2

677、) 当当in1时时， 结结束束。 否否则则， 转转3)。 n 3) 设设已已选选择择边边为为 e1, e2, , ei，在在G中中选选取取不不同同于于e1, e2, , ei 的的边边 ei+1, 使使 e1, e2, , ei ,ei+1无无圈圈且且ei+1是是满满足此条件的最小权边。足此条件的最小权边。 n 4) 置置i为为i1， 转转2)。 7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.6.4】求求图图7.6.4(0)中中有有权权图图的的最最小生成树。小生成树。 n 解解: 因因为为 图图中中n8， 所所以以按

678、按算算法法要要执执行行n17次次， 其其过过程程见见图图7.6.4中中(1)(7)。 7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院图7.6.47.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.6.5】求求图图7.6.5中中有有权权图图G的的最最小小生成树。生成树。 n 解解: 因因为为 图图中中n8，所所以以按按算算法法要要执执行行n17次。次。 图7.6.57.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科

679、学与技术学院n 【例例7.6.6】图图7.6.6所所示示的的赋赋权权图图G表表示示七七个个城城市市a,b,c,d,e,f,g及及架架起起城城市市间间直直接接通通讯讯线线路路的的预预测测造造价价。试试给给出出一一个个设设计计方方案案使使得得各各城城市市间间能能够够通通讯讯且且总总造造价价最最小小,并并计计算算出出最最小小造造价价。n 图图7.6.67.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n n 解解:该该问问题题相相当当于于求求图图的的最最小小生生成成树树问问题题，此此图图的的最最小小生生成成树树为为图图7.6.6中中的的TG

680、 ,因因此此如如图图TG架架线线使使各各城城市市间间能能够够通通讯讯，且且总总造造价最小，最小造价为：价最小，最小造价为：n()7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanningTrees)2024/9/20计算机科学与技术学院n n 小小结结：本本节节介介绍绍了了树树、生生成成树树和和最最小小生生成成树树的的概概念念、树树的的六六种种等等价价定定义义及及最最小小生生成树的求法。成树的求法。n 重重点点: 掌掌握握六六种种等等价价定定义义及及最最小小生生成成树树的求法。的求法。n 作业作业: Pg273： 2, 4, 5n 7.6树与生成树树与生成树(TreesandSpanning

681、Trees)2024/9/20计算机科学与技术学院7.7 根树及其应用(Rooted Trees and Its Applications)n7.7.1 有向树有向树(directed tree )n7.7.2 m叉树叉树(m-ary tree ) n7.7.3 最最优优二二叉叉树树(optimal binary tree )n 2024/9/20计算机科学与技术学院7.7.1 有向树(directed tree )n 图图7.7.12024/9/20计算机科学与技术学院7.7.1 有向树(directed tree )n 定定义义 7.7.1 一一个个有有向向图图， 若若不不考考虑虑边边的的

682、方方向向， 它它是是一一棵棵树树， 则则这这个个有有向向图图称称为为有有向向树树。 一一棵棵有有向向树树， 如如果果恰恰有有一一个个结结点点的的入入度度为为， 其其余余所所有有结结点点的的入入度度都都为为， 则则称称为为根根树树， 其其中中入入度度为为的的结结点点称称为为树树根根， 出出度度为为的的结结点点称称为为树树叶叶， 出出度度不不为为的的结结点点称为分枝点或内点。称为分枝点或内点。 2024/9/20计算机科学与技术学院n 如如图图7.7.2(a)表表示示一一棵棵根根树树， 其其中中v1为为树树根根， v1， v2， v3为为分分枝枝点点， 其其余余结结点点为为树树叶叶。 习习惯惯上上

683、我我们们把把根根树树的的根根画画在在上上方方， 叶叶画画在在下下方方。 这这样样就就可可以以省省去去根根树树的的箭箭头头， 如如图图7.7.2(b)。 在在根根树树中中， 称称从从树树根根到到结结点点v的的距距离离为为该该点点的的层层次次。 这这样样对对图图7.7.2中中的的根根树树， v1的的层层次次为为， v2、 v3的的层层次次为为， 其其余余结结点点的的层层次次均均为为。 我我们们用用家家族族关关系系表表示示根树中各结点的关系。根树中各结点的关系。 7.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院图图7.7.2根树示例根树示例7.7根树及其应用根树及其应用2024/

684、9/20计算机科学与技术学院n 定定义义7.7.2 在在根根树树中中， 若若从从vi到到vj可可达达， 则则称称vi是是vj的的祖祖先先， vj是是vi的的后后代代； 又又若若vi， vj是是根根树树中中的的有有向向边边， 则则称称vi是是vj的的父父亲亲， vj是是vi的的儿儿子子； 如如果果两两个个结结点点是是同同一一结结点点的的儿儿子子， 则则称称这这两两个个结结点点是兄弟。是兄弟。 n 定定义义7.7.3 在在根根树树中中， 任任一一结结点点v及及其其v的的所所有有后后代代和和从从v 出出发发的的所所有有有有向向路路中中的的边边构构成成的的子子图图称称为为以以v为为根根的的子子树树。

685、根根树树中中的的结结点点u的的子子树树是是以以u的的儿儿子子为为根根的的子树。子树。 n7.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院n 在在现现实实的的家家族族关关系系中中， 兄兄弟弟之之间间是是有有大大小小顺顺序序的的， 为为此此我我们们又又引引入入有有序序树的概念。树的概念。n 定定义义7.7.4 如如果果在在根根树树中中规规定定了了每每一一层层次次上上结结点点的的次次序序， 这这样样的的根根树树称称为为有有序序树树。 我我们们在在有有序序树树中中规规定定同同一一层层次结点的次序是从左至右。次结点的次序是从左至右。 n 7.7根树及其应用根树及其应用2024/9/2

686、0计算机科学与技术学院n 7.7.2 m叉树叉树(m-ary tree )n 在在树树的的实实际际应应用用中中， 我我们们经经常常研研究究完完全全m叉树。叉树。 n 定定义义7.7.5 在在根根树树中中， 若若结结点点的的最最大大出出度度等等于于m， 则则称称这这棵棵树树为为m叉叉树树。 如如果果每每个个结结点点的的出出度度恰恰好好等等于于或或m， 则则称称这这棵棵树树为为完完全全m叉叉树树。 二二叉叉树树(binary tree )的的每每个个结结点点v 至至多多有有两两棵棵子子树树， 分分别别称称为为v的左子树和右子树。的左子树和右子树。 2024/9/20计算机科学与技术学院图7.7.3

687、2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.7.1】甲、甲、 乙两人进行球赛，乙两人进行球赛， 规定三局两胜。规定三局两胜。 图图7.7.4表示了比赛可表示了比赛可能出现的各种情况（图中结点标甲者能出现的各种情况（图中结点标甲者表示甲胜，表示甲胜， 标乙者表示乙胜），标乙者表示乙胜）， 这是这是一棵完全二叉树。一棵完全二叉树。n 图图7.7.47.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院n 定定理理7.7.1 在在完完全全m叉叉树树中中， 若若树树叶叶数数为为 t， 分枝点数为分枝点数为 i， 则则n (m-1)it- n 证明证明: 由假设知，由假设知， 该树

688、有该树有 i+t 个结点，个结点， n 由由定定理理7.6.2知知， 该该树树边边数数为为 i+t -。 n 因因为为所所有有结结点点出出度度之之和和等等于于边边数数所以根据完全所以根据完全m叉树的定义知，叉树的定义知， n mi i+t -n 即即 (m-1)it- 7.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.7.2】假假设设有有一一台台计计算算机机， 它它有有一一条条加加法法指指令令， 可可计计算算 3 个个数数之之和和。 如如果果要要求求 9 个个数数x1， x2， ， x9之之和和， 问至少要执行几次加法指令？问至少要执行几次加法指令？n 解解:

689、用用 3 个个结结点点表表示示 3 个个数数， 把把 9 个个数数看看成成树树叶叶， 将将表表示示 3 数数之之和和的的结结点点作作为为它它们们的的父父亲亲结结点点。 这这样样本本问问题题可可理理解解为为求求一一个个完完全全三三叉叉树树的的分分枝枝点点的的个数问题。个数问题。 7.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院n 由由定定理理7.7.1知知， 有有 (-)i-n 得得 in 所以要执行所以要执行 4 次加法指令。次加法指令。 n 图图7.7.5表示了两种可能的顺序。表示了两种可能的顺序。 7.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院图7

690、.6.57.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.7.3】设设有有2828盏盏灯灯，拟拟公公用用一一个个电电源，则至少需要源，则至少需要多少个多少个4插头的接线板插头的接线板 ? n 解解:把把 28盏盏灯灯看看成成树树叶叶， 将将4插插头头的的接接线线板板看看成成分分枝枝点点, 这这样样本本问问题题可可理理解解为为求求一一个个完全四叉树的分枝点的个数完全四叉树的分枝点的个数 i的问题。的问题。 n 由定理由定理7.7.1知，知， 有有 (4-)i28-1n 得得 i9n 所以所以至少需要至少需要9个个4插头的接线板插头的接线板 。 7.7根树及其应用根

691、树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.7.4】 8 枚枚硬硬币币问问题题。 若若有有 8 枚枚硬硬币币a， b， c， d， e， f， g， h， 其其中中 7 枚枚重重量量相相等等， 只只有有 1 枚枚稍稍轻轻。 现现要要求求以以天天平为工具，平为工具， 用最少的比较次数挑出轻币来。用最少的比较次数挑出轻币来。 n 解解: 可用图可用图7.7.6所示的树表示判断过程。所示的树表示判断过程。 n 从从图图中中可可知知， 只只需需称称 2 次次即即可可挑挑出出轻轻币币。 这这种种用用于于描描述述判判断断过过程程的的树树叫叫判判定定树。树。 7.7根树及其应用根树及其应用

692、2024/9/20计算机科学与技术学院图7.7.67.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院n 7.7.3 最最优优二二叉叉树树(optimal binary tree )n 定定义义7.7.6 设设有有一一棵棵二二叉叉树树， 有有片片树树叶叶。 使使其其树树叶叶分分别别带带权权w1， w2， ， wt的二叉树称为带权的二叉树。的二叉树称为带权的二叉树。 n 定定义义7.7.7 设设有有一一棵棵带带权权w1， w2， ， wt的的二二叉叉树树, 权权为为wi的的树树叶叶的的层层为为（wi）。）。 n 1) 该带权二叉树的权该带权二叉树的权W（T）定义为）定义为2)在所

693、有带权在所有带权w1，w2，wt的二叉树中，的二叉树中，W(T)最最小的树称为最优二叉树。小的树称为最优二叉树。2024/9/20计算机科学与技术学院n 1952年年哈哈夫夫曼曼给给出出了了求求带带权权w1， w2， ， wt的最优树的方法的最优树的方法: n 令令S=w1，w2，wt，w1w2wt， wi是是 树树 叶叶vi所所 带带 的的 权权（i=1，2，t）。）。n （1）在在S中中选选取取两两个个最最小小的的权权wi，wj，使使它它们们对对应应的的顶顶点点vi，vj做做兄兄弟弟，得得一一分分支支点点vij，令其带权，令其带权n wij =wi+wj。n （2）从）从S中去掉中去掉wi

694、，wj，再加入，再加入wij 。n （3）若）若S中只有一个元素，则停止，否则中只有一个元素，则停止，否则转到转到(1)。 n 7.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院n 【例例7.7.5】求求带带权权7， 8， 9， 12， 16的最优树。的最优树。 n 解解: 全部过程见图全部过程见图7.7.13(a)(d)。 7.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院图7.7.132024/9/20计算机科学与技术学院n n 小小结结：本本节节介介绍绍了了有有向向树树、根根树树、m叉叉树树、完全完全n m叉叉树树、二二叉叉树树、带带权权树树、树树的的

695、权权、最优最优n 二二叉叉树树等等概概念念及及完完全全m叉叉树树的的枝枝结结点数和点数和n 叶叶结结点点数数之之间间的的关关系系和和最最优优二二叉叉树树的的n Huffman算法。算法。n 重重点点：掌掌握握完完全全m叉叉树树的的枝枝结结点点数数和和叶叶结结点点数数之之间间的的关关系系及及应应用用和和最最优优二二叉叉树树的的Huffman算法。算法。n 作业作业: Pg283： 1，4 7.7根树及其应用根树及其应用2024/9/20计算机科学与技术学院综合练习 n 1. 试试找找出出附附图图的的一一个个真真子子图图、 生成子图，生成子图， 并找出它们的补图。并找出它们的补图。 n 2. 对对

696、于于（n， n）图图G， 证证明明G至至少少有有一一个个结结点点的的度度数数大大于于等等于于3。 n 3. 证明附图中两个图同构。证明附图中两个图同构。 2024/9/20计算机科学与技术学院第第1题题附图附图第第3题题附图附图综合练习 2024/9/20计算机科学与技术学院n *4. 证证明明任任意意的的9个个人人中中一一定定有有3个个人人互相认识或者有互相认识或者有4个人互相不认识。个人互相不认识。 n 5.设设G是是有有n个个结结点点的的简简单单图图。 如如果果G中中每每一一对对结结点点度度数数之之和和大大于于或或等等于于n， 那么那么G是连通图。是连通图。n 6.对对于于任任何何简简单

697、单图图G， 证证明明或或者者G是是连连通的，通的， 或者或者G的补的补G 是连通的。是连通的。 综合练习综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n *7. 用用迪迪克克斯斯特特拉拉算算法法求求附附图图中中从从点点a到到其其它它各各结结点点的的最最短短路路径径， 并并用用图图示示表示算法中每一次的执行情况。表示算法中每一次的执行情况。 第第7题题附图附图综合练习综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n 8. 已知图已知图G的邻接矩阵如下的邻接矩阵如下请画出请画出G的图形。的图形。综合练习综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n 9. 求求出出附附图图中中有有向向图图的的邻邻

698、接接矩矩阵阵A， 找找出出从从1到到4长长度度为为2和和4的的路路， 用用计计算算A2， A3， A4来来验验证证这这一一结结论论。 并并求求出出该该图的可达性矩阵。图的可达性矩阵。 n 第第9题题附图附图综合练习综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院n 10. 判判断断附附图图中中两两图图是是否否能能一一笔笔画。画。 n 11. 如如附附图图所所示示，4个个村村庄庄下下面面各各有有一一个个防防空空洞洞A， B，C，D，相相邻邻的的两两个个防防空空洞洞之之间间有有地地道道相相通通， 并并且且每每个个防防空空洞洞各各有有一一条条地地道道与与地地面面相相通通。能能否否安安排排一一条条路路线线，使使得得每每条条地地道道恰恰好好走走过一次，既无重复也无遗漏？过一次，既无重复也无遗漏？n 12. 附图中的图附图中的图G是否是哈密尔是否是哈密尔顿图。顿图。n 13. 完全图完全图Kn是否是欧拉图，是否是欧拉图， 是否是哈密尔顿图。是否是哈密尔顿图。综合练习综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院第第10题题附图附图第第11题题附图附图(表示地道表示地道)综合练习综合练习2024/9/20计算机科学与技术学院第第12题题附图附图综合练习综合练习