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1、1章章 函数、极限与连续函数、极限与连续v1.1 函数的概念与简单性质函数的概念与简单性质v1.2 数列的极限数列的极限v1.3 函数的极限函数的极限v1.4 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量v1.5 函数的连续性函数的连续性 1.1 函数的概念与简单性质函数的概念与简单性质v1.1.1 集合、常量与变量集合、常量与变量v1.1.2 函数的概念函数的概念v1.1.3 函数的简单性质函数的简单性质v1.1.4 反函数和复合函数反函数和复合函数v1.1.5 初等函数初等函数1.1.1 集合、常量与变量集合、常量与变量(1)v1. 集合具有某种特定性质事物的总体叫做集合. 组成这个集合的事物称为
2、该集合的元素. 一般用大写字母A、B、C、表示集合，用小写字母a、b、c、表示集合中的元素. 有限集；无限集.;空集，空集用 表示. 常见的数集有：全体自然数的集合记作N、全体整数的集合记作Z、全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R. ： ，集合的运算主要有：v集合的并：v集合的交：集合运算满足交换律、结合律、分配律等一系列性质. 1.1.1 集合、常量与变量集合、常量与变量(2)v2. 区间与邻域区间:开区间(a,b); 闭区间a,b; 半开区间a,b);邻域: 以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记为 v3. 常量与变量常量与变量在任何一个生产过程或科学实验过程中，常常会遇到各种不同
3、的量，其中有些量在过程中不起变化，也就是保持一定数值的量，这种量叫做常量；还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同数值的量，这种量叫做变量图1.11.1.2 函数的概念函数的概念v定义定义设和是两个变量，是一个给定的数集. 如果对于每一个，变量按照一定的法则(或关系)总有唯一确定的数值与它对应，则称是的函数，记为. 称为自变量，称为因变量(或函数)，数集称为这个函数的定义域，而因变量的变化范围称为函数的值域.函数中表示对应关系的记号也可以用 、 等其他字母表示，此时函数记作 、 等. 分段函数分段函数，即用几个式子分段来表示一个函数. 1.1.3 函数的简单性质（函数的简单性质（1）v1
4、. 单调性单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 从图形上看，单调增加函数表现为曲线从左到右上升，单调减少函数表现为曲线从左到右下降. 图1.5 图1.6 图1.7 图1.8 1.1.3 函数的简单性质（函数的简单性质（2）v2. 奇偶性奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点是对称的，且对于任何xD，恒有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数；如果恒有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数. v图1.91.1.3 函数的简单性质（函数的简单性质（3）v3. 周期性周期性通常我们所说的周期指的是最小正周期. v4. 有界性有界性上界;下界 1.1.4 反函数和复合函数
5、反函数和复合函数v1. 反函数反函数v2. 复合函数复合函数v将一个函数代入另一将一个函数代入另一个函数而得到的函数个函数而得到的函数称为上述两个函数的称为上述两个函数的复合函数复合函数. 1.1.5 初等函数初等函数(1)v1. 幂函数幂函数v2. 指数函数指数函数v3. 对数函数对数函数:指数函数的反函数是对数指数函数的反函数是对数函数，记为函数，记为 (a 是常数且是常数且a0, a1). 1.1.5 初等函数初等函数(2)v 4. 三角函数三角函数三角函数在数学和其他学科中有着广泛的应用. 自然界中有很多现象都可用三角函数来描述，如简谐振动、交流电等. 三角函数有正弦函数 、余弦函数
6、、正切函数 、余切函数 、正割函数 、余割函数 ，它们都是周期函数. v5. 反三角函数反三角函数反三角函数是三角函数的反函数. 三角函数 的反函数依次为反正弦函数 、反余弦函数 、反正切函数 、反余切函数 . 其图形分别如图1.20、图1.21、图1.22和图1.23所示. v6. 初等函数初等函数由上述五类基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和函数复合步骤构成的函数，称为初等函数.v7. 建立函数关系建立函数关系1.2 数列的极限数列的极限v1.2.1 数列极限的定义数列极限的定义v1.2.2 收敛数列极限的性质收敛数列极限的性质v1.2.3 数列极限的存在准则数列极限的存在准则v1.2
7、.4 数列极限的四则运算法则数列极限的四则运算法则1.2.1 数列极限的定义数列极限的定义v设有数列设有数列 ，如果对于任意给定的，如果对于任意给定的正数正数 (无论它多么小无论它多么小)，总存在一，总存在一个正整数个正整数N，使得当时，使得当时nN，不等式，不等式 恒成立，则称常数恒成立，则称常数a为数列为数列 的极的极限，或称数列限，或称数列 收敛于收敛于a，记为，记为v 或或v几何解释几何解释1.2.2 收敛数列极限的性质收敛数列极限的性质v定理定理1(收敛数列的有界性收敛数列的有界性) 如果数列如果数列 收敛，则数列收敛，则数列 一定有界一定有界. v定理定理2 收敛数列收敛数列 的极
8、限是唯一的的极限是唯一的. v推论推论(1) 如果数列如果数列 无界，则它一无界，则它一定发散定发散.v推论推论(2)如果在两个不同的点附近都如果在两个不同的点附近都密集的分布着密集的分布着 的无穷多个点，则该的无穷多个点，则该数列一定发散数列一定发散. 1.2.3 数列极限的存在准则数列极限的存在准则v定理定理3(单调有界准则单调有界准则)单调有界数列必单调有界数列必有极限有极限. v定理定理4(夹逼准则夹逼准则)如果数列如果数列 、 和和 满足下列条件满足下列条件. v(1) v(2) v则数列则数列 的极限存在，且的极限存在，且 1.2.4 数列极限的四则运算法则数列极限的四则运算法则v
9、定理定理5(数列极限的四则运算法则数列极限的四则运算法则) 若若 v ， ，则，则v(1) v(2) v(3) 1.3 函数的极限函数的极限v1.3.1 x时函数的极限时函数的极限v1.3.2 xx0时函数的极限时函数的极限v1.3.3 函数极限的运算法则函数极限的运算法则定理2(函数极限的四则运算法则) 定理3(复合函数的极限运算法则) v1.3.4 两个重要极限两个重要极限定理4(函数极限的夹逼准则)1.3.1 x时函数的极限时函数的极限v定义定义1设函数设函数f(x)当当 时有定义，时有定义，如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (无论它有无论它有多么小多么小)，总存在一个正数，
10、总存在一个正数X，使得对满，使得对满足不等式足不等式 的一切的一切x，对应，对应的函数值的函数值f(x)都满足都满足 ，则，则常数常数A称为函数称为函数f(x)当当 时的极限，时的极限，记作记作v或或 v 1.3.2 xx0时函数的极限时函数的极限v定义定义2v设函数设函数f(x)在点在点 的某一去心邻域的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数内有定义，如果对于任意给定的正数 (无论它多么小无论它多么小)，总存在正数，总存在正数 ，使，使得对于满足不等式得对于满足不等式 的所有的所有x，对应的函数值，对应的函数值f(x)都满足不等都满足不等式式 ，则常数，则常数A称为函数称为函数f(x)
11、当当 时的极限，记作时的极限，记作 或或 . 1.4 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量v1.4.1 无穷小量无穷小量定义1 定理1 定理2 定义2 定理3 定理4 v1.4.2 无穷大量无穷大量定义3 定理5 1.5 函数的连续性函数的连续性v1.5.1 函数的连续性函数的连续性v1.5.2 函数的间断点函数的间断点v1.5.3 初等函数的连续性及连续函数的初等函数的连续性及连续函数的性质性质v1.5.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1.5.1 函数的连续性函数的连续性v定义定义1设函数设函数 在点在点 的的某一邻域内有定义，如果某一邻域内有定义，如果 ，则称函数在点，则称
12、函数在点 处连续处连续. v定义定义2 设函数设函数 在点的某一邻在点的某一邻域内有定义，如果域内有定义，如果 ，则称函数，则称函数 在点在点 处连处连续续. v定义定义3若若 ，则称函数则称函数 在点在点 处左连续；若处左连续；若 ，则称函数，则称函数 在点在点 处右连续处右连续. 1.5.2 函数的间断点函数的间断点v设函数设函数 在点在点 的某的某一去心邻域内有定义，如果函数一去心邻域内有定义，如果函数f(x)在在点点 不连续，则不连续，则 称是函数称是函数f(x)一个间断点一个间断点. v无穷间断点无穷间断点 v可去间断点可去间断点 v第一类间断点第一类间断点 v第二类间断点第二类间断
13、点 1.5.3 初等函数的连续性及连续函数初等函数的连续性及连续函数的性质的性质v定理定理1设函数设函数f(x)和和g(x)在在 处连续，处连续，则则 、 、 在在 连续连续. v定理定理2设函数设函数 在点在点 连续，连续，且且 ，而函数，而函数 在在 处连续，则复合函数处连续，则复合函数 在在 处也连续处也连续. v定理定理3若函数若函数y=f(x)在在 区间上连续且区间上连续且单调增加单调增加(减少减少)，则其反函数，则其反函数 也在对应的区间也在对应的区间 上连上连续且单调增加续且单调增加(减少减少). 1.5.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质v定理定理4(最大值最小值定理最大值最小值定理)若函数若函数f(x)在闭区间在闭区间 上连续，则上连续，则f(x)在在 上一定能取得最上一定能取得最大值和最小值大值和最小值. 即存在即存在 ，使，使得得v定理定理5(有界性定理有界性定理)闭区间上的连续函数在该区间闭区间上的连续函数在该区间上一定有界上一定有界. v定理定理6(介值定理介值定理)设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间 上上连续，连续，f(a)=A，f(b)=B且且 ，则对介于，则对介于A与与B之间的任何一个数之间的任何一个数C，至少存在一点，至少存在一点 ，使得，使得
