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1、 一元二次方程一元二次方程 根根与与系数系数的关系的关系 授课人 于都县尧口初中 刘颂娣刘颂娣要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.能利用一元二次方程根与系数的关系式，确定方程能利用一元二次方程根与系数的关系式，确定方程中字母系数的值或其取值范围中字母系数的值或其取值范围. . 2.2.运用韦达定理应适用的条件，确定所求字母系数的运用韦达定理应适用的条件，确定所求字母系数的值是否符合条件值是否符合条件. .3.3.能把二次三项式或二次函数以及二元二次方程组等能把二次三项式或二次函数以及二元二次方程组等问题转化为根与系数问题加以解决问题转化为根与系数问题加以解决. .要点、考点聚焦要点、考点聚焦2
2、.2.若若x x1 1,x,x2 2是某一元二次方程的两根，则该方程可以是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：写成：x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2)x+x)x+x1 1x x2 2=0.=0.1.1.若一元二次方程若一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两根的两根分别为分别为x x1 1,x,x2 2，则：则：x x1 1+x+x2 2= = - - ；x x1 1x x2 2= = 在使用根与系数的关系时，应注意：在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用X1+X2= 时时， 注意注
3、意“ ”不要漏写。不要漏写。题题2 已知两圆的半径是一元二次方程已知两圆的半径是一元二次方程 的两个根，两圆的圆心距等于的两个根，两圆的圆心距等于7， 则这两圆的位置关系是（则这两圆的位置关系是（ ） A、外离、外离 B、相交、相交 C、外切、外切 、内切、内切C题题1口答口答下列方程的两根和与两根积各是多少？下列方程的两根和与两根积各是多少？ .X .X2 23X+1=0 .3X3X+1=0 .3X2 22X=22X=2 .2X .2X2 2+3X=0 .3X+3X=0 .3X2 2=1 =1 基本知识基本知识练习练习1已知关于已知关于x的方程的方程当当m= 时时,此方程的两根互为相反数此方
4、程的两根互为相反数.当当m= 时时,此方程的两根互为倒数此方程的两根互为倒数.11分析分析:1.2.411412题题则：则：应用：一求值应用：一求值另外几种常见的求值另外几种常见的求值 求与方程的根有关的代数式的值时求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式两根之积的形式,再整体代入再整体代入.练习练习2(1)设设 的两个实数根的两个实数根 为为 则则: 的值为的值为( )A. 1 B. 1 C. D.A4.(2008年年桂林桂林)已知方程已知方程x2+3x-1=0的两根为的两根为 、 ，那么那么 。-11课前热身课前热
5、身5.(2008年年沈阳市沈阳市)阅读下列解题过程：阅读下列解题过程：已知：方程已知：方程x2+3x+1=0的两个根为的两个根为、，求，求的值。的值。解：解：3 32 2-4-41 11 15050（1 1） 由一元二次方程的根与系数的关系，得由一元二次方程的根与系数的关系，得 + +-3-3， 1 1 （2 2） （3 3） 阅读后回答问题：上面的解题过程是否正确？若不阅读后回答问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程：正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程：5.(2008年年沈阳市沈阳市)阅读下列解题过程：阅读下列解题过程：已知：方程已知：方程x2+
6、3x+1=0的两个根为的两个根为、，求，求的值。的值。正解：不正确，第（正解：不正确，第（3）步错。）步错。应为：应为：3 32 2-4-41 11 150 50 由一元二次方程的根与系数的关系，得由一元二次方程的根与系数的关系，得 + +-30-30 10 课前热身课前热身以以 为两根的一元二次方程为两根的一元二次方程(二次项系数为二次项系数为1)为为:二已知两根求作新的方程二已知两根求作新的方程请写出一个二次项系数为请写出一个二次项系数为1，两实根之和为，两实根之和为3的一元二次的一元二次方程：方程： 。x2-3x-4=0题题4. 点点p(m,n)既在反比例函数既在反比例函数 的的图象上图
7、象上, 又在一次函数又在一次函数 的图象上的图象上,则以则以m,n为根的一元二次方程为为根的一元二次方程为(二次项系数为二次项系数为1): 解解:由已知得由已知得,即mn=2 m+n=2所求一元二次方程为所求一元二次方程为:题题5 5 以方程以方程X X2 2+3X-5=0+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程的两个根的相反数为根的方程是（是（ ）A、y y2 23y-5=0 B3y-5=0 B、 y y2 23y-5=0 3y-5=0 C、y y2 23y3y5=0 D5=0 D、 y y2 23y3y5=05=0B分析分析:设原方程两根为设原方程两根为 则则:新方程的两根之和为新方程的两
8、根之和为新方程的两根之积为新方程的两根之积为 求作新的一元二次方程时求作新的一元二次方程时:1.先求原方程的两根和与两根积先求原方程的两根和与两根积.2.利用新方程的两根与原方程的两根之利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系间的关系,求新方程的两根和与两根积求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积或由已知求新方程的两根和与两根积)3.利用新方程的两根和与两根积利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程求作新的一元二次方程. 练习练习:1.以以2和和 为根的一元二次方程为根的一元二次方程（二次项系数为）为：（二次项系数为）为：题6 已知两个数的和是1，积是-2，
9、则两 个数是 。2和-1解法(一):设两数分别为x,y则:解得:x=2y=1或 1y=2解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:求得两数为2,三已知两个数的和与积，求两数三已知两个数的和与积，求两数题题7 如果如果1是方程是方程 的一个根，则另一个根是的一个根，则另一个根是_=_。（还有其他解法吗？)-3四求方程中的待定系数四求方程中的待定系数题题8 8 已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是是且且 求求k k的值。的值。 解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k， X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+ X
10、 X2 2 2 = 4 = 4 即即( (X X1 1+ X X2 2)2 -2-2X X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时， 0 0当当k=-2k=-2时，时，0 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 或或k=2 题题9 在在ABC中中a,b,c分别为分别为 A, B, C 的对边的对边,且且c= ,若关于若关于x的方程的方程 有两个相等的实数根有两个相等的实数根,又方程又方程 的两实数根的平方和为的两实数根的平方和为6,求求ABC的面积的面积.五综合五综合题题9 9 方程方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求m m的取值范围。的取值范围。解解:由已知由已知,=即即m0m-100m1一正根，一负根一正根，一负根0X1X20两个正根两个正根0X1X20X1+X20两个负根两个负根0X1X20X1+X20小结：小结： 1、熟练掌握根与系数的关系；、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题；、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。、探索解题思路，归纳解题思想方法。
