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1、第二章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学微分微分都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton反映了自变量的变化所引起的函数变化的快慢程度，反映了自变量的变化所引起的函数变化的快慢程度，函数改变量的线性近似函数改变量的线性近似积分积分一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、利用定义进行计算三、利用定义进行计算四、导数的几何意义四、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 2.1 导数的概念导数的概念 2
2、.1.1 引例（1）求近似值：问题问题11 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设一物体沿直线作变速运动，（2 2）取极限）取极限自由落体运动2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T（1）求近似值：（2）取极限，求精确值：这种形式的极限就叫函数的导数。结论：上述两个问题都归结为求下列形式的极限2.1.2 导数的定义即即定义2.1.1注：3. 令导数的定义式导数的定义式 定义定义2.1.2 右导数：右导数：右导数：右导数：左导数：左导数：左导数：左导数：定理定理定理定理2.1.12.1.1导函数，简称导数。函数在闭区间导，是指上可在内可导，且在点处
3、，右导数存在，且在点 处，左导数存在。此时对于区间 内每一点 都有唯一的导数值 与之对应 ，于是在区间 内定 义 了 一 个新 的 函 数 称 为 的定义2.1.3 若函数在区间每一点处都可导，则称在内可导。内注:(1)导数的记号除了外，还记为：即注:(3)定义给了我们求导最根本的方法2.1.3 根据定义求导数根据定义求导数例例 2.1.12.1.1解法一： 由导数定义解法二：由导数定义解法二较简便，解法二较简便，例例 2.1.2 解：结论：常数的导数为0，即由导数定义又称牛顿二项式定理牛顿二项式定理 等号右边的多项式叫做二项展开式。 例 2.1.3解：结论：结论：结论：结论：由导数定义（将在
4、后面证明）例如，例如，例例4. 证明函数在 x = 0 不可导. 证证:不存在 , 例例5. 设存在, 求极限解解：解解: 因为例例6. 设存在, 且求即：证明:证：又在处连续,所以例例7.2.1.4导数的意义解解： 1.1.物理意义：物理意义：2.2.几何意义几何意义法线方程为法线方程为法线方程为法线方程为：切线方程为切线方程为切线方程为切线方程为：其中，其中，其中，其中，例例 2.1.42.1.4解：切线方程为法线方程为过点过点(2,4(2,4) )的的 切线斜率切线斜率所以所以导数的一般意义：或因为因为2.1.5 可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理2.1.2 分析：分析：证明：证明：从而所以只需证即即连续不一定可导即连续不一定可导注意：注意：因为因为因为因为通过观察两条曲线的图像通过观察两条曲线的图像(画图像画图像)，得得因为光滑（无尖点、拐点）的连续曲线可导因为光滑（无尖点、拐点）的连续曲线可导.(2)（逆否命题）不连续一定不可导3 切线是割线的极限位置的图形演示3 切线是割线的极限位置的动画演示
