高量电子的相对论运动方程

《高量电子的相对论运动方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高量电子的相对论运动方程（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 这里主要讨论符合相对论要求的单电子（自旋这里主要讨论符合相对论要求的单电子（自旋1/21/2）的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相对论量子的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相对论量子力学为主。主要内容有：力学为主。主要内容有： 1. 1.建立狄拉克方程以及若干有关的概念，为进一步建立狄拉克方程以及若干有关的概念，为进一步学习全面的相对论理论打基础；学习全面的相对论理论打基础； 2. 2.以单电子为研究对象，给出其哈密顿，求得狄拉以单电子为研究对象，给出其哈密顿，求得狄拉克方程的严格解。克方程的严格解。 在本章的处理中电磁场仍看作外场，并按照经典场在本章的处理中电磁场仍看作外场，并按照经典

2、场处理。处理。第三章第三章 狄拉克方程狄拉克方程15 电子的相对论运动方程电子的相对论运动方程115.2 克莱因克莱因-高登方程和狄拉克方程高登方程和狄拉克方程不符合狭义相对论要求，因为其中的不符合狭义相对论要求，因为其中的H是根据经典是根据经典非相对论分析力学写出来的非相对论分析力学写出来的. 现在任务是改写这个现在任务是改写这个原理中的运动方程，使之符合相对论的要求。原理中的运动方程，使之符合相对论的要求。 在前面所介绍的量子力学的五个基本原理中，在前面所介绍的量子力学的五个基本原理中，只有原理只有原理4 4，即，即 微观系统的状态微观系统的状态 随时间的变化规律是薛定随时间的变化规律是薛

3、定谔方程谔方程2将此式与经典单粒子的动能与动量的关系式将此式与经典单粒子的动能与动量的关系式一一.克莱因克莱因-高登方程的推导高登方程的推导 按照相对论的时空对等性要求和方程在洛伦兹变换按照相对论的时空对等性要求和方程在洛伦兹变换下的不变性要求，我们在坐标表象下讨论这个问题。下的不变性要求，我们在坐标表象下讨论这个问题。相比较，发现相比较，发现 与与 相对应，而相对应，而 与与 相对应。相对应。在坐标表象下，外场下单粒子的薛定谔方程为在坐标表象下，外场下单粒子的薛定谔方程为 第一个相对论运动方程正是仿照这种对应方式而第一个相对论运动方程正是仿照这种对应方式而得到的。得到的。3根据相对论关系根据

4、相对论关系并考虑上述对应关系并考虑上述对应关系这个方程称为这个方程称为克莱因克莱因- -高登方程高登方程。在克莱因在克莱因- -高登方程提出后立即发现其有许多问题：高登方程提出后立即发现其有许多问题：(1) (1) 不是正定的不是正定的, ,无法解释为粒子的位置概率；无法解释为粒子的位置概率；( (令令 , ,若对任意若对任意 , , 则则 为正定为正定) )并对任意波函数发生作用，有并对任意波函数发生作用，有4(5)这一方程除了这一方程除了V=0的自由形式外，无法纳入量子的自由形式外，无法纳入量子 力学已有的体系之中，即无法写成含时薛定谔方力学已有的体系之中，即无法写成含时薛定谔方 程的形式

5、。程的形式。(2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成 严重的困难。因为在量子理论中存在自发跃迁的严重的困难。因为在量子理论中存在自发跃迁的 概念，因而这个方程的所有定态解将不断自发辐概念，因而这个方程的所有定态解将不断自发辐 射到射到 的能级；的能级；(3)这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需 要初始时刻的要初始时刻的 外外, 还需要还需要 作为初始条件；作为初始条件；(4)用此方程计算用此方程计算H原子能级与实验值符合得不好；原子能级与实验值符合得不好；5 总之，克总之，克- -高方程无法纳入现

6、有量子力学的框架，而高方程无法纳入现有量子力学的框架，而且至少对于电子是不适用的。然而又不能简单地否定。且至少对于电子是不适用的。然而又不能简单地否定。因为：因为：（1）这个方程的非相对论极限）这个方程的非相对论极限 正是薛定谔方程正是薛定谔方程（2）从这一方程可以导出一个连续性方程）从这一方程可以导出一个连续性方程其中其中6而上述流密度表达式与非相对论的表达式而上述流密度表达式与非相对论的表达式十分相似。十分相似。 如此看来，既然克莱因如此看来，既然克莱因- -高登方程符合相对论的要高登方程符合相对论的要求，那么很可能是态函数不对：求，那么很可能是态函数不对：即态函数虽然满足克即态函数虽然满

7、足克- -高方程，但还要满足另一个比高方程，但还要满足另一个比此方程要求更高的方程。此方程要求更高的方程。这个要求更高的方程就是狄拉克方程。这个要求更高的方程就是狄拉克方程。7二二. 狄拉克方程狄拉克方程 基于克基于克- -高方程的上述情况，狄拉克开始他寻找这高方程的上述情况，狄拉克开始他寻找这个方程的工作。他希望个方程的工作。他希望 （1 1）这首先是一个对时间的一阶方程，以便纳入）这首先是一个对时间的一阶方程，以便纳入已有的量子力学框架；已有的量子力学框架；（2 2）同时又要求它的解仍然满足克）同时又要求它的解仍然满足克- -高方程。高方程。 于是狄拉克假设于是狄拉克假设自由电子自由电子正

8、确的相对论方程应取下正确的相对论方程应取下列形式：列形式：或简写成或简写成8式中式中 和和 是四个与时间和位置无关的待是四个与时间和位置无关的待定常量定常量, ,c c是光速。引人是光速。引人c c的目的是保证的目的是保证 无量纲。无量纲。为了使满足此方程的态函数仍能满足克为了使满足此方程的态函数仍能满足克- -高方程，用高方程，用从左边作用到（）上，并与克从左边作用到（）上，并与克-高方程（高方程（V=A=0）相比较，得待定常数应满足相比较，得待定常数应满足9其中对于自由电子，有其中对于自由电子，有既是时间和位置的一阶方程，其解既是时间和位置的一阶方程，其解 又满足克又满足克-高方程。高方程

9、。（具体过程看曾谨言量子力学卷（具体过程看曾谨言量子力学卷II p349II p349）在此情况下在此情况下, 式式上式就称为狄拉克方程。写成含时薛定谔方程形式为上式就称为狄拉克方程。写成含时薛定谔方程形式为10若若 不含时间，则狄拉克方程也有定态解不含时间，则狄拉克方程也有定态解而而 满足满足 从（从（15.915.9）式可以看出，）式可以看出， 显然不可能是普通显然不可能是普通的数，除了满足下式，的数，除了满足下式，还应该是厄米的，以保证哈密顿算符的厄米性。还应该是厄米的，以保证哈密顿算符的厄米性。对电磁场中的电子，有对电磁场中的电子，有11 由于哈密顿算符的构成单元由于哈密顿算符的构成单

10、元 与单电子与单电子哈密顿算符的构成单元哈密顿算符的构成单元 有很大差别，算有很大差别，算符符 的作用空间显然不是单电子的函数空间，而的作用空间显然不是单电子的函数空间，而是另外一个新的空间。是另外一个新的空间。 这样，电子的态函数这样，电子的态函数 应是在单电子的函应是在单电子的函数空间和这新的空间的直积空间中的矢量。下一节数空间和这新的空间的直积空间中的矢量。下一节我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系的。我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系的。 以后我们把以后我们把 笼统地写成笼统地写成 ，以强调它不，以强调它不是单纯的时空的标量函数，而是这种标量函数空间是单纯的时空的标量函数

11、，而是这种标量函数空间和另一个空间的直积空间中的矢量。和另一个空间的直积空间中的矢量。12三三. 狄拉克方程的协变形式狄拉克方程的协变形式概念：概念：(1)(1)罗仑兹变换罗仑兹变换在洛仑兹变换下具有确定的变换性质。在洛仑兹变换下具有确定的变换性质。(2)(2)协变协变 为了展示方程的相对论不变性，常把方程写成协为了展示方程的相对论不变性，常把方程写成协变的形式。为此，令变的形式。为此，令13（这些算符在后面的推导中非常重要）（这些算符在后面的推导中非常重要）将狄拉克方程写成如下形式将狄拉克方程写成如下形式定义定义4D形式的动量算符为形式的动量算符为并且定义四个新的算符并且定义四个新的算符用用

12、 左乘（左乘（15.1215.12）式，利用）式，利用14 可证明（这里不证）可证明（这里不证）Dirac方程在洛伦兹变换、空方程在洛伦兹变换、空间反演和时间反演下确实是协变的。间反演和时间反演下确实是协变的。这样就得到狄拉克方程的协变形式这样就得到狄拉克方程的协变形式式式引进的四个新算符引进的四个新算符 满足以下关系满足以下关系15再定义再定义 ：则有则有 称为称为 算符。由于常以矩阵的形式出现，又常之算符。由于常以矩阵的形式出现，又常之为为 矩阵。矩阵。 既然既然 都是厄米算符，根据前面的定义，都是厄米算符，根据前面的定义， 算符算符和和 算符也是厄米的。此外由厄米性及式算符也是厄米的。此

13、外由厄米性及式可知四个可知四个 算符以及算符以及 都是幺正的。都是幺正的。(15.13)式式代入代入1615.3 自旋算符自旋算符 前面在建立前面在建立Dirac方程的过程中引入了算符方程的过程中引入了算符 ，这就是说，在整体运动的位形这就是说，在整体运动的位形Hilbert空间之外又发现空间之外又发现了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。一一. 自旋算符的寻找自旋算符的寻找1. 从对易关系入手从对易关系入手 设电子的自旋算符为设电子的自旋算符为S，它应满足角动量对易关系，它应满足角动量对易关系和自旋算符的反对易关系。和自旋算符的反对易关系

14、。令令 ，则，则 的三个分量应满足的三个分量应满足17 为了寻找满足这些关系的为了寻找满足这些关系的（也称自旋算符），（也称自旋算符），试用试用 来构造。来构造。由前面所得结论可知，算符由前面所得结论可知，算符 满足满足但不满足但不满足若取两个若取两个 的乘积，肯定满足（的乘积，肯定满足（15.1915.19）式：）式：注意：注意：c c 是待定常数，不是光速！是待定常数，不是光速！为使（）式得到满足，为使（）式得到满足，c c可以是可以是ii。18对于对于因为因为所以只要取所以只要取 ，则找到了满足正确对易关系的自旋，则找到了满足正确对易关系的自旋算符：算符：也可写成紧凑的形式也可写成紧凑的

15、形式容易验证，上式即容易验证，上式即19利用式利用式可推知反过来的关系可推知反过来的关系对于上面给出的算符，容易证明对于上面给出的算符，容易证明2.一些算符的关系一些算符的关系此外，有此外，有20利用 设设A,B是位形空间的算符，因而与新的自旋空间的是位形空间的算符，因而与新的自旋空间的算符算符 对易，即对易，即以上各式利用有关算符的定义及算符的运算公式比较以上各式利用有关算符的定义及算符的运算公式比较容易推出。容易推出。另外还有另外还有211.自旋角动量是否守恒量？自旋角动量是否守恒量？二二. 自由电子的守恒量自由电子的守恒量已知自由电子的哈密顿为已知自由电子的哈密顿为所以自由电子的自旋并不

16、是守恒量。所以自由电子的自旋并不是守恒量。利用利用利用利用222. 轨道角动量是否守恒量？轨道角动量是否守恒量？所以自由电子的轨道角动量不是守恒量。所以自由电子的轨道角动量不是守恒量。233. 总角动量是否守恒量？总角动量是否守恒量？由前可知，对角动量由前可知，对角动量 所以总角动量是守恒量。对于自由电子，这是一个所以总角动量是守恒量。对于自由电子，这是一个必然的结果，这说明自旋算符的构造必然的结果，这说明自旋算符的构造 是正确的。是正确的。4. 自由电子的动量自由电子的动量P是否守恒量？是否守恒量？由由 前可知前可知故自由电子的动量故自由电子的动量P显然是守恒量。显然是守恒量。24利用5. 自由电子的螺旋度是否守恒量？自由电子的螺旋度是否守恒量？定义螺旋度为自旋在动量方向上的投影，即定义螺旋度为自旋在动量方向上的投影，即所以自由电子的螺旋度是一个守恒量。所以自由电子的螺旋度是一个守恒量。25