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1、1. 各点绕轴作半径不同的圆周运动各点绕轴作半径不同的圆周运动2. 各转动平面垂直于转轴各转动平面垂直于转轴3. 各点的各点的位移、速度、加速度位移、速度、加速度不同不同 但但角位移、角速度、角加速度角位移、角速度、角加速度相同相同zABAB刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：回顾回顾匀变速转动的公式：匀变速转动的公式：表征刚体定轴转动的物理量：表征刚体定轴转动的物理量：角量与线量的关系：角量与线量的关系：运动学规律运动学规律刚体的转动惯量与哪些物理量有关？刚体的转动惯量与哪些物理量有关？.与刚体质量有关。与刚体质量有关。.与质量对轴的分布有关。与质量对轴的分布有关。.与轴的位置有关。与轴
2、的位置有关。转动惯量：转动惯量：平行轴定理平行轴定理定理表述：定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯刚体绕平行于质心轴的转动惯量量 J，等于绕质心轴的转动惯量等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。垂直轴定理垂直轴定理定理表述：定理表述：质量质量平面分布平面分布的刚体，绕垂直的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和。的转动惯量之和。zodp 刚体作定轴转动时，刚体作定轴转动时，合外力矩合外力矩等于等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。刚体的转动惯量与角加速度的乘积。刚体定轴
3、转动定律刚体定轴转动定律解题方法及应用举例解题方法及应用举例1. 确定研究对象。确定研究对象。2. 受力分析受力分析（只考虑对转动有影响的力矩只考虑对转动有影响的力矩）。）。3. 列方程求解列方程求解(平动平动物体列牛顿定律方程，物体列牛顿定律方程，转动转动刚刚 体列转动定律方程和角量与线量关系体列转动定律方程和角量与线量关系)。第一类问题：第一类问题：已知运动情况和已知运动情况和 J ，确定运动学确定运动学和动力学的联系和动力学的联系- ，从而求出，从而求出 M或或 F。例例1：长为长为 l、质量质量为为 m 的细杆，初始的细杆，初始时的角速度为时的角速度为 0，由于细杆与桌面的由于细杆与桌
4、面的摩擦，经过时间摩擦，经过时间 t 后杆静止，后杆静止，求求摩擦摩擦力矩力矩 M阻阻。解：解：以细杆为研究对象，以细杆为研究对象，只有摩擦阻力只有摩擦阻力产产生力矩，由匀变速转动公式：生力矩，由匀变速转动公式：细杆绕一端的转动惯量细杆绕一端的转动惯量则摩擦阻力矩为：则摩擦阻力矩为：第二类问题：第二类问题：已知已知 J 和力矩和力矩M , 求求 a 和和 及及 F。例：例：质量为质量为 m1和和m2两个物体，跨在定两个物体，跨在定滑轮上滑轮上, , m2 放在光放在光滑的桌面上，滑轮滑的桌面上，滑轮半径为半径为 R，质量为质量为 M，求：求：m1 下落的下落的加速度，绳子的张加速度，绳子的张力
5、力 T1、T2。T1T2解：解：受力分析受力分析: （1）: （2）:（3）T1T2（4）联立方程（联立方程（1）-（4）求）求解得解得讨论：讨论：当当 M=0时时第三类问题：第三类问题：已知运动情况已知运动情况 和力矩和力矩M ，求求未知刚体转动惯量未知刚体转动惯量 J。例：例：测轮子的转动惯量测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半径用一根轻绳缠绕在半径为为 R、质量为质量为 M 的轮子的轮子上若干圈后，一端挂一上若干圈后，一端挂一质量为质量为 m 的物体，从静的物体，从静止下落止下落 h 用了时间用了时间 t ,求求轮子的转动惯量轮子的转动惯量 J。hh解：受力分析：解：受力分析：m：M：物体
6、从静止下落时满足物体从静止下落时满足联立方程联立方程（1）-（4）求解得：求解得：对轴的力矩对轴的力矩刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律第一类问题：第一类问题：已知运动情况和已知运动情况和 J ，确定运动学确定运动学和动力学的联系和动力学的联系- ，从而求出，从而求出 M或或 F。第二类问题：第二类问题：已知已知 J 和力矩和力矩M , 求求 a、 及及 F。第三类问题：第三类问题：已知运动情况已知运动情况 和力矩和力矩M ，求求未知刚体转动惯量未知刚体转动惯量 J。小结小结瞬时、同轴瞬时、同轴外因外因 在功和能一章中我们研究了力对空间的累在功和能一章中我们研究了力对空间的累积效应积效应功功，在
7、这节中要介绍力矩对空间的，在这节中要介绍力矩对空间的累积效应累积效应力矩的功。力矩的功。刚体转过刚体转过 d , 作用作用点的位移为点的位移为 ds, 法法向力向力Fn 不作功，只不作功，只有切向力作功有切向力作功。6 64 4 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理一一 力矩的功力矩的功则则恒力矩作功恒力矩作功 刚体在力矩的作用下转过一定角度，刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态，改变了刚体的什么状态？体的转动状态，改变了刚体的什么状态？由功率的定义：由功率的定义：二二 力矩的功率力矩的功率三三 刚体绕定轴转动的动
8、能定理刚体绕定轴转动的动能定理其中力矩其中力矩则功则功由力矩的功定义：由力矩的功定义：为刚体的为刚体的转动动能转动动能刚体转动动能定理：刚体转动动能定理：合外力矩对绕定轴转动的合外力矩对绕定轴转动的刚体作功的代数和等于刚体转动动能的增量。刚体作功的代数和等于刚体转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理在保守力的作用下刚体可引入势能概念在保守力的作用下刚体可引入势能概念重力势能重力势能。（ 是是 对势能零点相对高度）对势能零点相对高度）由质心定义，刚体质心对势能零点的相对高度由质心定义，刚体质心对势能零点的相对高度四四 刚体的重力势能刚体的重力势能1. 确定研究对象。确定研究
9、对象。2. 受力分析，确定作功的力矩。受力分析，确定作功的力矩。3. 确定始末两态的动能，确定始末两态的动能，Ek0、Ek。4. 列方程求解。列方程求解。五五 应用转动动能定理解题方法应用转动动能定理解题方法解：解：以杆为研究对象，以杆为研究对象，只有重力产生力矩，且重只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。力矩随摆角变化而变化。重力矩作功重力矩作功：例例1：一细杆质量为一细杆质量为m，长度长度为为l，一端固定在轴上，静止一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆摆从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。到铅直位置时的角速度。始末两态动能：始末两态动能：由动能定理：由动能定理：例例2
10、：质量为质量为m、半半径为径为R 的圆盘，以初的圆盘，以初角速度角速度 0在摩擦系在摩擦系数为数为 的水平面上绕的水平面上绕质心轴转动，质心轴转动，解：解：以圆盘为研究对象，只有摩擦力矩作功。以圆盘为研究对象，只有摩擦力矩作功。始末两态动能：始末两态动能：摩擦力矩的功：摩擦力矩的功：将圆盘分割成无限多个圆环将圆盘分割成无限多个圆环问：问：圆盘转动几圈后静止。圆盘转动几圈后静止。每个圆环产生的摩擦力矩，每个圆环产生的摩擦力矩，圆盘的面密度为：圆盘的面密度为：圆环的质量为：圆环的质量为：整个圆盘产生的摩擦力矩，整个圆盘产生的摩擦力矩，r摩擦力矩的功：摩擦力矩的功：由动能定理：由动能定理：则转过的角
11、度：则转过的角度：则转过的圈数：则转过的圈数：其中其中 当系统中既有当系统中既有平动平动的物体又有的物体又有转动转动的的刚体，且系统中刚体，且系统中只有保守力只有保守力作功，其它力作功，其它力与力矩不作功时，与力矩不作功时，物体系物体系的机械能守恒。的机械能守恒。六六 物体系的机械能守恒定律物体系的机械能守恒定律例：例：如图所示的物体如图所示的物体系中，劲度系数为系中，劲度系数为 k的弹簧开始时处在原的弹簧开始时处在原长长，定滑轮的半径为定滑轮的半径为 R、转动惯量为转动惯量为 J，质质量为量为 m 的物体从静止的物体从静止开始下落开始下落,求求下落下落 h 时时物体的速度物体的速度 v。解：
12、解：在物体在物体 m 下下落过程中只有重力落过程中只有重力和弹力保守力作功，和弹力保守力作功，物体系机械能守恒。物体系机械能守恒。选择弹簧原长为弹性选择弹簧原长为弹性 0 势点，物势点，物体下落体下落 h 时为重力时为重力 0 势点。势点。求解得求解得有关物理量有关物理量力学规律力学规律小结小结定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系转动动能转动动能力矩作功力矩作功重力势能重力势能刚体定轴转动的刚体定轴转动的动能定理动能定理只有保守力作功，只有保守力作功，机械能守恒机械能守恒一、冲量矩一、冲量矩平动冲量：平动冲量：冲量矩：冲量矩：冲量矩，即力矩对时间的积累效应。冲量矩，即力矩对时间的积累效应。
13、单位：单位： N m s6 65 5 刚体对定轴的角动量守恒定律刚体对定轴的角动量守恒定律二、角动量、角动量定理二、角动量、角动量定理二、角动量、角动量定理二、角动量、角动量定理由冲量矩定义：由冲量矩定义：其中其中1. .角动量角动量定义：定义：角动量角动量2 2. . . .角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理单位：单位：kgm2/s方向：方向：与角速度方向一致。与角速度方向一致。该定理是力矩的时间积累作用规律。该定理是力矩的时间积累作用规律。注意几点注意几点1. .角动量与动量是两个不同的物理量，角动量与动量是两个不同的物理量，角动量方向为角动量方向为角速度的方向角速度的方向，动量的方
14、，动量的方向为速度的方向。向为速度的方向。3.对于变力矩，可用平均力矩代替。对于变力矩，可用平均力矩代替。2.恒力矩情况：恒力矩情况：三、应用角动量定理解题方法三、应用角动量定理解题方法三、应用角动量定理解题方法三、应用角动量定理解题方法1. .确定研究对象。确定研究对象。2. 受力分析（考虑产生力矩的力）。受力分析（考虑产生力矩的力）。3. 规定正向，确定始末两态的角动量规定正向，确定始末两态的角动量.4. 应用定理列方程求解。应用定理列方程求解。解：解：在力在力 F 冲击的瞬间，认为细冲击的瞬间，认为细杆还未摆起，重力不产生力矩，只杆还未摆起，重力不产生力矩，只有力有力 F F 产生力矩，
15、视为恒力矩。产生力矩，视为恒力矩。由角动量定理：由角动量定理：例例1：一冲击力一冲击力 F，冲击一质量为冲击一质量为 m、长长为为 l、竖直悬挂细杆的未端，作用时间为竖直悬挂细杆的未端，作用时间为 t , 求在竖直位置时杆的角速度。求在竖直位置时杆的角速度。例例2：在摩擦系数为在摩擦系数为 的的桌面上有细杆，质量为桌面上有细杆，质量为 m、长度为长度为 l，以初始角以初始角速度速度 0 绕垂直于杆的质绕垂直于杆的质心轴转动，心轴转动，问问细杆经过细杆经过多长时间停止转动。多长时间停止转动。解：解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支持力不产生力矩，只
16、有摩擦力产生力矩。的支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。确定细杆受的摩擦力矩确定细杆受的摩擦力矩分割质量元分割质量元dm细杆的质量密度为：细杆的质量密度为：质元受的摩擦力矩质元受的摩擦力矩细杆受的摩擦力矩细杆受的摩擦力矩始末两态的角动量为：始末两态的角动量为：由角动量定理：由角动量定理：四、角动量守恒定律四、角动量守恒定律四、角动量守恒定律四、角动量守恒定律条件：条件：角动量守恒定律角动量守恒定律: :当刚体受到的合外力矩为当刚体受到的合外力矩为0 时，刚体的角动量守恒。时，刚体的角动量守恒。明确几点明确几点.对于刚体定轴转动，转动惯量对于刚体定轴转动，转动惯量J为常数，角为常数，角速度速度
17、 也为常数，也为常数， = 0.对于非刚体，转动惯量发生变化的物体，对于非刚体，转动惯量发生变化的物体，J =C， 例如：花样滑冰运动员例如：花样滑冰运动员的的“旋旋”动作，当运动员旋动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。减小，转速加快。 再如：跳水运动员的再如：跳水运动员的“团身团身-展体展体”动作，动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。垂直入水。. .在非定轴转
18、动时，在非定轴转动时， 的方向保持不变；的方向保持不变；回转仪回转仪例例：直升机尾部的竖直旋转尾翼有关物理量有关物理量动力学规律动力学规律小结小结刚体定轴转动中的动力学规律刚体定轴转动中的动力学规律转动惯量转动惯量冲量矩冲量矩角动量角动量角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律力矩力矩转动定律转动定律6 66 6 进动（旋进）进动（旋进）* *一一 进动现象及其原理进动现象及其原理由由 ， 与与 的方向相同。的方向相同。LsinOZpLL+dLddLGOLZp ：自旋角速度：自旋角速度进动角速度：进动角速度：二二 进动角速度进动角速度LsinOZpLL+dLddL1 岁差：地球自转的旋
19、进使春分点沿黄道向岁差：地球自转的旋进使春分点沿黄道向西缓慢运行，西缓慢运行，25800年为一周期。年为一周期。三三 进动实例进动实例2 枪炮膛线枪炮膛线3 电子自旋电子自旋GFpvC复习复习刚体力学刚体力学 规律类比规律类比: 平动平动转动转动 表格表格 一张一张A4纸纸 下周一交下周一交 预习预习教材：教材： P106 例题例题6-10 拓展书（习题课）拓展书（习题课） 超：超：P19 5作业：作业：6.10，6.13，6.19，6.21 1 2例例1 1：人与转盘的转动惯量人与转盘的转动惯量J0=60kgm2, ,伸臂时臂长为伸臂时臂长为 1 1m，收臂时臂长为收臂时臂长为 0.20.2
20、m。人站在摩擦可不计的自由转人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓动的圆盘中心上，每只手抓有质量有质量 m=5kg的哑铃。伸臂的哑铃。伸臂时转动角速度时转动角速度 1 = 3 s-1, ,求求收臂时的角速度收臂时的角速度 2 2 ，机械，机械能是否守恒？能是否守恒？1 2解：解：整个过程合外力整个过程合外力矩为矩为0，角动量守恒，角动量守恒，由转动惯量的减小，角速度增加。由转动惯量的减小，角速度增加。 在此过程中机械能不守恒，因为人收在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。臂时做功。解：解：两飞轮通过摩擦达到共两飞轮通过摩擦达到共同速度同速度, ,合外力矩为合外力矩为0，系统，系统
21、角动量守恒。角动量守恒。共同角速度共同角速度例例2：两个共轴飞轮转动惯量分别两个共轴飞轮转动惯量分别为为J1、J2，角速度分别为角速度分别为 1 、 2，求求两飞轮啮合后共同的角速度两飞轮啮合后共同的角速度 。啮合过程机械能损失。啮合过程机械能损失。其中其中啮合过程机械能损失啮合过程机械能损失思考题：思考题：均匀细棒均匀细棒 oA 可绕通过其一端可绕通过其一端 o 而与而与棒垂直的水平固定光滑轴转动棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示如图所示.今使今使棒从水平位置由静止开始自由下落棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到在棒摆动到竖直位置的过程中竖直位置的过程中,下列情况哪一种说法是正确下列
22、情况哪一种说法是正确的的?(D) 角速度从大到小角速度从大到小, ,角加速度从小到大角加速度从小到大. . (C) 角速度从大到小角速度从大到小, ,角加速度从大到小角加速度从大到小. .(B) 角速度从小到大角速度从小到大, ,角加速度从小到大角加速度从小到大. .(A) 角速度从小到大角速度从小到大, ,角加速度从大到小角加速度从大到小. . A 例例：长为L，质量为M的匀质杆，悬挂在水平轴O，杆由水平位置无初速度摆下，在铅垂位置与质量为m的物体A作完全非弹性碰撞后沿水平面（）滑动求求：A滑动距离。解解：考虑三个阶段：1 设杆下摆至铅垂位置时的角速度为， 由转动动能定理：ALO2 杆与A组
23、成系统在碰撞过程中，动量守恒吗？ 外力对O轴的力矩为零,对O轴角动量守恒,设碰撞后杆的角速度为ALO3 A为研究对象，设A滑过距离为S，由质点动能定理：考虑考虑：1 杆与物体A分离后上摆的角度 2 杆与物体A碰撞后反弹回来例例：摩擦离合器由A、B两飞轮组成，JA，JB，C为摩擦片，开始A轮转速度为0，B轮静止。求求：两轮啮合后的角速度并讨论机械能有何变化？解：解：A、B为一系统，C接触后产生切向摩擦摩擦内力矩，系统角动量守恒：机械能损失为：例例：宇宙飞船对中心轴的J=2103kgm3，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋转，宇航员利用两个切向控制喷管使飞船休止旋转，喷管距轴线r=1.5m。
24、两喷管的喷气流量恒定共为q=2kg/s，喷气速率u=50m/s求求：应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。解解：设喷射气体质量为m且远小于飞船质量， 喷射前： dt内喷出气体dm对轴角动量：因为： u远大于飞船外径速率所以：喷气全过程总角动量：系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即L0=L1.故得：即即即即：重力矩作功等于刚体重力势能增量的负值。进而导出适用于刚体定轴转动的功能原理，机械能守恒定律。例例例例：一质量为m，长为L的均匀细棒OA，可绕光滑轴在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始自由下摆求细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速率。解解解解：方法方法1，由
25、.ocA.A可求得方法方法2：用刚体的转动动能定理可计算出.ocA.A方法方法3：应用机械能守恒定律选.ocA.A例例例例：均匀圆盘（R、M）的滑轮绕滑轮的轻绳一端系质量为m的物体。开始系统处于静止，求物体下降距离为h时，滑轮的角速度和角加速度。解解解解：受力分析分别应用动能定理设物体下落h时，滑轮角速度 ，物体的速率RTRhmM或把滑轮与物体作为一个整体由动能定理可得同样结果。解出五、质点的角动量定理和角动量守恒定律五、质点的角动量定理和角动量守恒定律1、质点的角动量、质点的角动量Oxyz方向：右手定则确定方向：右手定则确定Oxyz大小：大小：BA2）角动量与参考点的选取有关）角动量与参考点
26、的选取有关ooo 质点的角动量定理质点的角动量定理3、质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律2、质点的角动量定理、质点的角动量定理例例3：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与远系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？日点的速度谁大？近近日日点点远远日日点点解：解：在彗星绕太阳在彗星绕太阳轨道运转过程中，轨道运转过程中，只受万有引力作用，只受万有引力作用，万有引力不产生力万有引力不产生力矩，系统角动量守矩，系统角动量守恒。恒。由质点的角动量定义：由质点的角动量定义：即即即即近近日日点点远远日日点点近日点近日点 r 小小 v 大，远日点大，远日点 r 大大 v 小，小，这就是为什么彗星运转周期为几十年，而这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。动能转换成势能。zodp对轴的力矩对轴的力矩 刚体作定轴转动时，刚体作定轴转动时，合外力矩合外力矩等于等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。刚体的转动惯量与角加速度的乘积。刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律
