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1、变化率问题变化率问题人教版选修人教版选修人教版选修人教版选修2-22-2第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第1 1节变化率与导数节变化率与导数节变化率与导数节变化率与导数牛顿牛顿莱布尼茨莱布尼茨通通过阅读引言我引言我们知道：知道：1.1.随着随着对函数的深入研究函数的深入研究产生了微生了微积分分, ,它是数学它是数学发展史上的一个具有划展史上的一个具有划时代意代意义的的伟大大创造，被誉造，被誉为数学史上的里程碑数学史上的里程碑. . .微微积分的分的创立者是牛立者是牛顿和莱布尼茨和莱布尼茨. .他他们都是著名的都是著名的科学家，我科学家，我们应该认识
2、一下一下. .牛牛顿（Isacc Newton,1642 - 1727)Isacc Newton,1642 - 1727)是英国数学是英国数学家、天文学家和物理学家家、天文学家和物理学家是世界上出是世界上出类拔萃的科学家拔萃的科学家。 莱布尼茨莱布尼茨(1646-1716)德国数学德国数学家、哲学家，家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人和牛顿同为微积分的创始人.3.本章我们将要学习的导数是微本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一积分的核心概念之一. 打个比喻如果微积分是万丈打个比喻如果微积分是万丈高楼，那么平均变化率就是地基高楼，那么平均变化率就是地基. 那么我们这一节课就相当于那么我们
3、这一节课就相当于是是“地基地基”.现在我们就开始现在我们就开始“打造地基打造地基”(2)在经营某商品中，甲用在经营某商品中，甲用5 5年时间年时间挣到挣到1010万万元，乙用元，乙用5 5个月时间个月时间挣到挣到2 2万元，如何比较万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？和评价甲，乙两人的经营成果？(1)在经营某商品中，甲挣到在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣万元，乙挣到到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？营成果？想一想想一想问题情境问题情境1 1现有瑞安市某年现有瑞安市某年3月和月和4月某天日最高气温记载月某天日最高气温记载.时间时间3 3月月
4、1818日日4 4月月1818日日4 4月月2020日日日最高气温日最高气温3.53.518.618.633.433.4温差温差15.1温差温差14.8问题情境问题情境2 2 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加, 气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度从数学的角度, 如何如何描述这种现象呢描述这种现象呢? 结结论论：随随着着气气球球体体积积逐逐渐渐变变大大,它它的的平平
5、均均膨胀率逐渐变小膨胀率逐渐变小.问题问题:当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时，半径如何变化？时，半径如何变化？气球的平均膨胀率是多少？气球的平均膨胀率是多少？当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的气球的平均膨胀率是平均膨胀率是思考思考问题2 高台跳水 在在高高台台跳跳水水运运动动中中, 运运动动员员相相对对于于水水面面的的高高度度 h (单单位位:m)与与起起跳跳后后的的时时间间 t (单单位位:s) 存存在在函函数数关系关系:高台跳水高台跳水 在在高高台台跳跳水水运运动动中中, 运运动动员员相相对对于于水水面面的的高高度度 h (单单位位:m)与与起起跳跳后后
6、的的时时间间 t (单单位位:s) 存存在在函函数数关系关系: h(t)= 4.9 t2+ 6.5t +10问题问题3.从从t1到到t2时，运动员的平均速度如何？时，运动员的平均速度如何？问题问题2.从从1s到到2s呢？呢？问题问题1.从从0s到时，高度到时，高度h是怎样变化的？此时高度是怎样变化的？此时高度的变化率是多少？的变化率是多少？概念归纳概念归纳观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?xyoBx2f (x2)Ax1f (x1)f (x2)-f (x1)x2-x1直线AB的斜率y=f (x)例例1、已知函数、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-
7、-2x ,分别计算分别计算在区间在区间-3，-1，0，5上上 f(x)及及g(x) 的平均的平均变化率变化率. 数学应用数学应用思考思考:一次函数一次函数y=kx+b在区在区间m,n上的平上的平均均变化率有什么特点？化率有什么特点？例例2、已知函数、已知函数 f(x)=x2,分别计算分别计算f(x)在下列在下列区间上的平均变化率：区间上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 43（5），），1；（6），），1；（7），），1.变题变题: :课后思考课后思考: :为什么什么趋近于近于2呢？呢？2的几何意的几何意义是是什么？什么？数学应用数学应用xyp p13高台跳水高台跳水 在在高高台台跳跳水水运运动动中中, 运运动动员员相相对对于于水水面面的的高高度度 h (单单位位:m)与与起起跳后的时间跳后的时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系: h(t)= 4.9 t2+ 6.5t +103. 能否用平均速度更加准确地描述运动员某时刻的能否用平均速度更加准确地描述运动员某时刻的4. 运动状态呢？运动状态呢？4. 如何计算运动员在如何计算运动员在2s处的瞬时速度？处的瞬时速度？2.我体会到了哪些思想方法？我体会到了哪些思想方法？1.这节课我学到了哪些知我学到了哪些知识？小结：小结：再见
