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1、第八章 专题拓展8.4二次函数与几何图形综合型中考数学中考数学 (河南公用河南公用)解答题1.(2021云南昆明,22,9分)如图,抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半轴交于点A.(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y0时,自变量x的取值范围;(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PABA时,求PAB的面积. 好题精练解析解析(1)解法一解法一:抛物抛物线y=ax2+bx过点点B(1,-3),对称称轴为直直线x=2,(1分分)解得解得(2分分)抛物抛物线的解析式的解析式为y=x2-4x.(3分分)抛物抛物线过原点原点,对称称轴为直直线x=
2、2,由抛物由抛物线的的对称性得称性得A(4,0),由由题图可知可知,当当y0时,自自变量量x的取的取值范范围为0x4.(4分分)解法二解法二:抛物抛物线y=ax2+bx过原点原点,对称称轴为直直线x=2,由抛物由抛物线的的对称性得称性得A(4,0),把把A(4,0),B(1,-3)分分别代入代入y=ax2+bx中中,得得(1分分)解得解得(2分分)抛物抛物线的解析式的解析式为y=x2-4x.(3分分)由题图可知,当y0时,自变量x的取值范围为0x4.(4分)(2)解法一:过点B作BEx轴于点E,过点P作PFx轴于点F,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3),BE=AE=3,EAB=E
3、BA=45,PABA,即PAB=90,PAF=45,FPA=PAF=45,PF=AF.(5分)设点P的坐标为(x,x2-4x),点P在第二象限内,x0,PF=x2-4x,又AF=4-x,x2-4x=4-x,解得x1=4(不符合题意,舍去),x2=-1,当x=-1时,y=(-1)2-4(-1)=5,点P的坐标为(-1,5),(6分)PF=5.设直线PB的解析式为y=kx+m(k0),且交x轴于点C,把P(-1,5),B(1,-3)分别代入y=kx+m中,得解得直线PB的解析式为y=-4x+1.(7分)当y=0时,-4x+1=0,x=,C,AC=4-=,(8分)SPAB=SPAC+SABC=5+3
4、=15.(9分)解法二:过点B作BEx轴于点E,过点P作PFx轴于点F,设PA与y轴交于点D.点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3),BE=AE=3,EAB=EBA=45,且AB=3,PABA,即PAB=90,PAF=45,ODA=PAF=45,OD=OA=4,点D的坐标为(0,4),设直线PA的解析式为y=kx+m(k0),把D(0,4),A(4,0)分别代入y=kx+m中,得解得直线PA的解析式为y=-x+4.(5分)由x2-4x=-x+4解得x1=4,x2=-1,点P在第二象限内,x=-1,当x=-1时,y=(-1)2-4(-1)=5,点P的坐标为(-1,5),(6分)PAF=
5、APF=45,PF=AF=5,在RtPFA中,AFP=90,由勾股定理得AP=5.(7分)在RtPAB中,PAB=90,SABP=APAB=53=15.(9分)(其他解法参照此规范给分)思思绪分析分析(1)知抛物知抛物线的的对称称轴为直直线x=2,且抛物且抛物线经过点点B(1,-3),那么用待定系数法可求那么用待定系数法可求得抛物得抛物线的解析式的解析式,求得抛物求得抛物线与与x轴的另一个交点的另一个交点A的坐的坐标,或者先求出或者先求出A点坐点坐标,然后将然后将A、B点坐点坐标分分别代入代入y=ax2+bx中中,得到抛物得到抛物线的解析式的解析式.从而从而结合合图象即可得象即可得y0时自自变
6、量量x的取的取值范范围;(2)过B作作BEx轴于点于点E,过P作作PFx轴于点于点F,由由BE=AE,APAB,得得PF=AF,建立方程求建立方程求得点得点P的坐的坐标,确定直确定直线PB的解析式的解析式,从而求得从而求得PAB的面的面积,或者或者过B作作BEx轴于点于点E,过P作作PFx轴于点于点F,由由BE=AE,APAB,得得OD=OA(D为PA与与y轴交点交点),从而求出直从而求出直线PA的解析式的解析式,建建立方程求得点立方程求得点P的坐的坐标,进而求得而求得PAB的面的面积.疑疑问突破此突破此题调查了用待定系数法求抛物了用待定系数法求抛物线的解析式以及二次函数的解析式以及二次函数图
7、象的性象的性质.难点点为本本题第第(2)问,当当PABA时,求求SPAB,先确定点先确定点P的坐的坐标,再用分割法或直角三角形面再用分割法或直角三角形面积公式求出公式求出SPAB.2.(2021天津天津,25,10分分)在平面直角坐在平面直角坐标系中系中,点点O(0,0),点点A(1,0).知抛物知抛物线y=x2+mx-2m(m是常是常数数),顶点点为P.(1)当抛物当抛物线经过点点A时,求求顶点点P的坐的坐标;(2)假假设点点P在在x轴下方下方,当当AOP=45时,求抛物求抛物线的解析式的解析式;(3)无无论m取何取何值,该抛物抛物线都都经过定点定点H.当当AHP=45时,求抛物求抛物线的解
8、析式的解析式.解析解析(1)抛物抛物线y=x2+mx-2m经过点点A(1,0),0=1+m-2m,解得解得m=1.抛物抛物线的解析式的解析式为y=x2+x-2.y=x2+x-2=-,顶点点P的坐的坐标为.(2)抛物抛物线y=x2+mx-2m的的顶点点P的坐的坐标为.由点由点A(1,0)在在x轴正半正半轴上上,点点P在在x轴下方下方,AOP=45,知点知点P在第四象限在第四象限.过点点P作作PQx轴于点于点Q,那么那么POQ=OPQ=45.可知可知PQ=OQ,即即=-,解得解得m1=0,m2=-10.当当m=0时,点点P不在第四象限不在第四象限,舍去舍去.m=-10.抛物抛物线的解析式的解析式为
9、y=x2-10x+20.(3)由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知,当x=2时,无论m取何值,y都等于4.点H的坐标为(2,4).过点A作ADAH,交射线HP于点D,分别过点D,H作x轴的垂线,垂足分别为E,G,那么DEA=AGH=90.DAH=90,AHP=45,ADH=45,AH=AD.DAE+HAG=AHG+HAG=90,DAE=AHG.ADEHAG.DE=AG=1,AE=HG=4.可得点D的坐标为(-3,1)或(5,-1).当点D的坐标为(-3,1)时,可得直线DH的解析式为y=x+.点P在直线y=x+上,-=+.解得m1=-4,m2=-.当m=-4时,点P与点H重合,不符合
10、题意,m=-.当点D的坐标为(5,-1)时,可得直线DH的解析式为y=-x+.点P在直线y=-x+上,-=-+.解得m1=-4(舍),m2=-.m=-.综上,m=-或m=-.故抛物线的解析式为y=x2-x+或y=x2-x+.思思绪分析分析(1)把点把点A(1,0)代入抛物代入抛物线,求出求出m的的值,确定抛物确定抛物线的解析式的解析式,可求出可求出顶点点P的坐的坐标;(2)由函数解析式得出由函数解析式得出顶点坐点坐标为,作作PQx轴于点于点Q,那么那么PQ=OQ,建立方程求出建立方程求出m的的值,得出抛物得出抛物线的解析式的解析式;(3)由由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知可知,定
11、点定点H的坐的坐标为(2,4),过点点A作作ADAH,交射交射线HP于点于点D,分分别过点点D,H作作x轴的垂的垂线,垂足分垂足分别为E,G,由由AHP=45,得出得出AH=AD,可可证ADEHAG,再求得点再求得点D的坐的坐标,分分类讨论求出抛物求出抛物线的解析式的解析式.方法方法总结此此题为二次函数的二次函数的综合合题,属属压轴题.三个三个问题分分别给出不同条件出不同条件,再用待定系数法再用待定系数法求二次函数关系式求二次函数关系式.第一第一问代入点代入点A的坐的坐标即可得解即可得解;第二第二问关关键是构造直角三角形是构造直角三角形,根据根据顶点点P的位置特点的位置特点,建立方程求解建立方
12、程求解;第三第三问难度度较大大,找到定点找到定点H的坐的坐标是关是关键,再根据点再根据点H,点点A的坐的坐标以及以及AHP=45构造构造“一一线三等角的模型确定点三等角的模型确定点D的坐的坐标,最后根据点最后根据点P在直在直线DH上上,分分类讨论求出求出m的的值,即可求出抛物即可求出抛物线的解析式的解析式.3. (2021上海崇明一模上海崇明一模,24)如如图,抛物抛物线y=-x2+bx+c过点点A(3,0),B(0,2).M(m,0)为线段段OA上一个上一个动点点(点点M与点与点A不重合不重合),过点点M作垂直于作垂直于x轴的直的直线与直与直线AB和抛物和抛物线分分别交于点交于点P、N.(1
13、)求直求直线AB的解析式和抛物的解析式和抛物线的解析式的解析式;(2)假假设点点P是是MN的中点的中点,那么求此那么求此时点点N的坐的坐标;(3)假假设以以B,P,N为顶点的三角形与点的三角形与APM类似似,求点求点M的坐的坐标. 解析解析(1)设直直线AB的解析式的解析式为y=px+q,把把A(3,0),B(0,2)代入得代入得解得解得直直线AB的解析式的解析式为y=-x+2.把把A(3,0),B(0,2)代入代入y=-x2+bx+c得得解得解得抛物抛物线解析式解析式为y=-x2+x+2.(2)M(m,0),MNx轴,N,P.NP=-m2+4m,PM=-m+2.而而NP=PM,-m2+4m=
14、-m+2.解得m1=3(舍去),m2=,N.(3)A(3,0),B(0,2),P,AB=,BP=m.而NP=-m2+4m,MNOB,BPN=ABO.当=时,BPNOBA,那么BPNMPA,即m2=,整理得8m2-11m=0,解得m1=0(舍去),m2=,那么M.当=时,BPNABO,那么BPNAPM,即m=2,整理得2m2-5m=0,解得m1=0(舍去),m2=,那么M.综上所述,点M的坐标为或.思思绪分析分析(1)利用待定系数法求直利用待定系数法求直线和抛物和抛物线解析式解析式;(2)设出出N点的横坐点的横坐标,表示出表示出N点、点、P点点的坐的坐标,用含参数用含参数m的代数式的代数式计算出
15、算出NP的的长度度,利用利用NP=PM得到以参数得到以参数m为未知数的方程未知数的方程,解方解方程求出程求出m的的值,即可得到即可得到N点坐点坐标;(3)利用两点利用两点间的的间隔公式隔公式计算出各三角形中的算出各三角形中的边长,根据根据BPN=ABO,分分类讨结论定三角形定三角形类似似,由不同的比例由不同的比例线段段,建立方程建立方程,解关于解关于m的方程即可得的方程即可得到到对应的的M点的坐点的坐标.4.(2021四川攀枝花四川攀枝花,24,12分分)如如图,抛物抛物线y=x2+bx+c与与x轴交于交于A、B两点两点,B点坐点坐标为(3,0),与与y轴交于点交于点C(0,3).(1)求抛物
16、求抛物线的解析式的解析式;(2)点点P在在x轴下方的抛物下方的抛物线上上,过点点P的直的直线y=x+m与直与直线BC交于点交于点E,与与y轴交于点交于点F,求求PE+EF的最大的最大值;(3)点点D为抛物抛物线对称称轴上一点上一点.当当BCD是以是以BC为直角直角边的直角三角形的直角三角形时,求点求点D的坐的坐标;假假设BCD是是锐角三角形角三角形,求点求点D的的纵坐坐标的取的取值范范围.解析解析(1)由由题意得意得解得解得抛物抛物线的解析式的解析式为y=x2-4x+3.(2分分)(2)如如图,过P作作PGCF交交CB于于G,图由由题意知直意知直线BC的解析式的解析式为y=-x+3,OC=OB
17、=3,OCB=45,CEF为等腰直角三角形等腰直角三角形,(3分分)PGCF,GPE为等腰直角三角形等腰直角三角形,F(0,m),C(0,3),CF=3-m,(4分)在CEF和GPE中,EF=CF=(3-m),PE=PG,设xP=t(1t3),那么PE=PG=(-t+3-t-m)=(-m-2t+3),当x=t时,t2-4t+3=t+m,PE+EF=(-m-2t+3)+(3-m)=(-2t-2m+6)=-(t+m-3)=-(t2-4t)=-(t-2)2+4,当t=2时,PE+EF值最大,最大值为4.(3)由(1)知对称轴为直线x=2,设D(2,n),如图.当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,
18、D点的坐标在C上方D1位置,由勾股定理得,CD2+BC2=BD2,(7分)即(2-0)2+(n-3)2+(3)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5.(8分)当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,且D点的坐标在C下方D2位置时,由勾股定理得BD2+BC2=CD2,即(2-3)2+(n-0)2+(3)2=(2-0)2+(n-3)2,解得n=-1,当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,且D点的坐标为(2,5)或(2,-1).(9分)图如图,以BC的中点T,BC为半径作T,与对称轴直线x=2交于D3和D4,由直径所对的圆周角是直角得CD3B=CD4B=90,(10分)设D(2,m),由DT=
19、BC=得+=,解得m=,D3,D4,又由得D1(2,5),D2(2,-1),假设BCD是锐角三角形,D点在线段D1D3或D2D4上时(不与端点重合),点D的纵坐标的取值范围是-1yD或yD,=),并并证明他的判明他的判别;(3)P为y轴上一点上一点,以以B、C、F、P为顶点的四点的四边形是菱形形是菱形,设点点P(0,m),求自然数求自然数m的的值;(4)假假设k=1,在直在直线l下方的抛物下方的抛物线上能否存在点上能否存在点Q,使得使得QBF的面的面积最大最大,假假设存在存在,求出点求出点Q的坐的坐标及及QBF的最大面的最大面积,假假设不存在不存在,阐明理由明理由. 解析解析(1)y=ax2+
20、c过点点(-2,2),(4,5),解得解得抛物抛物线的解析式的解析式为y=x2+1.(2分分)(2)BF=BC.(3分分)证明明:设B点坐点坐标为,那么那么BC=n2+1,又又F(0,2),BF2=(n-0)2+=n4+n2+1=,BF=n2+1=BC.(5分分)(3)当当P点在点在F点下方点下方时,m=0或或m=1.当当m=0时,FP=2,B点坐点坐标为,令令n2+1=2,那么那么n=2,那么四边形FBCP是边长为2的正方形,满足题意.当m=1时,那么FP=BC=1,点B坐标为,那么n2+1=1,此时n=0,不符合题意.当P点在F点上方时,如图,图四边形PBCF为菱形,那么FB=BC=CF,FBC为等边三角形,FC=2FO=4,OP=6,即m=6.(8分)(4)如图,作QEy轴交AB于E,当k=1时,函数解析式为y=x+2,联立得或那么B(1+,3+).(10分)设Q,那么E(t,t+2),EQ=t+2-=-t2+t+1,SQBF=SEQF+SEQB=(1+)EQ=-(t-2)2+1,当t=2时,SQBF有最大值,最大值为+1,此时Q点坐标为(2,2).(12分)
