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1、HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数5.1 贝塞尔方程的导出 设有半径为设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。规律。 问题归结为求解如下定解问题：问题归结为求解如下定解问题：9/20/20241HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令：令：9/20/20242
2、HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数n阶贝塞尔方程 周期特征值问题周期特征值问题 的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为 令令 9/20/20243HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程 (n为任意实数或复数为任意实数或复数)令：5.2 贝塞尔方程的求解假设假设由于由于，所以有，所以有9/20/20244HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数情形1 n不为整数和半奇数当当c=n时
3、时 ,则有令于是于是, 得到贝塞尔方程的一个特解得到贝塞尔方程的一个特解(称为称为n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数) ) 当p为正整数时 当p为负整数或零时 9/20/20245HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数当当c=-n时，令时，令 于是于是, 得到贝塞尔方程的另一个特解得到贝塞尔方程的另一个特解(称为称为-n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数) ) 显然显然线性无关，于是线性无关，于是n阶阶贝塞尔方程的通解为贝塞尔方程的通解为(称为n阶第二类贝塞尔函数(诺依曼函数) )如果取如果取, 则得到方程的另则得到方程的另一个
4、与一个与线性无关的特解线性无关的特解于是于是n阶阶贝塞尔方程的通解又可表示为贝塞尔方程的通解又可表示为9/20/20246HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数情形2 n为整数此时此时线性相关。令线性相关。令可以证明可以证明线性无关的特解，线性无关的特解，是贝塞尔方程的与是贝塞尔方程的与于是，此时于是，此时n阶阶贝塞尔方程的通解为贝塞尔方程的通解为情形3 n为半奇数(类似讨论)9/20/20247HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数A、B为任意常数，n为任意实数9/20/2
5、0248HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质1 有界性 性质2 奇偶性 5.3 贝塞尔函数的性质当n为正整数时 9/20/20249HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质3 递推性 9/20/202410HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例1 求下列微积分9/20/202411HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数9/20/202412HUST
6、 HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质4 初值 性质5 零点 有无穷多个对称分布的零点 和 的零点相间分布 的零点趋于周期分布， 9/20/202413HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质6 半奇数阶的贝塞尔函数 9/20/202414HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质7 大宗量近似 9/20/202415HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质
7、8 正交性称称 n阶贝塞尔函数系阶贝塞尔函数系 在区间在区间(0,R)上带权函数上带权函数r正交：正交：其中其中 为为n阶贝塞尔函数的零点，即阶贝塞尔函数的零点，即为为n阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数 的的模模。9/20/202416HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数正交性的证明正交性的证明：先将：先将n n阶贝塞尔方程写成如下形式阶贝塞尔方程写成如下形式 则有则有记记 于是于是 取取 并利用并利用 即可证得结论。有关贝塞尔函数模的计算请大家自己完成。即可证得结论。有关贝塞尔函数模的计算请大家自己完成。9/20/202417HUST H
8、UST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例2：证明 的解为 9/20/202418HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数5.4 傅立叶-贝塞尔级数定理定理 如果 在(0,R)内分段连续,且积分 的值有限，则 能展成傅立叶贝塞尔级数： 并且在 的连续点,级数收敛于 ；而在 的间断点，级数收敛于 ，其中 9/20/202419HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例例3 3：将将1 1在在 区间内展成区间内展成 的级数形式的级数形式.
9、 . 解解 ，其中，其中由于由于从而从而于是有于是有9/20/202420HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例4：将x在0x2区间内展成 的级数形式 解解 ，其中，其中由于由于从而从而于是有于是有9/20/202421HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例5：将 在0x1区间内展成 的级数形式 解解 ，其中，其中由于由于从而从而于是有于是有9/20/202422HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例例1: 求
10、解圆形薄盘上的热传导问题求解圆形薄盘上的热传导问题5.5 贝塞尔函数的应用 设有半径为设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热，的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布为的初始温度分布为 ，其中，其中r为圆盘内为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。规律。9/20/202423HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令：9/20/202424HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章
11、贝塞尔函数章贝塞尔函数9/20/202425HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数 设有半径为设有半径为R的圆形薄膜，圆周沿垂直于的圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初始速度为，初始速度为， 试求该薄膜的振动规试求该薄膜的振动规律。律。 问题归结为求解如下定解问题：问题归结为求解如下定解问题：例例2: 求解圆形薄膜轴对称振动问题求解圆形薄膜轴对称振动问题9/20/202426HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令令9/20/202427HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数从而，原问题有形式级数解从而，原问题有形式级数解9/20/202428HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数令令设设为为1阶贝塞尔函数的非负零点，即阶贝塞尔函数的非负零点，即则有则有( (见课后练习见课后练习) )9/20/202429HUST HUST 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数9/20/202430
